Espiral hiperbólica

espiral hiperbólico: rama para φ ■ 0

espiral hiperbólico: ambas ramas

Una espiral hiperbólica es una curva plana, que se puede describir en coordenadas polares mediante la ecuación

r=aφ φ {displaystyle r={frac}{varphi} }

de una hipérbola. Debido a que puede generarse mediante una inversión circular de una espiral de Arquímedes, también se llama Espiral recíproca.

Pierre Varignon estudió la curva por primera vez en 1704. Más tarde, Johann Bernoulli y Roger Cotes también trabajaron en la curva.

La espiral hiperbólica tiene un ángulo de inclinación que aumenta con la distancia desde su centro, a diferencia de la espiral logarítmica (en la que el ángulo es constante) o la espiral de Arquímedes (en la que disminuye con la distancia). Por esta razón, se ha utilizado para modelar las formas de las galaxias espirales, que en algunos casos tienen un ángulo de inclinación similarmente creciente. Sin embargo, este modelo no proporciona un buen ajuste a las formas de todas las galaxias espirales.

En coordenadas cartesianas

la espiral hiperbólica con la ecuación polar

r=aφ φ ,φ φ ل ل 0{displaystyle r={frac {varphi }quad varphi neq 0}

puede representarse en coordenadas cartesianas (x = r cos φ, y = r sin φ) por

x=a#⁡ ⁡ φ φ φ φ ,Sí.=apecado⁡ ⁡ φ φ φ φ ,φ φ ل ل 0.{displaystyle x=a{frac {cos varphi }{varphi }qquad y=a{frac {sin varphi }{varphi }quad varphi neq 0.}

La hipérbola tiene en el plano rφ los ejes de coordenadas como asíntotas. La espiral hiperbólica (en el plano xy) se aproxima a φ → ±∞ el origen como punto asintótico. Para φ → ±0 la curva tiene una línea asintótica (ver la siguiente sección).

De la ecuación polar y φ = a/r, r = √x² + y² se obtiene una representación mediante una ecuación:

Sí.x=#⁡ ⁡ ()ax2+Sí.2).{displaystyle {frac {y}{x}=tan left({frac {a}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}derecha).}

Propiedades geométricas

Asíntota

Porque

limφ φ → → 0x=alimφ φ → → 0#⁡ ⁡ φ φ φ φ =JUEGO JUEGO ,limφ φ → → 0Sí.=alimφ φ → → 0pecado⁡ ⁡ φ φ φ φ =a{displaystyle lim _{varphi to 0}x=alim _{varphi to # {frac {cos varphi }{varphi }=inftyqquad lim _{varphi to #y=alim _{varphi to # {frac {sin varphi }{varphi }=a}

la curva tiene una asintota con ecuación y = a.

Pendiente polar

Definición de sector (azul claro) y ángulo de pendiente polar α

A partir del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula tan α = r′/r para la pendiente polar y su ángulo α entre la tangente de una curva y la tangente del círculo polar correspondiente.

Para la espiral hiperbólica r = a /φ la pendiente polar es

#⁡ ⁡ α α =− − 1φ φ .{displaystyle tan alpha = {frac {1}{varphi }}

Curvatura

La curvatura de una curva con ecuación polar r = r(φ) es

κ κ =r2+2()r.)2− − rr.()r2+()r.)2)32.{displaystyle kappa ={2}+2(r')^{2}-r,r'}{left(r^{2}+(r')^{2}right)^{2}frac {3} {2}}}}}}

De la ecuación r = a/φ y las derivadas r′ = −a/φ² y r″ = 2a/φ³ se obtiene la curvatura de una espiral hiperbólica:

κ κ ()φ φ )=φ φ 4a()φ φ 2+1)32.{displaystyle kappa (varphi)={frac {varphi ^{4}{aleft(varphi ^{2}+1right)^{frac {3} {2}}}}}

Longitud de arco

La longitud del arco de una espiral hiperbólica entre (r(φ₁), φ₁) y (r(φ ₂), φ₂) se puede calcular mediante la integral:

L=∫ ∫ φ φ 1φ φ 2()r.. ()φ φ ))2+r2()φ φ )dφ φ =⋯ ⋯ =a∫ ∫ φ φ 1φ φ 21+φ φ 2φ φ 2dφ φ =a[− − 1+φ φ 2φ φ +In⁡ ⁡ ()φ φ +1+φ φ 2)]φ φ 1φ φ 2.{displaystyle {begin{aligned}L ventaja=int _{varphi ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? {1+varphi ^{2}} {varphi ^{2}},dvarphi \duc=aleft[-{frac {sqrt {1+varphi ^{2}}}{varphi }+ln ln left(varphi +{sqrt {1+varphi}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{varphi}}}}}}}}}}}}}}}}}varphi}}}}}}}}}}}}varphi}}}}}}}}}}}}}}}}i}}}}}}h} {h}h}}varphi}h}h}h}h}h}h}varphi}h}h}h}h}h}h}h}varphi}h}h}h}h}h} ¿Qué?

Área del sector

El área de un sector (ver diagrama arriba) de una espiral hiperbólica con ecuación r = a/φ es:

A=12∫ ∫ φ φ 1φ φ 2r()φ φ )2dφ φ =12∫ ∫ φ φ 1φ φ 2a2φ φ 2dφ φ =a2()aφ φ 1− − aφ φ 2)=a2()r()φ φ 1)− − r()φ φ 2)).{displaystyle {begin{aligned}A limit={frac {1}{2}int _{varphi} _{1}varphi _{2}r(varphi)}dvarphi \c={1}{2}int _{varphi}int ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {2} {bigl (}r(varphi _{1})-r(varphi _{2})-r(varphi _{2}){bigr)}end{aligned}}

Inversión

espiral hiperbólico (azul) como imagen de una espiral arquímica (verde) con una inversión en círculo

La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple: (r, φ) ↦ (1/r , φ).

La imagen de una espiral de Arquímedes r = φ/a con una inversión circular es la espiral hiperbólica con ecuación r = a/φ. En φ = a las dos curvas se cruzan en un punto fijo del círculo unitario.

El círculo osculador de la espiral de Arquímedes r = φ/a en el origen tiene radio ρ₀ = 1/2a (ver espiral de Arquímedes) y centro (0, ρ₀). La imagen de este círculo es la línea y = a (ver inversión del círculo). De ahí que la preimagen de la asíntota de la espiral hiperbólica con la inversión de la espiral de Arquímedes sea el círculo osculador de la espiral de Arquímedes en el origen.

Ejemplo: El diagrama muestra un ejemplo con a = π.

Proyección central de una hélice

espiral hiperbólico como proyección central de un helix

Considere la proyección central desde el punto C₀ = (0, 0, d) sobre el plano de la imagen z = 0. Esto asignará un punto (x, y, z) al punto d //span>d − z(x, y).

La imagen bajo esta proyección de la hélice con representación paramétrica

()r#⁡ ⁡ t,rpecado⁡ ⁡ t,ct),cل ل 0,{displaystyle (rcos t,rsin t,ct),quad cneq 0,}

es la curva

drd− − ct()#⁡ ⁡ t,pecado⁡ ⁡ t){displaystyle {frac {dr} {cos t,sin t)}

con la ecuación polar

*** *** =drd− − ct,{displaystyle rho ={frac {dr} {d-ct},}

que describe una espiral hiperbólica.

Para el parámetro t₀ = d/c la espiral hiperbólica tiene un polo y la hélice corta el plano z = d en un punto V₀. Se puede verificar por cálculo que la imagen de la hélice cuando se aproxima a V₀ es la asíntota de la espiral hiperbólica.