Espacio vectorial normado

Jerarquía de espacios matemáticos. Los espacios vectores Normed son un superconjunto de espacios interiores de productos y un subconjunto de espacios métricos, que a su vez es un subconjunto de espacios topológicos.

En matemáticas, a espacio vectorial o espacio es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos, en el que se define una norma. Una norma es la formalización y la generalización a espacios vectoriales reales de la noción intuitiva de la "longitud" en el mundo real (físico). Una norma es una función de valor real definida en el espacio vectorial que se denota comúnmente x↦ ↦ .. x.. ,{displaystyle xmapstofnMicrosoft,} y tiene las siguientes propiedades:

1. Es no negativo, lo que significa que .. x.. ≥ ≥ 0{displaystyle Toddx 0} para cada vector x.{displaystyle x.}
2. Es positivo en vectores no cero, es decir,
   .. x.. =0implicaciónx=0.{displaystyle Toddxfnción=0{ implica }x=0.}

   
3. Por cada vector x,{displaystyle x,} y cada escalar α α ,{displaystyle alpha}
   .. α α x.. =Silencioα α Silencio.. x.. .{displaystyle muertesalfa xfnción= sobreviviralpha tención,fnMicrosoft Sans Serviento.}

   
4. La desigualdad triángulo sostiene; es decir, para cada vector x{displaystyle x} y Sí.,{displaystyle y,}
   .. x+Sí... ≤ ≤ .. x.. +.. Sí... .{displaystylefnx+yfnfnMicrosoftleq "Principio""Sobreviviente"

   

Una norma induce una distancia, llamada su (norma) métrica inducida, mediante la fórmula

d()x,Sí.)=.. Sí.− − x.. .{displaystyle d(x,y)=fncipy-xfnción.}

Un espacio de producto interno es un espacio vectorial normado cuya norma es la raíz cuadrada del producto interno de un vector y él mismo. La norma euclidiana de un espacio vectorial euclidiano es un caso especial que permite definir la distancia euclidiana mediante la fórmula

d()A,B)=.. AB→ → .. .{displaystyle d(A,B)=fnción{overrightarrow - ¿Qué?

El estudio de espacios normados y espacios de Banach es una parte fundamental del análisis funcional, que es un subcampo importante de las matemáticas.

Definición

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial equipado con una norma. Un espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial equipado con una seminorma.

Una variación útil de la desigualdad triangular es

.. x− − Sí... ≥ ≥ Silencio.. x.. − − .. Sí... Silencio{displaystyle ы-yfnciónfnciónfnciónfnciónfnción-fnciónfnción}

x{displaystyle x}

Sí..{displaystyle y.}

Esto también muestra que una norma vectorial es una función continua (uniforme).

Propiedad 3 depende de una elección de norma Silencioα α Silencio{displaystyle Silencioalpha ANTERIOR} en el campo de los escalares. Cuando el campo de escalar es R{displaystyle mathbb {R} (o más generalmente un subconjunto de C{displaystyle mathbb {C}), esto se toma generalmente para ser el valor absoluto ordinario, pero otras opciones son posibles. Por ejemplo, para un espacio vectorial sobre Q{displaystyle mathbb {Q} uno podría tomar Silencioα α Silencio{displaystyle Silencioalpha ANTERIOR} ser el p{displaystyle p}- valor absoluto adictivo.

Estructura topológica

Si ()V,.. ⋅ ⋅ .. ){displaystyle (V,fnMientras,cdot,fnMientras)} es un espacio vectorial normalizado, la norma .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefn,cdot,fnh00} induce una métrica (una noción de distancia) y por lo tanto una topología en V.{displaystyle V.} Esta métrica se define de forma natural: la distancia entre dos vectores u{displaystyle mathbf {u} y v{displaystyle mathbf {v} es dado por .. u− − v.. .{displaystylefnMitbf} - Mathbf. "Perfecto". Esta topología es precisamente la topología más débil que hace .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefn,cdot,fnh00} continuo y compatible con la estructura lineal V{displaystyle V} en el siguiente sentido:

1. La adición vectorial +:V× × V→ → V{displaystyle Vto V} es conjuntamente continuo con respecto a esta topología. Esto se deriva directamente de la desigualdad del triángulo.
2. La multiplicación del escalar ⋅ ⋅ :K× × V→ → V,{displaystyle ,cdot ,mathbb {K} times Vto V,} Donde K{displaystyle mathbb {K} es el campo de escalar subyacente V,{displaystyle V,} es conjuntamente continuo. Esto se deriva de la desigualdad triángulo y homogeneidad de la norma.

Del mismo modo, para cualquier espacio vectorial seminormado podemos definir la distancia entre dos vectores u{displaystyle mathbf {u} y v{displaystyle mathbf {v} como .. u− − v.. .{displaystylefnMitbf} - Mathbf. "Perfecto". Esto convierte el espacio seminormado en un espacio pseudométrico (noción que es más débil que una métrica) y permite la definición de nociones como la continuidad y la convergencia. Ponerlo más abstractamente cada espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial topológico y por lo tanto lleva una estructura topológica que es inducida por el seminorm.

De especial interés son espacios completos y no autorizados, conocidos como Espacios de banca. Todo el espacio vectorial V{displaystyle V} se sienta como un subespacio denso dentro de algún espacio de Banach; este espacio de Banach es esencialmente único V{displaystyle V} y se llama finalización de V.{displaystyle V.}

Dos normas sobre el mismo espacio vectorial se denominan equivalentes si definen la misma topología. En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las normas son equivalentes, pero esto no es cierto para los espacios vectoriales de dimensión infinita.

Todas las normas en un espacio vectorial finito-dimensional son equivalentes desde un punto de vista topológico ya que inducen la misma topología (aunque los espacios métricos resultantes no necesitan ser los mismos). Y puesto que cualquier espacio euclidiano está completo, podemos concluir que todos los espacios vectoriales de dimensiones finitas son espacios banach. Un espacio vectorial normal V{displaystyle V} es localmente compacto si y sólo si la bola unidad B={}x:.. x.. ≤ ≤ 1}{displaystyle B={x: # es compacto, que es el caso si y sólo si V{displaystyle V} es finito-dimensional; esta es una consecuencia de la lema de Riesz. (De hecho, un resultado más general es cierto: un espacio vectorial topológico es localmente compacto si y sólo si es finito-dimensional. El punto aquí es que no asumimos que la topología viene de una norma.)

La topología de un espacio vectorial seminormado tiene muchas propiedades agradables. Dado un sistema de barrios N()0){displaystyle {Mathcal}(0)} alrededor de 0 podemos construir todos los otros sistemas de barrio

N()x)=x+N()0):={}x+N:N▪ ▪ N()0)}{fnMitcal {fnh}(x)=x+{mthcal {N}(0):={x+N:Nin {mthcal}(0)}

x+N:={}x+n:n▪ ▪ N}.{displaystyle x+N:={x+n:nin N}

Además, existe una base de vecindad para el origen que consiste en conjuntos absorbentes y convexos. Como esta propiedad es muy útil en el análisis funcional, las generalizaciones de espacios vectoriales normados con esta propiedad se estudian bajo el nombre de espacios localmente convexos.

Una norma (o seminorm) .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} en un espacio vectorial topológico ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} es continuo si y sólo si la topología τ τ .. ⋅ ⋅ .. {displaystyle tau _{fncipescdot {fnK} que .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} induce a X{displaystyle X} es más grueso que τ τ {displaystyle tau } (que significa, τ τ .. ⋅ ⋅ .. ⊆ ⊆ τ τ {displaystyle tau _{fncipescdot "Perfecto"), que sucede si y sólo si existe alguna bola abierta B{displaystyle B} dentro ()X,.. ⋅ ⋅ .. ){displaystyle (X,fnMicrosoft Sans Serpientes)} (como tal vez <math alttext="{displaystyle {xin X:|x|{}x▪ ▪ X:.. x.. .1}{displaystyle {xin X:<img alt="{displaystyle {xin X:|x| por ejemplo) que está abierto ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} (salvo diferente, tal que B▪ ▪ τ τ {displaystyle Bin tau }).

Espacios normables

Un espacio vectorial topológico ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} se llama normable si existe una norma .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} on X{displaystyle X} tal que la métrica canónica ()x,Sí.)↦ ↦ .. Sí.− − x.. {displaystyle (x,y)mapstofncipalmente induce la topología τ τ {displaystyle tau } on X.{displaystyle X.}El siguiente teorema se debe a Kolmogorov:

El criterio de normabilidad de Kolmogorov: Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es normable si y sólo si existe un convex, von Neumann vecindad atado de 0▪ ▪ X.{displaystyle 0in X.}

Un producto de una familia de espacios normables es normable si y sólo si finitamente muchos de los espacios son no-triviales (es decir, ل ل {}0}{displaystyle neq {0}}). Además, el cociente de un espacio normable X{displaystyle X} por un subespacio vectorial cerrado C{displaystyle C} es normable, y si además X{displaystyle X}'s topology is given by a norm .. ⋅ ⋅ ,.. {displaystylefn,cdot} entonces el mapa X/C→ → R{displaystyle X/Cto mathbb {R} dado por x+C↦ ↦ infc▪ ▪ C.. x+c.. {textstyle x+Cmapsto inf _{cin C} WordPressx+c es una norma bien definida X/C{displaystyle X/C} que induce la topología cociente en X/C.{displaystyle X/C.}

Si X{displaystyle X} es un Hausdorff localmente convex espacio vectorial topológico entonces los siguientes son equivalentes:

1. X{displaystyle X} Es normable.
2. X{displaystyle X} tiene un barrio consolidado del origen.
3. el espacio dual fuerte Xb.. {displaystyle ¿Qué? de X{displaystyle X} Es normable.
4. el espacio dual fuerte Xb.. {displaystyle ¿Qué? de X{displaystyle X} es metro.

Además, X{displaystyle X} es finito dimensional si y sólo si Xσ σ .. {displaystyle X_{sigma. es normable (aquí Xσ σ .. {displaystyle X_{sigma. denotaciones X.. {displaystyle X^{prime } dotado con la débil* topología).

La topología τ τ {displaystyle tau } del espacio Fréchet CJUEGO JUEGO ()K),{displaystyle C^{infty}(K),} como se define en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba, se define por una familia contable de normas pero es no un espacio normable porque no existe ninguna norma .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} on CJUEGO JUEGO ()K){displaystyle C^{infty}(K)} tal que la topología que esta norma induce es igual a τ τ .{displaystyle tau.}

Incluso si un espacio vectorial topológico metrizable tiene una topología que se define por una familia de normas, entonces puede sin embargo dejar de ser espacio normable (que significa que su topología no puede ser definida por ninguna single norma). Un ejemplo de tal espacio es el espacio Fréchet CJUEGO JUEGO ()K),{displaystyle C^{infty}(K),} cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba, debido a su topología τ τ {displaystyle tau } es definido por una familia contable de normas pero es no un espacio normable porque no existe ninguna norma .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} on CJUEGO JUEGO ()K){displaystyle C^{infty}(K)} tal que la topología de esta norma induce es igual a τ τ .{displaystyle tau.} De hecho, la topología de un espacio convexo local X{displaystyle X} puede ser definido por una familia de normas on X{displaystyle X} si existe al menos uno norma continua X.{displaystyle X.}

Mapas lineales y espacios duales

Los mapas más importantes entre dos espacios vectoriales normados son los mapas lineales continuos. Junto con estos mapas, los espacios vectoriales normados forman una categoría.

La norma es una función continua en su espacio vectorial. Todos los mapas lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita también son continuos.

An isometría entre dos espacios vectoriales normalizados es un mapa lineal f{displaystyle f} que preserva la norma .. f()v).. =.. v.. {displaystylef}mathbf {v}fnMitbf {v} para todos los vectores v{displaystyle mathbf {v}). Las imágenes son siempre continuas e inyectables. Una isometría subjetiva entre los espacios vectoriales V{displaystyle V} y W{displaystyle W. se llama isométrico isomorfismo, y V{displaystyle V} y W{displaystyle W. se llaman isométricamente isomorfo. Isometrically isomorphic normed vector espacios son idénticos para todos los propósitos prácticos.

Al hablar de espacios vectoriales normalizados, aumentamos la noción de espacio dual para tener en cuenta la norma. El dual V.. {displaystyle V^{prime } de un espacio vectorial V{displaystyle V} es el espacio de todos continuo mapas lineales de V{displaystyle V} al campo base (los complejos o los reales) — tales mapas lineales se llaman "funcionales". La norma de un funcional φ φ {displaystyle varphi } se define como el supremum de Silencioφ φ ()v)Silencio{fnMicrosoft Sans Serif} Donde v{displaystyle mathbf {v} rangos sobre todos los vectores de unidad (es decir, vectores de la norma 1{displaystyle 1}En V.{displaystyle V.} Esto gira V.. {displaystyle V^{prime } en un espacio vectorial normalizado. Un teorema importante sobre las funciones lineales continuas en espacios vectoriales normalizados es el teorema Hahn-Banach.

Espacios normados como espacios cocientes de espacios seminormados

La definición de muchos espacios ordenados (en particular, espacios de Banach) implica un seminorm definido en un espacio vectorial y luego el espacio normalizado se define como el espacio cociente por el subespacio de elementos de seminorm cero. Por ejemplo, con el Lp{displaystyle L^{p} espacios, la función definida

.. f.. p=()∫ ∫ Silenciof()x)Silenciopdx)1/p{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}p};dxright)^{1/p}}

Espacios de productos finitos

Dado n{displaystyle n} espacios seminormados ()Xi,qi){displaystyle left(X_{i},q_{i}right)} con seminormas qi:Xi→ → R,{displaystyle q_{i}:X_{i}to mathbb {R} denota el espacio del producto por

X:=∏ ∏ i=1nXi{displaystyle X:=prod ¿Qué?

()x1,...... ,xn)+()Sí.1,...... ,Sí.n):=()x1+Sí.1,...... ,xn+Sí.n){displaystyle left(x_{1},ldotsx_{n}right)+left(y_{1},ldotsy_{n}right):=left(x_{1}+y_{1},ldotsx_{n}+y_{n}right)}}

α α ()x1,...... ,xn):=()α α x1,...... ,α α xn).{displaystyle alpha left(x_{1},ldotsx_{n}right):=left(alpha x_{1},ldotsalpha x_{n}right). }

Define una nueva función q:X→ → R{displaystyle q:Xto mathbb {R} por

q()x1,...... ,xn):=.. i=1nqi()xi),{displaystyle qleft(x_{1},ldotsx_{n}right:=sum ¿Por qué?

X.{displaystyle X.}

q{displaystyle q}

qi{displaystyle q_{i}

Más generalmente, para cada real p≥ ≥ 1{displaystyle pgeq 1} el mapa q:X→ → R{displaystyle q:Xto mathbb {R} definidas por

q()x1,...... ,xn):=().. i=1nqi()xi)p)1p{displaystyle qleft(x_{1},ldotsx_{n}right:=left(sum) ¿Por qué? {1}{p}}

p{displaystyle p}

Un argumento directo que involucra álgebra lineal elemental muestra que los únicos espacios seminormados de dimensión finita son aquellos que surgen como el espacio producto de un espacio normado y un espacio con seminorma trivial. En consecuencia, muchos de los ejemplos y aplicaciones más interesantes de espacios seminormados ocurren para espacios vectoriales de dimensión infinita.