Espiral logarítmica

espiral logarítmica (pitch 10°)

Una sección del conjunto Mandelbrot siguiendo una espiral logarítmica

Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una curva espiral autosimilar que a menudo aparece en la naturaleza. El primero en describir una espiral logarítmica fue Albrecht Dürer (1525), quien la llamó "línea eterna" ("Ewige Linie"). Más de un siglo después, la curva fue discutida por Descartes (1638), y luego investigada extensamente por Jacob Bernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, "la espiral maravillosa".

La espiral logarítmica se puede distinguir de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre las vueltas de una espiral logarítmica aumentan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

Definición

En coordenadas polares ${displaystyle (r,varphi)}$ la espiral logarítmica se puede escribir como

$${displaystyle r=ae^{kvarphi },quad varphi in mathbb {R}$$

$${displaystyle varphi ={frac {1}{k}ln} {fnMic {} {fnK}}}$$

${displaystyle e}$

${displaystyle a confía0}$

${displaystyle kneq 0}$

En coordenadas cartesianas

La espiral logarítmica con la ecuación polar

$${displaystyle r=ae^{kvarphi }$$

${displaystyle (x=rcos varphi,y=rsin varphi)}$

$${displaystyle x=ae^{kvarphi }cos varphiqquad y=ae^{kvarphi Sin varphi.$$

${displaystyle (z=x+iy,,e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi)}$

$${displaystyle z=ae^{(k+i)varphi }$$

Spira mirabilis y Jacob Bernoulli

Spira mirabilis, en latín "espiral milagrosa", es otro nombre para la espiral logarítmica. Aunque esta curva ya había sido nombrada por otros matemáticos, el nombre específico ('milagrosa' o 'maravillosa' espiral) se lo dio a esta curva Jacob Bernoulli, porque estaba fascinado con una de ellas. sus propiedades matemáticas únicas: el tamaño de la espiral aumenta pero su forma no se altera con cada curva sucesiva, una propiedad conocida como autosimilitud. Posiblemente como resultado de esta propiedad única, la spira mirabilis ha evolucionado en la naturaleza, apareciendo en ciertas formas crecientes, como conchas de nautilus y cabezas de girasol. Jacob Bernoulli quería grabar una espiral de este tipo en su lápida junto con la frase "Eadem mutata resurgo" ("Aunque cambiado, surgiré igual."), pero, por error, en su lugar se colocó una espiral de Arquímedes.

Propiedades

Definición de ángulo de pendiente y sector

Animación mostrando el ángulo constante entre un círculo intersecante centrado en el origen y una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica ${displaystyle r=ae^{kvarphi };,;kneq 0,}$ tiene las siguientes propiedades (ver Spiral):

• Pendiente polar: ${displaystyle tan alpha =kquad ({color {red}{text{constant !}}}}}$
  con ángulo de pendiente polar ${displaystyle alpha }$ (ver diagrama y animación).
  (En caso de ${displaystyle k=0}$ ángulo ${displaystyle alpha }$ sería 0 y la curva un círculo con radio ${displaystyle a}$.)
• Curvature: ${displaystyle kappa ={frac {1}{sqrt {1+k^{2}}={frac} {cos alpha } {r}}$
• Longitud del arco: ${displaystyle L(varphi _{1},varphi _{2}={frac {sqrt {k^{2}+1} {big}{big (}r(varphi _{2})-r(varphi _{1}){big)}={frac {r(varphi _{2})-r(varphi _{1}}}}{sin alpha)} { }$
  Especialmente: ${displaystyle L(-inftyvarphi _{2})={frac {r(varphi _{2}}{sin alpha }quad ({color {red}{text{finite !}}});}$, si ${displaystyle k]$.
  Esta propiedad fue realizada por primera vez por Evangelista Torricelli incluso antes de que se hubiera inventado el cálculo.
• Sector: ${displaystyle A={frac {varphi _{2}} {2}-r(varphi _{1}}{2}}}} {4k}}}} {4k}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}$
• Inversión: Inversión del círculo (${displaystyle rto 1/r}$) mapas de la espiral logarítmica ${displaystyle r=ae^{kvarphi }$ sobre la espiral logarítmica ${displaystyle r={tfrac {1}}e^{-kvarphi },}$

Ejemplos para ${displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Rotación, escalada: Rotando la espiral por ángulo ${displaystyle varphi _{0}$ cede la espiral ${displaystyle r=ae^{-kvarphi ¿Qué? }$, que es la espiral original uniformemente escalada (en el origen) por ${displaystyle e^{-kvarphi - Sí.$.
  Escalada ${displaystyle ;e^{kn2pi };,n=pm 1,pm 2,...$ da igual curva.
• Auto-similaridad: A result of the previous property:
  Una espiral logarítmica es congruente (por rotación) a la curva original.
  Ejemplo: El diagrama muestra espirales con ángulo de pendiente ${displaystyle alpha =20^{circ }$ y ${displaystyle a=1,2,3,4,5}$. Por lo tanto, todos son copias escaladas del rojo. Pero también se pueden generar girando el rojo por ángulos ${displaystyle -109^{circ },-173^{circ },-218^{circ },-253^{circ }$ Resp.. Todas las espirales no tienen puntos en común (ver propiedad en función exponencial compleja).
• Relación con otras curvas: Las espirales logarítmicas son congruentes con sus propios involutas, evolutes y las curvas de pedal basadas en sus centros.
• Función exponencial compleja: La función exponencial mapea exactamente todas las líneas no paralelas con el eje real o imaginario en el plano complejo, a todas las espirales logarítmicas en el plano complejo con centro en ${displaystyle 0}$:
  $${displaystyle z(t)=underbrace {(kt+b);+it} _{text{line}quad to quad e^{z(t)}=e^{kt+b}cdot e^{it}=underbrace {e^{b}e^{kt}(cos t+isin t)} - ¿Qué?$$

  
  El ángulo de la pendiente polar ${displaystyle alpha }$ de la espiral logarítmica es el ángulo entre la línea y el eje imaginario.

Casos especiales y aproximaciones

La espiral áurea es una espiral logarítmica que crece hacia afuera por un factor de la proporción áurea por cada 90 grados de rotación (ángulo de pendiente polar de unos 17,03239 grados). Se puede aproximar mediante una 'espiral de Fibonacci', formada por una secuencia de cuartos de círculo con radios proporcionales a los números de Fibonacci.

En la naturaleza

Un ciclón extratropical sobre Islandia muestra un patrón de espiral logarítmica aproximadamente

Los brazos de las galaxias espirales a menudo tienen la forma de una espiral logarítmica, aquí el Whirlpool Galaxy

Corte de una cáscara nautilus que muestra las cámaras dispuestas en una espiral logarítmica aproximada. La espiral trazada (curva azul coronada) se basa en el parámetro de tasa de crecimiento ${displaystyle b=0.1759}$, resultando en un lanzamiento de ${displaystyle arctan bapprox 10^{circo }$.

En varios fenómenos naturales uno puede encontrar curvas que están cerca de ser espirales logarítmicas. Aquí siguen algunos ejemplos y razones:

• El enfoque de un halcón a su presa en la búsqueda clásica, asumiendo que la presa viaja en una línea recta. Su vista más nítida está en un ángulo a su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el lanzamiento de la espiral.
• El enfoque de un insecto a una fuente de luz. Se utilizan para tener la fuente de luz en un ángulo constante a su trayectoria de vuelo. Por lo general el sol (o la luna para las especies nocturnas) es la única fuente de luz y volar de esa manera resultará en una línea prácticamente recta.
• Los brazos de las galaxias espirales. Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, tiene varios brazos espirales, cada uno de los cuales es aproximadamente una espiral logarítmica con un lanzamiento de unos 12 grados. Sin embargo, aunque las galaxias espirales se han modelado a menudo como espirales logarítmicas, espirales arquímicas o espirales hiperbólicas, sus ángulos de lanzamiento varían con distancia del centro galáctico, a diferencia de espirales logarítmicas (por lo que este ángulo no varía), y también en varianza con las otras espirales matemáticas utilizadas para modelarlas.
• Los nervios de la córnea (es decir, los nervios corneales de la capa subepitelial terminan cerca de la capa epitelial superficial de la córnea en un patrón de espiral logarítmica).
• Las bandas de ciclones tropicales, como huracanes.
• Muchas estructuras biológicas incluyendo las cáscaras de moluscos. En estos casos, la razón puede ser la construcción de formas similares, como es el caso de las figuras poligonales.
• Las playas de espiral logarítmica pueden formar como resultado de la refracción y difusión de ondas por la costa. Media Moon Bay (California) es un ejemplo de tal tipo de playa.

En aplicaciones de ingeniería

Un mecanismo de kerf-canceling aprovecha la similitud de la espiral logarítmica para bloquear en su lugar bajo rotación, independiente del kerf del corte.

Una antena de espiral logarítmica

• Las antenas espirales logarítmicas son antenas independientes de frecuencia, es decir, antenas cuyo patrón de radiación, impedancia y polarización permanecen en gran medida sin modificar en un ancho ancho de banda.
• Cuando los mecanismos de fabricación por máquinas de fabricación subtractivas (como cortadoras láser), puede haber una pérdida de precisión cuando el mecanismo se fabrica en una máquina diferente debido a la diferencia de material eliminado (es decir, el kerf) por cada máquina en el proceso de corte. Para ajustarse a esta variación de kerf, la propiedad autosimilar de la espiral logarítmica se ha utilizado para diseñar un mecanismo de cancelación de kerf para cortadores láser.
• Los engranajes de bisagra en espiral logarítmicos son un tipo de engranajes espiralados cuyo engranaje es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica tiene la ventaja de proporcionar ángulos iguales entre la céntrica dental y las líneas radiales, lo que da a la transmisión de malla más estabilidad.