Estabilidad numérica

En el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica es una propiedad generalmente deseable de los algoritmos numéricos. La definición precisa de estabilidad depende del contexto. Uno es el álgebra lineal numérica y el otro son los algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales por aproximación discreta.

En álgebra lineal numérica, la preocupación principal son las inestabilidades causadas por la proximidad a singularidades de varios tipos, como valores propios muy pequeños o casi en colisión. Por otro lado, en los algoritmos numéricos para ecuaciones diferenciales, la preocupación es el aumento de errores de redondeo y/o pequeñas fluctuaciones en los datos iniciales que pueden provocar una gran desviación de la respuesta final de la solución exacta.

Algunos algoritmos numéricos pueden amortiguar las pequeñas fluctuaciones (errores) en los datos de entrada; otros podrían magnificar tales errores. Los cálculos que se puede demostrar que no magnifican los errores de aproximación se denominan numéricamente estables. Una de las tareas comunes del análisis numérico es tratar de seleccionar algoritmos que sean robustos, es decir, que no produzcan un resultado muy diferente para un cambio muy pequeño en los datos de entrada.

Un fenómeno opuesto es la inestabilidad. Por lo general, un algoritmo implica un método aproximado y, en algunos casos, se podría probar que el algoritmo se acercaría a la solución correcta en algún límite (cuando se usan números reales reales, no números de coma flotante). Incluso en este caso, no hay garantía de que converja a la solución correcta, porque los errores de truncamiento o redondeo de punto flotante pueden magnificarse, en lugar de amortiguarse, lo que hace que la desviación de la solución exacta crezca exponencialmente.

Estabilidad en álgebra lineal numérica

Hay diferentes formas de formalizar el concepto de estabilidad. Las siguientes definiciones de estabilidad hacia adelante, hacia atrás y mixta se usan a menudo en álgebra lineal numérica.

Diagrama mostrando el error de avance ΔSí. y el error al revés Δx, y su relación con el mapa de la solución exactaf y la solución numéricaf).

Considere el problema que debe resolver el algoritmo numérico como una función f mapeando los datos x a la solución y. El resultado del algoritmo, digamos y*, normalmente se desviará del "verdadero" solución y. Las principales causas de error son el error de redondeo y el error de truncamiento. El forward error del algoritmo es la diferencia entre el resultado y la solución; en este caso, Δy = y* − y. El error hacia atrás es el Δx más pequeño tal que f (x + Δx) = y*; en otras palabras, el error hacia atrás nos dice qué problema resolvió realmente el algoritmo. El error hacia adelante y hacia atrás están relacionados por el número de condición: el error hacia adelante es como mucho tan grande en magnitud como el número de condición multiplicado por la magnitud del error hacia atrás.

En muchos casos, es más natural considerar el error relativo

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Se dice que el algoritmo es estable hacia atrás si el error hacia atrás es pequeño para todas las entradas x. Por supuesto, "pequeño" es un término relativo y su definición dependerá del contexto. A menudo, queremos que el error sea del mismo orden, o tal vez solo unos pocos órdenes de magnitud mayor que el redondeo de unidades.

La estabilidad mixta combina los conceptos de error al frente y error al revés.

La definición habitual de estabilidad numérica utiliza un concepto más general, llamado estabilidad mixta, que combina el error hacia adelante y el error hacia atrás. Un algoritmo es estable en este sentido si resuelve aproximadamente un problema cercano, es decir, si existe un Δx tal que tanto Δx es pequeño y f (x + Δx ) − y* es pequeño. Por lo tanto, un algoritmo estable hacia atrás siempre es estable.

Un algoritmo es estable hacia adelante si su error hacia adelante dividido por el número de condición del problema es pequeño. Esto significa que un algoritmo es estable hacia adelante si tiene un error hacia adelante de magnitud similar a algún algoritmo estable hacia atrás.

Estabilidad en ecuaciones diferenciales numéricas

Las definiciones anteriores son particularmente relevantes en situaciones donde los errores de truncamiento no son importantes. En otros contextos, por ejemplo, al resolver ecuaciones diferenciales, se utiliza una definición diferente de estabilidad numérica.

En las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas, existen varios conceptos de estabilidad numérica, por ejemplo, estabilidad A. Están relacionados con algún concepto de estabilidad en el sentido de los sistemas dinámicos, a menudo la estabilidad de Lyapunov. Es importante utilizar un método estable al resolver una ecuación rígida.

Otra definición más se utiliza en las ecuaciones diferenciales parciales numéricas. Un algoritmo para resolver una ecuación diferencial parcial evolutiva lineal es estable si la variación total de la solución numérica en un tiempo fijo permanece acotada a medida que el tamaño del paso llega a cero. El teorema de equivalencia de Lax establece que un algoritmo converge si es consistente y estable (en este sentido). A veces, la estabilidad se logra al incluir la difusión numérica. La difusión numérica es un término matemático que asegura que el redondeo y otros errores en el cálculo se esparcen y no se suman para causar que el cálculo "explote". El análisis de estabilidad de Von Neumann es un procedimiento comúnmente utilizado para el análisis de estabilidad de esquemas de diferencias finitas aplicados a ecuaciones diferenciales parciales lineales. Estos resultados no son válidos para las PDE no lineales, donde una definición general y consistente de estabilidad se complica por muchas propiedades ausentes en las ecuaciones lineales.