Esquema (matemáticas)

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Generalización de la variedad algebraica

En matemáticas, un esquema es una estructura matemática que amplía la noción de variedad algebraica de varias maneras, como teniendo en cuenta las multiplicidades (las ecuaciones x = 0 y x² = 0 definen la misma variedad algebraica pero diferentes esquemas) y permitir "variedades" definido sobre cualquier anillo conmutativo (por ejemplo, las curvas de Fermat se definen sobre los números enteros).

La teoría de esquemas fue introducida por Alexander Grothendieck en 1960 en su tratado "Éléments de géométrie algébrique"; uno de sus objetivos era desarrollar el formalismo necesario para resolver problemas profundos de geometría algebraica, como las conjeturas de Weil (la última de las cuales fue demostrada por Pierre Deligne). Fuertemente basada en el álgebra conmutativa, la teoría de esquemas permite un uso sistemático de métodos de topología y álgebra homológica. La teoría de esquemas también unifica la geometría algebraica con gran parte de la teoría de números, lo que finalmente condujo a la demostración de Wiles del último teorema de Fermat.

Formalmente, un esquema es un espacio topológico junto con anillos conmutativos para todos sus conjuntos abiertos, que surge de pegar espectros (espacios de ideales primos) de anillos conmutativos a lo largo de sus subconjuntos abiertos. En otras palabras, es un espacio anillado que es localmente un espectro de un anillo conmutativo.

El punto de vista relativo es que gran parte de la geometría algebraica debería desarrollarse para un morfismo X → Y de esquemas (llamado esquema X > sobre Y), en lugar de para un esquema individual. Por ejemplo, al estudiar superficies algebraicas, puede resultar útil considerar familias de superficies algebraicas sobre cualquier esquema Y. En muchos casos, la familia de todas las variedades de un tipo determinado puede verse como una variedad o esquema, conocido como espacio de módulos.

Para algunas de las definiciones detalladas en la teoría de esquemas, consulte el glosario de teoría de esquemas.

Desarrollo

Los orígenes de la geometría algebraica se encuentran principalmente en el estudio de ecuaciones polinomiales sobre números reales. En el siglo XIX, quedó claro (especialmente en el trabajo de Jean-Victor Poncelet y Bernhard Riemann) que la geometría algebraica se simplificaba trabajando en el campo de números complejos, que tiene la ventaja de ser algebraicamente cerrado. Dos cuestiones llamaron gradualmente la atención a principios del siglo XX, motivadas por problemas de la teoría de números: ¿cómo se puede desarrollar la geometría algebraica sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado, especialmente en característica positiva? (Las herramientas de topología y análisis complejo utilizadas para estudiar variedades complejas no parecen aplicarse aquí.) ¿Y qué pasa con la geometría algebraica sobre un campo arbitrario?

Nullstellensatz de Hilbert sugiere una aproximación a la geometría algebraica sobre cualquier campo algebraicamente cerrado k: los ideales máximos en el anillo polinómico k[x₁,...,x_n] están en correspondencia uno a uno con el conjunto kⁿ de n-tuplas de elementos de k, y el primo Los ideales corresponden a los conjuntos algebraicos irreducibles en kⁿ, conocidos como variedades afines. Motivados por estas ideas, Emmy Noether y Wolfgang Krull desarrollaron el tema del álgebra conmutativa en las décadas de 1920 y 1930. Su trabajo generaliza la geometría algebraica en una dirección puramente algebraica: en lugar de estudiar los ideales primos en un anillo polinomial, se pueden estudiar los ideales primos en cualquier anillo conmutativo. Por ejemplo, Krull definió la dimensión de cualquier anillo conmutativo en términos de ideales primos. Al menos cuando el anillo es noetheriano, demostró muchas de las propiedades que uno esperaría de la noción geométrica de dimensión.

El álgebra conmutativa de Noether y Krull puede verse como un enfoque algebraico para variedades algebraicas afines. Sin embargo, muchos argumentos en geometría algebraica funcionan mejor para variedades proyectivas, esencialmente porque las variedades proyectivas son compactas. Desde la década de 1920 hasta la de 1940, B. L. van der Waerden, André Weil y Oscar Zariski aplicaron el álgebra conmutativa como una nueva base para la geometría algebraica en el entorno más rico de las variedades proyectivas (o cuasiproyectivas). En particular, la topología de Zariski es una topología útil sobre una variedad sobre cualquier campo algebraicamente cerrado, reemplazando hasta cierto punto la topología clásica sobre una variedad compleja (basada en la topología de los números complejos).

Para aplicaciones a la teoría de números, van der Waerden y Weil formularon geometría algebraica sobre cualquier campo, no necesariamente algebraicamente cerrado. Weil fue el primero en definir una variedad abstracta (no incrustada en el espacio proyectivo), pegando variedades afines a lo largo de subconjuntos abiertos, en el modelo de variedades en topología. Necesitaba esta generalidad para construir la variedad jacobiana de una curva sobre cualquier campo. (Más tarde, Weil, Chow y Matsusaka demostraron que los jacobianos eran variedades proyectivas).

Los geómetras algebraicos de la escuela italiana habían utilizado a menudo el concepto algo confuso del punto genérico de una variedad algebraica. Lo que es cierto para el punto genérico es cierto para "la mayoría" puntos de la variedad. En Fundamentos de geometría algebraica de Weil (1946), los puntos genéricos se construyen tomando puntos en un campo algebraicamente cerrado muy grande, llamado dominio universal. Aunque esto funcionó como base, fue incómodo: había muchos puntos genéricos diferentes para la misma variedad. (En la última teoría de esquemas, cada variedad algebraica tiene un único punto genérico).

En la década de 1950, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata y Jean-Pierre Serre, motivados en parte por las conjeturas de Weil que relacionaban la teoría de números y la geometría algebraica, ampliaron aún más los objetos de la geometría algebraica, por ejemplo generalizando los anillos de base permitidos. La palabra esquema se utilizó por primera vez en el Seminario Chevalley de 1956, en el que Chevalley perseguía las ideas de Zariski. Según Pierre Cartier, fue André Martineau quien sugirió a Serre la posibilidad de utilizar el espectro de un anillo conmutativo arbitrario como base de la geometría algebraica.

Origen de los esquemas

Grothendieck dio luego la definición decisiva de un esquema, poniendo fin a una generación de sugerencias experimentales y desarrollos parciales. Definió el espectro X de un anillo conmutativo R como el espacio de ideales primos de R con una topología natural (conocida como topología de Zariski)., pero lo aumentó con un haz de anillos: a cada subconjunto abierto U le asignó un anillo conmutativo O_X (U). Estos objetos Spec(R) son los esquemas afines; Luego se obtiene un esquema general "pegando entre sí" esquemas afines.

Gran parte de la geometría algebraica se centra en variedades proyectivas o cuasiproyectivas sobre un campo k; de hecho, k a menudo se considera números complejos. Los esquemas de ese tipo son muy especiales en comparación con los esquemas arbitrarios; compare los ejemplos siguientes. No obstante, es conveniente que Grothendieck haya desarrollado un gran cuerpo teórico para esquemas arbitrarios. Por ejemplo, es común construir primero un espacio de módulos como un esquema y sólo después estudiar si se trata de un objeto más concreto, como una variedad proyectiva. Además, las aplicaciones a la teoría de números conducen rápidamente a esquemas sobre números enteros que no están definidos en ningún campo.

Definición

Un esquema afín es un espacio localmente anillado isomorfo al espectro Spec(R) de un anillo conmutativo R. Un esquema es un espacio localmente anillado X que admite una cobertura por conjuntos abiertos U_i, de modo que cada U_i (como un espacio anillado localmente) es un esquema afín. En particular, X viene con una gavilla O_X, que asigna a cada subconjunto abierto U un anillo conmutativo O_X(U) llamado anillo de funciones regulares en U. Se puede pensar que un esquema está cubierto por "gráficos de coordenadas" que son esquemas afines. La definición significa exactamente que los esquemas se obtienen pegando esquemas afines utilizando la topología de Zariski.

Al principio, esto se llamaba presquema y un esquema se definía como un preesquema separado. El término prescheme ha caído en desuso, pero todavía se puede encontrar en libros más antiguos, como "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck. y el "Libro Rojo" de Mumford.

Un ejemplo básico de un esquema afín es el espacio n afín sobre un campo k, para un número natural n. Por definición, Aⁿ
_k es el espectro del anillo polinómico k[x₁,...,x_n]. En el espíritu de la teoría de esquemas, el espacio n afín puede de hecho definirse sobre cualquier anillo conmutativo R, es decir, Spec(R[x₁,...,x_n]).

La categoría de esquemas

Los esquemas forman una categoría, con morfismos definidos como morfismos de espacios localmente anillados. (Ver también: morfismo de esquemas.) Para un esquema Y, un esquema X sobre Y (o un Y-esquema) significa un morfismo X → Y de esquemas. Un esquema X sobre un anillo conmutativo R significa un morfismo X → Spec(R).

Una variedad algebraica sobre un campo k se puede definir como un esquema sobre k con ciertas propiedades. Existen diferentes convenciones sobre exactamente qué esquemas deben denominarse variedades. Una opción estándar es que una variedad sobre k significa un esquema integral separado de tipo finito sobre k.

Un morfismo f: X → Y de esquemas determina un homomorfismo de retroceso en los anillos de funciones regulares, f*: O(Y) → O(X). En el caso de esquemas afines, esta construcción proporciona una correspondencia uno a uno entre los morfismos Spec(A) → Spec(B) de esquemas y homomorfismos de anillo B → A. En este sentido, la teoría de esquemas subsume completamente la teoría de anillos conmutativos.

Dado que Z es un objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos, la categoría de esquemas tiene Spec(Z) como objeto terminal.

Para un esquema X sobre un anillo conmutativo R, un R-punto de X significa una sección del morfismo X → Spec(R). Se escribe X(R) para el conjunto de puntos R de X. En ejemplos, esta definición reconstruye la antigua noción del conjunto de soluciones de las ecuaciones definitorias de X con valores en R. Cuando R es un campo k, X(k) también se denomina conjunto de k-puntos racionales de X.

De manera más general, para un esquema X sobre un anillo conmutativo R y cualquier álgebra conmutativa R S, un S-punto de X significa un morfismo Spec(S) → X sobre R. Se escribe X(S) para el conjunto de puntos S de X. (Esto generaliza la antigua observación de que dadas algunas ecuaciones sobre un campo k, se puede considerar el conjunto de soluciones de las ecuaciones en cualquier extensión de campo E de k.) Para un esquema X sobre R, la asignación S ↦ X(S ) es un functor de álgebras R conmutativas a conjuntos. Es una observación importante que un esquema X sobre R esté determinado por este funtor de puntos.

La fibra producto de los esquemas siempre existe. Es decir, para cualquier esquema X y Z con morfismos a un esquema Y, el producto de fibra X×_YZ (en el sentido de la teoría de categorías) existe en la categoría de esquemas. Si X y Z son esquemas sobre un campo k, su producto de fibra sobre Spec(k) puede llamarse el producto X × Z en la categoría de esquemas k. Por ejemplo, el producto de espacios afines A^m y Aⁿ sobre k es el espacio afín A^m+n sobre k.

Dado que la categoría de esquemas tiene productos de fibra y también un objeto terminal Spec(Z), tiene todos los límites finitos.

Ejemplos

Aquí y abajo, todos los anillos considerados son conmutativos:

Cada afine esquema Spec(R) es un esquema.
Un polinomio f sobre un terreno k, $f ▪ k [x 1,... x n]$ , determina un subscheme cerrado $f = 0$ en el espacio de ataúdes Aⁿ sobre k, llamado hipersuperficie de afinidad. Formally, se puede definir como ${displaystyle operatorname {Spec} k[x_{1},ldotsx_{n}]/(f).}$ Por ejemplo, tomando k para ser los números complejos, la ecuación $x 2 = Sí. 2 () Sí. +1)$ define una curva singular en el plano Affine²
_C, llamada curva cúbica nodal.
Para cualquier anillo conmutativo R y número natural n, espacio proyectado Pⁿ
_R se puede construir como un esquema al pegar n + 1 copias de affine n- espacio sobre R a lo largo de subconjuntos abiertos. Este es el ejemplo fundamental que motiva ir más allá de los esquemas afines. La principal ventaja del espacio de proyecto sobre el espacio de ataúd es que Pⁿ
_R es apropiado R; esta es una versión algebro-geométrica de compactidad. Una observación relacionada es que el espacio complejo de proyecto CPⁿ es un espacio compacto en la topología clásica (basado en la topología C), mientras que Cⁿ no es (por n Ø 0).
Un polinomio homogéneo f de grado positivo en el anillo polinomio $R [x 0,... x n]$ determina un subscheme cerrado $f = 0$ espacio proyectado Pⁿ sobre R, llamada hipersuperficie proyectiva. En términos de la construcción Proj, este subscheme puede ser escrito como ${displaystyle operatorname {Proj} R[x_{0},ldotsx_{n}]/(f).}$ Por ejemplo, el subscheme cerrado $x 3 + Sí. 3 = z 3$ de P²
_Q es una curva elíptica sobre los números racionales.
El línea con dos orígenes (sobre un terreno k) es el esquema definido al comenzar con dos copias de la línea de afine sobre k, y pegar juntos los dos subconjuntos abiertos A¹ − 0 en el mapa de identidad. Este es un simple ejemplo de un esquema no separado. En particular, no es afine.
Una simple razón para ir más allá de los esquemas affine es que un subconjunto abierto de un esquema affine no necesita ser affine. Por ejemplo, vamos $X = A n - 0$ , decir sobre los números complejos C; entonces X no es afine para n ≥ 2. n es necesario: la línea de afine menos el origen es isomorfo al esquema de affine $Especificaciones C [x, x -1])$ . Para mostrar eso X no es afine, un compute que cada función regular en X se extiende a una función regular en Aⁿ, cuando n ≥ 2. (Esto es análogo a la lema de Hartogs en análisis complejo, aunque más fácil de probar.) Es decir, la inclusión $f : X \to A n$ induce un isomorfismo de $O (A n) C [x 1,... x n]$ a $O () X)$ . Si X era afine, seguiría que f era un isomorfismo. Pero... f no es subjetivo y por lo tanto no es un isomorfismo. Por consiguiente, el plan X no es affine.
Vamos k Sé un campo. Entonces el plan ${textstyle operatorname {Spec} left(prod _{n=1}^{infty }kright)}$ es un esquema de afinidad cuyo espacio topológico subyacente es la compactación Stone-Čech de los enteros positivos (con la topología discreta). De hecho, los ideales principales de este anillo están en una correspondencia única con los ultrafilters en los enteros positivos, con el ideal ${textstyle prod _{mneq n}k}$ correspondiente al ultrafiltro principal asociado al entero positivo n. Este espacio topológico es de dimensión cero, y en particular, cada punto es un componente irreducible. Dado que los esquemas affine son cuasi-compactados, este es un ejemplo de un esquema cuasi-compacto con infinitamente muchos componentes irreducibles. (Por el contrario, un esquema noetheriano tiene sólo finitamente muchos componentes irreducibles.)

Ejemplos de morfismos

También es fructífero considerar ejemplos de morfismos como ejemplos de esquemas, ya que demuestran su eficacia técnica para encapsular muchos objetos de estudio en geometría algebraica y aritmética.

Superficies aritméticas

Si consideramos un polinomio ${displaystyle fin mathbb {Z} [x,y]}$ entonces el esquema affine ${displaystyle X=operatorname {Spec} (mathbb {Z} [x,y]/(f))}$ tiene un morfismo canónico ${displaystyle operatorname {Spec} mathbb {Z} }$ y se llama una superficie Aritmética. Las fibras ${displaystyle X_{p}=Xtimes _{operatorname {Spec} (mathbb {Z})}operatorname {Spec} (mathbb {F} _{p})}$ son entonces curvas algebraicas sobre los campos finitos $mathbb {F} _{p}$ . Si ${displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$ es una curva Elíptica entonces las fibras sobre su locus discriminante generado por ${displaystyle Delta _{f}}$ Donde

{displaystyle Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}}

p

{displaystyle X=operatorname {Spec} left({frac {mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}right)}

{displaystyle -27p^{2}}

{displaystyle 3,p}

Motivación para los planes

A continuación se muestran algunas de las formas en que los esquemas van más allá de las nociones más antiguas de variedades algebraicas y su significado.

Extensiones sobre el terreno. Dado algunas ecuaciones polinomios en n variables sobre un campo k, uno puede estudiar el conjunto X()k) de las soluciones de las ecuaciones en el conjunto del producto kⁿ. Si el campo k es algebraicamente cerrado (por ejemplo los números complejos), entonces uno puede base geometría algebraica en conjuntos como X()k): definir la topología de Zariski X()k), considerar mapas polinomio entre diferentes conjuntos de este tipo, y así sucesivamente. Pero si k no está algebraicamente cerrado, entonces el conjunto X()k) no es lo suficientemente rico. De hecho, se puede estudiar las soluciones X()E) de las ecuaciones dadas en cualquier extensión de campo E de k, pero estos conjuntos no están determinados por X()k) en cualquier sentido razonable. Por ejemplo, la curva del plano X sobre los números reales definidos por x² + Sí.² = 1 - X()R) vacío, pero X()CNo está vacío. (De hecho, X()C) se puede identificar con C − 0.) Por el contrario, un esquema X sobre un terreno k tiene suficiente información para determinar el conjunto X()E) de E-puntos racionales para cada campo de extensión E de k. (En particular, el subtema cerrado de A²
_R definidas por x² + Sí.² = −1 es un espacio topológico no vacío.)
Punto genérico. Los puntos de la línea de ataúd A¹
_C, como esquema, son sus puntos complejos (uno para cada número complejo) junto con un punto genérico (cuyo cierre es todo el esquema). El punto genérico es la imagen de un espectro de morfismo naturalC()x) → A¹
_C, donde C()x) es el campo de funciones racionales en una variable. Para ver por qué es útil tener un "punto genético" real en el esquema, considere el siguiente ejemplo.
Vamos X ser la curva del avión Sí.² = x()x−1)x5) - sobre los números complejos. Este es un subscheme cerrado de A²
_C. Se puede ver como una doble cubierta ramificada de la línea de ataúd A¹
_C proyectando a x- coordinado. La fibra del morfismo X → A¹ sobre el punto genérico de A¹ es exactamente el punto genérico X, dando el morfismo ${displaystyle operatorname {Spec} mathbf {C} (x)left({sqrt {x(x-1)(x-5)}}right)to operatorname {Spec} mathbf {C} (x).}$ Esto a su vez equivale a la extensión de grado-2 de campos ${displaystyle mathbf {C} (x)subset mathbf {C} (x)left({sqrt {x(x-1)(x-5)}}right).}$ Así, tener un punto genérico real de una variedad produce una relación geométrica entre un grado-2 morfismo de variedades algebraicas y la correspondiente extensión grado-2 de campos de función. Esto se generaliza a una relación entre el grupo fundamental (que clasifica los espacios en topología) y el grupo Galois (que clasifica ciertas extensiones de campo). De hecho, la teoría de Grothendieck del grupo fundamental étale trata al grupo fundamental y al grupo Galois al mismo nivel.

Elementos de nilpotente. Vamos X ser el subscheme cerrado de la línea A del ataúd¹
_C definidas por x² = 0, a veces llamado a punto gordo. El anillo de funciones regulares en X es C[x]/x²); en particular, la función regular x on X es nilpotente pero no cero. Para indicar el significado de este esquema: dos funciones regulares en la línea affine tienen la misma restricción a X si y sólo si tienen el mismo valor y primer derivado en el origen. Permitir tal noReducción esquemas trae las ideas de cálculo e infinitos en geometría algebraica.
Para un ejemplo más elaborado, se puede describir todos los subsquemas cerrados de cero dimensiones del grado 2 en una variedad compleja suave Y. Tal subtema consiste en dos puntos complejos distintos de Y, o si no un subscheme isomorfo a X = Especificación C[x]/x²) como en el párrafo anterior. Los subsquemas de este último tipo se determinan por un punto complejo Sí. de Y junto con una línea en el espacio tangente T_Sí.Y. Esto indica de nuevo que subsquemas no reducidos tienen significado geométrico, relacionado con derivados y vectores tangentes.

Gavillas coherentes

Una parte central de la teoría de esquemas es la noción de haces coherentes, generalizando la noción de haces de vectores (algebraicos). Para un esquema X, se comienza considerando la categoría abeliana de módulos OX, que son haces de grupos abelianos en X que forman un módulo. sobre el haz de funciones regulares O_X. En particular, un módulo M sobre un anillo conmutativo R determina un O_X-module ~M en X = Especificación(R). Una gavilla cuasi coherente en un esquema X significa un módulo O_X esa es la gavilla asociada a un módulo en cada subconjunto abierto afín de X. Finalmente, una gavilla coherente (en un esquema noetheriano X, digamos) es una O_X-módulo que es el haz asociado a un módulo generado de forma finita en cada subconjunto abierto afín de X.

Las gavillas coherentes incluyen la importante clase de paquetes vectoriales, que son las gavillas que provienen localmente de módulos libres generados de forma finita. Un ejemplo es el paquete tangente de una variedad suave sobre un campo. Sin embargo, las gavillas coherentes son más ricas; por ejemplo, un paquete de vectores en un subesquema cerrado Y de X puede verse como un haz coherente en X que es cero fuera de Y (por la construcción directa de la imagen). De esta manera, haces coherentes en un esquema X incluyen información sobre todos los subesquemas cerrados de X. Además, la cohomología de haces tiene buenas propiedades para haces coherentes (y cuasi coherentes). La teoría resultante de la cohomología de haces coherentes es quizás la principal herramienta técnica en geometría algebraica.

Generalizaciones

Considerado como su functor de puntos, un esquema es un funtor que es un haz de conjuntos para la topología de Zariski en la categoría de anillos conmutativos y que, localmente en la topología de Zariski, es un esquema afín. Esto se puede generalizar de varias maneras. Una es utilizar la topología étale. Michael Artin definió un espacio algebraico como un functor que es un haz en la topología étale y que, localmente en la topología étale, es un esquema afín. De manera equivalente, un espacio algebraico es el cociente de un esquema por una relación de equivalencia étale. Un resultado poderoso, el teorema de representabilidad de Artin, proporciona condiciones simples para que un funtor sea representado por un espacio algebraico.

Una generalización adicional es la idea de pila. En términos generales, las pilas algebraicas generalizan los espacios algebraicos al tener un grupo algebraico adjunto a cada punto, que se considera el grupo de automorfismo de ese punto. Por ejemplo, cualquier acción de un grupo algebraico G sobre una variedad algebraica X determina una pila de cocientes [X/ G], que recuerda los subgrupos estabilizadores para la acción de G. De manera más general, los espacios de módulos en geometría algebraica suelen verse mejor como pilas, lo que permite realizar un seguimiento de los grupos de automorfismos de los objetos que se clasifican.

Grothendieck introdujo originalmente las pilas como una herramienta para la teoría de la descendencia. En esa formulación, las pilas son (informalmente hablando) haces de categorías. A partir de esta noción general, Artin definió la clase más restringida de pilas algebraicas (o "pilas de Artin"), que pueden considerarse objetos geométricos. Estos incluyen pilas de Deligne-Mumford (similares a orbifolds en topología), para las cuales los grupos estabilizadores son finitos, y espacios algebraicos, para los cuales los grupos estabilizadores son triviales. El teorema de Keel-Mori dice que una pila algebraica con grupos estabilizadores finitos tiene un espacio de módulos gruesos que es un espacio algebraico.

Otro tipo de generalización es enriquecer la estructura, acercando la geometría algebraica a la teoría de la homotopía. En este entorno, conocido como geometría algebraica derivada o "geometría algebraica espectral", el haz de estructura se reemplaza por un análogo homotópico de un haz de anillos conmutativos (por ejemplo, un haz de espectros de anillos E-infinito). Estos haces admiten operaciones algebraicas que son asociativas y conmutativas sólo hasta una relación de equivalencia. Tomando el cociente por esta relación de equivalencia se obtiene la estructura del haz de un esquema ordinario. Sin embargo, no tomar el cociente conduce a una teoría que puede recordar información más alta, de la misma manera que los functores derivados en álgebra homológica producen información más alta sobre operaciones como el producto tensorial y el functor Hom en módulos.

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