Espacios de fila y columna

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Los vectores de fila de una matriz. El espacio de fila de esta matriz es el espacio vectorial atravesado por los vectores de fila.

Los vectores de columna de una matriz. El espacio de la columna de esta matriz es el espacio vectorial abarcado por los vectores de la columna.

En álgebra lineal, el espacio de columnas (también llamado rango o imagen) de una matriz A es el intervalo (conjunto de todas posibles combinaciones lineales) de sus vectores columna. El espacio de columnas de una matriz es la imagen o el rango de la transformación matricial correspondiente.

Vamos $mathbb {F}$ Sé un campo. El espacio de columna de un $m \times n$ matriz con componentes de $mathbb {F}$ es un subespacio lineal del m-espacio ${displaystyle mathbb {F} ^{m}}$ . La dimensión del espacio de la columna se llama el rango de la matriz y es en la mayoría $min(m, n)$ . Una definición para matrices sobre un anillo $mathbb {K}$ también es posible.

El espacio de fila se define de manera similar.

El espacio de fila y el espacio de columna de una matriz $A$ a veces se denotan como $C (A T)$ y $C (A)$ respectivamente.

Este artículo considera matrices de números reales. Los espacios de fila y columna son subespacios de los espacios reales $mathbb {R} ^{n}$ y $mathbb{R} ^{m}$ respectivamente.

Resumen

Sea $A$ una $m$ -by- $n$ matriz. Entonces

$rango(A) = dim(rowsp(A) = dim(colsp(A)$ ,
$rango(A)$ = número de pivotes en cualquier forma de soltero $A$ ,
$rango(A)$ = el número máximo de filas o columnas linealmente independientes $A$ .

Si uno considera la matriz como una transformación lineal $mathbb {R} ^{n}$ a $mathbb {R} ^{m}$ , entonces el espacio de columna de la matriz iguala la imagen de esta transformación lineal.

El espacio de columnas de una matriz $A$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas en $A$ . Si $A = [a 1 \dots a n]$ , luego $colsp(A) = span({a 1,..., a n})$ .

El concepto de espacio de fila se generaliza a matrices sobre $mathbb {C}$ , el campo de números complejos, o sobre cualquier campo.

Intuitivamente, dada una matriz $A$ , la acción de la matriz $A$ en un vector $x$ devolverá una combinación lineal de las columnas de $A$ ponderada por las coordenadas de $x$ como coeficientes. Otra forma de ver esto es que (1) primero proyectará $x$ en el espacio de fila de $A$ , (2) realice una transformación invertible y (3) coloque el vector resultante $y$ en el espacio de columnas de $A$ . Por lo tanto, el resultado $y = A x$ debe residir en el espacio de columnas de A. Consulte la descomposición en valores singulares para obtener más detalles sobre esta segunda interpretación.

Ejemplo

Dada una matriz $J$ :

J={begin{bmatrix}2&4&1&3&2\-1&-2&1&0&5\1&6&2&2&2\3&6&2&5&1end{bmatrix}}

las filas son ${displaystyle mathbf {r} _{1}={begin{bmatrix}2&4&1&3&2end{bmatrix}}}$ , ${displaystyle mathbf {r} _{2}={begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5end{bmatrix}}}$ , ${displaystyle mathbf {r} _{3}={begin{bmatrix}1&6&2&2&2end{bmatrix}}}$ , ${displaystyle mathbf {r} _{4}={begin{bmatrix}3&6&2&5&1end{bmatrix}}}$ . En consecuencia, el espacio de filas $J$ es el subespacio ${displaystyle mathbb {R} ^{5}}$ azotado por ${} r 1, r 2, r 3, r 4}$ . Dado que estos cuatro vectores de fila son linealmente independientes, el espacio de fila es 4-dimensional. Además, en este caso se puede ver que todos son ortogonales al vector $n [6, 1, 4, 4, 0]$ , por lo que se puede deducir que el espacio de fila consta de todos los vectores en ${displaystyle mathbb {R} ^{5}}$ que son ortogonales $n$ .

Espacio de columna

Definición

Sea $K$ un campo de escalares. Sea $A$ una matriz $m \times n$ , con vectores columna $v 1, v 2,..., v n$ . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

c_1 mathbf{v}_1 + c_2 mathbf{v}_2 + cdots + c_n mathbf{v}_n,

donde $c 1, c 2,..., c n$ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de $v 1,..., v n$ se llama el espacio de columna de $A$ . Es decir, el espacio de columnas de $A$ es el espacio de los vectores $v 1,..., v n$ .

Cualquier combinación lineal de los vectores columna de una matriz $A$ puede escribirse como el producto de $A$ con un vector de columna:

{displaystyle {begin{array}{rcl}A{begin{bmatrix}c_{1}\vdots \c_{n}end{bmatrix}}&=&{begin{bmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}\vdots &ddots &vdots \a_{m1}&cdots &a_{mn}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}c_{1}\vdots \c_{n}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+cdots +c_{n}a_{1n}\vdots \c_{1}a_{m1}+cdots +c_{n}a_{mn}end{bmatrix}}=c_{1}{begin{bmatrix}a_{11}\vdots \a_{m1}end{bmatrix}}+cdots +c_{n}{begin{bmatrix}a_{1n}\vdots \a_{mn}end{bmatrix}}\&=&c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n}end{array}}}

Por lo tanto, el espacio de columnas de $A$ consta de todos los productos posibles $A x$ , para $x \in K n$ . Esto es lo mismo que la imagen (o rango) de la transformación matricial correspondiente.

Ejemplo

Si $A = begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 2 & 0 end{bmatrix}$ , entonces los vectores de columna son $v 1 = [1, 0, 2] T$ y $v 2 = [0, 1, 0] T$ . Una combinación lineal de v₁ y v₂ es cualquier vector de la forma

{displaystyle c_{1}{begin{bmatrix}1\0\2end{bmatrix}}+c_{2}{begin{bmatrix}0\1\0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{1}\c_{2}\2c_{1}end{bmatrix}}}

A

() x, Sí., z) R 3

z = 2 x

Base

Las columnas de $A$ abarcan el espacio de la columna, pero es posible que no formen una base si los vectores de las columnas no son linealmente independientes. Afortunadamente, las operaciones de fila elementales no afectan las relaciones de dependencia entre los vectores de columna. Esto hace posible usar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio de columnas.

Por ejemplo, considere la matriz

{displaystyle A={begin{bmatrix}1&3&1&4\2&7&3&9\1&5&3&1\1&2&0&8end{bmatrix}}.}

Las columnas de esta matriz abarcan el espacio de columnas, pero es posible que no sean linealmente independientes, en cuyo caso algún subconjunto de ellas formará una base. Para encontrar esta base, reducimos $A$ a una forma escalonada de fila reducida:

{displaystyle {begin{bmatrix}1&3&1&4\2&7&3&9\1&5&3&1\1&2&0&8end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&3&1&4\0&1&1&1\0&2&2&-3\0&-1&-1&4end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&0&-2&1\0&1&1&1\0&0&0&-5\0&0&0&5end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&0&-2&0\0&1&1&0\0&0&0&1\0&0&0&0end{bmatrix}}.}

En este punto, está claro que la primera, la segunda y la cuarta columna son linealmente independientes, mientras que la tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras. (Específicamente, $v 3 = -2 v 1 + v 2$ .) Por lo tanto, las columnas primera, segunda y cuarta de la matriz original son una base para el espacio de columnas:

{displaystyle {begin{bmatrix}1\2\1\1end{bmatrix}},;;{begin{bmatrix}3\7\5\2end{bmatrix}},;;{begin{bmatrix}4\9\1\8end{bmatrix}}.}

Tenga en cuenta que las columnas independientes de la forma escalonada de filas reducidas son precisamente las columnas con pivotes. Esto hace posible determinar qué columnas son linealmente independientes al reducirlas solo a la forma escalonada.

El algoritmo anterior se puede usar en general para encontrar las relaciones de dependencia entre cualquier conjunto de vectores y para seleccionar una base de cualquier conjunto generador. Además, encontrar una base para el espacio de columnas de $A$ es equivalente a encontrar una base para el espacio de filas de la matriz transpuesta $A T$ .

Para encontrar la base en un entorno práctico (p. ej., para matrices grandes), normalmente se utiliza la descomposición en valores singulares.

Dimensión

La dimensión del espacio de columnas se denomina rango de la matriz. El rango es igual al número de pivotes en la forma escalonada de fila reducida y es el número máximo de columnas linealmente independientes que se pueden elegir de la matriz. Por ejemplo, la matriz de 4 × 4 del ejemplo anterior tiene rango tres.

Debido a que el espacio de columna es la imagen de la transformación matriz correspondiente, el rango de una matriz es el mismo que la dimensión de la imagen. Por ejemplo, la transformación ${displaystyle mathbb {R} ^{4}to mathbb {R} ^{4}}$ descrito por la matriz anterior mapas todos $R^4$ a un subespacio tridimensional.

La nulidad de una matriz es la dimensión del espacio nulo, y es igual al número de columnas en la forma escalonada de filas reducidas que no tienen pivotes. El rango y la nulidad de una matriz $A$ con $n$ columnas están relacionadas por la ecuación:

{displaystyle operatorname {rank} (A)+operatorname {nullity} (A)=n.,}

Esto se conoce como el teorema de rango-nulidad.

Relación con el espacio nulo izquierdo

El espacio nulo izquierdo de $A$ es el conjunto de todos los vectores $x$ tal que $x T A = 0 T$ . Es lo mismo que el espacio nulo de la transposición de $A$ . El producto de la matriz $A T$ y el vector $x$ se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

A^mathsf{T}mathbf{x} = begin{bmatrix} mathbf{v}_1 cdot mathbf{x} \ mathbf{v}_2 cdot mathbf{x} \ vdots \ mathbf{v}_n cdot mathbf{x} end{bmatrix},

porque los vectores fila de $A T$ son transpuestas de vectores columna $v k$ de $A$ . Así $A T x = 0$ si y solo si $x$ es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores de columna de $A$ .

Se sigue que el espacio nulo izquierdo (el espacio nulo de $A T$ ) es el complemento ortogonal del espacio de columna de $A$ .

Para una matriz $A$ , el espacio de columna, el espacio de fila, el espacio nulo y el espacio nulo izquierdo a veces se denominan los cuatro subespacios fundamentales.

Para matrices sobre un anillo

Del mismo modo, el espacio de columna (a veces desambiguado como espacio de columna derecha) se puede definir para matrices sobre un anillo $K$ como

sumlimits_{k=1}^n mathbf{v}_k c_k

para cualquier $c 1,..., c n$ , con el reemplazo del vector $m$ -espacio con "módulo derecho libre", que cambia el orden de multiplicación escalar del vector $v k$ al escalar $c k$ tal que se escribe en un orden inusual vector–escalar.

Espacio de fila

Definición

Sea $K$ un campo de escalares. Sea $A$ un $m \times n$ matriz, con vectores fila $r 1, r 2,..., r m$ . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

c_1 mathbf{r}_1 + c_2 mathbf{r}_2 + cdots + c_m mathbf{r}_m,

donde $c 1, c 2,..., c m$ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de $r 1,..., r m$ se llama el espacio de fila de $A$ . Es decir, el espacio de filas de $A$ es el espacio de los vectores $r 1,..., r m$ .

Por ejemplo, si

A = begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 0 end{bmatrix},

entonces los vectores de fila son $r 1 = [1, 0, 2]$ y $r 2 = [0, 1, 0]$ . Una combinación lineal de $r 1$ y $r 2$ es cualquier vector de la forma

{displaystyle c_{1}{begin{bmatrix}1&0&2end{bmatrix}}+c_{2}{begin{bmatrix}0&1&0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}end{bmatrix}}.}

El conjunto de todos estos vectores es el espacio de fila de $A$ . En este caso, el espacio fila es precisamente el conjunto de vectores $(x, y, z) \in K 3$ satisfaciendo la ecuación $z = 2 x$ (usando coordenadas cartesianas, este conjunto es un plano a través del origen en el espacio tridimensional).

Para una matriz que representa un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, el espacio de fila consta de todas las ecuaciones lineales que se derivan de las del sistema.

El espacio de columnas de $A$ es igual al espacio de filas de $A T$ .

Base

El espacio de fila no se ve afectado por las operaciones elementales de fila. Esto hace posible usar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio de filas.

Por ejemplo, considere la matriz

A = begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \ 2 & 7 & 4 \ 1 & 5 & 2end{bmatrix}.

Las filas de esta matriz abarcan el espacio de filas, pero es posible que no sean linealmente independientes, en cuyo caso las filas no serán una base. Para encontrar una base, reducimos $A$ a la forma escalonada de filas:

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ representa las filas.

{displaystyle {begin{aligned}{begin{bmatrix}1&3&2\2&7&4\1&5&2end{bmatrix}}&xrightarrow {mathbf {r} _{2}-2mathbf {r} _{1}to mathbf {r} _{2}} {begin{bmatrix}1&3&2\0&1&0\1&5&2end{bmatrix}}xrightarrow {mathbf {r} _{3}-,,mathbf {r} _{1}to mathbf {r} _{3}} {begin{bmatrix}1&3&2\0&1&0\0&2&0end{bmatrix}}\&xrightarrow {mathbf {r} _{3}-2mathbf {r} _{2}to mathbf {r} _{3}} {begin{bmatrix}1&3&2\0&1&0\0&0&0end{bmatrix}}xrightarrow {mathbf {r} _{1}-3mathbf {r} _{2}to mathbf {r} _{1}} {begin{bmatrix}1&0&2\0&1&0\0&0&0end{bmatrix}}.end{aligned}}}

Una vez que la matriz está en forma escalonada, las filas distintas de cero son una base para el espacio de filas. En este caso, la base es ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ . Otra base posible ${ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ proviene de una reducción adicional.

Este algoritmo se puede usar en general para encontrar una base para el intervalo de un conjunto de vectores. Si la matriz se simplifica aún más a la forma escalonada de fila reducida, entonces la base resultante está determinada únicamente por el espacio de fila.

A veces es conveniente encontrar una base para el espacio de filas entre las filas de la matriz original (por ejemplo, este resultado es útil para dar una prueba elemental de que el rango determinante de una matriz es igual a su rango). Dado que las operaciones de fila pueden afectar las relaciones de dependencia lineal de los vectores de fila, dicha base se encuentra indirectamente utilizando el hecho de que el espacio de columna de $A T$ es igual al espacio de fila de $A$ . Utilizando la matriz de ejemplo $A$ anterior, encuentre $A T$ y redúzcalo a la forma escalonada de filas:

{displaystyle A^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}1&2&1\3&7&5\2&4&2end{bmatrix}}sim {begin{bmatrix}1&2&1\0&1&2\0&0&0end{bmatrix}}.}

Los pivotes indican que las dos primeras columnas de $A T$ forman la base del espacio de columnas de $A T$ . Por lo tanto, las dos primeras filas de $A$ (antes de cualquier reducción de filas) también forman la base del espacio de filas de A.

Dimensión

La dimensión del espacio de fila se denomina rango de la matriz. Esto es lo mismo que el número máximo de filas linealmente independientes que se pueden elegir de la matriz, o equivalentemente el número de pivotes. Por ejemplo, la matriz de 3 × 3 del ejemplo anterior tiene rango dos.

El rango de una matriz también es igual a la dimensión del espacio de columnas. La dimensión del espacio nulo se denomina nulidad de la matriz, y se relaciona con el rango mediante la siguiente ecuación:

operatorname{rank}(A) + operatorname{nullity}(A) = n,

donde $n$ es el número de columnas de la matriz $A$ . La ecuación anterior se conoce como el teorema de rango-nulidad.

Relación con el espacio nulo

El espacio nulo de la matriz $A$ es el conjunto de todos los vectores $x$ para el cual $A x = 0$ . El producto de la matriz $A$ y el vector $x$ se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

Amathbf{x} = begin{bmatrix} mathbf{r}_1 cdot mathbf{x} \ mathbf{r}_2 cdot mathbf{x} \ vdots \ mathbf{r}_m cdot mathbf{x} end{bmatrix},

donde $r 1,..., r m$ son los vectores de fila de $A$ . Así $A x = 0$ si y solo si $x$ es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores de fila de $A$ .

Se sigue que el espacio nulo de $A$ es el complemento ortogonal del espacio de fila. Por ejemplo, si el espacio de fila es un plano que pasa por el origen en tres dimensiones, entonces el espacio nulo será la línea perpendicular que pasa por el origen. Esto proporciona una prueba del teorema de nulidad de rango (ver dimensión anterior).

El espacio de filas y el espacio nulo son dos de los cuatro subespacios fundamentales asociados con una matriz $A$ (los otros dos son los espacio de columna y espacio nulo izquierdo).

Relación con coimagen

Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales, luego el núcleo de una transformación lineal $T : V \to W$ es el conjunto de vectores $v \in V$ para los cuales $T (v) = 0$ . El núcleo de una transformación lineal es análogo al espacio nulo de una matriz.

Si $V$ es un espacio de producto interno, entonces el complemento ortogonal del núcleo puede considerarse como una generalización del espacio de fila. Esto a veces se llama la coimagen de $T$ . La transformación $T$ es uno a uno en su coimagen, y la coimagen se mapea isomórficamente en la imagen de $T$ .

Cuando $V$ no es un espacio de producto interno, la coimagen de $T$ se puede definir como el espacio cociente $V / ker(T)$ .

Referencias & Notas

^ Álgebra lineal, como se discutió en este artículo, es una disciplina matemática muy bien establecida para la cual hay muchas fuentes. Casi todo el material de este artículo se puede encontrar en Lay 2005, Meyer 2001, y Strang 2005.
^ Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (Fifth ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.
^ Anton (1987, pág. 179)
^ Anton (1987, pág. 183)
^ Beauregard " Fraleigh (1973, pág. 254)
^ Este cálculo utiliza el algoritmo de reducción de filas Gauss–Jordan. Cada uno de los pasos mostrados implica múltiples operaciones de fila elemental.
^ Las columnas sin pivotes representan variables libres en el sistema homogéneo asociado de ecuaciones lineales.
^ Importante sólo si $K$ no es conmutativo. En realidad, esta forma es simplemente un producto $A c$ de la matriz $A$ al vector de la columna $c$ desde $K n$ donde el orden de los factores es preservados, a diferencia de la fórmula anterior.
^ a b El ejemplo es válido sobre los números reales, los números racionales y otros campos de números. No es necesariamente correcto sobre campos y anillos con características no cero.

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