Estáticamente indeterminado

En estática y mecánica estructural, una estructura es estáticamente indeterminada cuando las ecuaciones de equilibrio (condiciones de equilibrio de fuerza y momento) son insuficientes para determinar las fuerzas y reacciones internas en esa estructura.

Matemáticas

Basándonos en las leyes del movimiento de Newton, las ecuaciones de equilibrio disponibles para un cuerpo bidimensional son:

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0:}$ la suma vectorial de las fuerzas que actúan en el cuerpo equivale a cero. Esto se traduce en:

${\displaystyle \sum \mathbf {H} =0:}$ la suma de los componentes horizontales de las fuerzas equivale a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {V} =0}$ la suma de los componentes verticales de las fuerzas equivale a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {M} =0}$ la suma de los momentos (sobre un punto arbitrario) de todas las fuerzas equivale a cero.

En la construcción de la viga de la derecha, las cuatro reacciones desconocidas son V_A, V_B, V _C y H_A. Las ecuaciones de equilibrio son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad >implies \quad \mathbf {\fnh}-Mathbf {\cHFF} {V}* {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad >\implies \quad \mathbf {F}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}$

Puesto que hay cuatro fuerzas desconocidas (o variables) (V_A, V_B, V_C, y H_A) pero sólo tres ecuaciones de equilibrio, este sistema de ecuaciones simultáneas no tiene una solución única. Por consiguiente, la estructura se clasifica como estadísticamente indeterminada.

Para resolver sistemas estáticamente indeterminados (determinar los diversos momentos y reacciones de fuerza dentro de ellos), se consideran las propiedades del material y la compatibilidad en las deformaciones.

Determinada estáticamente

Si se elimina el soporte en B, la reacción V_B no puede ocurrir y el sistema se vuelve estáticamente determinado (o isostático). Tenga en cuenta que el sistema está completamente restringido aquí. El sistema se convierte en un acoplamiento cinemático de restricción exacta. La solución al problema es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} {H} {\fnMicrosoft} {F} [V] _{C} {\fnMitbf {\fnh}\cdot a}{a+b+c}\\Mathbf {\fnMicrosoft} {F} {V} {C}\end{aligned}}$

Si además se cambia el soporte de A por un soporte de rodillos, el número de reacciones se reduce a tres. (sin H_A), pero la viga ahora se puede mover horizontalmente; el sistema se vuelve inestable o parcialmente restringido: un mecanismo más que una estructura. Para distinguir entre esto y la situación en la que un sistema en equilibrio se perturba y se vuelve inestable, es preferible utilizar aquí la frase parcialmente restringido. En este caso, las dos incógnitas V_A y V_C se puede determinar resolviendo la ecuación de fuerza vertical y la ecuación de momento simultáneamente. La solución produce los mismos resultados que los obtenidos anteriormente. Sin embargo, no es posible satisfacer la ecuación de fuerza horizontal a menos que F_h = 0 .

Determinación estática

Descriptivamente, una estructura estáticamente determinada se puede definir como una estructura donde, si es posible encontrar acciones internas en equilibrio con cargas externas, esas acciones internas son únicas. La estructura no tiene posibles estados de autotensión, es decir, no son posibles fuerzas internas en equilibrio con cargas externas nulas. La indeterminación estática, sin embargo, es la existencia de una solución no trivial (distinta de cero) del sistema homogéneo de ecuaciones de equilibrio. Indica la posibilidad de autoestrés (estrés en ausencia de una carga externa) que puede ser inducido por acción mecánica o térmica.

Matemáticamente, esto requiere una matriz de rigidez para tener rango completo.

Una estructura estáticamente indeterminada sólo se puede analizar incluyendo información adicional como las propiedades del material y las deflexiones. Numéricamente, esto se puede lograr mediante el uso de análisis estructurales matriciales, el método de elementos finitos (FEM) o el método de distribución de momentos (Hardy Cross).

En la práctica, una estructura se denomina estructura 'estáticamente sobredeterminada' cuando comprende más restricciones mecánicas (como paredes, columnas o pernos) de las absolutamente necesarias para la estabilidad.