Espacio vectorial topológico

En matemáticas, un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y comúnmente abreviado TVS o t.v.s.) es una de las estructuras básicas investigadas en el análisis funcional. Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial que también es un espacio topológico con la propiedad de que las operaciones del espacio vectorial (suma vectorial y multiplicación escalar) también son funciones continuas. Tal topología se denomina topología vectorial y cada espacio vectorial topológico tiene una estructura topológica uniforme, lo que permite una noción de convergencia uniforme y completitud. Algunos autores también requieren que el espacio sea un espacio de Hausdorff (aunque este artículo no lo hace). Una de las categorías de TVS más estudiadas son los espacios vectoriales topológicos localmente convexos. Este artículo se centra en los TVS que no son necesariamente localmente convexos. Los espacios de Banach, los espacios de Hilbert y los espacios de Sobolev son otros ejemplos bien conocidos de TVS.

Muchos espacios vectoriales topológicos son espacios de funciones u operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología a menudo se define para capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.

En este artículo, el campo escalar de un espacio vectorial topológico se supone que sea el número complejo ${displaystyle mathbb {C}$ o los números reales ${displaystyle mathbb {R}$ a menos que se indique claramente lo contrario.

Motivación

Espacios normados

Todo espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural: la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque:

1. Mapa de la adición de vectores ${displaystyle cdot ,+,cdot ; Xtimes Xto X}$ definidas por ${displaystyle (x,y)mapsto x+y}$ es (juntamente) continuo con respecto a esta topología. Esto se deriva directamente de la desigualdad triangular obedecida por la norma.
2. El mapa de multiplicación del escalar ${displaystyle cdot:mathbb {K} times Xto X}$ definidas por ${displaystyle (s,x)mapsto scdot x,}$ Donde ${displaystyle mathbb {K}$ es el campo de escalar subyacente ${displaystyle X.$ es (juntamente) continuo. Esto se deriva de la desigualdad triángulo y homogeneidad de la norma.

Por lo tanto, todos los espacios de Banach y los espacios de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.

Espacios no normados

Existen espacios vectoriales topológicos cuya topología no es inducida por una norma, pero siguen siendo de interés en el análisis. Ejemplos de tales espacios son los espacios de funciones holomorfas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables, los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba y los espacios de distribuciones en ellos. Todos estos son ejemplos de espacios de Montel. Un espacio de Montel de dimensión infinita nunca es normal. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov.

Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos.

Definición

Una familia de barrios del origen con las dos propiedades anteriores determina singularmente un espacio vectorial topológico. El sistema de barrios de cualquier otro punto en el espacio vectorial se obtiene por traducción.

A espacio vectorial topológico ()TVS) ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre un campo topológico ${displaystyle mathbb {K}$ (la mayoría de los números reales o complejos con sus topologías estándar) que se dota de una topología tal que la adición vectorial ${displaystyle cdot ,+,cdot ; Xtimes Xto X}$ y multiplicación del escalar ${displaystyle cdot:mathbb {K} times Xto X}$ son funciones continuas (donde los dominios de estas funciones están dotados de topologías de productos). Tal topología se llama una topología vectorial o a Topología TVS on ${displaystyle X.}$

Todo espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo bajo suma.

Suposición de Hausdorff

Muchos autores (por ejemplo, Walter Rudin), pero no esta página, requieren la topología en ${displaystyle X}$ ser T1; entonces sigue que el espacio es Hausdorff, e incluso Tychonoff. Se dice que un espacio vectorial topológico separados si es Hausdorff; importantemente, "separado" no significa separable. Las estructuras algebraicas topológicas y lineales pueden vincularse aún más estrechamente con las suposiciones adicionales, las más comunes de las cuales se enumeran a continuación.

Categoría y morfismos

La categoría de espacios vectoriales topológicos sobre un determinado campo topológico ${displaystyle mathbb {K}$ es comúnmente denotado ${displaystyle mathrm {TVS} _{mathbb {K}$ o ${displaystyle mathrm {TVect} _{mathbb.$ Los objetos son los espacios vectoriales topológicos sobre ${displaystyle mathbb {K}$ y los morfismos son los continuo ${displaystyle mathbb {K}$- mapas lineales de un objeto a otro.

A homomorfismo del espacio vectorial (abbreviado) Homomorfismo TVS), también llamado un homomorfismo topológico, es un mapa lineal continuo ${displaystyle u:Xto Y}$ entre espacios vectoriales topológicos (TVSs) tal que el mapa inducido ${displaystyle u: Xto nombre de operador {Im} u}$ es un mapeo abierto cuando ${displaystyle operatorname {Im} u:=u(X),}$ que es el rango o la imagen de ${displaystyle u,}$ se da la topología subespacial inducida por ${displaystyle Sí.$

A incrustación de espacio vectorial topológico< /em> (abreviado Incrustación de TVS), también llamado monomorfismo topológico, es un homomorfismo topológico inyectivo. De manera equivalente, una incrustación de TVS es un mapa lineal que también es una incrustación topológica.

A isomorfismo de espacio vectorial topológico< /em> (abreviado isomorfismo TVS), también llamado isomorfismo de vector topológico o un isomorfismo en la categoría de TVSs, es un homeomorfismo lineal biyectivo. De manera equivalente, es una incrustación de TVS sobreyectiva

Muchas de las propiedades de los TVS que se estudian, como la convexidad local, la metrizabilidad, la integridad y la normalidad, son invariantes bajo los isomorfismos de TVS.

Condición necesaria para una topología vectorial

Una colección ${displaystyle {fn}$ de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditivo si por cada ${displaystyle No.$ existe ${displaystyle ¿Qué?$ tales que ${displaystyle U+Usubseteq N.}$

Todas las condiciones anteriores son, en consecuencia, una necesidad para que una topología forme una topología vectorial.

Definir topologías utilizando vecindarios del origen

Puesto que cada topología vectorial es la traducción invariante (lo que significa que para todos ${displaystyle x_{0}in X.$ el mapa ${displaystyle Xto X}$ definidas por ${displaystyle xmapsto x_{0}+x}$ es un homeomorfismo), para definir una topología vectorial que es suficiente para definir una base de barrio (o subbasis) para él en el origen.

En general, el conjunto de todos los subconjuntos balanceados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen de ninguna topología vectorial.

Definir topologías usando cadenas

Vamos ${displaystyle X}$ ser un espacio vectorial y dejar ${displaystyle U_{bullet }=left(U_{i}right)_{i=1}{infty }$ ser una secuencia de subconjuntos de ${displaystyle X.}$ Cada conjunto en la secuencia ${displaystyle U_{bullet}}$ se llama nudo de ${displaystyle U_{bullet}}$ y para cada índice ${displaystyle i,}$ ${displaystyle U_{i}$ se llama ${displaystyle i}$- nudo de ${displaystyle U_{bullet }$ El set ${displaystyle U_{1}$ se llama Comienzo de ${displaystyle U_{bullet }$ La secuencia ${displaystyle U_{bullet}}$ es/es a:

• Summative si ${displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}subseteq U_{i}$ para cada índice ${displaystyle i.}$
• Saldo (Resp. absorción, cerrado, convex, abierto, simétrica, cañón, absolutamente convex/disked, etc.) si esto es verdad de cada ${displaystyle U_{i}.$
• String si ${displaystyle U_{bullet}}$ es summativo, absorbente y equilibrado.
• Cadena topológica o a barrio de cuerda en un TVS ${displaystyle X}$ si ${displaystyle U_{bullet}}$ es una cuerda y cada uno de sus nudos es un barrio del origen en ${displaystyle X.}$

Si ${displaystyle U}$es un disco absorbente en un espacio vectorial ${displaystyle X}$ entonces la secuencia definida ${displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$ forma una cuerda que comienza con ${displaystyle U_{1}=U.}$ Esto se llama cuerda natural de ${displaystyle U}$ Además, si un espacio vectorial ${displaystyle X}$ tiene dimensión contable entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa.

Las secuencias sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente interesante de que definen funciones subaditivas continuas no negativas con valores reales. Estas funciones se pueden usar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.

Theorem()${displaystyle mathbb {R}$- función valorada inducida por una cadena)—Vamos ${displaystyle U_{bullet }=left(U_{i}right)_{i=0}{infty }$ ser una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que ${displaystyle 0in U_{i}$ y ${displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}subseteq U_{i}$ para todos ${displaystyle igeq 0}$ Para todos ${displaystyle uin U_{0}$ Deja

$${displaystyle mathbb {S} (u):=left{n_{bullet }=left(n_{1},ldotsn_{k}right)~:~kgeq 1,n_{i}geq 0{text{ for all }i,{text{ > y }uin U_{n_{1}+cdots Bien.$$

Define ${displaystyle f:Xto [0,1]}$ por ${displaystyle f(x)=1}$ si ${displaystyle xnot in U_{0}$ y de otro modo

$${displaystyle f(x):=inf ¿Por qué? 2^{-n_{k}~:~n_{bullet }=left(n_{1},ldotsn_{k}right)in mathbb {S} (x)right}.}$$

Entonces... ${displaystyle f}$ es subadditivo (que significa ${displaystyle f(x+y)leq f(x)+f(y)}$ para todos ${displaystyle x,yin X}$) y ${displaystyle f=0}$ on ${textstyle bigcap _{igeq - Sí.$ en particular, ${displaystyle f(0)=0.}$ Si todo ${displaystyle U_{i}$ son conjuntos simétricos entonces ${displaystyle f(-x)=f(x)}$ y si todo ${displaystyle U_{i}$ son equilibrados entonces ${displaystyle f(sx)leq f(x)}$ para todos los escalares ${displaystyle s}$ tales que ${displaystyle Silencios eternasleq 1}$ y todos ${displaystyle xin X.}$ Si ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico y si todo ${displaystyle U_{i}$ son barrios del origen entonces ${displaystyle f}$ es continuo, donde si además ${displaystyle X}$ es Hausdorff y ${displaystyle U_{bullet}}$ forma una base de barrios equilibrados del origen en ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ es una métrica que define la topología vectorial en ${displaystyle X.}$

En el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables se proporciona una prueba del teorema anterior.

Si ${displaystyle U_{bullet }=left(U_{i}right)_{iin mathbb {N}$ y ${displaystyle V_{bullet }=left(V_{i}right)_{iin mathbb {N}$ son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial ${displaystyle X}$ y si ${displaystyle s}$ es un escalar, entonces por definición:

• ${displaystyle V_{bullet}}$ contiene ${displaystyle U_{bullet}}$: ${displaystyle U_{bullet Subseteq V.$ si ${displaystyle U_{i}subseteq V_{i}$ para cada índice ${displaystyle i.}$
• Conjunto de nudos: ${displaystyle 'operatorname ¿Qué? }:=left{U_{i}:iin mathbb {N} right}.$
• Kernel: ${textstyle ker U_{bullet }:=bigcap _{iin mathbb {N}U_{i}$
• Escalar múltiples: ${displaystyle sU_{bullet }:=left(sU_{i}right)_{iin mathbb {N}.}$
• Sum: ${displaystyle U_{bullet - Sí.$
• Intersección: ${displaystyle U_{bullet ##cap V_{bullet }:=left(U_{i}cap V_{i}right)_{iin mathbb {N}.}$

Si ${displaystyle mathbb {S}$ es una secuencia de colección de subconjuntos de ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle mathbb {S}$ se dice que Dirigida ()hacia abajo) de inclusión o simplemente hacia abajo si ${displaystyle mathbb {S}$ no está vacío y para todos ${displaystyle U_{bullet },V_{bullet }in mathbb {S}$ existe ${displaystyle W_{bullet }in mathbb {S}$ tales que ${displaystyle W_{bullet Subseteq U_{bullet }$ y ${displaystyle W_{bullet Subseteq V.$ (se dice diferente, si y sólo si ${displaystyle mathbb {S}$ es un prefiltro con respecto a la contención ${displaystyle ,subseteq ,}$ definida supra).

Notación# ${textstyle operatorname {Knots} mathbb {S} En "Mathbb" {S} {Knots} U_{bullet }$ ser el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en ${displaystyle mathbb {S}$

La definición de topologías vectoriales usando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente localmente convexas.

Si ${displaystyle mathbb {S}$ es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS ${displaystyle (X,tau)}$ entonces ${displaystyle tau _{mathbb {S}=tau.}$ Un Hausdorff TVS es metroble si y sólo si su topología puede ser inducida por una sola cadena topológica.

Estructura topológica

Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación de adición, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa es siempre continua (ya que es la misma que la multiplicación por ${displaystyle -1}$). Por lo tanto, cada espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano. Cada TVS es completamente regular pero un TVS no necesita ser normal.

Vamos ${displaystyle X}$ ser un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio ${displaystyle Msubseteq X,}$ el espacio conveniente ${displaystyle X/M}$ con la topología cociente habitual es un espacio vectorial topológico Hausdorff si y sólo si ${displaystyle M}$ está cerrado. Esto permite la construcción siguiente: dado un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$ (que probablemente no es Hausdorff), formar el espacio cociente ${displaystyle X/M}$ Donde ${displaystyle M}$ es el cierre de ${displaystyle.$ ${displaystyle X/M}$ es entonces un espacio vectorial topológico Hausdorff que puede ser estudiado en lugar de ${displaystyle X.}$

Invariancia de topologías vectoriales

Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que cada topología vectorial es traducción invariable:

para todos ${displaystyle x_{0}in X.$ el mapa ${displaystyle Xto X}$ definidas por ${displaystyle xmapsto x_{0}+x}$ es un homeomorfismo, pero si ${displaystyle x_{0}neq 0}$ entonces no es lineal y no es un isomorfismo TVS.

La multiplicación del escalar por un escalar no cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si ${displaystyle sneq 0}$ entonces el mapa lineal ${displaystyle Xto X}$ definidas por ${displaystyle xmapsto sx}$ es un homeomorfismo. Uso ${displaystyle S=-1}$ produce el mapa de negación ${displaystyle Xto X}$ definidas por ${displaystyle xmapsto -x,}$ que es en consecuencia un homeomorfismo lineal y por lo tanto un isomorfismo TVS.

Si ${displaystyle xin X}$ y cualquier subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X,}$ entonces ${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué?$ y más aún, si ${displaystyle 0in S}$ entonces ${displaystyle x+S}$ es un barrio (barrio abierto, barrio cerrado) de ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle X}$ si y sólo si lo mismo es cierto ${displaystyle S.$ en el origen.

Nociones locales

Un subconjunto ${displaystyle E}$ de un espacio vectorial ${displaystyle X}$ se dice que

• absorción (en ${displaystyle X}$): si por cada ${displaystyle xin X,}$ existe un verdadero ${displaystyle r]$ tales que ${displaystyle cxin E}$ para cualquier escalar ${displaystyle c}$ satisfacción ${displaystyle Silencioso$
• equilibrado o círculosSi ${displaystyle TEsubseteq E}$ para cada escalar ${displaystyle Silencioso para siempreleq 1.}$
• convexSi ${displaystyle tE+(1-t)Esubseteq E}$ para cada real ${displaystyle 0leq tleq 1.}$
• a disco o absolutamente convexSi ${displaystyle E}$ es convexa y equilibrada.
• simétricaSi ${displaystyle -Esubseteq E,}$ o equivalente, si ${displaystyle - E=E.$

Cada barrio del origen es un conjunto absorbente y contiene un barrio equilibrado abierto ${displaystyle 0}$ así que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y equilibrados. El origen incluso tiene una base de barrio que consiste en barrios cerrados equilibrados de ${displaystyle 0;}$ si el espacio es localmente convexo, entonces también tiene una base de barrio consistente en convex cerrado barrios equilibrados del origen.

Subconjuntos delimitados

Un subconjunto ${displaystyle E}$ de un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$ es atado si por cada barrio ${displaystyle V}$ del origen, entonces ${displaystyle Esubseteq tV}$ cuando ${displaystyle t}$ es suficientemente grande.

La definición de vencimiento puede debilitarse un poco; ${displaystyle E}$ está atado si y sólo si cada subcontable de él está atado. Un conjunto está atado si y sólo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto atado. También, ${displaystyle E}$ está atado si y sólo si por cada vecindario equilibrado ${displaystyle V}$ del origen, existe ${displaystyle t}$ tales que ${displaystyle Esubseteq tV.}$ Además, cuando ${displaystyle X}$ es localmente convexo, la unión se puede caracterizar por seminormas: el subconjunto ${displaystyle E}$ está atado si y sólo si cada seminorm continuo ${displaystyle p}$ está atado ${displaystyle E.}$

Cada conjunto totalmente atado está atado. Si ${displaystyle M}$ es un subespacio vectorial de un TVS ${displaystyle X.$ entonces un subconjunto de ${displaystyle M}$ está atado ${displaystyle M}$ si y sólo si está atado ${displaystyle X.}$

Metrizabilidad

Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad contable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F-seminorma. Un TVS es metrizable si y solo si es Hausdorff y pseudometrizable.

Más fuertemente: se dice que un espacio vectorial topológico es normal si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normal si y solo si es Hausdorff y tiene una vecindad acotada convexa del origen.

Vamos ${displaystyle mathbb {K}$ ser un campo topológico localmente compacto, por ejemplo los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff sobre ${displaystyle mathbb {K}$ es localmente compacto si y sólo si es finito-dimensional, es decir, isomorfo a ${displaystyle mathbb {K}$ para algún número natural ${displaystyle n.}$

Integridad y estructura uniforme

El uniformidad canónica en un TVS ${displaystyle (X,tau)}$ es la única uniformidad invariante de traducción que induce la topología ${displaystyle tau }$ on ${displaystyle X.}$

Se supone que cada TVS está dotado de esta uniformidad canónica, que convierte a todos los TVS en espacios uniformes. Esto permite abordar nociones relacionadas como completitud, convergencia uniforme, redes de Cauchy y continuidad uniforme. etc., que siempre se supone que son con respecto a esta uniformidad (salvo que se indique lo contrario). Esto implica que todo espacio vectorial topológico de Hausdorff es Tychonoff. Un subespacio de un TVS es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, un conjunto totalmente acotado equivale a que sea precompacto). Pero si el TVS no es Hausdorff entonces existen subconjuntos compactos que no son cerrados. Sin embargo, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacto (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos).

Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia) ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}$ es Cauchy si y sólo si por cada vecindario ${displaystyle V}$ de ${displaystyle 0,}$ existe algún índice ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle x_{i}-x_{j}in V}$ siempre ${displaystyle igeq n}$ y ${displaystyle jgeq n.}$

Toda secuencia de Cauchy está acotada, aunque las redes de Cauchy y los filtros de Cauchy pueden no estarlo. Un espacio vectorial topológico donde converge toda sucesión de Cauchy se denomina secuencialmente completo; en general, puede no ser completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).

La operación de suma en el espacio vectorial es uniformemente continua y un mapa abierto. La multiplicación escalar es continua de Cauchy pero, en general, casi nunca es uniformemente continua. Debido a esto, cada espacio vectorial topológico se puede completar y, por lo tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo.

• Cada TVS tiene una terminación y cada Hausdorff TVS tiene una terminación Hausdorff. Cada TVS (incluso los que son Hausdorff y/o completo) tiene infinitamente muchas terminaciones no isómorfas no-Hausdorff.
• Un subconjunto compacto de TVS (no necesariamente Hausdorff) está completo. Un subconjunto completo de un Hausdorff TVS está cerrado.
• Si ${displaystyle C}$ es un subconjunto completo de un TVS luego cualquier subconjunto de ${displaystyle C}$ que está cerrado ${displaystyle C}$ está completo.
• Una secuencia de Cauchy en un Hausdorff TVS ${displaystyle X}$ no es necesariamente relativamente compacto (es decir, su cierre en ${displaystyle X}$ no es necesariamente compacto).
• Si un filtro Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación ${displaystyle x}$ entonces converge a ${displaystyle x.}$
• Si una serie ${textstyle sum - ¿Por qué? }x_{i}$ converge en un TVS ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle x_{bullet }to 0}$ dentro ${displaystyle X.}$

Ejemplos

Topología vectorial más fina y más gruesa

Vamos ${displaystyle X}$ ser un espacio vectorial real o complejo.

Topología trivial

El topología trivial o topología indiscreta ${displaystyle {X,varnothing }$ es siempre una topología TVS en cualquier espacio vectorial ${displaystyle X}$ y es la topología más gruesa de TVS posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS en ${displaystyle X}$ Siempre contiene una topología de TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos aquellos que son dimensionales infinitas) dotado con la topología trivial es un espacio de vectores pseudometrizable completo (y por lo tanto localmente compacto). Es Hausdorff si y sólo si ${displaystyle dim X=0.}$

Topología vectorial más fina

Existe una topología de TVS ${displaystyle tau _{f}$ on ${displaystyle X.$ llamado mejor topología vectorial on ${displaystyle X.$ que es más fino que cualquier otra TVS-topología en ${displaystyle X}$ (es decir, cualquier TVS-topología en ${displaystyle X}$ es necesariamente un subconjunto de ${displaystyle tau _{f}$). Cada mapa lineal desde ${displaystyle left(X,tau _{f}right)}$ en otro TVS es necesariamente continuo. Si ${displaystyle X}$ tiene una base de Hamel incontable ${displaystyle tau _{f}$ es no localmente convex y no Mezquina.

Productos cartesianos

Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando dotado con la topología del producto, es un espacio vectorial topológico. Considere por ejemplo el conjunto ${displaystyle X}$ de todas las funciones ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R}$ Donde ${displaystyle mathbb {R}$ lleva su topología Euclideana habitual. Este juego ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial real (donde la adición y la multiplicación del escalar se definen apuntando, como de costumbre) que se puede identificar con (y de hecho, se define a menudo a ser) el producto cartesiano ${displaystyle mathbb {R}$ que lleva la topología del producto natural. Con esta topología de producto, ${displaystyle X:=Mathbb Oh, Dios mío. {R}$ se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se llama la topología de la convergencia puntual en ${displaystyle mathbb {R}$ La razón de este nombre es la siguiente: ${displaystyle left(f_{n}right)_{n=1}{infty }$ es una secuencia (o más generalmente, una red) de elementos en ${displaystyle X}$ y si ${displaystyle fin X}$ entonces ${displaystyle f_{n}$ convergencias a ${displaystyle f}$ dentro ${displaystyle X}$ si y sólo si por cada número real ${displaystyle x,}$ ${displaystyle f_{n}(x)}$ convergencias a ${displaystyle f(x)}$ dentro ${displaystyle mathbb {R}$ Este TVS está completo, Hausdorff, y localmente convex pero no metro y consecuentemente no normable; de hecho, cada barrio del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales de 1 dimensión, que son subconjuntos de la forma ${displaystyle mathbb {R} f:={rf:rin mathbb {R}}$ con ${displaystyle fneq 0}$).

Espacios de dimensión finita

Según el teorema de F. Riesz, un espacio vectorial topológico de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto, lo que sucede si y solo si tiene una vecindad compacta del origen.

Vamos ${displaystyle mathbb {K}$ denota ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb {C}$ y dotación ${displaystyle mathbb {K}$ con su habitual topología Euclideana Hausdorff. Vamos ${displaystyle X}$ ser un espacio vectorial sobre ${displaystyle mathbb {K}$ de dimensión finita ${displaystyle n:=dim X.$ y así ${displaystyle X}$ es el espacio vectorial isomorfo a ${displaystyle mathbb {K}$ (Explicablemente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales ${displaystyle X}$ y ${displaystyle mathbb {K}$). Este espacio vectorial finito ${displaystyle X}$ siempre tiene un único Hausdorff topología vectorial, lo que lo convierte en TVS-isomorfa ${displaystyle mathbb {K} }$ Donde ${displaystyle mathbb {K}$ está dotado con la topología Euclideana habitual (que es la misma que la topología del producto). Esta topología vectorial Hausdorff también es la topología vectorial más fina (unique) ${displaystyle X.}$ ${displaystyle X}$ tiene una topología vectorial única si y sólo si ${displaystyle dim X=0.}$ Si ${displaystyle dim Xneq 0}$ entonces ${displaystyle X}$ no tiene una topología vectorial única, tiene una Hausdorff Topología vectorial.

• Si ${displaystyle dim X=0}$ entonces ${displaystyle X= {0}$ tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial, que en este caso (y sólo en este caso) es Hausdorff. La topología trivial en un espacio vectorial es Hausdorff si y sólo si el espacio vectorial tiene dimensión ${displaystyle 0.}$
• Si ${displaystyle dim X=1}$ entonces ${displaystyle X}$ tiene dos topologías vectoriales: la topología Euclideana habitual y la topología trivial (no-Hausdorff).
  • Desde el campo ${displaystyle mathbb {K}$ es en sí mismo ${displaystyle 1}$-dimensional espacio vectorial topológico sobre ${displaystyle mathbb {K}$ y puesto que desempeña un papel importante en la definición de los espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía desempeña un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que reverberan a lo largo del análisis funcional.

• Si ${displaystyle dim X=ngeq 2}$ entonces ${displaystyle X}$ tiene infinitamente muchos topologías vectoriales distintas:
  • Algunas de estas topologías se describen ahora: Cada funcional lineal ${displaystyle f}$ on ${displaystyle X.$ que es el espacio vectorial isomorfo a ${displaystyle mathbb {K} }$ induce un seminorm ${displaystyle Silencioso:Xto mathbb {R}$ definidas por ${displaystyle Silencioso(x)=fortf(x)$ Donde ${displaystyle ker f=ker tenciónf.}$ Cada seminorm induce una (pseudometrizable localmente convex) topología vectorial en ${displaystyle X}$ y seminormas con núcleos distintos inducen topologías distintas para que en particular, seminormas en ${displaystyle X}$ que son inducidos por funcionalidades lineales con núcleo diferenciado induce topologías vectoriales diferentes en ${displaystyle X.}$
  • Sin embargo, mientras hay infinitamente muchas topologías vectoriales en ${displaystyle X}$ cuando ${displaystyle dim Xgeq 2,}$ hay, hasta el isomorfismo TVS sólo ${displaystyle 1+dim X}$ topologías vectoriales en ${displaystyle X.}$ Por ejemplo, si ${displaystyle No.$ entonces las topologías vectoriales en ${displaystyle X}$ consisten en la topología trivial, la topología de Hausdorff Euclidean, y luego la infinita cantidad de topologías vectoriales no-triviales que quedan en ${displaystyle X}$ todos son isómorfos de TVS entre sí.

Topologías no vectoriales

Topologías discretas y cofinitas

Si ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial no-trivial (es decir, de dimensión no cero) entonces la topología discreta en ${displaystyle X}$ (que siempre es mediible) es no una topología de TVS porque a pesar de hacer la adición y la negación continua (que lo convierte en un grupo topológico bajo adición), no logra hacer la multiplicación del escalar continuo. La topología cofinita en ${displaystyle X}$ (donde un subconjunto está abierto si y sólo si su complemento es finito) también es no una topología TVS en ${displaystyle X.}$

Mapas lineales

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos que es continuo en un punto es continuo en todo el dominio. Además, un operador lineal ${displaystyle f}$ es continuo si ${displaystyle f(X)}$ está atado (como se define a continuación) para algunos barrios ${displaystyle X}$ del origen.

Un hiperplano en un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$ es denso o cerrado. Un funcional lineal ${displaystyle f}$ en un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$ tiene núcleo denso o cerrado. Además, ${displaystyle f}$ es continuo si y sólo si su núcleo está cerrado.

Tipos

Dependiendo de la aplicación, normalmente se imponen restricciones adicionales en la estructura topológica del espacio. De hecho, varios resultados principales en el análisis funcional no se cumplen en general para los espacios vectoriales topológicos: el teorema del gráfico cerrado, el teorema de la aplicación abierta y el hecho de que el espacio dual del espacio separa puntos en el espacio.

A continuación se muestran algunos espacios vectoriales topológicos comunes, aproximadamente en orden creciente de "amabilidad".

• Los espacios F son espacios vectoriales topológicos completos con una métrica invariante de traducción. These include ${displaystyle L^{p}$ espacios para todos ${displaystyle p fiel0.}$
• Localmente convexos espacios vectoriales topológicos: aquí cada punto tiene una base local compuesta por conjuntos convexos. Mediante una técnica conocida como funcionalidades de Minkowski se puede demostrar que un espacio es localmente convexo si y sólo si su topología puede ser definida por una familia de seminormas. La convexidad local es el requisito mínimo para argumentos "geométricos" como el teorema Hahn-Banach. El ${displaystyle L^{p}$ espacios son locales convexos (de hecho, espacios de Banach) para todos ${displaystyle pgeq 1,}$ pero no para ${displaystyle 0 madep贸1.}$
• Espacios discutidos: localmente espacios convexos donde se mantiene el teorema de Banach-Steinhaus.
• Espacio Bornológico: un espacio localmente convexo donde los operadores lineales continuos a cualquier espacio localmente convexo son exactamente los operadores lineales atados.
• Espacio estereotipo: un espacio localmente convexo que satisface una variante de condición de reflexividad, donde el espacio dual está dotado con la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente ligados.
• Espacio Montel: un espacio en barrica donde cada conjunto cerrado y atado es compacto
• Espacios Fréchet: estos son espacios completos localmente convexos donde la topología viene de una métrica invariante de traducción, o equivalentemente: de una familia contable de seminormas. Muchos espacios interesantes de funciones caen en esta clase... ${displaystyle C^{infty}(mathbb {R})}$ es un espacio Fréchet bajo las seminormas ${textstylefffffnh00_{k,ell }=sup _{xin [-k,k]}Sobrevivir.$ Un F-space convex local es un espacio Fréchet.
• Los espacios LF son límites de los espacios Fréchet. Los espacios ILH son límites inversos de los espacios de Hilbert.
• Espacios nucleares: son espacios locales convexos con la propiedad que cada mapa consolidado del espacio nuclear a un espacio Banach arbitrario es un operador nuclear.
• Espacios y espacios seminormados: espacios locales convexos donde la topología puede ser descrita por una sola norma o seminorm. En los espacios normalizados un operador lineal es continuo si y sólo si está atado.
• Espacios de banca: Espacios vectoriales completos. La mayor parte del análisis funcional está formulado para los espacios de Banach. Esta clase incluye ${displaystyle L^{p}$ espacios con ${displaystyle 1leq pleqinfty}$ el espacio ${displaystyle BV!$ de funciones de variación atada, y ciertos espacios de medidas.
• Espacios de plátano reflexivo: Banach espacios naturalmente isomorfos a su doble dual (ver abajo), que asegura que algunos argumentos geométricos se puedan llevar a cabo. Un ejemplo importante que es no reflexivo es ${displaystyle L^{1}$, cuyo doble es ${displaystyle L^{infty}$ pero está estrictamente contenido en el doble ${displaystyle L^{infty }$
• Hilbert espacios: estos tienen un producto interior; aunque estos espacios pueden ser infinitas, el razonamiento geométrico más familiar de dimensiones finitas se puede llevar a cabo en ellos. These include ${displaystyle L^{2}$ espacios, los ${displaystyle L^{2}$ Espacios Sobolev ${displaystyle W^{2,k},}$ y espacios de Hardy.
• Espacios euclidianos: ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ o ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ con la topología inducida por el producto interno estándar. Como se señala en la sección anterior, para un determinado finito ${displaystyle n,}$ sólo hay uno ${displaystyle n}$- dimensional espacio vectorial topológico, hasta el isomorfismo. De esto se desprende que cualquier subespacio finito de un TVS está cerrado. Una caracterización de la dimensionalidad finita es que un Hausdorff TVS es localmente compacto si y sólo si es finito-dimensional (por lo tanto isomorfa a algún espacio euclidiano).

Doble espacio

Cada espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo, el conjunto ${displaystyle X.$ de todas las funciones lineales continuas, es decir, mapas lineales continuos desde el espacio hasta el campo base ${displaystyle mathbb {K}$ Una topología en el doble se puede definir para ser la topología más gruesa tal que el doble emparejando cada evaluación punto ${displaystyle X'to mathbb {K}$ es continuo. Esto convierte el dual en un espacio vectorial topológico localmente convexo. Esta topología se llama la topología débil-*. Esta no puede ser la única topología natural en el espacio dual; por ejemplo, la dualidad de un espacio normal tiene una norma natural definida en él. Sin embargo, es muy importante en aplicaciones debido a sus propiedades compactas (véase Banach–Alaoglu theorem). Precaución: Siempre ${displaystyle X}$ es un espacio convexo local no normable, luego el mapa de emparejamiento ${displaystyle X'times Xto mathbb {K}$ nunca es continuo, no importa qué topología del espacio vector uno elige en ${displaystyle X'.$ Un espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo no-trivial si y sólo si tiene un vecindario convexo adecuado del origen.

Propiedades

Para cualquier ${displaystyle Ssubseteq X}$ de un TVS ${displaystyle X.$ el convex (resp. equilibrado, disuelto, convexo cerrado, equilibrado cerrado, disco cerrado ') Hull de ${displaystyle S.$ es el subconjunto más pequeño de ${displaystyle X}$ que tiene esta propiedad y contiene ${displaystyle S.}$ El cierre (respectivamente, interior, casco convexo, casco equilibrado, casco disuelto) de un conjunto ${displaystyle S.$ a veces se denota ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ (respectivamente, ${displaystyle operatorname {Int} _{X}S,}$ ${displaystyle operatorname {co} S,}$ ${displaystyle operatorname {bal} S,}$ ${displaystyle operatorname {cobal} S}$).

El casco convexo ${displaystyle operatorname {co} S}$ de un subconjunto ${displaystyle S.$ es igual al conjunto de todos convex combinaciones de elementos en ${displaystyle S,}$ que son combinaciones lineales finitas de la forma ${displaystyle t_{1}s_{1}+cdots #$ Donde ${displaystyle ngeq 1}$ es un entero, ${displaystyle s_{1},ldotss_{n}in S.$ y $[0,1]$ sum to ${displaystyle 1.}$ La intersección de cualquier familia de conjuntos convexos es convexa y el casco convexo de un subconjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos convexos que lo contienen.

Barrios y conjuntos abiertos

Propiedades de vecindades y conjuntos abiertos

Cada TVS está conectado y conectado localmente y cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado con cable. Si ${displaystyle Ssubseteq X}$ y ${displaystyle U}$ es un subconjunto abierto de ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle S+U.$ es un juego abierto ${displaystyle X}$ y si ${displaystyle Ssubseteq X}$ tiene interior no vacío ${displaystyle S-S !$ es un barrio de origen.

Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS ${displaystyle X}$ (no necesariamente Hausdorff o localmente convex) son exactamente los que son de la forma

$${displaystyle z+{xin X:p(x) se hizo realidad1}~=~{xin X:p(x-z)$$

${displaystyle zin X}$${displaystyle p}$${displaystyle X.}$

Si ${displaystyle K}$ es un disco absorbente en un TVS ${displaystyle X}$ y si ${displaystyle P:=p_{K}$ es el funcionamiento de Minkowski ${displaystyle K}$ entonces

$${displaystyle operatorname {Int} - No. ~K~subseteq ~{xin X:p(x)leq 1}~subseteq ~operatorname {cl} _{X}K}$$

no${displaystyle K}$${displaystyle p}$${displaystyle K}$

Vamos ${displaystyle tau }$ y ${displaystyle nu }$ ser dos topologías vectoriales en ${displaystyle X.}$ Entonces... ${displaystyle tau subseteq nu }$ si y sólo si cada vez que una red ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}$ dentro ${displaystyle X}$ convergencias ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle (X,nu)}$ entonces ${displaystyle x_{bullet }to 0}$ dentro ${displaystyle (X,tau).}$

Vamos ${displaystyle {fn}$ ser una base de barrio del origen en ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle Ssubseteq X,}$ y dejar ${displaystyle xin X.}$ Entonces... ${displaystyle xin operatorname {cl} ¿Qué?$ si existe una red ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{N}right)_{Nin {mathcal {N}}}}$ dentro ${displaystyle S.$ (indexado por ${displaystyle {fn}$. ${displaystyle s_{bullet }to x}$ dentro ${displaystyle X.}$ Esto demuestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar las redes indexadas por una base vecinal del origen en lugar de las redes en conjuntos arbitrarios dirigidos.

Si ${displaystyle X}$ es un TVS que es de la segunda categoría en sí mismo (es decir, un espacio no mediador) entonces cualquier convexo cerrado absorbiendo subconjunto de ${displaystyle X}$ es un barrio de origen. Esto ya no está garantizado si el conjunto no es convex (un contra-ejemplo existe incluso en ${displaystyle X=Mathbb {R} {2}$) o si ${displaystyle X}$ no es de la segunda categoría en sí misma.

Interiores

Si ${displaystyle R,Ssubseteq X}$ y ${displaystyle S.$ tiene interior no vacío

$${displaystyle operatorname {Int} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Int} _{X}left(operatorname) {cl} ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {cl} _{X}left(operatorname) {Int} _{X}Sright)}$$

$${displaystyle operatorname {Int} _{X}(R)+operatorname {Int} _{X}(S)~subseteq ~R+ nombre de operador {Int} _{X}Ssubseteq operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

El interior topológico de un disco no está vacío si y sólo si este interior contiene el origen. Más generalmente, si ${displaystyle S.$ es un conjunto equilibrado con interior no vacío ${displaystyle operatorname {Int} ¿Qué?$ en un TVS ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle {0}cup operatorname {Int} _{X}S}$ será necesariamente equilibrado; por consiguiente, ${displaystyle operatorname {Int} _{X}S}$ será equilibrado si y sólo si contiene el origen. Para esto (es decir, ${displaystyle 0in operatorname {Int} _{X}S}$) para ser verdad, basta para ${displaystyle S.$ ser también convexo (además de ser equilibrado y tener interior no vacío).; La conclusión ${displaystyle 0in operatorname {Int} _{X}S}$ podría ser falso ${displaystyle S.$ no es también convexo; por ejemplo, en ${displaystyle X:=mathbb {R} {2}$ el interior del conjunto cerrado y equilibrado ${displaystyle S:={(x,y):xygeq.$ es ${displaystyle {(x,y):xy título0}$

Si ${displaystyle C}$ es convexo y ${displaystyle 0 interpretadotleq 1,}$ entonces ${displaystyle toperatorname {Int} C+(1-t)operatorname {cl} C~subseteq ~operatorname C.$ Explícitamente, esto significa que si ${displaystyle C}$ es un subconjunto convexo de un TVS ${displaystyle X}$ (no necesariamente Hausdorff o localmente convex), ${displaystyle yin operatorname {int} - ¿Qué?$ y ${displaystyle xin operatorname {cl} ¿Qué?$ entonces el segmento de línea abierta ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ pertenece al interior del ${displaystyle C;}$ es decir, ${displaystyle {tx+(1-t)y:0 obedeció1}subseteq operatorname {int} _{X}C.}$

Si ${displaystyle Nsubseteq X}$ es cualquier barrio equilibrado del origen en ${displaystyle X}$ entonces ${textstyle operatorname {Int} - No. B_{1}N=bigcup - No.$ Donde ${displaystyle B_{1}$ es el conjunto de todos los escalares ${displaystyle a}$ tales que ${displaystyle Silencioa escondida1.}$

Si ${displaystyle x}$ pertenece al interior de un conjunto convexo ${displaystyle Ssubseteq X}$ y ${displaystyle yin operatorname {cl} - Sí.$ entonces el segmento de línea media-abierto

$${displaystyle [x,y):={tx+(1-t)y:0 obtenidosleq 1}subseteq operatorname [Int] _{X}{text{ if }xneq y}$$

$$No es nada.$$

${displaystyle N}$${displaystyle 0}$${displaystyle X}$${displaystyle B_{1}:={ain mathbb {K}:$${displaystyle Ncap mathbb {R} x}$${displaystyle 0}$${displaystyle mathbb {R} x}$${displaystyle operatorname No.$${displaystyle xin operatorname No.$$[0,r)xsubseteq operatorname No.$${displaystyle rneq infty}$${displaystyle rxin operatorname {cl} Nsetminus operatorname {Int} N.}$

Espacios no Hausdorff y la clausura del origen

Un espacio vectorial topológico ${displaystyle X}$ es Hausdorff si y sólo si ${displaystyle {0}}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle X.$ o equivalente, si y sólo si ${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {cl} ¿Qué?$ Porque... ${displaystyle {0}}$ es un subespacio vectorial ${displaystyle X.$ lo mismo ocurre con su cierre ${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}}$ que se denomina el cierre del origen dentro ${displaystyle X.}$ Este espacio vectorial satisface

$${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué? No.$$

${displaystyle X}$${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$${displaystyle X.}$${displaystyle.$${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$${displaystyle X}$compacto y completono cerrado${displaystyle X}$${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$

Si ${displaystyle Ssubseteq X}$ es compacto, entonces ${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué?$ y este set es compacto. Así, el cierre de un subconjunto compacto de un TVS es compacto (diferentemente, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos), que no está garantizado para los espacios topológicos arbitrarios no Hausdorff.

Para cada subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X,}$

$${displaystyle S+operatorname {cl} Suseteq operatorname {cl} _{X}S}$$

${displaystyle Ssubseteq X}$${displaystyle X}$${displaystyle S+operatorname {cl} ¿Qué?$arbitrariao${displaystyle S.$${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$${displaystyle Ssubseteq X}$${displaystyle X.$

• ${displaystyle S.$ Está totalmente atado.
• ${displaystyle S+operatorname {cl}$ Está totalmente atado.
• ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ Está totalmente atado.
• La imagen si ${displaystyle S.$ bajo el mapa de cociente canónico ${displaystyle Xto X/operatorname {cl} _{X}({0})}$ Está totalmente atado.

Si ${displaystyle M}$ es un subespacio vectorial de un TVS ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle X/M}$ es Hausdorff si y sólo si ${displaystyle M}$ está cerrado ${displaystyle X.}$ Además, el mapa de referencia ${displaystyle q:Xto X/operatorname {cl}$ es siempre un mapa cerrado en el (necesario) Hausdorff TVS.

Cada subespacio vectorial de ${displaystyle X}$ que es un complemento algebraico ${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$ (es decir, un subespacial vectorial ${displaystyle H.$ que satisfice ${displaystyle {0}= Hcap operatorname {cl} ¿Qué?$ y ${displaystyle X=H+operatorname {cl}$) es un complemento topológico de ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ En consecuencia, si ${displaystyle H.$ es un complemento algebraico ${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$ dentro ${displaystyle X}$ entonces el mapa de adición ${displaystyle Htimes operatorname {cl} ¿Por qué? X.$ definidas por ${displaystyle (h,n)mapsto h+n}$ es un isomorfismo TVS, donde ${displaystyle H.$ es necesariamente Hausdorff y ${displaystyle operatorname {cl} _{X}{0}$ tiene la topología indiscreta. Además, si ${displaystyle C}$ es una terminación Hausdorff de ${displaystyle H.$ entonces ${displaystyle Ctimes operatorname {cl} ¿Qué?$ es una conclusión ${displaystyle Xcong Htimes operatorname {cl} ¿Qué?$

Conjuntos cerrados y compactos

Conjuntos compactos y totalmente acotados

Un subconjunto de TVS es compacto si y sólo si está completo y totalmente atado. Así, en un espacio vectorial topológico completo, un subconjunto cerrado y totalmente atado es compacto. Un subconjunto ${displaystyle S.$ de un TVS ${displaystyle X}$ está totalmente atado si y sólo si ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ está totalmente atado, si y sólo si su imagen bajo el mapa de cociente canónico

$${displaystyle Xto X/operatorname {cl} _{X}({0})}$$

Cada conjunto relativamente compacto está totalmente atado y el cierre de un conjunto totalmente atado está totalmente atado. La imagen de un conjunto totalmente atado bajo un mapa uniformemente continuo (como un mapa lineal continuo por ejemplo) está totalmente atada. Si ${displaystyle S.$ es un subconjunto de TVS ${displaystyle X}$ tal que cada secuencia en ${displaystyle S.$ tiene un punto de agrupación ${displaystyle S.$ entonces ${displaystyle S.$ Está totalmente atado.

Si ${displaystyle K}$ es un subconjunto compacto de un TVS ${displaystyle X}$ y ${displaystyle U}$ es un subconjunto abierto de ${displaystyle X}$ que contiene ${displaystyle K,}$ entonces existe un vecindario ${displaystyle N}$ de 0 tal que ${displaystyle K+Nsubseteq U.}$

Cierre y conjunto cerrado

El cierre de cualquier subconjunto convexo (respectivamente, equilibrado, absorbente) de cualquier TVS tiene esta misma propiedad. En particular, el cierre de cualquier subconjunto convexo, equilibrado y absorbente es un barril.

El cierre de un subespacio vectorial de un TVS es un subespacio vectorial. Cada subespacio vectorial finito de un Hausdorff TVS está cerrado. La suma de un subespacial vectorial cerrado y un subespacial vectorial de dimensión finita está cerrada. Si ${displaystyle M}$ es un subespacio vectorial ${displaystyle X}$ y ${displaystyle N}$ es un barrio cerrado del origen en ${displaystyle X}$ tales que ${displaystyle Ucap N}$ está cerrado ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle M}$ está cerrado ${displaystyle X.}$ La suma de un conjunto compacto y un conjunto cerrado está cerrada. Sin embargo, la suma de dos subconjuntos cerrados puede no cerrarse (véase esta nota de pie de página para ejemplos).

Si ${displaystyle Ssubseteq X}$ y ${displaystyle a}$ es un cuero cabelludo entonces

$${displaystyle aoperatorname {cl} _{X}(aS),}$$

${displaystyle X}$${displaystyle aneq 0,{text{ or }S=varnothing }$${displaystyle operatorname {cl} _{X}(aS)=aoperatorname {cl} _{X}S.}$${displaystyle Ssubseteq X}$${displaystyle A}$${displaystyle operatorname {cl} S{text{ nor }operatorname {cl} A}$${displaystyle left(operatorname {cl} Aright)left(operatorname) {cl} ¿Por qué?$

Si ${displaystyle Ssubseteq X{text{ and }}S+Ssubseteq 2operatorname {cl} _{X}S}$ entonces ${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$ es convex.

Si ${displaystyle R,Ssubseteq X}$ entonces

$${displaystyle operatorname {cl} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? {cl} ¿Por qué?$$

${displaystyle R+S!$${displaystyle operatorname {cl} _{X}(R)+operatorname {cl} _{X}(S).}$

Si ${displaystyle X}$ es un verdadero TVS y ${displaystyle Ssubseteq X,}$ entonces

$${displaystyle bigcap _{r título1}rSsubseteq operatorname {cl} _{X}S}$$

${displaystyle X;}$${displaystyle S.$

Para cualquier subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X,}$

$${displaystyle operatorname {cl} - ¿Qué? ¿Qué?$$

${displaystyle {fn}$${displaystyle X.}$

$${displaystyle operatorname {cl} ¿Por qué? ~ 'bigcap {U:Ssubseteq Está abierto.$$

${displaystyle X=Mathbb {R}$${displaystyle S.$${displaystyle operatorname {cl} ¿Qué?$${displaystyle U}$${displaystyle X.}$

Cascos cerrados

En un espacio localmente convexo, las envolventes convexas de los conjuntos acotados están acotadas. Esto no es cierto para los TVS en general.

• El casco convexo cerrado de un conjunto es igual al cierre del casco convexo de ese conjunto; es decir, igual a ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} S).}$
• El casco cerrado equilibrado de un conjunto es igual al cierre del casco equilibrado de ese conjunto; es decir, igual a ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {bal} S).}$
• El casco cerrado disuelto de un conjunto es igual al cierre del casco disuelto de ese conjunto; es decir, igual a ${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {cobal} S).}$

Si ${displaystyle R,Ssubseteq X}$ y el casco convexo cerrado de uno de los conjuntos ${displaystyle S.$ o ${displaystyle R.$ es compacto entonces

$${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} (R+S))~=~operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} R)+operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} S).}$$

${displaystyle R,Ssubseteq X}$${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} R)}$${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} S)}$

$${displaystyle operatorname {cl} _{X}(operatorname {co} (Rcup S)~=~operatorname {co} left[operatorname {cl} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$$

Cascos y compacidad

En un TVS general, el casco convexo cerrado de un conjunto compacto puede no ser compacto. El casco equilibrado de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente acotado) tiene esa misma propiedad. El casco convexo de una unión finita de conjuntos compactos convexos es nuevamente compacto y convexo.

Otras propiedades

Escaso, nada denso y Baire

Un disco en un TVS no es denso en ninguna parte si y solo si su cierre es una vecindad del origen. Un subespacio vectorial de un TVS que está cerrado pero no abierto no es denso en ninguna parte.

Suppose ${displaystyle X}$ es un TVS que no lleva la topología indiscreta. Entonces... ${displaystyle X}$ es un espacio de Baire si y sólo si ${displaystyle X}$ no tiene una absorción equilibrada en ninguna parte subconjunto denso.

Un TVS ${displaystyle X}$ es un espacio de Baire si y sólo si ${displaystyle X}$ es no mediador, que sucede si y sólo si no existe un conjunto denso en ninguna parte ${displaystyle D}$ tales que ${textstyle X=bigcup _{nin mathbb {N}nD.}$ Cada no mediador localmente convex TVS es un espacio en barrica.

Hechos algebraicos importantes y conceptos erróneos comunes

Si ${displaystyle Ssubseteq X}$ entonces ${displaystyle 2Ssubseteq S+S}$; si ${displaystyle S.$ es convexa y la igualdad tiene. Por ejemplo, cuando la igualdad no Espera. ${displaystyle x}$ no cero y conjunto ${displaystyle S={-x,x}$ ${displaystyle S={x,2x}}$ también funciona.

Un subconjunto ${displaystyle C}$ es convex si y sólo si ${displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ para todos los reales positivos ${displaystyle s confía0{text{ and }t Conf0,}$ o equivalente, si y sólo si ${displaystyle tC+(1-t)Csubseteq C}$ para todos ${displaystyle 0leq tleq 1.}$

El casco convexo balanceado de un conjunto ${displaystyle Ssubseteq X}$ es igual al casco convexo del casco equilibrado ${displaystyle S;}$ es decir, es igual a ${displaystyle operatorname {co} (operatorname {bal} S).}$ Pero en general,

$${displaystyle operatorname {bal} (operatorname {co} S)~subseteq ~operatorname {cobal} S~=~operatorname {co} (operatorname {bal} S),}$$

${displaystyle mathbb {R} {2}}$

Si ${displaystyle R,Ssubseteq X}$ y ${displaystyle a}$ es un cuero cabelludo entonces

$${displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{text{ and }~operatorname {co}(R+S)=operatorname {co} R+operatorname {co} S,~{text{ and }~operatorname {co}(aS)=aoperatorname {co} S.}$$

${displaystyle R,Ssubseteq X}$${displaystyle xnot in Rcup S,}$${displaystyle Scap operatorname {co} (Rcup {x})=varnothing }$${displaystyle Rcap operatorname {co} (Scup {x})=varnothing.}$

En cualquier espacio vectorial no trivial ${displaystyle X.$ existen dos subconjuntos convexos no vacíos cuya unión es ${displaystyle X.}$

Otras propiedades

Cada topología TVS puede ser generada por una familia de F-seminorms.

Si ${displaystyle P(x)}$ es algún predicado no deseado (una declaración verdadera o falsa dependiente de ${displaystyle xin X}$) entonces para cualquier ${displaystyle zin X,}$ ${displaystyle z+{xin X:P(x)}={xin X:P(x-z)}.}$ Por ejemplo, si ${displaystyle P(x)}$ denota "${displaystyle vivenxbe1}$"entonces para cualquier ${displaystyle zin X,}$ ${displaystyle z+{xin X:fnMicrosoft Sans Serif}={xin X:fnMicrosoft Sans Serif}$ Del mismo modo, si ${displaystyle sneq 0}$ es un cuero cabelludo entonces ${displaystyle s{xin X:P(x)}=left{xin X:Pleft({tfrac {1}{s}}xright)right}$ Los elementos ${displaystyle xin X}$ de estos conjuntos debe abarcar un espacio vectorial (es decir, sobre ${displaystyle X}$) en lugar de no sólo un subconjunto o de lo contrario estas igualdades ya no están garantizadas; de manera similar, ${displaystyle z}$ debe pertenecer a este espacio vectorial (es decir, ${displaystyle zin X}$).

Propiedades conservadas por operadores de conjuntos

• El casco equilibrado de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente atado, abierto) tiene esa misma propiedad.
• La suma (Minkowski) de dos conjuntos compactos (respectivamente, ligados, equilibrados, convexos) tiene esa misma propiedad. Pero la suma de dos sets cerrados necesita no cerrado.
• El casco convexo de un conjunto equilibrado (resp. abierto) es equilibrado (respectivamente, abierto). Sin embargo, el casco convexo de una necesidad de conjunto cerrado no cerrado. Y el casco convexo de una necesidad fija no estar atado.

La tabla siguiente, el color de cada célula indica si una propiedad dada de subconjuntos de ${displaystyle X}$ (indicado por el nombre de la columna, "convex" por ejemplo) se conserva bajo el operador establecido (indicado por el nombre de la fila, "closure" por ejemplo). Si en cada TVS, una propiedad se conserva bajo el operador de conjunto indicado, entonces esa célula será de color verde; de lo contrario, será de color rojo.

Por ejemplo, ya que la unión de dos conjuntos absorbentes está de nuevo absorbiendo, la célula en fila "${displaystyle Rcup S}$"y la columna "Absorbing" es verde de colores. Pero ya que la intersección arbitraria de conjuntos absorbentes no necesita ser absorbente, la célula en fila "Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 set)" y la columna "Absorbing" es color rojo. Si una célula no está coloreada entonces esa información todavía no se ha rellenado.

Propiedades preservadas por los operadores establecidos

Operación	Propiedad ${displaystyle R,}$ ${displaystyle S,}$ y cualquier otro subconjunto de ${displaystyle X}$ que se considera
	Absorbing	Saldo	Convex	Simétrico	Convex Saldo	Vectorial subespacial	Abierto	Barrio de 0	Cerrado	Cerrado Saldo	Cerrado Convex	Cerrado Convex Saldo	Barrel	Cerrado Vectorial subespacial	Totalmente limitada	Compacto	Compacto Convex	Relativamente compacto	Completa	Secuencialmente Completa	Banachdisk	Librada	Bornivorous	Infrabornivorous	Nowheredense (in ${displaystyle X}$)	Meager	Separables	Pseudometrizable	Operación
${displaystyle Rcup S}$																													${displaystyle Rcup S}$
${displaystyle cup }$decreciente cadena no vacía																													${displaystyle cup }$decreciente cadena no vacía
Sindicatos arbitrarios (de al menos 1 set)																													Sindicatos arbitrarios (de al menos 1 set)
${displaystyle Rcap S}$																													${displaystyle Rcap S}$
${displaystyle cap }$dedisminución de la cadena no vacía																													${displaystyle cap }$dedisminución de la cadena no vacía
Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 set)																													Intersecciones arbitrarias (de al menos 1 set)
${displaystyle R+S!$																													${displaystyle R+S!$
Escalar múltiples																													Escalar múltiples
No 0 escalar múltiples																													No 0 escalar múltiples
Escalar positivo múltiple																													Escalar positivo múltiple
Clausura																													Clausura
Interior																													Interior
Base equilibrada																													Base equilibrada
Huelga equilibrada																													Huelga equilibrada
Convex hull																													Convex hull
Convex equilibrado casco																													Convex equilibrado casco
Huello equilibrado cerrado																													Huello equilibrado cerrado
Convexo cerrado																													Convexo cerrado
Convexa cerrada con equilibrio																													Convexa cerrada con equilibrio
Lapso lineal																													Lapso lineal
Pre-imagen bajo un mapa lineal continuo																													Pre-imagen bajo un mapa lineal continuo
Imagen bajo un mapa lineal continuo																													Imagen bajo un mapa lineal continuo
Imagen bajo subjeción lineal continua																													Imagen bajo subjeción lineal continua
Subconjunto no vacío ${displaystyle R.$																													Subconjunto no vacío ${displaystyle R.$
Operación	Absorbing	Saldo	Convex	Simétrico	Convex Saldo	Vectorial subespacial	Abierto	Barrio de 0	Cerrado	Cerrado Saldo	Cerrado Convex	Cerrado Convex Saldo	Barrel	Cerrado Vectorial subespacial	Totalmente limitada	Compacto	Compacto Convex	Relativamente compacto	Completa	Secuencialmente Completa	Banachdisk	Librada	Bornivorous	Infrabornivorous	Nowheredense (in ${displaystyle X}$)	Meager	Separables	Pseudometrizable	Operación