Estadística de Fermi-Dirac

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La estadística de Fermi-Dirac es un tipo de estadística cuántica que se aplica a la física de un sistema que consta de muchas partículas idénticas que no interactúan y que obedecen al principio de exclusión de Pauli. Un resultado es la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estados de energía. Lleva el nombre de Enrico Fermi y Paul Dirac, cada uno de los cuales derivó la distribución de forma independiente en 1926 (aunque Fermi la derivó antes que Dirac). La estadística de Fermi-Dirac es parte del campo de la mecánica estadística y utiliza los principios de la mecánica cuántica.

La estadística de Fermi-Dirac (F-D) se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín medio entero (1/2, 3/2, etc.), llamadas fermiones, en equilibrio termodinámico. Para el caso de interacción insignificante entre partículas, el sistema se puede describir en términos de estados de energía de una sola partícula. Un resultado es la distribución F-D de partículas sobre estos estados donde dos partículas no pueden ocupar el mismo estado, lo que tiene un efecto considerable en las propiedades del sistema. La estadística F-D se aplica más comúnmente a los electrones, un tipo de fermión con espín 1/2.

Una contraparte de las estadísticas F-D son las estadísticas de Bose-Einstein (B-E), que se aplican a partículas idénticas e indistinguibles con espín entero (0, 1, 2, etc.) llamadas bosones. En la física clásica, las estadísticas de Maxwell-Boltzmann (M-B) se utilizan para describir partículas que son idénticas y se tratan como distinguibles. Para las estadísticas B-E y M-B, más de una partícula puede ocupar el mismo estado, a diferencia de las estadísticas F-D.

Historia

Antes de la introducción de las estadísticas de Fermi-Dirac en 1926, era difícil comprender algunos aspectos del comportamiento de los electrones debido a fenómenos aparentemente contradictorios. Por ejemplo, la capacidad de calor electrónico de un metal a temperatura ambiente parecía provenir de 100 veces menos electrones que los que había en la corriente eléctrica. También fue difícil entender por qué las corrientes de emisión generadas al aplicar campos eléctricos elevados a los metales a temperatura ambiente eran casi independientes de la temperatura.

La dificultad que encontró el modelo de Drude, la teoría electrónica de los metales en ese momento, se debió a considerar que los electrones eran (según la teoría estadística clásica) todos equivalentes. En otras palabras, se creía que cada electrón contribuía al calor específico en una cantidad del orden de la constante de Boltzmann k _B. Este problema permaneció sin resolver hasta el desarrollo de las estadísticas F-D.

Las estadísticas F-D fueron publicadas por primera vez en 1926 por Enrico Fermi y Paul Dirac. Según Max Born, Pascual Jordán elaboró en 1925 la misma estadística, a la que llamó estadística de Pauli, pero no fue publicada en tiempo y forma. Según Dirac, Fermi lo estudió por primera vez, y Dirac lo llamó "estadística de Fermi" y las partículas correspondientes "fermiones".

La estadística F-D fue aplicada en 1926 por Ralph Fowler para describir el colapso de una estrella a una enana blanca. En 1927, Arnold Sommerfeld lo aplicó a los electrones de los metales y desarrolló el modelo de electrones libres, y en 1928 Fowler y Lothar Nordheim lo aplicaron a la emisión de electrones de campo de los metales. Las estadísticas de Fermi-Dirac continúan siendo una parte importante de la física.

Distribución Fermi-Dirac

Para un sistema de fermiones idénticos en equilibrio termodinámico, el número promedio de fermiones en un estado de partícula única i viene dado por la distribución de Fermi-Dirac (F-D),

{displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{text{B}}T}+1} },}

donde k _B es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta, ε _i es la energía del estado i de una sola partícula y μ es el potencial químico total. La distribución está normalizada por la condición ${displaystyle sum _{i}{bar {n}}_{i}=N}$

that can be used to express ${ estilo de visualización mu = mu (T, N)}$ in that $mu$ puede asumir un valor positivo o negativo.

A temperatura absoluta cero, μ es igual a la energía de Fermi más la energía potencial por fermión, siempre que se encuentre en una vecindad de densidad espectral positiva. En el caso de una brecha espectral, como la de los electrones en un semiconductor, μ, el punto de simetría, generalmente se denomina nivel de Fermi o, para los electrones, potencial electroquímico, y estará ubicado en el medio de la brecha.

La distribución F–D solo es válida si la cantidad de fermiones en el sistema es lo suficientemente grande como para que agregar un fermión más al sistema tenga un efecto insignificante en μ. Dado que la distribución F-D se derivó utilizando el principio de exclusión de Pauli, que permite que como máximo un fermión ocupe cada estado posible, el resultado es que $0<{bar {n}}_{i}<1$ .

Distribución Fermi-Dirac
Dependencia energética. Más gradual a mayor T. ${ estilo de visualización { barra {n}} = 0,5}$ cuando $varepsilon =mu$ _ No se muestra que $mu$ disminuye para T más alta.
Dependencia de la temperatura para ${ estilo de visualización varepsilon > mu}$ .

La varianza del número de partículas en el estado i se puede calcular a partir de la expresión anterior para ${bar{n}}_{i}$ , ${displaystyle V(n_{i})=k_{rm {B}}T{frac {parcial }{parcial mu }}{bar {n}}_{i}={bar { n}}_{i}(1-{bar {n}}_{i}).}$

Distribución de partículas sobre energía.

A partir de la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estados, se puede encontrar la distribución de partículas sobre energía. El número medio de fermiones con energía $varepsilon _{i}$ se puede encontrar multiplicando la distribución F–D ${bar{n}}_{i}$ por la degeneración $soldado americano}$ (es decir, el número de estados con energía $varepsilon _{i}$ ), ${displaystyle {begin{alineado}{bar {n}}(varepsilon _{i})&=g_{i}{bar {n}}_{i}\&={frac {g_ {i}}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1}}.end{alineado}}}$

Cuando ${displaystyle g_{i}geq 2}$ , es posible que ${ estilo de visualización { bar {n}} ( varepsilon _ {i})> 1}$ , ya que hay más de un estado que puede ser ocupado por fermiones con la misma energía $varepsilon _{i}$ .

Cuando un cuasi continuo de energías $varepsilon$ tiene una densidad de estados asociada ${ Displaystyle g ( varepsilon)}$ (es decir, el número de estados por unidad de rango de energía por unidad de volumen), el número promedio de fermiones por unidad de rango de energía por unidad de volumen es ${displaystyle {bar {mathcal {N}}}(varepsilon)=g(varepsilon)F(varepsilon)}$

donde ${ Displaystyle F ( varepsilon)}$ se llama función de Fermi y es la misma función que se usa para la distribución F–D ${bar{n}}_{i}$ , ${displaystyle F(varepsilon)={frac {1}{e^{(varepsilon -mu)/k_{rm {B}}T}+1}},}$

de modo que ${displaystyle {bar {mathcal {N}}}(varepsilon)={frac {g(varepsilon)}{e^{(varepsilon -mu)/k_{rm {B}}T }+1}}.}$

Regímenes cuánticos y clásicos

La distribución de Fermi-Dirac se acerca a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de suposiciones ad hoc:

En el límite de baja densidad de partículas ${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1} }ll 1}$ , por lo tanto ${displaystyle e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1gg 1}$ o de manera equivalente ${displaystyle e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}gg 1}$ . En ese caso, ${displaystyle {bar {n}}_{i}approx {frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}}} ={frac{N}{Z}}e^{-varepsilon _{i}/k_{rm {B}}T}}$ , que es el resultado de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.
En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo que la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ${displaystyle varepsilon _{i}-mu gg k_{rm {B}}T}$ ) es nuevamente muy pequeña, ${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1} }ll 1}$ . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.

El régimen clásico, donde las estadísticas de Maxwell-Boltzmann pueden usarse como una aproximación a las estadísticas de Fermi-Dirac, se encuentra considerando la situación que está lejos del límite impuesto por el principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el momento de una partícula. Por ejemplo, en la física de los semiconductores, cuando la densidad de los estados de la banda de conducción es mucho más alta que la concentración de dopaje, la brecha de energía entre la banda de conducción y el nivel de Fermi podría calcularse utilizando las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. De lo contrario, si la concentración de dopaje no es despreciable en comparación con la densidad de los estados de la banda de conducción, se debe usar la distribución F-D para un cálculo preciso. Entonces se puede demostrar que la situación clásica prevalece cuando la concentración de partículas corresponde a una separación promedio entre partículas ${bar {R}}$ que es mucho mayor que la longitud de onda promedio de De Broglie ${bar {lambda}}$ de las partículas: ${displaystyle {bar {R}}gg {bar {lambda}}approx {frac {h}{sqrt {3mk_{rm {B}}T}}},}$

donde h es la constante de Planck y m es la masa de una partícula.

Para el caso de los electrones de conducción en un metal típico a T = 300 K (es decir, aproximadamente a temperatura ambiente), el sistema está lejos del régimen clásico porque ${bar {R}}aprox. {bar {lambda}}/25$ . Esto se debe a la pequeña masa del electrón ya la alta concentración (es decir, pequeña ${bar {R}}$ ) de electrones de conducción en el metal. Por lo tanto, se necesitan estadísticas de Fermi-Dirac para los electrones de conducción en un metal típico.

Otro ejemplo de un sistema que no está en el régimen clásico es el sistema que consta de los electrones de una estrella que se ha colapsado en una enana blanca. Aunque la temperatura de la enana blanca es alta (típicamente T =10 000 K en su superficie), su alta concentración de electrones y la pequeña masa de cada electrón impiden usar una aproximación clásica, y nuevamente se requiere la estadística de Fermi-Dirac.

Derivaciones

Gran conjunto canónico

La distribución de Fermi-Dirac, que se aplica solo a un sistema cuántico de fermiones que no interactúan, se deriva fácilmente del gran conjunto canónico. En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico μ fijado por el reservorio).

Debido a la calidad de no interacción, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el depósito. En otras palabras, cada nivel de una sola partícula es un gran conjunto canónico separado y diminuto. Por el principio de exclusión de Pauli, solo hay dos microestados posibles para el nivel de una sola partícula: ninguna partícula (energía E = 0) o una partícula (energía E = ε). Por lo tanto, la función de partición resultante para ese nivel de una sola partícula tiene solo dos términos: ${displaystyle {begin{alineado}{mathcal {Z}}&=exp {big (}0(mu -varepsilon)/k_{rm {B}}T{big)}+ exp {grande (}1(mu -varepsilon)/k_{rm {B}}T{grande)}\&=1+exp {grande (}(mu -varepsilon)/ k_{rm {B}}T{grande)},end{alineado}}}$

y el número promedio de partículas para ese subestado de nivel de una sola partícula está dado por ${displaystyle langle Nrangle =k_{rm {B}}T{frac {1}{mathcal {Z}}}left({frac {parcial {mathcal {Z}}}{ mu parcial }}right)_{V,T}={frac {1}{exp {big (}(varepsilon -mu)/k_{rm {B}}T{big)}+1}}.}$

Este resultado se aplica a cada nivel de una sola partícula y, por lo tanto, da la distribución de Fermi-Dirac para todo el estado del sistema.

También se puede derivar la variación en el número de partículas (debido a las fluctuaciones térmicas) (el número de partículas tiene una distribución de Bernoulli simple): ${displaystyle {gran langle}(Delta N)^{2}{gran rangle}=k_{rm {B}}Tleft({frac {dlangle Nrangle}}{d mu }}right)_{V,T}=langle Nrangle {big (}1-langle Nrangle {big)}.}$

Esta cantidad es importante en los fenómenos de transporte, como las relaciones de Mott para la conductividad eléctrica y el coeficiente termoeléctrico de un gas de electrones, donde la capacidad de un nivel de energía para contribuir a los fenómenos de transporte es proporcional a ${displaystyle {grande langle}(Delta N)^{2}{grande rangle}}$ .

Conjunto canónico

También es posible derivar estadísticas de Fermi-Dirac en el conjunto canónico. Considere un sistema de muchas partículas compuesto por N fermiones idénticos que tienen una interacción mutua insignificante y están en equilibrio térmico. Dado que la interacción entre los fermiones es insignificante, la energía $E_{R}$ de un estado $R$ del sistema de muchas partículas se puede expresar como la suma de las energías de una sola partícula, ${displaystyle E_{R}=sum_{r}n_{r}varepsilon_{r}}$

donde $n_{r}$ se llama el número de ocupación y es el número de partículas en el estado de una sola partícula $r$ con energía ${ estilo de visualización varepsilon _ {r}}$ . La suma es sobre todos los estados posibles de una sola partícula $r$ .

La probabilidad de que el sistema de muchas partículas esté en el estado $R$ , viene dada por la distribución canónica normalizada, $P_{R}={frac {e^{-beta E_{R}}}{displaystyle sum_{R'}e^{-beta E_{R'}}}}$

donde ${ estilo de visualización beta = 1/k_ { rm {B}} T}$ , e se llama el factor de Boltzmann, y la suma es sobre todos los estados posibles $R'$ del sistema de muchas partículas. El valor promedio para un número de ocupación $n_{i};$ es ${displaystyle {bar {n}}_{i} = sum_{R}n_{i} P_{R}}$

Tenga en cuenta que el estado $R$ del sistema de muchas partículas se puede especificar por la ocupación de partículas de los estados de una sola partícula, es decir, especificando de ${displaystyle n_{1},,n_{2},,ldots;,}$ modo que ${displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},ldots }={frac {e^{-beta (n_{1}varepsilon_{1}+n_{2} varepsilon _{2}+cdots)}}{displaystyle sum_{{n_{1}}',{n_{2}}',ldots }e^{-beta ({n_{1} }'varepsilon _{1}+{n_{2}}'varepsilon _{2}+cdots)}}}}$

y la ecuación para ${bar{n}}_{i}$ se convierte en ${displaystyle {begin{alignedat}{2}{bar {n}}_{i}&=sum _{n_{1},n_{2},dots }n_{i} P_{n_ {1},n_{2},puntos }\\&={frac {displaystyle sum _{n_{1},n_{2},puntos }n_{i} e^{- beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots +n_{i}varepsilon _{i}+cdots)}}{displaystyle sum _ {n_{1},n_{2},puntos}e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots +n_{i} varepsilon _{i}+cdots)}}}\end{alineado en}}}$

donde la sumatoria es sobre todas las combinaciones de valores ${displaystyle n_{1},n_{2},ldots}$ que obedecen al principio de exclusión de Pauli, y $n_{r}$ = 0 o 1 para cada $r$ . Además, cada combinación de valores de ${displaystyle n_{1},n_{2},ldots}$ satisface la restricción de que el número total de partículas es $norte$ , ${ estilo de visualización suma _ {r} n_ {r} = N.}$

Reordenando las sumas, ${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i} e^{-beta (n_{ i}varepsilon _{i})}quad sideset {}{^{(i)}}sum _{n_{1},n_{2},dots }e^{-beta (n_{ 1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)}}{displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})}qquad sideset {}{^{(i)}}sum _{n_{1},n_{2},dots }e^{-beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)}}}}$

donde el $^{(yo)}$ signo de la suma indica que la suma no ha terminado $n_{yo}$ y está sujeta a la restricción de que el número total de partículas asociadas con la suma es $N_{i}=N-n_{i}$ . Tenga en cuenta que $Sigma^{(i)}$ todavía depende de a $n_{yo}$ través de la $n_{yo}$ restricción, ya que en un caso $n_{i}=0$ y $Sigma^{(i)}$ se evalúa con $N_{i}=N,$ mientras que en el otro caso $n_{i}=1$ y $Sigma^{(i)}$ se evalúa con $N_{i}=N-1.$ Para simplificar la notación e indicar claramente que $Sigma^{(i)}$ todavía depende de a $n_{yo}$ través de $nn_{i}$ , defina ${displaystyle Z_{i}(N-n_{i})equiv \sideset {}{^{(i)}}sum _{n_{1},n_{2},ldots }e^{ -beta (n_{1}varepsilon _{1}+n_{2}varepsilon _{2}+cdots)};}$

de modo que la expresión anterior para ${bar{n}}_{i}$ puede reescribirse y evaluarse en términos de $Z_{yo}$ , ${displaystyle {begin{alignedat}{3}{bar {n}}_{i} &={frac {displaystyle sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i } e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})} Z_{i}(N-n_{i})}{displaystyle sum _{n_{i}=0} ^{1}e^{-beta (n_{i}varepsilon _{i})}qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\[8pt]&= {frac {quad 0quad ;+e^{-beta varepsilon _{i}};Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-beta varepsilon _{i}};Z_{i}(N-1)}}\[6pt]&= {frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N- 1)];e^{beta varepsilon _{i}}+1}}quad.end{alignedat}}}$

La siguiente aproximación se usará para encontrar una expresión para sustituir $Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)$ . ${begin{alignedat}{2}ln Z_{i}(N-1)&simeq ln Z_{i}(N)-{frac {parcial ln Z_{i}(N)}{ N parcial}}\&=ln Z_{i}(N)-alpha _{i};end{alineado en}}$

dónde $alpha _{i}equiv {frac {parcial ln Z_{i}(N)}{parcial N}}.$

Si el número de partículas $norte$ es lo suficientemente grande como para que el cambio en el potencial químico $mu;$ sea muy pequeño cuando se agrega una partícula al sistema, entonces ${displaystyle alpha _{i}simeq -mu /k_{rm {B}}T.}$ Tomando la base e antilog de ambos lados, sustituyendo por $alpha _{i},$ , y reordenando, ${displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-mu /k_{rm {B}}T}.}$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación por ${bar{n}}_{i}$ , y usando una definición previa de $beta ;$ para sustituir ${ estilo de visualización 1/k_ { rm {B}} T}$ por $beta ;$ , da como resultado la distribución de Fermi-Dirac. ${displaystyle {bar {n}}_{i}= {frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu)/k_{rm {B}}T}+1 }}}$

Al igual que la distribución de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Bose-Einstein, la distribución de Fermi-Dirac también se puede derivar mediante el método de valores medios de Darwin-Fowler (ver Müller-Kirsten).

Conjunto microcanónico

Se puede lograr un resultado analizando directamente las multiplicidades del sistema y usando multiplicadores de Lagrange.

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice i, cada nivel tiene energía ε _i y contiene un total de n _i partículas. Supongamos que cada nivel contiene g _i subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener diferentes momentos (es decir, sus momentos pueden estar en diferentes direcciones), en cuyo caso se pueden distinguir entre sí, pero aun así pueden tener la misma energía. El valor de g _i asociado con el nivel i se denomina "degeneración" de ese nivel de energía. El principio de exclusión de Pauli establece que solo un fermión puede ocupar cualquier subnivel.

El número de formas de distribuir n _i partículas indistinguibles entre los g _i subniveles de un nivel de energía, con un máximo de una partícula por subnivel, viene dado por el coeficiente binomial, usando su interpretación combinatoria $w(n_{i},g_{i})={frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.$

Por ejemplo, distribuir dos partículas en tres subniveles dará números de población de 110, 101 o 011 para un total de tres formas que equivale a 3!/(2!1!).

El número de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación n _i es el producto de las formas en que se puede poblar cada nivel de energía individual: $W=prod_{i}w(n_{i},g_{i})=prod_{i}{frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_ {i})!}}.$

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann, deseamos encontrar el conjunto de ni para el cual se maximiza W, sujeto a la restricción de _que haya un número fijo de partículas y una energía fija. Restringimos nuestra solución usando multiplicadores de Lagrange formando la función: ${displaystyle f(n_{i})=ln(W)+alpha left(N-sum n_{i}right)+beta left(E-sum n_{i}varepsilon _ {i}derecha).}$

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales, tomando la derivada con respecto a ni _, estableciendo el resultado en cero y resolviendo para ni, se _obtienen los números de población de Fermi-Dirac: ${displaystyle n_{i}={frac {g_{i}}{e^{alpha +beta varepsilon _{i}}+1}}.}$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo sobre estadísticas de Maxwell-Boltzmann, se puede demostrar termodinámicamente que ${estilo de texto beta ={frac {1}{k_{rm {B}}T}}}$ y ${estilo de texto alpha =-{frac {mu }{k_{rm {B}}T}}}$ , de modo que, finalmente, la probabilidad de que un estado sea ocupado es: ${displaystyle {bar {n}}_{i}={frac {n_{i}}{g_{i}}}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}- mu)/k_{rm {B}}T}+1}}.}$

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