Espín

Compartir Imprimir Citar

El espín es una forma intrínseca de momento angular transportado por partículas elementales y, por lo tanto, por partículas compuestas (hadrones) y núcleos atómicos.

El espín es uno de los dos tipos de momento angular en la mecánica cuántica, el otro es el momento angular orbital. El operador del momento angular orbital es la contrapartida mecánica cuántica del momento angular clásico de la revolución orbital y aparece cuando existe una estructura periódica en su función de onda a medida que varía el ángulo. Para los fotones, el espín es la contrapartida mecánica cuántica de la polarización de la luz; para los electrones, el espín no tiene equivalente clásico.

La existencia del momento angular del espín del electrón se infiere a partir de experimentos, como el experimento de Stern-Gerlach, en el que se observó que los átomos de plata poseían dos posibles momentos angulares discretos a pesar de no tener momento angular orbital. La existencia del espín del electrón también se puede inferir teóricamente del teorema de la estadística del espín y del principio de exclusión de Pauli, y viceversa, dado el espín particular del electrón, se puede derivar el principio de exclusión de Pauli.

El espín se describe matemáticamente como un vector para algunas partículas, como los fotones, y como espinores y bispinores para otras partículas, como los electrones. Los espinores y bispinores se comportan de manera similar a los vectores: tienen magnitudes definidas y cambian con las rotaciones; sin embargo, utilizan una "dirección" no convencional. Todas las partículas elementales de un tipo dado tienen la misma magnitud de momento angular de espín, aunque su dirección puede cambiar. Estos se indican asignando a la partícula un número cuántico de espín.

La unidad SI de espín es la misma que la del momento angular clásico (es decir, N·m·s, J·s o kg·m ·s). En la práctica, el espín se da como un número cuántico de espín adimensional dividiendo el momento angular de espín por la constante de Planck reducida ħ, que tiene las mismas dimensiones que el momento angular, aunque este no es el cálculo completo de este valor. Muy a menudo, el "número cuántico de espín" se llama simplemente "espín". El hecho de que sea un número cuántico está implícito.

Historia

Wolfgang Pauli en 1924 fue el primero en proponer una duplicación del número de estados de electrones disponibles debido a una "rotación oculta" no clásica de dos valores. En 1925, George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit de la Universidad de Leiden sugirieron la interpretación física simple de una partícula girando alrededor de su propio eje, en el espíritu de la antigua teoría cuántica de Bohr y Sommerfeld. Ralph Kronig anticipó el modelo Uhlenbeck-Goudsmit en una discusión con Hendrik Kramers varios meses antes en Copenhague, pero no lo publicó. La teoría matemática fue desarrollada en profundidad por Pauli en 1927. Cuando Paul Dirac derivó su mecánica cuántica relativista en 1928, el espín del electrón era una parte esencial de ella.

Número cuántico

Como sugiere su nombre, el espín se concibió originalmente como la rotación de una partícula alrededor de un eje. Si bien la cuestión de si las partículas elementales realmente giran es ambigua (ya que parecen puntos), esta imagen es correcta en la medida en que el giro obedece a las mismas leyes matemáticas que los momentos angulares cuantificados; en particular, el espín implica que la fase de la partícula cambia con el ángulo. Por otro lado, el espín tiene algunas propiedades peculiares que lo distinguen de los momentos angulares orbitales:

La definición convencional del número cuántico de espín es s =norte/2, donde n puede ser cualquier número entero no negativo. Por lo tanto, los valores permitidos de s son 0,1/2, 1,3/2, 2, etc. El valor de s para una partícula elemental depende únicamente del tipo de partícula y no puede modificarse de ninguna manera conocida (en contraste con la dirección de espín que se describe a continuación). El momento angular de espín S de cualquier sistema físico está cuantificado. Los valores permitidos de S son

{displaystyle S=hbar,{sqrt {s(s+1)}}={frac {h}{2pi }},{sqrt {{frac {n}{2}} {frac{(n+2)}{2}}}}={frac{h}{4pi }},{sqrt {n(n+2)}},}donde h es la constante de Planck, y {estilo de texto hbar ={frac {h}{2pi }}}es la constante de Planck reducida. Por el contrario, el momento angular orbital solo puede tomar valores enteros de s; es decir, valores pares de n.

Fermiones y bosones

Aquellas partículas con espines semienteros, como1/2,3/2,5/2, se conocen como fermiones, mientras que aquellas partículas con espines enteros, como 0, 1, 2, se conocen como bosones. Las dos familias de partículas obedecen reglas diferentes y en términos generalestienen diferentes roles en el mundo que nos rodea. Una distinción clave entre las dos familias es que los fermiones obedecen al principio de exclusión de Pauli: es decir, no puede haber dos fermiones idénticos que tengan simultáneamente los mismos números cuánticos (lo que significa, aproximadamente, que tengan la misma posición, velocidad y dirección de giro). Los fermiones obedecen las reglas de las estadísticas de Fermi-Dirac. Por el contrario, los bosones obedecen las reglas de las estadísticas de Bose-Einstein y no tienen tal restricción, por lo que pueden "agruparse" en estados idénticos. Además, las partículas compuestas pueden tener espines diferentes a los de sus partículas componentes. Por ejemplo, un átomo de helio-4 en el estado fundamental tiene espín 0 y se comporta como un bosón, aunque los quarks y electrones que lo componen sean todos fermiones.

Esto tiene algunas consecuencias profundas:

Teorema de la estadística de espín

El teorema de la estadística de espín divide las partículas en dos grupos: bosones y fermiones, donde los bosones obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein y los fermiones obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac (y, por lo tanto, al principio de exclusión de Pauli). Específicamente, la teoría establece que las partículas con espín entero son bosones, mientras que todas las demás partículas tienen espines semienteros y son fermiones. Como ejemplo, los electrones tienen espín semientero y son fermiones que obedecen el principio de exclusión de Pauli, mientras que los fotones tienen espín entero y no lo tienen. El teorema se basa tanto en la mecánica cuántica como en la teoría de la relatividad especial, y esta conexión entre el espín y la estadística se ha denominado "una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la relatividad especial".

Relación con la rotación clásica

Dado que las partículas elementales son puntuales, la autorrotación no está bien definida para ellas. Sin embargo, el espín implica que la fase de la partícula depende del ángulo como {displaystyle e^{iStheta}}, para la rotación del ángulo θ alrededor del eje paralelo al espín S. Esto es equivalente a la interpretación de la mecánica cuántica del momento como dependencia de fase en la posición, y del momento angular orbital como dependencia de fase en la posición angular.

El giro del fotón es la descripción de la mecánica cuántica de la polarización de la luz, donde el giro +1 y el giro −1 representan dos direcciones opuestas de polarización circular. Por lo tanto, la luz de una polarización circular definida consta de fotones con el mismo espín, todos +1 o todos −1. El espín también representa la polarización para otros bosones vectoriales.

Para los fermiones, la imagen es menos clara. La velocidad angular es igual por el teorema de Ehrenfest a la derivada del hamiltoniano a su momento conjugado, que es el operador de momento angular total J = L + S. Por lo tanto, si el hamiltoniano H depende del espín S, dH / dS es distinto de cero, y el espín provoca la velocidad angular y, por tanto, la rotación real, es decir, un cambio en la relación fase-ángulo a lo largo del tiempo. Sin embargo, si esto es válido para el electrón libre es ambiguo, ya que para un electrón, Ses constante y, por lo tanto, es una cuestión de interpretación si el hamiltoniano incluye dicho término. Sin embargo, el espín aparece en la ecuación de Dirac y, por lo tanto, el hamiltoniano relativista del electrón, tratado como un campo de Dirac, puede interpretarse como que incluye una dependencia en el espín S. Según esta interpretación, los electrones libres también giran por sí mismos, y el efecto Zitterbewegung se entiende como esta rotación.

Momentos magnéticos

Las partículas con espín pueden poseer un momento dipolar magnético, al igual que un cuerpo giratorio cargado eléctricamente en la electrodinámica clásica. Estos momentos magnéticos se pueden observar experimentalmente de varias formas, por ejemplo, mediante la desviación de partículas por campos magnéticos no homogéneos en un experimento de Stern-Gerlach, o midiendo los campos magnéticos generados por las propias partículas.

El momento magnético intrínseco μ de un espín1/2partícula con carga q, masa m, y momento angular de espín S, es {displaystyle {boldsymbol {mu }}={frac {g_{s}q}{2m}}mathbf {S},}

donde la cantidad adimensional g s se llama factor g de espín. Para rotaciones exclusivamente orbitales sería 1 (asumiendo que la masa y la carga ocupan esferas de igual radio).

El electrón, al ser una partícula elemental cargada, posee un momento magnético distinto de cero. Uno de los triunfos de la teoría de la electrodinámica cuántica es su predicción precisa del factor g del electrón, que se ha determinado experimentalmente que tiene el valor−2,002 319 304 362 56 (35), con los dígitos entre paréntesis que indican la incertidumbre de medición en los dos últimos dígitos con una desviación estándar. El valor de 2 surge de la ecuación de Dirac, una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas y la corrección de0.002 319 304... surge de la interacción del electrón con el campo electromagnético circundante, incluido su propio campo.

Las partículas compuestas también poseen momentos magnéticos asociados con su espín. En particular, el neutrón posee un momento magnético distinto de cero a pesar de ser eléctricamente neutro. Este hecho fue una indicación temprana de que el neutrón no es una partícula elemental. De hecho, está formado por quarks, que son partículas cargadas eléctricamente. El momento magnético del neutrón proviene de los giros de los quarks individuales y sus movimientos orbitales.

Los neutrinos son elementales y eléctricamente neutros. El modelo estándar mínimamente extendido que tiene en cuenta masas de neutrinos distintas de cero predice momentos magnéticos de neutrinos de: {displaystyle mu_{nu}approx 3times 10^{-19}mu_{text{B}}{frac {m_{nu}}{text{eV}}}, }

donde μ ν son los momentos magnéticos de los neutrinos, m ν son las masas de los neutrinos y μ B es el magnetón de Bohr. Sin embargo, la nueva física por encima de la escala electrodébil podría conducir a momentos magnéticos de neutrinos significativamente más altos. Se puede demostrar de una manera independiente del modelo que los momentos magnéticos de neutrinos mayores de aproximadamente 10 μ B son "antinaturales" porque también conducirían a grandes contribuciones radiativas a la masa de neutrinos. Dado que se sabe que las masas de los neutrinos son como máximo de aproximadamente 1 eV, las grandes correcciones radiativas tendrían que "afinarse" para cancelarse entre sí, en gran medida, y dejar la masa de neutrinos pequeña. La medición de los momentos magnéticos de neutrinos es un área activa de investigación. Los resultados experimentales han puesto el momento magnético del neutrino a menos de1,2 × 10 veces el momento magnético del electrón.

Por otro lado, las partículas elementales con espín pero sin carga eléctrica, como un fotón o un bosón Z, no tienen momento magnético.

Temperatura de Curie y pérdida de alineación

En los materiales ordinarios, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales producen campos magnéticos que se cancelan entre sí, porque cada dipolo apunta en una dirección aleatoria, siendo el promedio general muy cercano a cero. Sin embargo, los materiales ferromagnéticos por debajo de su temperatura de Curie exhiben dominios magnéticos en los que los momentos dipolares atómicos están localmente alineados, produciendo un campo magnético macroscópico distinto de cero a partir del dominio. Estos son los "imanes" ordinarios con los que todos estamos familiarizados.

En los materiales paramagnéticos, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinean espontáneamente con un campo magnético aplicado externamente. En los materiales diamagnéticos, por otro lado, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinean espontáneamente de manera opuesta a cualquier campo magnético aplicado externamente, incluso si requiere energía para hacerlo.

El estudio del comportamiento de tales "modelos de espín" es un área de investigación próspera en la física de la materia condensada. Por ejemplo, el modelo de Ising describe giros (dipolos) que tienen solo dos estados posibles, arriba y abajo, mientras que en el modelo de Heisenberg se permite que el vector de giro apunte en cualquier dirección. Estos modelos tienen muchas propiedades interesantes, que han dado lugar a resultados interesantes en la teoría de las transiciones de fase.

Dirección

Número cuántico de proyección de espín y multiplicidad

En la mecánica clásica, el momento angular de una partícula posee no solo una magnitud (qué tan rápido gira el cuerpo), sino también una dirección (hacia arriba o hacia abajo en el eje de rotación de la partícula). El giro de la mecánica cuántica también contiene información sobre la dirección, pero de una forma más sutil. La mecánica cuántica establece que la componente del momento angular para una partícula de espín medida a lo largo de cualquier dirección solo puede tomar los valores {displaystyle S_{i}=hbar s_{i},quad s_{i}in {-s,-(s-1),dots,s-1,s},}

donde S i es el componente de espín a lo largo del eje i -ésimo (ya sea x, y o z), s i es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje i -ésimo, y s es el número cuántico de espín principal (discutido en el sección previa). Convencionalmente la dirección elegida es el eje z: {displaystyle S_{z}=hbar s_{z},quad s_{z}in {-s,-(s-1),dots,s-1,s},}

donde S z es el componente de espín a lo largo del eje z, s z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje z.

Se puede ver que hay 2 s + 1 valores posibles de s z. El número " 2 s + 1 " es la multiplicidad del sistema de espín. Por ejemplo, solo hay dos valores posibles para un spin-1/2partícula: s z = +1/2y s z = −1/2. Estos corresponden a estados cuánticos en los que el componente de espín apunta en las direcciones + zo - z respectivamente, y a menudo se denominan "espín hacia arriba" y "espín hacia abajo". Para un giro-3/2partícula, como un barión delta, los valores posibles son +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

Vector

Para un estado cuántico dado, se podría pensar en un vector de espín{textstylelangle Srangle}{textstylelangle Srangle}cuyos componentes son los valores esperados de los componentes de espín a lo largo de cada eje, es decir,{textstyle langle Srangle =[langle S_{x}rangle,langle S_{y}rangle,langle S_{z}rangle ]}{textstyle langle Srangle =[langle S_{x}rangle,langle S_{y}rangle,langle S_{z}rangle ]}. Este vector describiría entonces la "dirección" en la que apunta el giro, correspondiente al concepto clásico del eje de rotación. Resulta que el vector de espín no es muy útil en los cálculos mecánicos cuánticos reales, porque no se puede medir directamente: s x, s y y s zno puede poseer valores definidos simultáneos, debido a una relación de incertidumbre cuántica entre ellos. Sin embargo, para colecciones estadísticamente grandes de partículas que se han colocado en el mismo estado cuántico puro, como mediante el uso de un aparato de Stern-Gerlach, el vector de espín tiene un significado experimental bien definido: especifica la dirección en el espacio ordinario. en el que se debe orientar un detector posterior para lograr la máxima probabilidad posible (100%) de detectar todas las partículas de la colección. para girar-1/2partículas, esta probabilidad cae suavemente a medida que aumenta el ángulo entre el vector de espín y el detector, hasta un ángulo de 180°, es decir, para detectores orientados en la dirección opuesta al vector de espín, la expectativa de detectar partículas de la colección alcanza un mínimo de 0%.

Como concepto cualitativo, el vector de espín suele ser útil porque es fácil de representar de forma clásica. Por ejemplo, el giro de la mecánica cuántica puede exhibir fenómenos análogos a los efectos giroscópicos clásicos. Por ejemplo, se puede ejercer una especie de "torque" sobre un electrón colocándolo en un campo magnético (el campo actúa sobre el momento dipolar magnético intrínseco del electrón; consulte la siguiente sección). El resultado es que el vector de espín sufre una precesión, como un giroscopio clásico. Este fenómeno se conoce como resonancia de espín electrónico (ESR). El comportamiento equivalente de los protones en los núcleos atómicos se utiliza en espectroscopia e imágenes de resonancia magnética nuclear (RMN).

Matemáticamente, los estados de espín de la mecánica cuántica se describen mediante objetos similares a vectores conocidos como espinores. Hay diferencias sutiles entre el comportamiento de los espinores y los vectores bajo rotaciones de coordenadas. Por ejemplo, hacer girar un spin-1/2partícula por 360° no la devuelve al mismo estado cuántico, sino al estado con la fase cuántica opuesta; esto es detectable, en principio, con experimentos de interferencia. Para devolver la partícula a su estado original exacto, se necesita una rotación de 720°. (El truco de la placa y la tira de Möbius dan analogías no cuánticas). Una partícula de espín cero solo puede tener un único estado cuántico, incluso después de aplicar un par. Girar una partícula de espín 2 180° puede devolverla al mismo estado cuántico, y una partícula de espín 4 debe girarse 90° para devolverla al mismo estado cuántico. La partícula de espín 2 puede ser análoga a un palo recto que se ve igual incluso después de girarlo 180°, y una partícula de espín 0 se puede imaginar como una esfera, que se ve igual después de cualquier ángulo que se gire.

Formulación matemática

Operador

El espín obedece a relaciones de conmutación análogas a las del momento angular orbital: {displaystyle left[{sombrero {S}}_{j},{sombrero {S}}_{k}right]=ihbar varepsilon _{jkl}{sombrero {S}}_ {l},}

donde ε jkl es el símbolo de Levi-Civita. De ello se deduce (como con el momento angular) que los vectores propios de {displaystyle {sombrero {S}}^{2}}y {displaystyle {sombrero {S}}_{z}}(expresados ​​como kets en la base de S total) son {displaystyle {begin{alineado}{hat {S}}^{2}|s,m_{s}rangle &=hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s} rangle,{hat {S}}_{z}|s,m_{s}rangle &=hbar m_{s}|s,m_{s}rangle.end{alineado}}}

Los operadores de subida y bajada de espín que actúan sobre estos vectores propios dan {displaystyle {hat {S}}_{pm }|s,m_{s}rangle =hbar {sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}pm 1)}}|s,m_{s}pm 1rangle,}

donde {displaystyle {sombrero {S}}_{pm }={sombrero {S}}_{x}pm i{sombrero {S}}_{y}}.

Pero a diferencia del momento angular orbital, los vectores propios no son armónicos esféricos. No son funciones de θ y φ. Tampoco hay motivo para excluir los valores semienteros de s y m s.

Todas las partículas de la mecánica cuántica poseen un espín intrínseco s(aunque este valor puede ser igual a cero). La proyección del giro. sen cualquier eje se cuantifica en unidades de la constante de Planck reducida, de modo que la función de estado de la partícula es, digamos, no { estilo de visualización psi = psi ({ vec {r}})}, pero { estilo de visualización psi = psi ({ vec {r}}, s_ {z})}, donde { estilo de visualización s_ {z}}sólo puede tomar los valores del siguiente conjunto discreto: {displaystyle s_{z}in {-shbar,-(s-1)hbar,cdots,+(s-1)hbar,+shbar }.}

Se distinguen los bosones (espín entero) y los fermiones (espín medio entero). El momento angular total conservado en los procesos de interacción es entonces la suma del momento angular orbital y el espín.

Matrices de Pauli

Los operadores de la mecánica cuántica asociados con el espín1/2los observables son {displaystyle {hat {mathbf {S} }}={frac {hbar }{2}}{boldsymbol {sigma }},}

donde en componentes cartesianos {displaystyle S_{x}={frac {hbar }{2}}sigma_{x},quad S_{y}={frac {hbar }{2}}sigma_{y},quad S_{z}={frac {hbar }{2}}sigma _{z}.}

Para el caso especial de spin-1/2partículas, σ x, σ y y σ z son las tres matrices de Pauli: {displaystyle sigma _{x}={begin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}},quad sigma_{y}={begin{pmatrix}0&-ii&0end {pmatrix}},quad sigma _{z}={begin{pmatrix}1&0�&-1end{pmatrix}}.}

Principio de exclusión de Pauli

Para sistemas de N partículas idénticas esto está relacionado con el principio de exclusión de Pauli, que establece que su función de onda { estilo de visualización psi (mathbf {r} _ {1}, sigma _ {1}, puntos, mathbf {r} _ {N}, sigma _ {N})}debe cambiar con los intercambios de dos cualesquiera de las N partículas como {displaystyle psi (dots,mathbf {r}_{i},sigma_{i},dots,mathbf {r}_{j},sigma_{j},dots)= (-1)^{2s}psi (puntos,mathbf {r}_{j},sigma_{j},puntos,mathbf {r}_{i},sigma_{i},puntos).}

Así, para bosones el prefactor (−1) se reducirá a +1, para fermiones a −1. En mecánica cuántica todas las partículas son bosones o fermiones. En algunas teorías cuánticas de campos relativistas especulativas también existen partículas "supersimétricas", donde aparecen combinaciones lineales de componentes bosónicos y fermiónicos. En dos dimensiones, el prefactor (−1) puede ser reemplazado por cualquier número complejo de magnitud 1 como en el anyon.

El postulado de permutación anterior para funciones de estado de partículas N tiene consecuencias muy importantes en la vida diaria, por ejemplo, la tabla periódica de los elementos químicos.

Rotaciones

Como se describió anteriormente, la mecánica cuántica establece que los componentes del momento angular medidos a lo largo de cualquier dirección solo pueden tomar una cantidad de valores discretos. La descripción mecánica cuántica más conveniente del espín de una partícula es, por lo tanto, con un conjunto de números complejos correspondientes a las amplitudes de encontrar un valor dado de proyección de su momento angular intrínseco en un eje dado. Por ejemplo, para un spin-1/2partícula, necesitaríamos dos números a ±1/2, dando amplitudes de encontrarla con proyección de momento angular igual a +ħ/2y -ħ/2, satisfaciendo el requisito {displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}

Para una partícula genérica con espín s, necesitaríamos 2 s + 1 de tales parámetros. Dado que estos números dependen de la elección del eje, se transforman entre sí de manera no trivial cuando se gira este eje. Es claro que la ley de transformación debe ser lineal, por lo que podemos representarla asociando una matriz a cada rotación, y el producto de dos matrices de transformación correspondientes a las rotaciones A y B debe ser igual (hasta la fase) a la matriz que representa la rotación AB. Además, las rotaciones preservan el producto interno de la mecánica cuántica, al igual que nuestras matrices de transformación: {displaystyle sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=sum _{m=-j}^{j}left(sum _{n =-j}^{j}U_{nm}a_{n}right)^{*}left(sum_{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}right),} {displaystyle sum _{n=-j}^{j}sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=delta _{pq}.}

Matemáticamente hablando, estas matrices proporcionan una representación proyectiva unitaria del grupo de rotación SO(3). Cada una de estas representaciones corresponde a una representación del grupo de cobertura de SO(3), que es SU(2). Hay una representación irreducible n -dimensional de SU(2) para cada dimensión, aunque esta representación es real n -dimensional para n impar y complejo n -dimensional para n par (por lo tanto, de dimensión real 2 n). Para una rotación por ángulo θ en el plano con vector normal { estilo de texto { sombrero { símbolo de negrita { theta}}}}, {displaystyle U=e^{-{frac {i}{hbar }}{boldsymbol {theta }}cdot mathbf {S} },}

donde{textstyle {boldsymbol {theta}}=theta {hat {boldsymbol {theta}}}}{textstyle {boldsymbol {theta}}=theta {hat {boldsymbol {theta}}}}, y S es el vector de los operadores de espín.

Prueba

Trabajando en el sistema de coordenadas donde {estilo de texto {sombrero {theta}}={sombrero {z}}}, nos gustaría mostrar que S x y S y están rotados entre sí por el ángulo θ. Comenzando con S x. Usando unidades donde ħ = 1: {displaystyle {begin{alineado}S_{x}rightarrow U^{dagger }S_{x}U&=e^{itheta S_{z}}S_{x}e^{-itheta S_ {z}}&=S_{x}+(itheta)left[S_{z},S_{x}right]+left({frac {1}{2!}}right)(itheta)^{2}left[S_{z},left[S_{z},S_{x}right]right]+left({frac {1}{3!} }right)(itheta)^{3}left[S_{z},left[S_{z},left[S_{z},S_{x}right]right]right] +ldots end{alineado}}}

Usando las relaciones de conmutación del operador de espín, vemos que los conmutadores se evalúan como i S y para los términos impares de la serie, y como S x para todos los términos pares. Por lo tanto: {displaystyle {begin{aligned}U^{dagger }S_{x}U&=S_{x}left[1-{frac {theta ^{2}}{2!}}+ldots derecha]-S_{y}left[theta -{frac {theta ^{3}}{3!}}cdots right]&=S_{x}cos theta -S_{y }sin theta,end{alineado}}}

como se esperaba. Tenga en cuenta que dado que solo confiamos en las relaciones de conmutación del operador de espín, esta prueba es válida para cualquier dimensión (es decir, para cualquier número cuántico de espín principal s).

Se puede construir una rotación genérica en un espacio tridimensional combinando operadores de este tipo usando ángulos de Euler: {displaystyle {mathcal {R}}(alpha,beta,gamma)=e^{-ialpha S_{z}}e^{-ibeta S_{y}}e^{-i gamma S_{z}}.}

La matriz D de Wigner proporciona una representación irreducible de este grupo de operadores: {displaystyle D_{m'm}^{s}(alpha,beta,gamma)equiv langle sm'|{mathcal {R}}(alpha,beta,gamma)|sm rango =e^{-im'alpha }d_{m'm}^{s}(beta)e^{-imgamma},}

donde {displaystyle d_{m'm}^{s}(beta)=langle sm'|e^{-ibeta s_{y}}|smrangle }

es la pequeña matriz d de Wigner. Nótese que para γ = 2π y α = β = 0; es decir, una rotación completa sobre el eje z, los elementos de la matriz D de Wigner se vuelven {displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2pi)=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2pi }=delta_{m 'm}(-1)^{2m}.}

Recordando que un estado de espín genérico puede escribirse como una superposición de estados con m definido, vemos que si s es un número entero, los valores de m son todos números enteros y esta matriz corresponde al operador de identidad. Sin embargo, si s es un medio entero, los valores de m también son todos medios enteros, lo que da (−1) = −1 para todo m y, por lo tanto, al rotar por 2 π, el estado toma un signo menos. Este hecho es un elemento crucial de la demostración del teorema de la estadística de espín.

Transformaciones de Lorentz

Podríamos intentar el mismo enfoque para determinar el comportamiento del espín bajo las transformaciones generales de Lorentz, pero inmediatamente descubriríamos un gran obstáculo. A diferencia de SO(3), el grupo de transformaciones de Lorentz SO(3,1) no es compacto y, por lo tanto, no tiene representaciones fieles, unitarias y de dimensión finita.

En caso de giro-1/2partículas, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar que es preservado por esta representación. Asociamos un espinor ψ de Dirac de 4 componentes con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz según la ley {displaystyle psi '=exp {left({tfrac {1}{8}}omega_{mu nu }[gamma_{mu},gamma_{nu }] derecha)}psi,}

donde γ ν son matrices gamma y ω μν es una matriz antisimétrica de 4 × 4 que parametriza la transformación. Se puede demostrar que el producto escalar {displaystyle langle psi |phi rangle ={bar {psi }}phi =psi ^{daga}gamma _{0}phi }

se conserva. Sin embargo, no es positivo-definido, por lo que la representación no es unitaria.

Medición del espín a lo largo de los ejes x, y o z

Cada una de las matrices (hermitianas) de Pauli de spin-1/2partículas tiene dos valores propios, +1 y −1. Los vectores propios normalizados correspondientes son {displaystyle {begin{matriz}{lclc}psi _{x+}=izquierda|{frac {1}{2}},{frac {+1}{2}}derecharangle_{ x}=displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}!!!!!&{begin{pmatrix}{1}{1}end{pmatrix}},&psi _{x-}=izquierda|{frac {1}{2}},{frac {-1}{2}}derecharangle _{x}=displaystyle {frac { 1}{sqrt {2}}}!!!!!&{begin{pmatrix}{1}{-1}end{pmatrix}},psi _{y+ }=izquierda|{frac {1}{2}},{frac {+1}{2}}derecharangle _{y}=displaystyle {frac {1}{sqrt {2} }}!!!!!&{begin{pmatrix}{1}{i}end{pmatrix}},&psi _{y-}=left|{frac { 1}{2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{y}=displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}!!! !!&{begin{pmatrix}{1}{-i}end{pmatrix}},psi _{z+}=left|{frac {1}{2}},{ frac {+1}{2}}rightrangle _{z}=&{begin{pmatrix}{1}{0}end{pmatrix}},&psi _{z-}= izquierda|{frac{1}{2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{z}=&{begin{pmatrix}{0}{1}end{pmatrix}}.end{matriz}}}

(Debido a que cualquier vector propio multiplicado por una constante sigue siendo un vector propio, existe ambigüedad sobre el signo general. En este artículo, la convención se elige para hacer que el primer elemento sea imaginario y negativo si hay una ambigüedad de signo. La presente convención es utilizada por software como SymPy; mientras que muchos libros de texto de física, como Sakurai y Griffiths, prefieren hacerlo real y positivo).

Según los postulados de la mecánica cuántica, un experimento diseñado para medir el espín del electrón en el eje x, y o z solo puede producir un valor propio del operador de espín correspondiente (S x, S y o S z) en ese eje, es decirħ/2o -ħ/2. El estado cuántico de una partícula (con respecto al espín) se puede representar mediante un espinor de dos componentes: {displaystyle psi ={begin{pmatrix}a+bic+diend{pmatrix}}.}

Cuando el espín de esta partícula se mide con respecto a un eje dado (en este ejemplo, el eje x), la probabilidad de que su espín se mida comoħ/2es solo {displaystyle {grande |}langle psi _{x+}|psi rangle {grande |}^{2}}. En consecuencia, la probabilidad de que su espín se mida como:ħ/2es solo {displaystyle {grande |}langle psi _{x-}|psi rangle {grande |}^{2}}. Después de la medición, el estado de espín de la partícula colapsa en el estado propio correspondiente. Como resultado, si se ha medido el giro de la partícula a lo largo de un eje dado para tener un valor propio dado, todas las mediciones darán el mismo valor propio (ya que {displaystyle {grande |}langle psi _{x+}|psi _{x+}rangle {grande |}^{2}=1}, etc.), siempre que no se realicen mediciones del giro a lo largo de otros ejes.

Medición del giro a lo largo de un eje arbitrario

El operador para medir el espín a lo largo de una dirección de eje arbitraria se obtiene fácilmente a partir de las matrices de espín de Pauli. Sea u = (u x, u y, u z) un vector unitario arbitrario. Entonces el operador de giro en esta dirección es simplemente {displaystyle S_{u}={frac {hbar }{2}}(u_{x}sigma_{x}+u_{y}sigma_{y}+u_{z}sigma_{ z}).}

El operador Su tiene valores propios de ±ħ/2, al igual que las matrices de espín habituales. Este método de encontrar el operador para el espín en una dirección arbitraria se generaliza a estados de espín más altos, uno toma el producto escalar de la dirección con un vector de los tres operadores para las tres direcciones del eje x, y, z.

Un espinor normalizado para spin-1/2en la dirección (u x, u y, u z) (que funciona para todos los estados de giro excepto el giro hacia abajo, donde dará0/0) es {displaystyle {frac {1}{sqrt {2+2u_{z}}}}{begin{pmatrix}1+u_{z}u_{x}+iu_{y}end{pmatrix} }.}

El espinor anterior se obtiene de la forma habitual al diagonalizar la matriz σ u y encontrar los estados propios correspondientes a los valores propios. En mecánica cuántica, los vectores se denominan "normalizados" cuando se multiplican por un factor de normalización, lo que da como resultado que el vector tenga una longitud de la unidad.

Compatibilidad de las medidas de giro

Dado que las matrices de Pauli no conmutan, las medidas de espín a lo largo de los diferentes ejes son incompatibles. Esto significa que si, por ejemplo, conocemos el giro a lo largo del eje x y luego medimos el giro a lo largo del eje y, hemos invalidado nuestro conocimiento previo del giro del eje x. Esto se puede ver a partir de la propiedad de los vectores propios (es decir, estados propios) de las matrices de Pauli que {displaystyle {grande |}langle psi _{xpm }|psi _{ypm }rangle {grande |}^{2}={grande |}langle psi_{ xpm }|psi _{zpm }rangle {grande |}^{2}={grande |}langle psi _{ypm }|psi _{zpm } rango {grande |}^{2}={tfrac {1}{2}}.}

Entonces, cuando los físicos miden el giro de una partícula a lo largo del eje x como, por ejemplo,ħ/2, el estado de espín de la partícula colapsa en el estado propio { estilo de visualización | psi _ {x +} ángulo}. Cuando posteriormente medimos el giro de la partícula a lo largo del eje y, el estado de giro ahora colapsará en cualquiera de { estilo de visualización | psi _ {y +} rangle}o { estilo de visualización | psi _ {y-} rangle}, cada uno con probabilidad1/2. Digamos, en nuestro ejemplo, que medimos −ħ/2. Cuando ahora volvamos a medir el espín de la partícula a lo largo del eje x, las probabilidades de que midamosħ/2o -ħ/2son cada uno1/2(es decir, son {displaystyle {grande |}langle psi _{x+}|psi _{y-}rangle {grande |}^{2}}y {displaystyle {grande |}langle psi _{x-}|psi _{y-}rangle {grande |}^{2}}respectivamente). Esto implica que la medida original del giro a lo largo del eje x ya no es válida, ya que ahora se medirá el giro a lo largo del eje x para tener cualquier valor propio con la misma probabilidad.

Giros más altos

El giro-1/2operador S =ħ/2σ forma la representación fundamental de SU(2). Tomando los productos de Kronecker de esta representación consigo mismo repetidamente, uno puede construir todas las representaciones irreductibles superiores. Es decir, los operadores de espín resultantes para sistemas de espín más alto en tres dimensiones espaciales se pueden calcular para s arbitrariamente grandes usando este operador de espín y operadores de escalera. Por ejemplo, tomando el producto de Kronecker de dos spin-1/2produce una representación de cuatro dimensiones, que es separable en una representación de espín-1 tridimensional (estados de triplete) y una representación de espín-0 unidimensional (estado de singlete).

Las representaciones irreducibles resultantes producen las siguientes matrices de espín y valores propios en la base z:

  1. Para el giro 1 son {displaystyle {begin{alineado}S_{x}&={frac {hbar }{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}0&1&01&0&1�&1&0end{pmatrix}}, &left|1,+1rightrangle _{x}&={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1{sqrt {2}}1end{ pmatrix}},&left|1,0rightrangle _{x}&={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}-1�1 end{pmatrix}},&left|1,-1rightrangle _{x}&={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1{-{sqrt {2 }}}1end{pmatrix}}S_{y}&={frac {hbar }{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}0&-i&0i&0&-i �&i&0end{pmatrix}},&left|1,+1rightrangle _{y}&={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}-1-i{ sqrt {2}}1end{pmatrix}},&left|1,0rightrangle _{y}&={frac {1}{sqrt {2}}}{begin {pmatrix}1�1end{pmatrix}},&left|1,-1rightrangle _{y}&={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}-1i{sqrt {2}}1end{pmatrix}}S_{z}&=hbar { begin{pmatrix}1&0&0�&0&0�&0&-1end{pmatrix}},&left|1,+1rightrangle _{z}&={begin{pmatrix}1� 0end{pmatrix}},&left|1,0rightrangle _{z}&={begin{pmatrix}01�end{pmatrix}},&left|1,-1rightrangle _{z}&={begin{pmatrix}0�1end{pmatrix}}end{alineado}}}
  2. para girar3/2ellos son {displaystyle {begin{matriz}{lclc}S_{x}={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}0&{sqrt {3}}&0&0{sqrt {3 }}&0&2&0�&2&0&{sqrt {3}}�&0&{sqrt {3}}&0end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2} },{frac {+3}{2}}rightrangle _{x}=!!!&{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{ pmatrix}1{sqrt {3}}{sqrt {3}}1end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2} },{frac {+1}{2}}rightrangle _{x}=!!!&{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{ pmatrix}{-{sqrt {3}}}-11{sqrt {3}}end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3 {2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{x}=!!!&{frac {1}{2{sqrt {2}}}} {begin{pmatrix}{sqrt {3}}-1-1{sqrt {3}}end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2}}rightrangle _{x}=!!!&{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{pmatrix}-1{sqrt {3}}{-{sqrt {3}}}1 end{pmatrix}}S_{y}={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}0&-i{sqrt {3}}&0&0i{sqrt {3}} &0&-2i&0�&2i&0&-i{sqrt {3}}�&0&i{sqrt {3}}&0end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{ 2}},{frac {+3}{2}}rightrangle _{y}=!!!&{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{ begin{pmatrix}{i}{-{sqrt {3}}}{-i{sqrt {3}}}1end{pmatrix}},!!!& izquierda|{frac {3}{2}},{frac {+1}{2}}derecharangle _{y}=!!!&{frac {1}{2{ raíz {2}}}}{begin{pmatrix}{-i{sqrt {3}}}1{-i}{sqrt {3}}end{pmatrix}}, !!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{y}=!!!&{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{pmatrix}{i{sqrt {3}}}1{i}{sqrt {3}}end{ pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2}}rightrangle _{y}=!! !&{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{pmatrix}{-i}{-{sqrt {3}}}{i{sqrt {3} }}1end{pmatrix}}S_{z}={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}3&0&0&0�&1&0&0�&0&-1&0�&0&0&-3 end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+3}{2}}rightrangle _{z}=! !!&{begin{pmatrix}1���end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{ frac {+1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}01��end{pmatrix}},! !!&left|{frac {3}{2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{ pmatrix}0�1�end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2} }rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}}end{matriz}}}{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{pmatrix}{-i}{-{sqrt {3}}}{i{sqrt {3}} }1end{pmatrix}}S_{z}={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}3&0&0&0�&1&0&0�&0&-1&0�&0&0&-3end {pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+3}{2}}rightrangle _{z}=!! !&{begin{pmatrix}1���end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}01��end{pmatrix}},! !!&left|{frac {3}{2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix }0�1�end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2}} rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}}end{matriz}}}{frac {1}{2{sqrt {2}}}}{begin{pmatrix}{-i}{-{sqrt {3}}}{i{sqrt {3}} }1end{pmatrix}}S_{z}={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}3&0&0&0�&1&0&0�&0&-1&0�&0&0&-3end {pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+3}{2}}rightrangle _{z}=!! !&{begin{pmatrix}1���end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}01��end{pmatrix}},! !!&left|{frac {3}{2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix }0�1�end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2}} rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}}end{matriz}}}left|{frac {3}{2}},{frac {+3}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}1 0��end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+1}{2}}rightrangle _ {z}=!!!&{begin{pmatrix}01��end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3 {2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0�1� end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2}}rightrangle _{z}=! !!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}}end{matriz}}}left|{frac {3}{2}},{frac {+3}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}1 0��end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {+1}{2}}rightrangle _ {z}=!!!&{begin{pmatrix}01��end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3 {2}},{frac {-1}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0�1� end{pmatrix}},!!!&left|{frac {3}{2}},{frac {-3}{2}}rightrangle _{z}=! !!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}}end{matriz}}}{frac {-3}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}} end{matriz}}}{frac {-3}{2}}rightrangle _{z}=!!!&{begin{pmatrix}0��1end{pmatrix}} end{matriz}}}
  3. para girar5/2ellos son {displaystyle {begin{alineado}{boldsymbol {S}}_{x}&={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}0&{sqrt {5}}&0&0&0&0 {sqrt {5}}&0&2{sqrt {2}}&0&0&0�&2{sqrt {2}}&0&3&0&0�&0&3&0&2{sqrt {2}}&0�&0&0&2{sqrt {2}}&0&{ sqrt {5}}�&0&0&0&{sqrt {5}}&0end{pmatrix}},{boldsymbol {S}}_{y}&={frac {hbar }{2}} {begin{pmatrix}0&-i{sqrt {5}}&0&0&0&0i{sqrt {5}}&0&-2i{sqrt {2}}&0&0&0�&2i{sqrt {2}}&0&- 3i&0&0�&0&3i&0&-2i{raíz cuadrada {2}}&0�&0&0&2i{raíz cuadrada {2}}&0&-i{raíz cuadrada {5}}�&0&0&0&i{raíz cuadrada {5}}&0end{matriz} },{boldsymbol {S}}_{z}&={frac {hbar }{2}}{begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0�&3&0&0&0&0�&0&1&0&0&0�&0&0&0&-1&0&0�&0&0&0&-3&0�&0&0&0&0&-5end{matrix}}.end{alineado}}}
  4. La generalización de estas matrices para espín arbitrario s es {displaystyle {begin{alineado}left(S_{x}right)_{ab}&={frac {hbar }{2}}left(delta _{a,b+1}+ delta _{a+1,b}right){sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},left(S_{y}right)_{ab} &={frac {ihbar }{2}}left(delta _{a,b+1}-delta _{a+1,b}right){sqrt {(s+1) (a+b-1)-ab}},left(S_{z}right)_{ab}&=hbar (s+1-a)delta _{a,b}=hbar (s+1-b)delta _{a,b},end{alineado}}}donde índices a,bson números enteros tales que {displaystyle 1leq aleq 2s+1,quad 1leq bleq 2s+1.}

También útil en la mecánica cuántica de sistemas multipartícula, el grupo general de Pauli G n se define como compuesto por todos los productos tensoriales de n veces de las matrices de Pauli.

La fórmula análoga de la fórmula de Euler en términos de las matrices de Pauli {displaystyle {sombrero {R}}(theta,{sombrero {mathbf {n} }})=e^{i{frac {theta}{2}}{sombrero {mathbf {n } }}cdot {boldsymbol {sigma }}}=Icos {frac {theta }{2}}+ileft({hat {mathbf {n} }}cdot {boldsymbol {sigma}}right)sin {frac {theta}{2}}}

para giros más altos es manejable, pero menos simple.

Paridad

En las tablas de los números cuánticos de espín s para núcleos o partículas, el espín suele ir seguido de un "+" o "-". Esto se refiere a la paridad con "+" para paridad par (función de onda sin cambios por inversión espacial) y "-" para paridad impar (función de onda negada por inversión espacial). Por ejemplo, vea los isótopos de bismuto, en los que la lista de isótopos incluye la columna de espín nuclear y paridad. Para Bi-209, el único isótopo estable, la entrada 9/2– significa que el espín nuclear es 9/2 y la paridad es impar.

Aplicaciones

Spin tiene importantes implicaciones teóricas y aplicaciones prácticas. Las aplicaciones directas bien establecidas de giro incluyen:

El espín de los electrones juega un papel importante en el magnetismo, con aplicaciones, por ejemplo, en las memorias de las computadoras. La manipulación del espín nuclear por ondas de radiofrecuencia (resonancia magnética nuclear) es importante en espectroscopia química e imágenes médicas.

El acoplamiento espín-órbita conduce a la estructura fina de los espectros atómicos, que se utiliza en los relojes atómicos y en la definición moderna del segundo. Las mediciones precisas del factor g del electrón han jugado un papel importante en el desarrollo y verificación de la electrodinámica cuántica. El giro del fotón está asociado con la polarización de la luz (polarización del fotón).

Una aplicación emergente del espín es como portador de información binaria en transistores de espín. El concepto original, propuesto en 1990, se conoce como transistor de espín Datta-Das. La electrónica basada en transistores de espín se conoce como espintrónica. La manipulación del espín en materiales semiconductores magnéticos diluidos, como el ZnO o el TiO 2 dopados con metal, otorga un mayor grado de libertad y tiene el potencial de facilitar la fabricación de componentes electrónicos más eficientes.

Hay muchas aplicaciones y manifestaciones indirectas del espín y el principio de exclusión de Pauli asociado, comenzando con la tabla periódica de la química.

Historia

El espín se descubrió por primera vez en el contexto del espectro de emisión de los metales alcalinos. En 1924, Wolfgang Pauli introdujo lo que llamó "dos valores no descriptibles clásicamente" asociados con el electrón en la capa más externa. Esto le permitió formular el principio de exclusión de Pauli, afirmando que dos electrones no pueden tener el mismo estado cuántico en el mismo sistema cuántico.

Inicialmente se desconocía la interpretación física del "grado de libertad" de Pauli. Ralph Kronig, uno de los asistentes de Landé, sugirió a principios de 1925 que se producía por la autorrotación del electrón. Cuando Pauli se enteró de la idea, la criticó severamente y señaló que la superficie hipotética del electrón tendría que moverse más rápido que la velocidad de la luz para que girara lo suficientemente rápido como para producir el momento angular necesario. Esto violaría la teoría de la relatividad. En gran parte debido a las críticas de Pauli, Kronig decidió no publicar su idea.

En el otoño de 1925, los físicos holandeses George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit de la Universidad de Leiden pensaron lo mismo. Bajo el consejo de Paul Ehrenfest, publicaron sus resultados. Obtuvo una respuesta favorable, especialmente después de que Llewellyn Thomas lograra resolver una discrepancia de factor de dos entre los resultados experimentales y los cálculos de Uhlenbeck y Goudsmit (y los resultados no publicados de Kronig). Esta discrepancia se debió a la orientación del marco tangente del electrón, además de su posición.

Matemáticamente hablando, se necesita una descripción del haz de fibras. El efecto de paquete tangente es aditivo y relativista; es decir, desaparece si c tiende a infinito. Es la mitad del valor obtenido sin tener en cuenta la orientación del espacio tangente, pero con signo opuesto. Así, el efecto combinado difiere del último por un factor dos (precesión de Thomas, conocida por Ludwik Silberstein en 1914).

A pesar de sus objeciones iniciales, Pauli formalizó la teoría del espín en 1927, utilizando la teoría moderna de la mecánica cuántica inventada por Schrödinger y Heisenberg. Fue pionero en el uso de matrices de Pauli como representación de los operadores de espín e introdujo una función de onda de espinor de dos componentes. Uhlenbeck y Goudsmit consideraron que el giro surge de la rotación clásica, mientras que Pauli enfatizó que el giro es una propiedad intrínseca y no clásica.

La teoría del giro de Pauli no era relativista. Sin embargo, en 1928, Paul Dirac publicó la ecuación de Dirac, que describía el electrón relativista. En la ecuación de Dirac, se utilizó un espinor de cuatro componentes (conocido como "espinor de Dirac") para la función de onda del electrón. El giro relativista explicó la anomalía giromagnética, que fue (en retrospectiva) observada por primera vez por Samuel Jackson Barnett en 1914 (ver el efecto de Einstein-de Haas). En 1940, Pauli demostró el teorema de la estadística de espín, que establece que los fermiones tienen un espín medio entero y los bosones tienen un espín entero.

En retrospectiva, la primera evidencia experimental directa del espín del electrón fue el experimento de Stern-Gerlach de 1922. Sin embargo, la explicación correcta de este experimento no se dio hasta 1927.