Espectro de un anillo

En álgebra conmutativa, el espectro primario (o simplemente el espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro) de un anillo R es el conjunto de todos los ideales primos de R, y es generalmente denotado por ${displaystyle operatorname {Spec} {R}$; en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con la hoja de anillos ${displaystyle {fnMithcal}}$.

Topología de Zariski

Para cualquier ideal I de R, definir ${displaystyle V_{I}$ para ser el conjunto de ideales primos que contienen I. Podemos poner una topología en ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ definiendo la colección de conjuntos cerrados

${displaystyle {V_{I}colon Es un ideal de }R}$

Esta topología se denomina topología de Zariski.

Una base para la topología de Zariski se puede construir de la siguiente manera. Para f ▪ R, definir D_f para ser el conjunto de ideales primos de R no contiene f. Entonces cada uno D_f es un subconjunto abierto de ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$, y ${displaystyle {D_{f}:fin R.$ es una base para la topología Zariski.

${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ es un espacio compacto, pero casi nunca Hausdorff: de hecho, los ideales máximos en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento, no es, en general, un espacio T1. Sin embargo, ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ es siempre un espacio Kolmogorov (satisface el T₀ axiom); es también un espacio espectral.

Rodillos y esquemas

Dado el espacio ${displaystyle X=operatorname {Spec} (R)}$ con la topología Zariski, la estructura jersey O_X se define en los distinguidos subconjuntos abiertos D_f por fijación D_f, O_X) R_f, la localización de R por los poderes f. Se puede demostrar que esto define una hoja B y por lo tanto que define una hoja. En más detalle, los distinguidos subconjuntos abiertos son la base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U, escrito como la unión de {D_fi}_i▪I, fijamos la cajaU,O_X= lim_i▪I R_fi. Uno puede comprobar que esta hoja es una hoja, así que ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ es un espacio anillado. Cualquier isomorfo espacio anillado a una de estas formas se llama un affine scheme. Los esquemas generales se obtienen pegando los esquemas de affine juntos.

Del mismo modo, para un módulo M sobre el anillo R, podemos definir una hoja ${displaystyle {tilde {}}}$ on ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$. En el distinguido conjunto de subconjuntos abiertosD_f, ${displaystyle {tilde {}}}$) M_f, utilizando la localización de un módulo. Como arriba, esta construcción se extiende a un presheaf en todos los subconjuntos abiertos de ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ y satisfies pegando axiomas. Una hoja de esta forma se llama una hoja cuasiherente.

Si P es un punto en ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$, es decir, un ideal primario, luego el tallo de la estructura de hoja en P iguala la localización de R en el ideal PY este es un anillo local. En consecuencia, ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ es un espacio llamado localmente.

Si R es un dominio integral, con campo de fracciones K, entonces podemos describir el anillo Γ(U, O_X) más concretamente de la siguiente manera. Decimos que un elemento f en K es regular en un punto P en X si se puede representar como una fracción f = a/b con b no en P. Tenga en cuenta que esto concuerda con la noción de una función regular en geometría algebraica. Usando esta definición, podemos describir Γ(U,O_X) precisamente como el conjunto de elementos de < i>K que son regulares en cada punto P en U.

Perspectiva funcional

Es útil utilizar el lenguaje de la teoría de la categoría y observar que ${displaystyle operatorname {Spec}$ es un functor. Cada anillo homomorfismo ${displaystyle f:Rto S}$ induce un mapa continuo ${displaystyle operatorname {Spec} (f):operatorname {Spec} (S)to operatorname {Spec} (R)}$ (desde la preimage de cualquier ideal primario en ${displaystyle S.$ es un ideal excelente en ${displaystyle R.$). De esta manera, ${displaystyle operatorname {Spec}$ se puede ver como un functor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios topológicos. Además, por cada primo ${displaystyle {Mathfrak}}$ el homomorfismo ${displaystyle f}$ desciende a los homomorfismos

${displaystyle {máthcal {f} {f} {f} {f} {f}}to}}to {fnK} {fnMithfrak}}}$

de anillos locales. Así ${displaystyle operatorname {Spec}$ incluso define un functor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios con anillo local. De hecho es el universal tal functor por lo tanto se puede utilizar para definir el functor ${displaystyle operatorname {Spec}$ hasta el isomorfismo natural.

El functor ${displaystyle operatorname {Spec}$ cede una equivalencia contravariante entre categoría de anillos conmutativos y el categoría de planes de afinidad; cada una de estas categorías se piensa a menudo como la categoría opuesta de la otra.

Motivación desde la geometría algebraica

Siguiendo con el ejemplo, en geometría algebraica se estudian conjuntos algebraicos, es decir subconjuntos de Kⁿ (donde K es un campo algebraicamente cerrado) que se definen como los ceros comunes de un conjunto de polinomios en n variables. Si A es un conjunto algebraico de este tipo, se considera el anillo conmutativo R de todas las funciones polinómicas A → K. Los ideales máximos de R corresponden a los puntos de A (porque K es algebraicamente cerrado), y el < i>ideales primos de R corresponden a las subvariedades de A (un conjunto algebraico se llama irreducible o variedad si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios).

El espectro de R por lo tanto consta de los puntos de A junto con elementos para todas las subvariedades A. Los puntos de A están cerrados en el espectro, mientras que los elementos correspondientes a subvarieties tienen un cierre consistente en todos sus puntos y subvarieties. Si uno sólo considera los puntos A, es decir, los ideales máximos en R, entonces la topología Zariski definida anteriormente coincide con la topología Zariski definida en conjuntos algebraicos (que tiene precisamente los subconjuntos algebraicos como conjuntos cerrados). Específicamente, los ideales máximos en R, es decir. ${displaystyle operatorname {MaxSpec} (R)}$, junto con la topología Zariski, es homeomorfa a A también con la topología Zariski.

Uno puede ver así el espacio topológico ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ como un "enriquecimiento" del espacio topológico A (con la topología de Zariski): por cada subvariedad de A, se ha introducido un punto no cerrado adicional, y este punto "la pista de mantenimiento" de la correspondiente subvariedad. Uno piensa en este punto como el punto genérico para la subvariedad. Además, la hoja encendida ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ y la hoja de funciones polinómicas en A son esencialmente idénticos. Al estudiar espectros de anillos polinomios en lugar de conjuntos algebraicos con la topología de Zariski, se puede generalizar los conceptos de geometría algebraica a campos no-algebraicamente cerrados y más allá, eventualmente llegando al lenguaje de esquemas.

Ejemplos

• El esquema de afinidad ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z})}$ es el objeto final en la categoría de esquemas de afinidad desde ${displaystyle mathbb {Z}$ es el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos.
• El esquema de afinidad ${displaystyle mathbb {A} {fnMithbb {C} {fn}=fn} {Spec} (mathbb {C} [x_{1},ldotsx_{n})}}$ es la analogía teórica del esquema ${displaystyle mathbb {C} {n}}$. Desde el functor de la perspectiva de puntos, un punto ${displaystyle (alpha _{1},ldotsalpha _{n})in mathbb {C}$ se puede identificar con el morfismo de evaluación ${displaystyle mathbb {C} [x_{1},ldotsx_{n}{xrightarrow {ev_{(alpha ¿Qué? {C}$. Esta observación fundamental nos permite dar sentido a otros esquemas afines.
• ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ parece topológicamente como la intersección transversal de dos planos complejos en un punto, aunque típicamente esto se representa como un ${displaystyle +}$ desde los únicos morfismos bien definidos ${displaystyle mathbb {C}$ son los morfismos de evaluación asociados con los puntos ${displaystyle {(alpha _{1},0),(0,alpha _{2}):alpha _{1},alpha _{2}in mathbb {C}}$.
• El espectro principal de un anillo booleano (por ejemplo, un anillo de alimentación) es un espacio compacto (Hausdorff).
• (M. Hochster) Un espacio topológico es homeomórfico al espectro primario de un anillo comunicativo (es decir, un espacio espectral) si y sólo si es cuasi-compacto, cuasi separado y sobrio.

Ejemplos no afines

Estos son algunos ejemplos de esquemas que no son esquemas afines. Se construyen a partir de la unión de esquemas afines.

• El proyecto ${displaystyle n}$-Espacio ${displaystyle mathbb {cH00} {cH00}=fn} {Proj} k[x_{0},ldotsx_{n}}$ sobre un terreno ${displaystyle k}$. Esto se puede generalizar fácilmente a cualquier anillo base, vea la construcción Proj (de hecho, podemos definir el espacio de proyecto para cualquier esquema base). El proyecto ${displaystyle n}$-Pace para ${displaystyle ngeq 1}$ no es afine como la sección global de ${displaystyle mathbb {fn} {fn} {fn}$ es ${displaystyle k}$.
• Avión fino menos el origen. Dentro ${displaystyle mathbb {A} _{2}=operatorname {Spec} ,k[x,y]}$ son distinguidos affine subschemes ${displaystyle D_{x},D_{y}$. Su sindicato ${displaystyle D_{x}cup D_{y}=U}$ es el avión affine con el origen sacado. Las secciones mundiales ${displaystyle U}$ son pares de polinomios en ${displaystyle D_{x},D_{y}$ que restringen al mismo polinomio ${displaystyle D_{xy}$, que se puede demostrar ${displaystyle k[x,y]}$, la sección mundial de ${displaystyle mathbb {A} _{k}{2}$. ${displaystyle U}$ no es afine como ${displaystyle V_{(x)}cap V_{(y)}=varnothing }$ dentro ${displaystyle U}$.

Topologías que no son de Zariski en un espectro principal

Algunos autores (en particular, M. Hochster) consideran topologías en espectros principales distintas de la topología de Zariski.

Primero, hay la noción de topología constructible: dada un anillo A, los subconjuntos de ${displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ de la forma ${displaystyle varphi ^{*}(operatorname B, Navarra. Ato B}$ satisfacer los axiomas para conjuntos cerrados en un espacio topológico. Esta topología en ${displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ se llama la topología constructible.

En Hochster (1969), Hochster considera lo que él llama la topología del parche en un espectro primario. Por definición, la topología del parche es la topología más pequeña en la que los conjuntos de las formas ${displaystyle V(I)}$ y ${displaystyle operatorname {Spec} (A)-V(f)}$ están cerrados.

Especificaciones globales o relativas

Hay una versión relativa del functor ${displaystyle operatorname {Spec}$ llamada mundial ${displaystyle operatorname {Spec}$, o relativo ${displaystyle operatorname {Spec}$. Si ${displaystyle S.$ es un esquema, entonces relativo ${displaystyle operatorname {Spec}$ es denotado por ${displaystyle {compline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Spec} }$ o ${displaystyle mathbf {Spec}$. Si ${displaystyle S.$ está claro desde el contexto, entonces relativo Las especies pueden ser denotadas por ${displaystyle {compline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Spec}$ o ${displaystyle mathbf {Spec}$. Para un plan ${displaystyle S.$ y un cuasi-coherente . ${displaystyle {fnMithcal}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}}} {fn}}}}}}}}}}}} {fnMicros} {f}}}}$- álgebras ${displaystyle {fnMithcal}}$, hay un esquema ${displaystyle {compline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Spec} - Sí.$ y un morfismo ${displaystyle f:{underline {fnMicrosoft Sans Serif} [Risas]$ tal que por cada afin abierto ${displaystyle Usubseteq S}$, hay un isomorfismo ${displaystyle f^{-1}(U)cong operatorname {Spec} ({mathcal {A}(U)})}$, y tal que para affines abiertos ${displaystyle Vsubseteq U}$, la inclusión ${displaystyle f^{-1}(V)to f^{-1}(U)}$ es inducido por el mapa de restricción ${displaystyle {Mathcal {}(U)to {fnMithcal}(V)}$. Es decir, como los homomorfismos de anillo inducen mapas opuestos de espectro, los mapas de restricción de una hoja de álgebras inducen los mapas de inclusión de los espectros que componen los Específico de la hoja.

Global Spec tiene una propiedad universal similar a la propiedad universal para el Spec común. Más precisamente, así como Spec y el functor de sección global son conjuntos de derecha contravariantes entre la categoría de anillos y esquemas conmutativos, el espectro global y el functor de imagen directa para el mapa de la estructura son conjuntos de derecha contravariantes entre la categoría de conmutación ${displaystyle {fnMithcal}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}}} {fn}}}}}}}}}}}} {fnMicros} {f}}}}$- álgebras y esquemas sobre ${displaystyle S.$. En fórmulas,

${displaystyle operatorname {Hom} {fnK} {fnMitcal {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ [Hom] _{text{Sch}/S}(X,mathbf {Spec} ({mathcal {A})})}$

Donde ${displaystyle pi colon Xto S}$ es un morfismo de esquemas.

Ejemplo de una especificación relativa

La especificación relativa es la herramienta correcta para parametrizar la familia de líneas a través del origen de ${displaystyle mathbb {A} {fnMithbb {C}} {2}}$ sobre ${displaystyle X=Mathbb {fnMicrosoft Sans Serif}$ Considere la hoja de álgebras ${displaystyle {mathcal {fnMithcal {}_{X}[x,y],}$ y dejar ${displaystyle {mathcal {}=(ay-bx)}$ ser una hoja de ideales de ${displaystyle {mathcal {A}}$ Entonces la especie relativa ${displaystyle {compline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Spec} ♪♪♪♪♪ {A}/{mathcal {I})to mathbb {P} _{a, B} {1}$ parametriza a la familia deseada. De hecho, la fibra sobre ${displaystyle [alpha:beta]}$ es la línea a través del origen de ${displaystyle mathbb {A}$ conteniendo el punto ${displaystyle (alphabeta). }$ Sumas ${displaystyle alpha neq 0,}$ la fibra se puede calcular mirando la composición de los diagramas de retroceso

${displaystyle {begin{matrix}operatorname {Spec} left({frac {mathbb {C} [x,y]}{left(y-{frac {beta }{alpha }xright)}}}right)} {derecho)} {derecho)}derecho)}}derecho)}derecha) {Spec} left({frac {Mathbb {C} left [{frac {b}derecha][x,y]}{left(y-{frac} {b}}xright)}derecha) < < < > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > & > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > {Spec} {fnMitcal {fnMitcal {fnK}[x,y]}{left(ay-bxright)}right)\\downarrow > âTMa âTMadownarrow\\\\\fnMiembro de operador {Spec} (mathbb {C}) Condenadoto > 'operatorname {Spec} left(mathbb {C} left[{frac {b}{a}right)=U_{a} {to > mathbb {P} _{a,b}}}}end{matrix}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}} {m}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m} {m} {m}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

donde la composición de las flechas inferiores

${displaystyle operatorname {Spec} {mathbb {C}){xrightarrow {[alpha:beta ]}mathbb {} _{a, B} {1}$

da la línea que contiene el punto ${displaystyle (alphabeta)}$ y el origen. Este ejemplo se puede generalizar parametrizar la familia de líneas a través del origen de ${displaystyle mathbb {A} {fnMithbb {C} {n+1}$ sobre ${displaystyle X=Mathbb {fn}$ por dejar ${displaystyle {fnMitcal}={fnMitcal [Risas] [Risas]$ y ${displaystyle {mathcal {}=left(2times 2{text{ minors of }{begin{pmatrix}a_{0} limitcdots ¿Qué?$

Perspectiva de la teoría de la representación

Desde la perspectiva de la teoría de la representación, un ideal primo I corresponde a un módulo R/I, y el espectro de un anillo corresponde a representaciones cíclicas irreducibles de R, mientras que las subvariedades más generales corresponden a representaciones posiblemente reducibles que no necesitan ser cíclicas. Recuérdese que, en abstracto, la teoría de la representación de un grupo es el estudio de los módulos sobre su álgebra de grupos.

La conexión a la teoría de la representación es más clara si se considera el anillo polinomio ${displaystyle R=K[x_{1},dotsx_{n}}$ o, sin base, ${displaystyle R=K[V].}$ Como la última formulación deja clara, un anillo polinomio es el álgebra de grupo sobre un espacio vectorial, y la escritura en términos de ${displaystyle x_{i}}$ corresponde a elegir una base para el espacio vectorial. Entonces un ideal Yo... o equivalente a un módulo ${displaystyle R/I,}$ es una representación cíclica R (significado cíclico generado por 1 elemento como R-módulo; esto generaliza las representaciones 1-dimensionales).

En el caso de que el campo está cerrado algebraicamente (por ejemplo, los números complejos), cada ideal maximal corresponde a un punto en n-espacio, por el nullstellensatz (el ideal máximo generado por ${displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),ldots(x_{n}-a_{n})}$ corresponde al punto ${displaystyle (a_{1},ldotsa_{n}}$). Estas representaciones de ${displaystyle K[V]}$ son entonces parametrizados por el espacio dual ${displaystyle V^{*}$ el covector que se da enviando cada uno ${displaystyle x_{i}}$ al correspondiente ${displaystyle A_{i}$. Así una representación de ${displaystyle K^{n}$ ()K- mapas lineales ${displaystyle K^{n}to K}$) es dado por un conjunto de n números, o equivalentemente un covector ${displaystyle K^{n}to K.}$

Así, puntos en n- espacio, pensado como el espectro máximo de ${displaystyle R=K[x_{1},dotsx_{n}$ corresponden precisamente a representaciones 1-dimensionales de R, Mientras que conjuntos finitos de puntos corresponden a representaciones finitas-dimensionales (que son reducibles, correspondientes geométricamente a ser una unión, y algebraicamente a no ser un ideal primario). Los ideales no-maximales entonces corresponden a infinito- representaciones dimensionales.

Perspectiva de análisis funcional

El término "espectro" proviene del uso en la teoría del operador. Dado un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V, se puede considerar el espacio vectorial con operador como un módulo sobre el anillo polinomial en una variable R =K[T], como en el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal. Entonces el espectro de K[T] (como anillo) es igual al espectro de T (como operador).

Además, la estructura geométrica del espectro del anillo (equivalentemente, la estructura algebraica del módulo) captura el comportamiento del espectro del operador, como la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica. Por ejemplo, para la matriz identidad 2×2 tiene módulo correspondiente:

${displaystyle K[T]/(T-1)oplus K[T]/(T-1)}$

la matriz cero 2×2 tiene módulo

${displaystyle K[T]/(T-0)oplus K[T]/(T-0),}$

mostrando la multiplicidad geométrica 2 para el valor propio cero, mientras que una matriz nilpotente 2 × 2 no trivial tiene un módulo

${displaystyle K[T]/T^{2}$

muestra multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1.

Con más detalle:

• los eigenvalues (con multiplicidad geométrica) del operador corresponden a los puntos (reducidos) de la variedad, con multiplicidad;
• la descomposición primaria del módulo corresponde a los puntos no reducidos de la variedad;
• un operador diagonalizable (semisimple) corresponde a una variedad reducida;
• un módulo cíclico (un generador) corresponde al operador con un vector cíclico (un vector cuya órbita bajo T abarca el espacio);
• el último factor invariante del módulo equivale al mínimo polinomio del operador, y el producto de los factores invariantes equivale al polinomio característico.

Generalizaciones

El espectro puede ser generalizado de anillos a álgebras C* en la teoría del operador, dando la noción del espectro de un álgebra C*. Notablemente, para un espacio Hausdorff, el álgebra de los escalares (las funciones continuas vinculadas en el espacio, siendo análogas a las funciones regulares) es un commutative C*-álgebra, con el espacio siendo recuperado como un espacio topológico de ${displaystyle operatorname {MaxSpec}$ del álgebra de los escalares, de hecho functorialmente así; este es el contenido del teorema de Banach-Stone. De hecho, cualquier álgebra C* conmutativa se puede realizar como el álgebra de los escalares de un espacio Hausdorff de esta manera, dando la misma correspondencia que entre un anillo y su espectro. Generalización no- los álgebras C* transmutantes producen la topología no recíproca.