Espiral dorada

Las espirales doradas son auto-similares. La forma se repite infinitamente cuando se magnifica.

En geometría, una espiral dorada es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ, la proporción áurea. Es decir, una espiral dorada se ensancha (o más lejos de su origen) por un factor de φ por cada cuarto de vuelta que da.

Aproximaciones de la espiral dorada

espirales doradas aproximadas y verdaderas: las verde espiral está hecha de circulos tangente al interior de cada cuadrado, mientras que el rojo espiral es una espiral dorada, un tipo especial de espiral logarítmica. Porciones superpuestas aparecen amarillo. La longitud del lado de un cuadrado más grande a la siguiente plaza más pequeña está en la relación de oro. Para un cuadrado con longitud lateral 1, el siguiente cuadrado más pequeño es 1/φ ancho. El siguiente ancho es 1/φ2, entonces 1/φ3, y así sucesivamente.

Hay varias espirales comparables que se aproximan, pero no son exactamente iguales, a una espiral dorada.

Por ejemplo, una espiral dorada se puede aproximar comenzando primero con un rectángulo para el cual la proporción entre su largo y ancho es la proporción áurea. Luego, este rectángulo se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo similar y este rectángulo se puede dividir de la misma manera. Después de continuar con este proceso durante un número arbitrario de pasos, el resultado será una partición casi completa del rectángulo en cuadrados. Las esquinas de estos cuadrados se pueden conectar mediante cuartos de círculo. El resultado, aunque no es una verdadera espiral logarítmica, se aproxima mucho a una espiral dorada.

Otra aproximación es una espiral de Fibonacci, que se construye de forma ligeramente diferente. Una espiral de Fibonacci comienza con un rectángulo dividido en 2 cuadrados. En cada paso, se agrega al rectángulo un cuadrado de la longitud del lado más largo del rectángulo. Dado que la proporción entre los números de Fibonacci consecutivos se acerca a la proporción áurea a medida que los números de Fibonacci se acercan al infinito, esta espiral también se vuelve más similar a la aproximación anterior a medida que se agregan más cuadrados, como se ilustra en la imagen.

Espirales en la naturaleza

Las espirales logarítmicas aproximadas pueden ocurrir en la naturaleza, por ejemplo, los brazos de las galaxias espirales; las espirales doradas son un caso especial de estas espirales logarítmicas, aunque no hay evidencia de que haya una tendencia general a que aparezca este caso. La filotaxis está relacionada con la proporción áurea porque implica hojas o pétalos sucesivos separados por el ángulo áureo; también da como resultado la aparición de espirales, aunque, de nuevo, ninguna de ellas son (necesariamente) espirales doradas. A veces se afirma que las galaxias espirales y las capas de nautilus se ensanchan en el patrón de una espiral dorada y, por lo tanto, están relacionadas tanto con φ como con la serie de Fibonacci. En verdad, muchas conchas de moluscos, incluidas las conchas de nautilus, exhiben un crecimiento en espiral logarítmico, pero en una variedad de ángulos, por lo general claramente diferentes a los de la espiral dorada. Este patrón permite que el organismo crezca sin cambiar de forma. Aunque las galaxias espirales a menudo se han modelado como espirales logarítmicas, espirales de Arquímedes o espirales hiperbólicas, sus ángulos de inclinación varían con la distancia desde el centro galáctico, a diferencia de las espirales logarítmicas (para las que este ángulo no varía), y también en desacuerdo con otras matemáticas. espirales utilizadas para modelarlos.

Matemáticas

Una espiral Fibonacci aproxima la espiral dorada usando arcos de círculos trimestrales inscritos en cuadrados derivados de la secuencia Fibonacci.

Una espiral dorada con radio inicial 1 es el locus de puntos de coordenadas polares ()r,Silencio Silencio ){displaystyle (r,theta)} satisfacción

r=φ φ 2Silencio Silencio /π π ,{displaystyle r=varphi ^{2theta /pi }

φ φ {displaystyle varphi }

La ecuación polar de una espiral áurea es la misma que para otras espirales logarítmicas, pero con un valor especial del factor de crecimiento b:

r=aebSilencio Silencio {displaystyle r=ae^{btheta }

Silencio Silencio =1bIn⁡ ⁡ ()r/a),{displaystyle theta = {frac}ln(r/a),}

ebSilencio Silencio right=φ φ .{displaystyle e^{btheta _{mathrm {right} Álvaro.

Por lo tanto, b está dada por

b=In⁡ ⁡ φ φ Silencio Silencio right.{displaystyle b={ln {varphi } over theta _{mathrm {right} }}

La espiral Lucas aproxima la espiral dorada cuando sus términos son grandes pero no cuando son pequeños. Se incluyen 10 términos, de 2 a 76.

El valor numérico de b depende de si el ángulo recto se mide como 90 grados o como π π 2{displaystyle textstyle {frac ♪ } {2}} radians; y como el ángulo puede estar en cualquier dirección, es más fácil escribir la fórmula para el valor absoluto de b (es decir, b también puede ser el negativo de este valor:

SilenciobSilencio=In⁡ ⁡ φ φ 90≐ ≐ 0,0053468{displaystyle Silenciosidad={ln {varphi } over 90}doteq 0,0053468}

SilenciobSilencio=In⁡ ⁡ φ φ π π /2≐ ≐ 0,363489{displaystyle Нованые } over pi /2}doteq 0.3063489}

Una fórmula alternativa para una espiral logarítmica y dorada es

r=acSilencio Silencio {displaystyle r=ac^{theta }

c=eb{displaystyle c=e^{b}

c=φ φ 190≐ ≐ 1.0053611{displaystyle c=varphi ^{frac {1}doteq 1.0053611}

c=φ φ 2π π ≐ ≐ 1.358456{displaystyle c=varphi ^{frac {2}doteq 1.358456}

Con respecto a las espirales logarítmicas, la espiral dorada tiene la propiedad distintiva que para cuatro puntos espirales colineales A, B, C, D pertenecientes a argumentos θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π el punto C es el conjugado armónico proyectivo de B con respecto a A, D, es decir, la relación cruzada (A,D;B,C) tiene el valor singular −1. La espiral dorada es la única espiral logarítmica con (A,D;B,C) = (A,D;C,B).

Pendiente polar

Definición de ángulo de pendiente y sector

En la ecuación polar de una espiral logarítmica:

r=aebSilencio Silencio {displaystyle r=ae^{btheta }

α α {displaystyle alpha }

#⁡ ⁡ α α =b.{displaystyle tan alpha =b.}

En una espiral dorada, siendo b{displaystyle b} constantes e iguales SilenciobSilencio=In⁡ ⁡ φ φ π π /2{displaystyle ← } {varphi } over pi /2} (por Silencio en radians, tal como se define arriba), el ángulo de pendiente α α {displaystyle alpha } es

α α =arctan⁡ ⁡ ()SilenciobSilencio)=arctan⁡ ⁡ ()In⁡ ⁡ φ φ π π /2),{displaystyle alpha =arctan(privada)=arctan left({ln {varphi } over pi /2}right),}

α α ≐ ≐ 17.03239113{displaystyle alpha doteq 17.03239113}

α α ≐ ≐ 0.2972713047{displaystyle alpha doteq 0.2972713047}

Su ángulo complementario

β β =π π /2− − α α ≐ ≐ 1.273525022{displaystyle beta =pi /2-alpha doteq 1.273525022}

β β =90− − α α ≐ ≐ 73{displaystyle beta =90-alpha doteq 73}