Espiral Ulam

espiral Ulam de tamaño 200×200. Los puntos negros representan números primos. Las líneas diagonales, verticales y horizontales con una alta densidad de números primos son claramente visibles.

Para la comparación, una espiral con números extraños aleatorios color negro (a la misma densidad de primos en una espiral de 200x200).

La espiral de Ulam o espiral prima es una representación gráfica del conjunto de números primos, ideada por el matemático Stanisław Ulam en 1963 y popularizada en Martin Gardner's la columna Mathematical Games en Scientific American poco tiempo después. Se construye escribiendo los números enteros positivos en una espiral cuadrada y marcando especialmente los números primos.

Ulam y Gardner enfatizaron la llamativa apariencia en la espiral de líneas diagonales, horizontales y verticales prominentes que contienen una gran cantidad de números primos. Tanto Ulam como Gardner notaron que la existencia de líneas tan prominentes no es inesperada, ya que las líneas en la espiral corresponden a polinomios cuadráticos y ciertos polinomios, como el polinomio generador de primos de Euler x ² − x + 41, se cree que producen una alta densidad de números primos. Sin embargo, la espiral de Ulam está conectada con importantes problemas no resueltos en teoría de números, como los problemas de Landau. En particular, nunca se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático genere infinitos números primos, y mucho menos que tenga una alta densidad asintótica de ellos, aunque existe una conjetura bien fundamentada sobre cuál debería ser esa densidad asintótica.

En 1932, 31 años antes del descubrimiento de Ulam, el herpetólogo Laurence Klauber construyó una matriz triangular, no espiral, que contenía líneas verticales y diagonales que mostraban una concentración similar de números primos. Al igual que Ulam, Klauber notó la conexión con los polinomios generadores de números primos, como el de Euler.

Construcción

La espiral de Ulam se construye escribiendo los números enteros positivos en una disposición en espiral en un enrejado cuadrado:

y luego marcando los números primos:

En la figura, los números primos parecen concentrarse a lo largo de ciertas líneas diagonales. En la espiral Ulam de 200 × 200 que se muestra arriba, las líneas diagonales son claramente visibles, lo que confirma que el patrón continúa. También son evidentes líneas horizontales y verticales con una alta densidad de números primos, aunque menos prominentes. La mayoría de las veces, la espiral numérica comienza con el número 1 en el centro, pero es posible comenzar con cualquier número y se observa la misma concentración de números primos a lo largo de las líneas diagonales, horizontales y verticales. Comenzar con 41 en el centro da una diagonal que contiene una cadena ininterrumpida de 40 números primos (comenzando desde 1523 al suroeste del origen, disminuyendo a 41 en el origen y aumentando a 1601 al noreste del origen), el ejemplo más largo de este tipo.

Historia

Según Gardner, Ulam descubrió la espiral en 1963 mientras garabateaba durante la presentación de "un artículo largo y muy aburrido" en una reunión científica. Estos cálculos manuales ascendieron a "unos pocos cientos de puntos". Poco después, Ulam, con sus colaboradores Myron Stein y Mark Wells, utilizó MANIAC II en el Laboratorio Científico de Los Álamos para ampliar el cálculo a unos 100 000 puntos. El grupo también calculó la densidad de primos entre números hasta 10.000.000 a lo largo de algunas de las líneas ricas en primos, así como a lo largo de algunas de las líneas pobres en primos. Se mostraron imágenes de la espiral de hasta 65.000 puntos en "un visor conectado a la máquina" y luego fotografiado. La espiral de Ulam se describió en la columna Juegos matemáticos de Martin Gardner de marzo de 1964 en Scientific American y apareció en la portada de ese número. Algunas de las fotografías de Stein, Ulam y Wells se reprodujeron en la columna.

En un apéndice a la columna Scientific American, Gardner mencionó el artículo anterior de Klauber. Klauber describe su construcción de la siguiente manera: 'Los números enteros están dispuestos en orden triangular con el 1 en el ápice, la segunda línea que contiene los números del 2 al 4, la tercera del 5 al 9, y así sucesivamente. Cuando se han indicado los números primos, se encuentra que hay concentraciones en ciertas líneas verticales y diagonales, y entre éstas se descubren las llamadas sucesiones de Euler con altas concentraciones de números primos."

Explicación

Las líneas diagonales, horizontales y verticales en la espiral numérica corresponden a polinomios de la forma

f()n)=4n2+bn+c{displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}

Donde b y c son constantes enteros. Cuando b es incluso, las líneas son diagonales, y todos los números son extraños, o todos son incluso, dependiendo del valor de c. Por lo tanto, no es ninguna sorpresa que todos los primos distintos de 2 se encuentran en diagonales alternativos de la espiral Ulam. Algunos polinomios, como 4n2+8n+3{displaystyle 4n^{2}+8n+3}, mientras que produce sólo valores extraños, factorizar sobre los enteros ()4n2+8n+3=()2n+1)()2n+3)){displaystyle (4n^{2}+8n+3=(2n+1)(2n+3)} y por lo tanto nunca son primeros excepto posiblemente cuando uno de los factores igual 1. Tales ejemplos corresponden a diagonales que no tienen primas o casi así.

Para obtener información sobre por qué algunas de las diagonales restantes pueden tener una mayor concentración de primos que otros, considerar 4n2+6n+1{displaystyle 4n^{2}+6n+1} y 4n2+6n+5{displaystyle 4n^{2}+6n+5}. Compute remainders upon division by 3 as n toma valores sucesivos 0, 1, 2,... Para el primero de estos polinomios, la secuencia de los restos es 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2,..., mientras que para el segundo, es 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0,... Esto implica que en la secuencia de valores tomados por el segundo polinomio, dos de cada tres son divisibles por 3, y por lo tanto ciertamente no primo, mientras que en la secuencia de valores tomados por el primer polinomio, ninguno es divisible por 3. Así parece plausible que el primer polinomio produzca valores con mayor densidad de primos que el segundo. Al menos, esta observación da pocas razones para creer que las diagonales correspondientes serán igualmente densas con primos. Uno debe, por supuesto, considerar la divisibilidad por primos distintos de 3. Examinar la divisibilidad por 5 también, los restos en división por 15 repetir con el patrón 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 4, 5, 14 para el primer polinomio, y con el patrón 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 8, 9, 3 para el segundo, implicando que sólo tres de cada 15 valores potencialmente divisibles por primera secuencia no son primordiales

Si bien los resultados rigurosamente probados sobre números primos en secuencias cuadráticas son escasos, consideraciones como las anteriores dan lugar a una conjetura plausible sobre la densidad asintótica de números primos en tales secuencias, que se describe en la siguiente sección.

Conjetura F de Hardy y Littlewood

En su artículo de 1923 sobre la Conjetura de Goldbach, Hardy y Littlewood establecieron una serie de conjeturas, una de las cuales, de ser cierta, explicaría algunas de las características sorprendentes de la espiral de Ulam. Esta conjetura, que Hardy y Littlewood llamaron "Conjetura F", es un caso especial de la conjetura de Bateman-Horn y afirma una fórmula asintótica para el número de números primos de la forma ax² + bx + c. Los rayos que emanan de la región central de la espiral de Ulam que forman ángulos de 45° con la horizontal y la vertical corresponden a números de la forma 4x² + bx + c con b par; los rayos horizontales y verticales corresponden a números de la misma forma con b impar. La conjetura F proporciona una fórmula que se puede usar para estimar la densidad de números primos a lo largo de dichos rayos. Implica que habrá una variabilidad considerable en la densidad a lo largo de diferentes rayos. En particular, la densidad es muy sensible al discriminante del polinomio, b² − 16c.

Los principios de la forma 4x²− 2x+ 41 con x= 0, 1, 2,... se han destacado en púrpura. La línea paralela prominente en la mitad inferior de la figura corresponde a 4x²+ 2x+ 41 o, equivalentemente, a valores negativos x.

La conjetura F tiene que ver con polinomios de la forma ax² + bx + c donde a, b y c son números enteros y a es positivo. Si los coeficientes contienen un factor común mayor que 1 o si el discriminante Δ = b² − 4ac es un cuadrado perfecto, el polinomio factoriza y por lo tanto produce números compuestos cuando x toma los valores 0, 1, 2,... (excepto posiblemente para uno o dos valores de x donde uno de los factores es igual a 1). Además, si a + b y c son pares, el polinomio produce solo valores pares y, por lo tanto, es compuesto excepto posiblemente por el valor 2 Hardy y Littlewood afirman que, fuera de estas situaciones, ax² + bx + c toma valores primos infinitamente a menudo como x toma los valores 0, 1, 2,... Esta afirmación es un caso especial de una conjetura anterior de Bunyakovsky y permanece abierta. Hardy y Littlewood afirman además que, asintóticamente, el número P(n) de primos de la forma ax² + bx + c y menos que n viene dado por

P()n)♪ ♪ A1anlog⁡ ⁡ n{fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}}

donde A depende de a, b y c pero no de n. Por el teorema de los números primos, esta fórmula con A igual a uno es el número asintótico de primos menor que n esperado en un conjunto aleatorio de números que tienen la misma densidad que el conjunto de números de la forma ax² + bx + c. Pero como A puede tomar valores mayores o menores que 1, algunos polinomios, según la conjetura, serán especialmente ricos en números primos, y otros especialmente pobres. Un polinomio inusualmente rico es 4x² − 2x + 41 que forma una línea visible en la espiral de Ulam. La constante A para este polinomio es aproximadamente 6,6, lo que significa que los números que genera tienen casi siete veces más probabilidades de ser primos que los números aleatorios de tamaño comparable, según la conjetura. Este polinomio en particular está relacionado con el polinomio generador de primos de Euler x² − x + 41 reemplazando x con 2x, o de manera equivalente, restringiendo x a los números pares. La constante A viene dada por un producto de todos los números primos,

A=∏ ∏ pp− − ⋅ ⋅ ()p)p− − 1{displaystyle A=prod limits ¿Qué? {p-omega (p)}{p-1}~},

en que ⋅ ⋅ ()p){displaystyle omega (p)} es el número de ceros del modulo polinomio cuadrático p y por lo tanto toma uno de los valores 0, 1, o 2. Hardy y Littlewood rompen el producto en tres factores como

A=ε ε ∏ ∏ p()pp− − 1)∏ ∏ π π ()1− − 1π π − − 1()Δ Δ π π )){displaystyle A=varepsilon prod _{biggl (}{frac {p}{biggr)},prod _{varpi }{biggl (}1-{frac {1}{varpi - ¿Qué? } {Bigr)} {biggr]}.

Aquí el factor ε, correspondiente al primer 2, es 1 si a+b es raro y 2 si a+b es incluso. El primer índice de producto p corre por encima de los primos impares que dividen a y b. Para estos primos ⋅ ⋅ ()p)=0{displaystyle omega (p)=0} desde entonces p entonces no se puede dividir c. El segundo índice de producto π π {displaystyle varpi } corre por encima de los primos impares infinitamente diferentes a. Para estos primos ⋅ ⋅ ()p){displaystyle omega (p)} equivale a 1, 2, o 0 dependiendo de si el discriminante es 0, un cuadrado no cero, o un modulo no cuadrado p. Esto se explica por el uso del símbolo Legendre, ()Δ Δ π π ){displaystyle left({frac Delta.. Cuando un primo p divideciones a pero no b hay un modulo raíz p. En consecuencia, tales primas no contribuyen al producto.

Jacobson y Williams han descubierto un polinomio cuadrático con A ≈ 11,3, actualmente el valor más alto conocido.

Variantes

El artículo de Klauber de 1932 describe un triángulo en el que la fila n contiene los números (n  −  1)² + 1 a n². Como en la espiral de Ulam, los polinomios cuadráticos generan números que se encuentran en líneas rectas. Las líneas verticales corresponden a números de la forma k² − k + M. En la figura se evidencian líneas verticales y diagonales con una alta densidad de números primos.

Robert Sacks ideó una variante de la espiral de Ulam en 1994. En la espiral de Sacks, los números enteros no negativos se trazan en una espiral de Arquímedes en lugar de la espiral cuadrada utilizada por Ulam, y están espaciados de modo que se produzca un cuadrado perfecto en cada giro completo. (En la espiral de Ulam, ocurren dos cuadrados en cada rotación). El polinomio generador de números primos de Euler, x² − x + 41, ahora aparece como una sola curva cuando x toma los valores 0, 1, 2,... Esta curva se aproxima asintóticamente a una línea horizontal en la mitad izquierda de la figura. (En la espiral de Ulam, el polinomio de Euler forma dos líneas diagonales, una en la mitad superior de la figura, que corresponde a valores pares de x en la secuencia, la otra en la mitad inferior de la cifra correspondiente a los valores impares de x en la secuencia.)

Se puede ver una estructura adicional cuando también se incluyen números compuestos en la espiral de Ulam. El número 1 tiene un solo factor, él mismo; cada número primo tiene dos factores, él mismo y el 1; los números compuestos son divisibles por al menos tres factores diferentes. Usar el tamaño del punto que representa un número entero para indicar el número de factores y colorear los números primos en rojo y los números compuestos en azul produce la figura que se muestra.

Las espirales que siguen a otros mosaicos del plano también generan líneas ricas en números primos, por ejemplo, espirales hexagonales.

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  triángulo klauber con números primos generados por el polinomio de Euler x²−x+ 41 destacados.

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  Zapatos espiral.

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  Ulam espiral de tamaño 150×150 mostrando tanto números primos como compuestos.

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  En espiral número hexagonal con números primos en verde y números más altamente compuestos en tonos más oscuros de azul.

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  Número espiral con 7503 primos visibles en triángulo regular.