Espectro de una matriz

En matemáticas, la espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro de una matriz es el conjunto de sus eigenvalues. Más generalmente, si T:: V→ → V{displaystyle Tcolon Vto V} es un operador lineal en cualquier espacio vectorial finito, su espectro es el conjunto de escalares λ λ {displaystyle lambda } tales que T− − λ λ I{displaystyle T-lambda Yo... no es invertible. El determinante de la matriz equivale al producto de sus eigenvalues. Del mismo modo, el trazo de la matriz equivale a la suma de sus eigenvalues. Desde este punto de vista, podemos definir el pseudo-determinante de una matriz singular para ser el producto de sus eigenvalues no cero (la densidad de distribución normal multivariada necesitará esta cantidad).

En muchas aplicaciones, como PageRank, uno está interesado en el valor propio dominante, es decir, el valor absoluto más grande. En otras aplicaciones, el valor propio más pequeño es importante, pero en general, todo el espectro proporciona información valiosa sobre una matriz.

Definición

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún campo K y suponga T: V → V es un mapa lineal. El espectro de T, denotado σ_T, es el multiconjunto de raíces del polinomio característico de T. Así, los elementos del espectro son precisamente los valores propios de T, y la multiplicidad de un valor propio λ en el espectro es igual a la dimensión del espacio propio generalizado de T por λ (también llamada multiplicidad algebraica de λ).

Ahora, fije una base B de V sobre K y suponga que M ∈ Mat_K(V) es una matriz. Defina el mapa lineal T: V → V puntualmente por Tx = Mx, donde en el lado derecho x se interpreta como un vector columna y M actúa sobre x mediante la multiplicación de matrices. Ahora decimos que x ∈ V es un vector propio de M si x es un vector propio de T . De manera similar, λ ∈ K es un valor propio de M si es un valor propio de T, y con la misma multiplicidad, y el espectro de M, escrito σ_M, es el multiconjunto de todos estos valores propios.

Nociones relacionadas

La descomposición propia (o descomposición espectral) de una matriz diagonalizable es una descomposición de una matriz diagonalizable en una forma canónica específica mediante la cual la matriz se representa en términos de sus valores propios y vectores propios.

El radio espectral de una matriz cuadrada es el mayor valor absoluto de sus valores propios. En teoría espectral, el radio espectral de un operador lineal acotado es el supremo de los valores absolutos de los elementos en el espectro de ese operador.