Espiral de Arquímedes

Tres bucles 360° de un brazo de una espiral arquímica

La espiral de Arquímedes (también conocida como la espiral aritmética) es una espiral llamada así por el matemático griego Arquímedes del siglo III a.C. Es el lugar geométrico correspondiente a las ubicaciones en el tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante. De manera equivalente, en coordenadas polares (r, θ) se puede describir mediante la ecuación

r=a+b⋅ ⋅ Silencio Silencio {displaystyle r=a+bcdot theta }

De la ecuación anterior, se puede afirmar: la posición de la partícula desde el punto de inicio es proporcional al ángulo θ como transcurre el tiempo

Arquímedes describió una espiral de este tipo en su libro Sobre espirales. Conon de Samos era amigo suyo y Pappus afirma que esta espiral fue descubierta por Conon.

Derivación de la ecuación general de la espiral

A continuación se utiliza un enfoque físico para comprender la noción de espirales de Arquímedes.

Supongamos que un objeto de punto se mueve en el sistema cartesiano con una velocidad constante v dirigida paralela a la x, con respecto al eje xy- avión. Sea en el tiempo t = 0, el objeto estaba en un punto arbitrario (c, 0, 0). Si el plano xy gira con una velocidad angular constante ω sobre el eje z, luego la velocidad del punto con respecto a z-eje se puede escribir como:

El xy el plano gira hacia un ángulo ωt (anteriormente) sobre el origen en el tiempo t. ()c, 0) es la posición del objeto en t = 0. P es la posición del objeto a la vez t, a una distancia R = vt + c.

Silenciov0Silencio=v2+⋅ ⋅ 2()vt+c)2vx=v#⁡ ⁡ ⋅ ⋅ t− − ⋅ ⋅ ()vt+c)pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ tvSí.=vpecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ t+⋅ ⋅ ()vt+c)#⁡ ⁡ ⋅ ⋅ t{displaystyle {begin{aligned} {v^{2}+omega ^{2}(vt+c)}}v_{x} limit=vcos omega t-omega (vt+c)sin omega tv_{y} limit=vsin omega t+omega (vt+c)cos omega tend{aligned}

Aquí vt + c es el módulo del vector de posición de la partícula en cualquier momento t, v_x es el componente de velocidad a lo largo del eje x y v_y es el componente a lo largo del eje y. La figura que se muestra al lado explica esto.

∫ ∫ vxdt=x∫ ∫ vSí.dt=Sí.{displaystyle {begin{aligned}in ¿Qué? ¿Qué?

Las ecuaciones anteriores se pueden integrar aplicando la integración por partes, lo que lleva a las siguientes ecuaciones paramétricas:

x=()vt+c)#⁡ ⁡ ⋅ ⋅ tSí.=()vt+c)pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ t{displaystyle {begin{aligned}x limit=(vt+c)cos omega t\y simultáneamente=(vt+c)sin omega tend{aligned}}

Elevar al cuadrado las dos ecuaciones y luego sumar (y algunas pequeñas alteraciones) da como resultado la ecuación cartesiana

x2+Sí.2=v⋅ ⋅ ⋅ ⋅ arctan⁡ ⁡ Sí.x+c{displaystyle {sqrt {x^{2}+y^{2}={frac} {f}} {V}{omega }cdot arctan {frac {y}}+c}

#⁡ ⁡ ()()x2+Sí.2− − c)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ v)=Sí.x{displaystyle tan left(left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-cright)cdot {frac {omega {fnK}} {fnMicroc {y}}}

Su forma polar es

r=v⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Silencio Silencio +c.{displaystyle r={frac {v}{omega }cdot theta +c.}

Longitud y curvatura del arco

Círculos ocultos de la espiral arquímica, tangente a la espiral y teniendo la misma curvatura en el punto tangente. La espiral en sí no se dibuja, pero se puede ver como los puntos donde los círculos están especialmente cerca uno del otro.

Dada la parametrización en coordenadas cartesianas

f:: Silencio Silencio ↦ ↦ ()r#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio )=()bSilencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio ,bSilencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle fcolon theta mapsto (r,cos thetar,sin theta)=(b,theta ,cos thetab,theta ,sin theta)}

Silencio Silencio 1{displaystyle theta ¿Qué?

Silencio Silencio 2{displaystyle theta _{2}

b2[Silencio Silencio 1+Silencio Silencio 2+In⁡ ⁡ ()Silencio Silencio +1+Silencio Silencio 2)]Silencio Silencio 1Silencio Silencio 2{displaystyle {frac {b}{2}left[theta] ,{sqrt {1+theta ^{2}}+ln left(theta ##{sqrt {1+theta ^{2}}right]_{theta ¿Qué? ¿Qué?

b2[Silencio Silencio 1+Silencio Silencio 2+arsinh⁡ ⁡ Silencio Silencio ]Silencio Silencio 1Silencio Silencio 2.{displaystyle {frac {b}{2}left[theta] ,{sqrt {1+theta ^{2}}+operatorname {arsinh} theta right]_{theta ¿Qué? - Sí.

Silencio Silencio 1=0{displaystyle theta _{1}=0}

Silencio Silencio 2=Silencio Silencio {displaystyle theta _{2}=theta }

b2[Silencio Silencio 1+Silencio Silencio 2+In⁡ ⁡ ()Silencio Silencio +1+Silencio Silencio 2)].{displaystyle {frac {b}{2}left[theta] ,{sqrt {1+theta ^{2}}}+ln left(theta +{sqrt {1+theta ^{2}}right)}right].}

La curvatura viene dada por

κ κ =Silencio Silencio 2+2b()Silencio Silencio 2+1)32{displaystyle kappa ={theta ^{2}+2}{b(theta ^{2}+1)^{frac {3}{2}}}} {}}} {}}}}} {}}} {}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Características

espiral arquímica representada en un gráfico polar

La espiral de Arquímedes tiene la propiedad de que cualquier rayo procedente del origen intersecta vueltas sucesivas de la espiral en puntos con una distancia de separación constante (igual a 2πb si θ se mide en radianes), de ahí el nombre "espiral aritmética". Por el contrario, en una espiral logarítmica estas distancias, así como las distancias de los puntos de intersección medidos desde el origen, forman una progresión geométrica.

La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y uno para θ < 0. Los dos brazos están conectados suavemente en el origen. Solo se muestra un brazo en el gráfico adjunto. Tomando la imagen especular de este brazo a lo largo del eje y se obtendrá el otro brazo.

Para grandes θ, un punto se mueve con una aceleración uniforme bien aproximada a lo largo de la espiral de Arquímedes mientras que la espiral corresponde a las ubicaciones sobre tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante (ver contribución de Mikhail Gaichenkov).

A medida que crece la espiral de Arquímedes, su evoluta se aproxima asintóticamente a un círculo con radio |v|/ω.

Espiral general de Arquímedes

A veces, el término Espiral de Arquímedes se usa para el grupo más general de espirales

r=a+b⋅ ⋅ Silencio Silencio 1c.{displaystyle r=a+bcdot theta ^{frac {1} {c}}.}

La espiral de Arquímedes normal ocurre cuando c = 1. Otras espirales que caen en este grupo incluyen la espiral hiperbólica (c = −1), la espiral de Fermat (c = 2), y lituus (c = −2).

Aplicaciones

Un método para cuadrar el círculo, debido a Arquímedes, hace uso de una espiral de Arquímedes. Arquímedes también mostró cómo se puede usar la espiral para trisecar un ángulo. Ambos enfoques relajan las limitaciones tradicionales sobre el uso de la regla y el compás en las pruebas geométricas de la antigua Grecia.

Mecanismo de un compresor de desplazamiento

La espiral de Arquímedes tiene una variedad de aplicaciones en el mundo real. Los compresores scroll, utilizados para comprimir gases, tienen rotores que pueden estar hechos de dos espirales de Arquímedes intercaladas, involutas de un círculo del mismo tamaño que casi se asemejan a espirales de Arquímedes, o curvas híbridas.

Las espirales de Arquímedes se pueden encontrar en antenas espirales, que se pueden operar en una amplia gama de frecuencias.

Las bobinas de los resortes del volante del reloj y los surcos de los primeros discos de gramófono forman espirales de Arquímedes, lo que hace que los surcos estén espaciados uniformemente (aunque más tarde se introdujo el espaciado variable de las pistas para maximizar la cantidad de música que se podía cortar en un disco).

Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una forma de cuantificar el temblor humano; esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas.

Las espirales de Arquímedes también se utilizan en los sistemas de proyección de procesamiento de luz digital (DLP) para minimizar el "efecto arcoíris", haciendo que parezca que se muestran varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad son rojos y verdes., y el azul se están ciclando extremadamente rápido. Además, las espirales de Arquímedes se utilizan en microbiología alimentaria para cuantificar la concentración bacteriana a través de un plato espiral.

Atacama Gran Millimeter Array imagen de LL Pegasi

También se utilizan para modelar el patrón que se produce en un rollo de papel o cinta de espesor constante envuelto alrededor de un cilindro.

Muchas espirales dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar o el patrón formado por la rueda de Catalina) son de Arquímedes. Por ejemplo, la estrella LL Pegasi muestra una espiral de Arquímedes aproximada en las nubes de polvo que la rodean, que se cree que es materia expulsada de la estrella que ha sido conducida a una espiral por otra estrella compañera como parte de un sistema estelar doble.