Esponja Menger

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fractal tridimensional

Una ilustración de M₄, la esponja después de cuatro iteraciones del proceso de construcción

En matemáticas, la esponja de Menger (también conocida como cubo de Menger, curva universal de Menger, cubo de Sierpinski, o esponja de Sierpinski) es una curva fractal. Es una generalización tridimensional del conjunto de Cantor unidimensional y la alfombra de Sierpinski bidimensional. Fue descrito por primera vez por Karl Menger en 1926, en sus estudios sobre el concepto de dimensión topológica.

Construcción

La construcción de una esponja Menger se puede describir de la siguiente manera:

Empieza con un cubo.
Divide cada cara del cubo en nueve plazas, como el Cubo de Rubik. Este sub-divide el cubo en 27 cubos más pequeños.
Quitar el cubo más pequeño en el centro de cada cara, y quitar el cubo más pequeño en el centro del cubo más gigante, dejando 20 cubos más pequeños. Esta es una esponja de Menger de nivel 1 (reuniendo un cubo vacío).
Repita los pasos dos y tres para cada uno de los cubos más pequeños restantes, y siga iterando ad infinitum.

La segunda iteración da una esponja de nivel 2, la tercera da una esponja de nivel 3 y así sucesivamente. La propia esponja de Menger es el límite de este proceso después de un número infinito de iteraciones.

Una ilustración de la construcción iterativa de una esponja Menger hasta M₃, la tercera iteración

Propiedades

Animación mostrando la sección transversal de la esponja Menger

El $n$ etapa de la esponja Menger, $M_{n}$ , está compuesto de ${displaystyle 20^{n}}$ cubos más pequeños, cada uno con una longitud lateral de (1/3)n. El volumen total $M_{n}$ Así es. ${textstyle left({frac {20}{27}}right)^{n}}$ . La superficie total $M_{n}$ es dada por la expresión ${displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$ . Por lo tanto el volumen de la construcción se aproxima a cero mientras su superficie aumenta sin límites. Sin embargo, cualquier superficie elegida en la construcción se perforará a fondo a medida que la construcción continúe de manera que el límite no sea ni una superficie sólida; tiene una dimensión topológica de 1 y se identifica como una curva.

Cada cara de la construcción se convierte en una alfombra Sierpinski, y la intersección de la esponja con cualquier diagonal del cubo o cualquier línea media de las caras es un conjunto Cantor. La sección transversal de la esponja a través de su centroide y perpendicular a una diagonal espacial es un hexágono regular perforado con hexagramas dispuestos en la simetría de seis veces. El número de estos hexagramas, en tamaño descendente, es dado por ${displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}$ , con ${displaystyle a_{0}=1, a_{1}=6}$ .

La dimensión de Hausdorff de la esponja es log 20 //span>log 3 ≅ 2,727. La dimensión de cobertura de Lebesgue de la esponja de Menger es una, igual que cualquier curva. Menger mostró, en la construcción de 1926, que la esponja es una curva universal, en la que cada curva es homeomorfa a un subconjunto de la esponja de Menger, donde una curva significa cualquier compacta espacio métrico de Lebesgue que cubre la dimensión uno; esto incluye árboles y gráficos con un número contable arbitrario de aristas, vértices y bucles cerrados, conectados de forma arbitraria. De manera similar, la alfombra de Sierpinski es una curva universal para todas las curvas que se pueden dibujar en el plano bidimensional. La esponja de Menger construida en tres dimensiones extiende esta idea a gráficos que no son planos y pueden estar incrustados en cualquier número de dimensiones.

La esponja Menger es un conjunto cerrado; dado que también está acotado, el teorema de Heine-Borel implica que es compacto. Tiene medida de Lebesgue 0. Debido a que contiene caminos continuos, es un conjunto incontable.

Los experimentos también demostraron que los cubos con una estructura de esponja de Menger podían disipar los impactos cinco veces mejor para el mismo material que los cubos sin poros.

Definición formal

Formalmente, una esponja de Menger se puede definir de la siguiente manera:

M:=bigcap _{nin mathbb {N} }M_{n}

Donde $M_{0}$ es el cubo de unidad y

M_{n+1}:=left{{begin{matrix}(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}:&{begin{matrix}exists i,j,kin {0,1,2}:(3x-i,3y-j,3z-k)in M_{n}\{mbox{and at most one of }}i,j,k{mbox{ is equal to 1}}end{matrix}}end{matrix}}right}.

Megamenger

MegaMenger fue un proyecto cuyo objetivo era construir el modelo fractal más grande, iniciado por Matt Parker de la Universidad Queen Mary de Londres y Laura Taalman de la Universidad James Madison. Cada cubo pequeño está hecho de seis tarjetas de presentación plegadas entrelazadas, dando un total de 960 000 para una esponja de nivel cuatro. Luego, las superficies exteriores se cubren con paneles de papel o cartón impresos con un diseño de alfombra de Sierpinski para que sean más agradables estéticamente. En 2014, se construyeron veinte esponjas Menger de nivel tres, que combinadas formarían una esponja Menger de nivel cuatro distribuida.

Uno de los MegaMengers, en la Universidad de Bath
Un modelo de tetrix visto a través del centro de Cambridge Level-3 MegaMenger en el Festival de Ciencias de Cambridge 2015

Fractales similares

Cubo de Jerusalén

Un cubo de Jerusalén es un objeto fractal descrito por Eric Baird en 2011. Se crea perforando recursivamente agujeros en forma de cruz griega en un cubo. La construcción es similar a la esponja Menger pero con dos cubos de diferentes tamaños. El nombre proviene de la cara del cubo que se asemeja a un patrón de cruz de Jerusalén.

La construcción del cubo de Jerusalén se puede describir de la siguiente manera:

Empieza con un cubo.
Cortar una cruz por cada lado del cubo, dejando ocho cubos (de rango +1) en las esquinas del cubo original, así como doce cubos más pequeños (de rango +2) centrados en los bordes del cubo original entre cubos de rango +1.
Repita el proceso en los cubos de las filas 1 y 2.

Iterar un número infinito de veces da como resultado el cubo de Jerusalén.

Puesto que la longitud de borde de un cubo de la fila N es igual a la de 2 cubos de la fila N+1 y un cubo de la fila N+2, sigue que el factor de escala debe satisfacer ${displaystyle k^{2}+2k=1}$ , por lo tanto ${displaystyle k={sqrt {2}}-1}$ lo que significa que el fractal no puede ser construido en una red racional.

Puesto que un cubo de rango N se subdividió en 8 cubos de la clasificación N+1 y 12 del rango N+2, la dimensión Hausdorff debe satisfacer ${displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}$ . La solución exacta es

{displaystyle d={frac {log left({frac {sqrt {7}}{6}}-{frac {1}{3}}right)}{log left({sqrt {2}}-1right)}}}

que es aproximadamente 2.529

Como con la esponja Menger, las caras de un cubo de Jerusalén son fractales con el mismo factor de escalado. En este caso, la dimensión Hausdorff debe satisfacer ${displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}$ . La solución exacta es

{displaystyle d={frac {log left({frac {{sqrt {2}}-1}{2}}right)}{log left({sqrt {2}}-1right)}}}

que es aproximadamente 1.786

Tercera iteración Jerusalén cubo
Modelo 3D Jerusalem cube

Otros

Sierpinski-Menger snowflake

Un copo de nieve Mosely es un fractal basado en cubo con esquinas removidas recursivamente.
Un tetrix es un fractal basado en tetraedro hecho de cuatro copias más pequeñas, dispuesta en un tetraedro.
Un copo de nieve Sierpinski-Menger es un fractal basado en cubo en el que se guardan ocho cubos de esquina y un cubo central cada vez en los pasos de recidiva inferior e inferior. Este peculiar fractal tridimensional tiene la dimensión Hausdorff del objeto nativamente bidimensional como el plano i.e. log 9/log 3=2

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