Estadísticas de Fermi-Dirac

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Descripción estadística para el comportamiento de los fermions

Estadística de Fermi-Dirac (Estadística F-D) es un tipo de estadística cuántica que se aplica a la física de un sistema que consta de muchas partículas idénticas que no interactúan. que obedecen al principio de exclusión de Pauli. Un resultado es la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estados de energía. Lleva el nombre de Enrico Fermi y Paul Dirac, cada uno de los cuales derivó la distribución de forma independiente en 1926 (aunque Fermi la derivó antes que Dirac). La estadística de Fermi-Dirac es parte del campo de la mecánica estadística y utiliza los principios de la mecánica cuántica.

La estadística F–D se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín medio entero (1/2, 3/2, etc.), llamadas fermiones, en equilibrio termodinámico. Para el caso de interacción insignificante entre partículas, el sistema se puede describir en términos de estados de energía de una sola partícula. Un resultado es la distribución F-D de partículas sobre estos estados donde dos partículas no pueden ocupar el mismo estado, lo que tiene un efecto considerable en las propiedades del sistema. La estadística F-D se aplica más comúnmente a los electrones, un tipo de fermión con espín 1/2.

Una contraparte de las estadísticas F–D son las estadísticas de Bose–Einstein (estadísticas B–E), que se aplican a partículas idénticas e indistinguibles con espín entero (0, 1, 2, etc.) llamadas bosones. En la física clásica, las estadísticas de Maxwell-Boltzmann (estadísticas M-B) se utilizan para describir partículas que son idénticas y se tratan como distinguibles. Para las estadísticas B-E y M-B, más de una partícula puede ocupar el mismo estado, a diferencia de las estadísticas F-D.

Comparación de la ocupación promedio del estado terrestre para tres estadísticas

Historia

Antes de la introducción de las estadísticas de Fermi-Dirac en 1926, era difícil comprender algunos aspectos del comportamiento de los electrones debido a fenómenos aparentemente contradictorios. Por ejemplo, la capacidad de calor electrónico de un metal a temperatura ambiente parecía provenir de 100 veces menos electrones que los que había en la corriente eléctrica. También fue difícil entender por qué las corrientes de emisión generadas al aplicar campos eléctricos elevados a los metales a temperatura ambiente eran casi independientes de la temperatura.

La dificultad que encontró el modelo de Drude, la teoría electrónica de los metales en ese momento, se debió a considerar que los electrones eran (según la teoría estadística clásica) todos equivalentes. En otras palabras, se creía que cada electrón contribuía al calor específico en una cantidad del orden de la constante de Boltzmann k_B. Este problema permaneció sin resolver hasta el desarrollo de las estadísticas F-D.

La estadística F–D fue publicada por primera vez en 1926 por Enrico Fermi y Paul Dirac. Según Max Born, Pascual Jordan desarrolló en 1925 la misma estadística, a la que llamó estadística de Pauli, pero no fue publicada en tiempo y forma. Según Dirac, fue estudiado por primera vez por Fermi, y Dirac lo llamó "estadísticas de Fermi" y las correspondientes partículas "fermiones".

La estadística F-D fue aplicada en 1926 por Ralph Fowler para describir el colapso de una estrella a una enana blanca. En 1927, Arnold Sommerfeld lo aplicó a los electrones de los metales y desarrolló el modelo de electrones libres, y en 1928 Fowler y Lothar Nordheim lo aplicaron a la emisión de electrones de campo de los metales. Las estadísticas de Fermi-Dirac continúan siendo una parte importante de la física.

Distribución Fermi-Dirac

Para un sistema de fermiones idénticos en equilibrio termodinámico, se da el número promedio de fermiones en un estado de partícula única $i$ por la distribución de Fermi–Dirac (F–D),

${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{text{B}}T}+1}},}$

donde $k B$ es la constante de Boltzmann, $T$ es la temperatura absoluta, $ε i$ es la energía del único -estado de partículas $i$ , y $μ$ es el potencial químico total. La distribución está normalizada por la condición

{displaystyle sum _{i}{bar {n}}_{i}=N}

que se puede utilizar para expresar ${displaystyle mu =mu (T,N)}$ en eso $mu$ puede asumir un valor positivo o negativo.

A temperatura absoluta cero, $μ$ es igual a la energía de Fermi más la energía potencial por fermión, siempre que esté en una vecindad de densidad espectral positiva. En el caso de una brecha espectral, como la de los electrones en un semiconductor, $μ$ , el punto de simetría, normalmente se denomina El nivel de Fermi o, para los electrones, el potencial electroquímico, y se ubicará en el medio de la brecha.

La distribución F-D sólo es válida si el número de helechos en el sistema es lo suficientemente grande para que añadir un helecho más al sistema tenga un efecto insignificante sobre $μ$ . Puesto que la distribución F-D se derivaba usando el principio de exclusión Pauli, que permite a la mayoría de un fermión ocupar cada estado posible, un resultado es que $<math alttext="{displaystyle 0<{bar {n}}_{i}0.n̄ ̄ i.1{displaystyle 0 realizadas {bar {}_{i}traducido1}<img alt="0<{bar {n}}_{i}$ .

Distribución Fermi-Dirac
La dependencia energética. Más gradual a más T. ${displaystyle {bar {n}}=0.5}$ cuando $varepsilon =mu$ . No se muestra que $mu$ disminuciones para mayores T.
Temperatura de dependencia para $mu }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■μ μ {displaystyle varepsilon }mu }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f60f402445a2a672586bedeb556978fb1d642a" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.584ex; height:2.343ex;"/>$ .

La diferencia del número de partículas en estado puedo calcularse de la expresión anterior para ${bar {n}}_{i}$ ,

{displaystyle V(n_{i})=k_{rm {B}}T{frac {partial }{partial mu }}{bar {n}}_{i}={bar {n}}_{i}(1-{bar {n}}_{i}).}

Distribución de partículas sobre energía

Función de fermi

{displaystyle F(varepsilon)}

con μ = 0.55 eV para diversas temperaturas en el rango 50 K ≤ T ≤ 375 K

De la distribución Fermi-Dirac de partículas sobre estados, se puede encontrar la distribución de partículas sobre energía. El promedio de fermions con energía $varepsilon _{i}$ se puede encontrar multiplicando la distribución F-D ${bar {n}}_{i}$ por la degeneración $g_{i}$ (es decir, el número de estados con energía $varepsilon _{i}$ ),

{displaystyle {begin{aligned}{bar {n}}(varepsilon _{i})&=g_{i}{bar {n}}_{i}\&={frac {g_{i}}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1}}.end{aligned}}}

Cuando ${displaystyle g_{i}geq 2}$ , es posible que $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n̄ ̄ ()ε ε i)■1{displaystyle {bar {n} {varepsilon _{i}] Confía1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046a55f9223de58879cd7236e4a60d84c99fb8df" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.348ex; height:2.843ex;"/>$ , ya que hay más de un estado que puede ser ocupado por fermions con la misma energía $varepsilon _{i}$ .

Cuando un cuasi continuo de energías $varepsilon$ tiene una densidad asociada de estados ${displaystyle g(varepsilon)}$ (es decir, el número de estados por rango de energía unitario por volumen unitario), el promedio de fermiones por rango de energía unitaria por volumen unitario es

{displaystyle {bar {mathcal {N}}}(varepsilon)=g(varepsilon)F(varepsilon),}

Donde ${displaystyle F(varepsilon)}$ se llama la función Fermi y es la misma función que se utiliza para la distribución F-D ${bar {n}}_{i}$ ,

{displaystyle F(varepsilon)={frac {1}{e^{(varepsilon -mu)/k_{rm {B}}T}+1}},}

para que

{displaystyle {bar {mathcal {N}}}(varepsilon)={frac {g(varepsilon)}{e^{(varepsilon -mu)/k_{rm {B}}T}+1}}.}

Régimen cuántico y clásico

La distribución de Fermi-Dirac se aproxima a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de suposiciones ad hoc:

En el límite de baja densidad de partículas, ${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1}}ll 1}$ , por lo tanto ${displaystyle e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1gg 1}$ o equivalente ${displaystyle e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}gg 1}$ . En ese caso, ${displaystyle {bar {n}}_{i}approx {frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}}}={frac {N}{Z}}e^{-varepsilon _{i}/k_{rm {B}}T}}$ , que es el resultado de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.
En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen sobre una amplia gama de valores energéticos, por lo que la ocupación en cada estado (especialmente las altas energías con ${displaystyle varepsilon _{i}-mu gg k_{rm {B}}T}$ ) es otra vez muy pequeño, ${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1}}ll 1}$ . Esto reduce de nuevo a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.

El régimen clásico, donde las estadísticas de Maxwell-Boltzmann pueden utilizarse como aproximación a las estadísticas de Fermi-Dirac, se encuentra considerando la situación que está lejos del límite impuesto por el principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el impulso de una partícula. Por ejemplo, en física de semiconductor, cuando la densidad de estados de banda de conducción es mucho mayor que la concentración de dopaje, la brecha energética entre banda de conducción y nivel de fermi podría calcularse utilizando estadísticas de Maxwell-Boltzmann. De lo contrario, si la concentración de dopaje no es insignificante en comparación con la densidad de estados de banda de conducción, la distribución F-D debe utilizarse en lugar de calcular con precisión. A continuación se puede demostrar que la situación clásica prevalece cuando la concentración de partículas corresponde a una separación media de interpartículas ${bar {R}}$ que es mucho mayor que el promedio de Broglie longitud de onda ${bar {lambda }}$ de las partículas:

{displaystyle {bar {R}}gg {bar {lambda }}approx {frac {h}{sqrt {3mk_{rm {B}}T}}},}

donde $h$ es la constante de Planck y $m$ es la masa de una partícula.

Para el caso de electrones de conducción en un metal típico en $T$ = 300 K (es decir, aproximadamente temperatura ambiente), el sistema está lejos del régimen clásico porque ${bar {R}}approx {bar {lambda }}/25$ . Esto se debe a la pequeña masa del electrón y a la alta concentración (es decir, pequeña) ${bar {R}}$ ) de electrones de conducción en el metal. Así se necesitan estadísticas de Fermi-Dirac para electrones de conducción en un metal típico.

Otro ejemplo de un sistema que no está en el régimen clásico es el sistema que consta de los electrones de una estrella que se ha colapsado en una enana blanca. Aunque la temperatura de la enana blanca es alta (típicamente $T$ = 10000 K en su superficie), su alta concentración de electrones y la pequeña masa de cada El electrón impide el uso de una aproximación clásica, y nuevamente se requieren las estadísticas de Fermi-Dirac.

Derivaciones

Gran conjunto canónico

La distribución de Fermi-Dirac, que se aplica solo a un sistema cuántico de fermiones que no interactúan, se deriva fácilmente del gran conjunto canónico. En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico μ fijados por el reservorio).

Debido a la calidad de no interacción, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el depósito. En otras palabras, cada nivel de una sola partícula es un gran conjunto canónico separado y diminuto. Según el principio de exclusión de Pauli, solo hay dos microestados posibles para el nivel de una sola partícula: ninguna partícula (energía E = 0) o una partícula (energía E = ε). Por lo tanto, la función de partición resultante para ese nivel de una sola partícula tiene solo dos términos:

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}&=exp {big (}0(mu -varepsilon)/k_{rm {B}}T{big)}+exp {big (}1(mu -varepsilon)/k_{rm {B}}T{big)}\&=1+exp {big (}(mu -varepsilon)/k_{rm {B}}T{big)},end{aligned}}}

y el número promedio de partículas para ese subestado de nivel de partículas individuales viene dado por

{displaystyle langle Nrangle =k_{rm {B}}T{frac {1}{mathcal {Z}}}left({frac {partial {mathcal {Z}}}{partial mu }}right)_{V,T}={frac {1}{exp {big (}(varepsilon -mu)/k_{rm {B}}T{big)}+1}}.}

Este resultado se aplica a cada nivel de una sola partícula y, por lo tanto, proporciona la distribución de Fermi-Dirac para todo el estado del sistema.

También se puede derivar la variación en el número de partículas (debido a las fluctuaciones térmicas) (el número de partículas tiene una distribución de Bernoulli simple):

{displaystyle {big langle }(Delta N)^{2}{big rangle }=k_{rm {B}}Tleft({frac {dlangle Nrangle }{dmu }}right)_{V,T}=langle Nrangle {big (}1-langle Nrangle {big)}.}

Esta cantidad es importante en fenómenos de transporte como las relaciones mott para la conductividad eléctrica y el coeficiente termoeléctrico para un gas de electrones, donde la capacidad de un nivel energético para contribuir al transporte de fenómenos es proporcional a ${displaystyle {big langle }(Delta N)^{2}{big rangle }}$ .

Conjunto canónico

También es posible obtener estadísticas Fermi-Dirac en el conjunto canónico. Considerar un sistema de muchas partículas compuesto por N Fermions idénticos que tienen una interacción mutua insignificante y están en equilibrio térmico. Puesto que hay una interacción insignificante entre los fermions, la energía $E_{R}$ de un estado $R$ del sistema de muchas partículas se puede expresar como una suma de energías de partículas individuales,

{displaystyle E_{R}=sum _{r}n_{r}varepsilon _{r}}

Donde $n_{r}$ se llama el número de ocupación y es el número de partículas en el estado de partículas individuales $r$ con energía ${displaystyle varepsilon _{r}}$ . La suma está sobre todos los posibles estados de una sola partícula $r$ .

La probabilidad de que el sistema de muchas partículas esté en el estado $R$ , se da por la distribución canónica normalizada,

P_{R}={frac {e^{-beta E_{R}}}{displaystyle sum _{R'}e^{-beta E_{R'}}}}

Donde ${displaystyle beta =1/k_{rm {B}}T}$ , e^{$scriptstyle -beta E_{R}$} se llama el factor Boltzmann, y la suma es sobre todos los estados posibles $R'$ del sistema de muchas partículas. El valor promedio de un número de ocupación $n_{i};$ es

{displaystyle {bar {n}}_{i} = sum _{R}n_{i} P_{R}}

Note que el estado $R$ del sistema de muchas partículas puede ser especificado por la ocupación de partículas de los estados de una sola partícula, es decir, especificando ${displaystyle n_{1},,n_{2},,ldots ;,}$ así

{displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},ldots }={frac {e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)}}{displaystyle sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',ldots }e^{-beta ({n_{1}}'varepsilon _{1}+{n_{2}}'varepsilon _{2}+cdots)}}}}

y la ecuación para ${bar {n}}_{i}$ se convierte en

{displaystyle {begin{alignedat}{2}{bar {n}}_{i}&=sum _{n_{1},n_{2},dots }n_{i} P_{n_{1},n_{2},dots }\\&={frac {displaystyle sum _{n_{1},n_{2},dots }n_{i} e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots +n_{i}varepsilon _{i}+cdots)}}{displaystyle sum _{n_{1},n_{2},dots }e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots +n_{i}varepsilon _{i}+cdots)}}}\end{alignedat}}}

donde la suma es sobre todas las combinaciones de valores de ${displaystyle n_{1},n_{2},ldots }$ que obedecen el principio de exclusión Pauli, y $n_{r}$ = 0 o 1 para cada uno $r$ . Además, cada combinación de valores ${displaystyle n_{1},n_{2},ldots }$ satisface la restricción de que el número total de partículas es $N$ ,

{displaystyle sum _{r}n_{r}=N.}

Reorganizar las sumas,

{displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i} e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})}quad sideset {}{^{(i)}}sum _{n_{1},n_{2},dots }e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)}}{displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})}qquad sideset {}{^{(i)}}sum _{n_{1},n_{2},dots }e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)}}}}

Donde $^{(i)}$ en el signo de la suma indica que la suma no ha terminado $n_{i}$ y está sujeto a la restricción de que el número total de partículas asociadas con la suma es $N_{i}=N-n_{i}$ . Note que $Sigma ^{(i)}$ todavía depende de $n_{i}$ a través de $N_{i}$ limitación, ya que en un caso $n_{i}=0$ y $Sigma ^{(i)}$ se evalúa con $N_{i}=N,$ mientras que en el otro caso $n_{i}=1$ y $Sigma ^{(i)}$ se evalúa con $N_{i}=N-1.$ Para simplificar la notación e indicar claramente que $Sigma ^{(i)}$ todavía depende de $n_{i}$ a través de $N-n_{i}$ , definir

{displaystyle Z_{i}(N-n_{i})equiv sideset {}{^{(i)}}sum _{n_{1},n_{2},ldots }e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)};}

para que la expresión anterior ${bar {n}}_{i}$ puede ser reescrito y evaluado en términos de $Z_{i}$ ,

{displaystyle {begin{alignedat}{3}{bar {n}}_{i} &={frac {displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i} e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})} Z_{i}(N-n_{i})}{displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})}qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\[8pt]&= {frac {quad 0quad ;+e^{-beta varepsilon _{i}};Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-beta varepsilon _{i}};Z_{i}(N-1)}}\[6pt]&= {frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)];e^{beta varepsilon _{i}}+1}}quad.end{alignedat}}}

La siguiente aproximación se utilizará para encontrar una expresión que sustituya $Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)$ .

{begin{alignedat}{2}ln Z_{i}(N-1)&simeq ln Z_{i}(N)-{frac {partial ln Z_{i}(N)}{partial N}}\&=ln Z_{i}(N)-alpha _{i};end{alignedat}}

Donde $alpha _{i}equiv {frac {partial ln Z_{i}(N)}{partial N}}.$

Si el número de partículas $N$ es lo suficientemente grande para que el cambio en el potencial químico $mu ;$ es muy pequeño cuando una partícula se añade al sistema, entonces ${displaystyle alpha _{i}simeq -mu /k_{rm {B}}T.}$ Tomando la base e antilog of both sides, substituting for $alpha _{i},$ y reorganización,

{displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-mu /k_{rm {B}}T}.}

Sustituir lo anterior en la ecuación para ${bar {n}}_{i}$ , y utilizando una definición anterior de $beta ;$ para sustituir ${displaystyle 1/k_{rm {B}}T}$ para $beta ;$ , resultados en la distribución Fermi-Dirac.

{displaystyle {bar {n}}_{i}= {frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1}}}

Al igual que la distribución de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Bose-Einstein, la distribución de Fermi-Dirac también se puede derivar mediante el método de valores medios de Darwin-Fowler.

Conjunto microcanónico

Se puede lograr un resultado analizando directamente las multiplicidades del sistema y usando multiplicadores de Lagrange.

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice i, cada nivel que tiene energía ε_i y contiene un total de n_i partículas. Supongamos que cada nivel contiene g_i subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener diferentes momentos (es decir, sus momentos pueden estar en diferentes direcciones), en cuyo caso se pueden distinguir entre sí, pero aún así pueden tener la misma energía. El valor de g_i asociado con el nivel i se denomina "degeneración" de ese nivel de energía. El principio de exclusión de Pauli establece que solo un fermión puede ocupar cualquier subnivel.

El número de formas de distribuir n_i partículas indistinguibles entre los g_i subniveles de un nivel de energía, con un máximo de una partícula por subnivel, viene dado por el coeficiente binomial, usando su interpretación combinatoria

w(n_{i},g_{i})={frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.

Por ejemplo, la distribución de dos partículas en tres subniveles dará números de población de 110, 101 o 011 para un total de tres formas que equivale a 3!/(2!1!).

La cantidad de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación n_i es el producto de las formas en que cada nivel de energía individual puede ser poblada:

W=prod _{i}w(n_{i},g_{i})=prod _{i}{frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann, deseamos encontrar el conjunto de n_i para el cual W está maximizado, sujeto a la restricción de que haya un número fijo de partículas, y una energía fija. Restringimos nuestra solución usando multiplicadores de Lagrange formando la función:

{displaystyle f(n_{i})=ln(W)+alpha left(N-sum n_{i}right)+beta left(E-sum n_{i}varepsilon _{i}right).}

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales, tomando la derivada con respecto a n_i, estableciendo el resultado en cero y resolviendo para n _i produce los números de población de Fermi-Dirac:

{displaystyle n_{i}={frac {g_{i}}{e^{alpha +beta varepsilon _{i}}+1}}.}

Por un proceso similar al descrito en el artículo de estadísticas Maxwell-Boltzmann, se puede mostrar termodinámicamente que ${textstyle beta ={frac {1}{k_{rm {B}}T}}}$ y ${textstyle alpha =-{frac {mu }{k_{rm {B}}T}}}$ , por lo que finalmente, la probabilidad de que un estado sea ocupado es:

{displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {n_{i}}{g_{i}}}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1}}.}

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