Esquema axiomático de especificación

En muchas versiones populares de la teoría axiomática de conjuntos, el esquema axiomático de especificación, también conocido como el esquema axiomático de separación, esquema axiomático de subconjunto o esquema axiomático de comprensión restringida es un esquema axiomático. Esencialmente, dice que cualquier subclase definible de un conjunto es un conjunto.

Algunos matemáticos lo llaman el esquema axiomático de comprensión, aunque otros usan ese término para comprensión sin restricciones, discutido a continuación.

Debido a que restringir la comprensión evitó la paradoja de Russell, varios matemáticos, incluidos Zermelo, Fraenkel y Gödel, la consideraron el axioma más importante de la teoría de conjuntos.

Declaración

Se incluye una instancia del esquema para cada fórmula φ en el lenguaje de la teoría de conjuntos con variables libres entre x, w₁,..., w_n, A. Entonces B no ocurre libre en φ. En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema del axioma es:

${displaystyle forall w_{1},ldotsw_{n},forall A,exists B,forall x,(xin BLeftrightarrow [xin Aland varphi (x,w_{1},ldotsw_{n},A)}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A, hay un conjunto B (un subconjunto de A) tal que, dado cualquier conjunto x, x es miembro de B si x es miembro de A y φ sostiene para x.

Tenga en cuenta que hay un axioma para cada predicado φ; por lo tanto, este es un esquema de axioma.

Para comprender este esquema de axioma, tenga en cuenta que el conjunto B debe ser un subconjunto de A. Por lo tanto, lo que realmente dice el esquema del axioma es que, dado un conjunto A y un predicado P, podemos encontrar un subconjunto B de < i>A cuyos miembros son precisamente los miembros de A que satisfacen P. Por el axioma de extensionalidad este conjunto es único. Por lo general, denotamos este conjunto usando la notación constructora de conjuntos como {C ∈ A: P(C)}. Así, la esencia del axioma es:

Cada subclase de un conjunto que se define por un predicado es en sí mismo un conjunto.

El esquema axiomático de especificación es característico de los sistemas de teoría axiomática de conjuntos relacionados con la teoría de conjuntos habitual ZFC, pero no suele aparecer en sistemas radicalmente diferentes de teoría de conjuntos alternativa. Por ejemplo, New Foundations y la teoría de conjuntos positiva utilizan diferentes restricciones del axioma de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua. La Teoría alternativa de conjuntos de Vopenka hace un punto específico al permitir subclases adecuadas de conjuntos, llamados semiconjuntos. Incluso en sistemas relacionados con ZFC, este esquema a veces se restringe a fórmulas con cuantificadores acotados, como en la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelements.

Relación con el esquema del axioma de reemplazo

El esquema del axioma de separación casi se puede derivar del esquema del axioma de reemplazo.

Primero, recuerde este esquema de axioma:

${displaystyle forall A,exists B,forall C,(Cin Biff exists D,[Din Aland C=F(D)]}$

para cualquier predicado funcional F en una variable que no use los símbolos A, B, C o D. Dado un predicado adecuado P para el axioma de especificación, defina el mapeo F por F(D) = < i>D si P(D) es verdadero y F(D) = E si P(D) es falso, donde E es cualquier miembro de A tal que P(E) es verdadero. Entonces el conjunto B garantizado por el axioma de reemplazo es precisamente el conjunto B requerido por el axioma de especificación. El único problema es si no existe tal E. Pero en este caso, el conjunto B requerido para el axioma de separación es el conjunto vacío, por lo que el axioma de separación se deriva del axioma de reemplazo junto con el axioma de conjunto vacío.

Por esta razón, el esquema de especificación del axioma a menudo se deja fuera de las listas modernas de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Sin embargo, sigue siendo importante para las consideraciones históricas y para la comparación con axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos, como se puede ver, por ejemplo, en las siguientes secciones.

Comprensión sin restricciones

El esquema del axioma de comprensión sin restricciones dice:

$${displaystyle forall w_{1},ldotsw_{n},exists B,forall x,(xin BLeftrightarrow varphi (x,w_{1},ldotsw_{n})}$$

eso es:

Este conjunto B vuelve a ser único y normalmente se denota como {x: φ(x< /var>, w₁,..., w_b)}.

Este esquema de axioma se utilizó tácitamente en los primeros días de la teoría de conjuntos ingenua, antes de que se adoptara una axiomatización estricta. Desafortunadamente, conduce directamente a la paradoja de Russell al tomar φ(x) para ser ¬(x ∈ x) (es decir, la propiedad que establece x es no es miembro de sí mismo). Por lo tanto, ninguna axiomatización útil de la teoría de conjuntos puede utilizar la comprensión sin restricciones. Pasar de la lógica clásica a la lógica intuicionista no ayuda, ya que la prueba de la paradoja de Russell es intuicionistamente válida.

Aceptar solo el esquema axiomático de especificación fue el comienzo de la teoría axiomática de conjuntos. La mayoría de los otros axiomas de Zermelo-Fraenkel (pero no el axioma de extensionalidad, el axioma de regularidad o el axioma de elección) se volvieron necesarios para compensar algo de lo que se perdió al cambiar el esquema del axioma de comprensión al esquema del axioma. de especificación: cada uno de estos axiomas establece que existe un cierto conjunto y define ese conjunto dando un predicado para que sus miembros lo satisfagan, es decir, es un caso especial del esquema de axioma de comprensión.

También es posible evitar que el esquema sea inconsistente restringiendo a qué fórmulas se puede aplicar, como solo fórmulas estratificadas en New Foundations (ver más abajo) o solo fórmulas positivas (fórmulas con solo conjunción, disyunción, cuantificación y fórmulas atómicas) en la teoría de conjuntos positivos. Las fórmulas positivas, sin embargo, normalmente no pueden expresar ciertas cosas que la mayoría de las teorías pueden; por ejemplo, no hay complemento o complemento relativo en la teoría de conjuntos positivos.

En la teoría de clases NBG

En la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, se hace una distinción entre conjuntos y clases. Una clase C es un conjunto si y solo si pertenece a alguna clase E. En esta teoría, hay un esquema de teorema que dice

$${displaystyle exists Dforall C,([Cin D]iff [P(C)land exists E,(Cin E)]),}$$

es decir,

siempre que los cuantificadores en el predicado P estén restringidos a conjuntos.

Este esquema de teorema es en sí mismo una forma restringida de comprensión, lo que evita la paradoja de Russell debido al requisito de que C ser un conjunto. Entonces, la especificación para los conjuntos en sí se puede escribir como un solo axioma

$${displaystyle forall Dforall A,(exists E,[Ain E]implies exists B,[exists E,(Bin E)land forall C,(Cin Biff [Cin Aland Cin D])]),}$$

es decir,

o aún más simple

En este axioma, el predicado P se reemplaza por la clase D, que se puede cuantificar. Otro axioma más simple que logra el mismo efecto es

$${displaystyle forall Aforall B,([exists E,(Ain E)land forall C,(Cin Bimplies Cin A)]implies exists E,[Bin E]),}$$

es decir,

En configuraciones de orden superior

En un lenguaje escrito donde podemos cuantificar sobre predicados, el esquema de especificación del axioma se convierte en un axioma simple. Este es el mismo truco que se usó en los axiomas de NBG de la sección anterior, donde el predicado se reemplazó por una clase que luego se cuantificó.

En lógica de segundo orden y lógica de orden superior con semántica de orden superior, el axioma de especificación es una validez lógica y no necesita incluirse explícitamente en una teoría.

En los nuevos cimientos de Quine

En el enfoque de los Nuevos Fundamentos de la teoría de conjuntos promovido por W. V. O. Quine, el axioma de comprensión para un predicado dado toma la forma sin restricciones, pero los predicados que pueden usarse en el esquema están restringidos. El predicado (C no está en C ) está prohibido, porque el mismo símbolo C aparece en ambos lados del símbolo de membresía (y por lo tanto en diferentes & #34;tipos relativos"); por lo tanto, se evita la paradoja de Russell. Sin embargo, tomando P(C) para ser (C = C), que está permitido, podemos formar un conjunto de todos los conjuntos. Para más detalles, véase estratificación.