Estado de la cadena ascendente

En matemáticas, la condición de cadena ascendente (ACC) y la condición de cadena descendente (DCC) son finitos propiedades satisfechas por algunas estructuras algebraicas, sobre todo ideales en ciertos anillos conmutativos. Estas condiciones jugaron un papel importante en el desarrollo de la teoría estructural de los anillos conmutativos en los trabajos de David Hilbert, Emmy Noether y Emil Artin. Las condiciones en sí pueden expresarse en forma abstracta, de modo que tengan sentido para cualquier conjunto parcialmente ordenado. Este punto de vista es útil en la teoría de la dimensión algebraica abstracta debido a Gabriel y Rentschler.

Definición

Se dice que un conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisface la condición de la cadena ascendente (ACC) si no hay una secuencia estrictamente ascendente infinita

${displaystyle a_{1} detecta_{2}$

de elementos de P existe. De manera equivalente, cada secuencia débilmente ascendente

${displaystyle a_{1}leq a_{2}leq a_{3}leq cdots}$

de elementos de P eventualmente se estabiliza, lo que significa que existe un entero positivo n tal que

${displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=cdots.}$

Del mismo modo, se dice que P satisface la condición de cadena descendente (DCC) si no hay una cadena descendente infinita de elementos de P. De manera equivalente, cada secuencia débilmente descendente

${displaystyle a_{1}geq a_{2}geq a_{3}geq cdots}$

de elementos de P finalmente se estabiliza.

Comentarios

• Suponiendo el axioma de elección dependiente, la condición de cadena descendente en (posiblemente infinita) poset P equivale a P bien fundada: cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo (también llamado condición mínima o condición mínima). Un conjunto totalmente ordenado que está bien fundado es un conjunto bien ordenado.
• Del mismo modo, la condición de cadena ascendente equivale a P ser converso bien fundado (de nuevo, asumiendo la elección dependiente): cada subconjunto no vacío P tiene un elemento maximal (el máxima condición o máxima condición).
• Cada pose finita satisface tanto las condiciones de la cadena ascendente y descendente, y por lo tanto está bien fundado y converso bien fundado.

Ejemplo

Considera el anillo

${displaystyle mathbb {Z} ={dots-3,-2,-1,0,1,2,3,dots}$

de enteros. Cada ideal de ${displaystyle mathbb {Z}$ consiste en todos los múltiplos de algún número ${displaystyle n}$. Por ejemplo, el ideal

${displaystyle I=dots-18,-12,-6,0,6,12,18,dots }$

consiste en todos los múltiplos de ${displaystyle 6}$. Vamos

${displaystyle J={dots-6,-4,-2,0,2,4,6,dots }$

ser el ideal que consiste en todos los múltiplos de ${displaystyle 2}$. El ideal ${displaystyle Yo...$ está contenido dentro del ideal ${displaystyle J}$, desde cada múltiplo de ${displaystyle 6}$ es también un múltiple de ${displaystyle 2}$. A su vez, el ideal ${displaystyle J}$ está contenido en el ideal ${displaystyle mathbb {Z}$, desde cada múltiplo de ${displaystyle 2}$ es un múltiple de ${displaystyle 1}$. Sin embargo, en este punto no hay un ideal más grande; hemos "salido" en ${displaystyle mathbb {Z}$.

En general, si ${displaystyle Yo...$ son ideales de ${displaystyle mathbb {Z}$ tales que ${displaystyle I_{1}$ figura en ${displaystyle I_{2}$, ${displaystyle I_{2}$ figura en ${displaystyle I_{3}$, y así sucesivamente, entonces hay algunos ${displaystyle n}$ para todos ${displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=cdots }$. Es decir, después de algún punto todos los ideales son iguales entre sí. Por lo tanto, los ideales de ${displaystyle mathbb {Z}$ satisfacer la condición de cadena ascendente, donde los ideales se ordenan por la inclusión establecida. Por lo tanto ${displaystyle mathbb {Z}$ es un anillo noetheriano.