Espacio uniforme

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Espacio topológico con noción de propiedades uniformes

En el campo matemático de la topología, un espacio uniforme es un conjunto con una estructura uniforme. Los espacios uniformes son espacios topológicos con una estructura adicional que se utiliza para definir propiedades uniformes como la integridad, la continuidad uniforme y la convergencia uniforme. Los espacios uniformes generalizan espacios métricos y grupos topológicos, pero el concepto está diseñado para formular los axiomas más débiles necesarios para la mayoría de las pruebas en el análisis.

Además de las propiedades habituales de una estructura topológica, en un espacio uniforme se formalizan las nociones de cercanía relativa y cercanía de puntos. En otras palabras, ideas como "x están más cerca de a que y de b&# 34; tienen sentido en espacios uniformes. En comparación, en un espacio topológico general, dados los conjuntos A,B, tiene sentido decir que un punto x está arbitrariamente cerca de A (es decir, en el cierre de A), o tal vez que A es un barrio más pequeño de x que B, pero las nociones de cercanía de puntos y cercanía relativa no se describen bien mediante la estructura topológica sola.

Definición

Hay tres definiciones equivalentes para un espacio uniforme. Todos ellos consisten en un espacio dotado de una estructura uniforme.

Definición de séquito

Esta definición adapta la presentación de un espacio topológico en términos de sistemas de barrio. A nonempty collection $Phi$ of subsets of $Xtimes X$ es un estructura uniforme (o una uniformidad) si satisface los siguientes axiomas:

Si $Uin Phi$ entonces ${displaystyle Delta subseteq U,}$ Donde ${displaystyle Delta ={(x,x):xin X}}$ es la diagonal en ${displaystyle Xtimes X.}$
Si $Uin Phi$ y ${displaystyle Usubseteq Vsubseteq Xtimes X}$ entonces ${displaystyle Vin Phi.}$
Si $Uin Phi$ y $Vin Phi$ entonces ${displaystyle Ucap Vin Phi.}$
Si $Uin Phi$ entonces hay algunos ${displaystyle Vin Phi }$ tales que ${displaystyle Vcirc Vsubseteq U}$ , donde ${displaystyle Vcirc V}$ denota el composite de $V$ con ella misma. El compuesto de dos subconjuntos $V$ y $U$ de $Xtimes X$ se define por ${displaystyle Vcirc U={(x,z)~:~{text{ there exists }}yin X,{text{ such that }},(x,y)in Uwedge (y,z)in V,}.}$
Si $Uin Phi$ entonces ${displaystyle U^{-1}in Phi}$ Donde ${displaystyle U^{-1}={(y,x):(x,y)in U}}$ es el inverso de $U.$

La falta de vacío $Phi$ tomada junto con (2) y (3) establece que $Phi$ es un filtro en ${displaystyle Xtimes X.}$ Si la última propiedad está omitida llamamos espacio quasiuniform. Un elemento $U$ de $Phi$ se llama proximidad o entorno de la palabra francesa alrededores.

Uno generalmente escribe ${displaystyle U[x]={y:(x,y)in U}=operatorname {pr} _{2}(Ucap ({x}times X),),}$ Donde ${displaystyle Ucap ({x}times X)}$ es la sección de la cruz vertical $U$ y ${displaystyle operatorname {pr} _{2}}$ es la proyección canónica sobre la segunda coordenadas. En un gráfico, un típico entorpecimiento se dibuja como un bloque que rodea el " $y=x$ " diagonal; todos los diferentes ${displaystyle U[x]}$ forma las secciones verticales. Si ${displaystyle (x,y)in U}$ entonces uno dice que $x$ y $y$ son $U$ -Cierra.. Del mismo modo, si todos los pares de puntos en un subconjunto $A$ de $X$ son $U$ -Cierto (eso es, si $Atimes A$ figura en $U$ ), $A$ se llama $U$ - pequeña. Un séquito $U$ es simétrica si ${displaystyle (x,y)in U}$ precisamente cuando ${displaystyle (y,x)in U.}$ El primer axioma declara que cada punto es $U$ -cerrar a sí mismo para cada contorno $U.$ El tercer axioma garantiza que sea "tanto $U$ -Cerca y $V$ -cerrar" es también una relación de cercanía en la uniformidad. El cuarto axioma indica que para cada entorpecimiento $U$ hay un séquito $V$ que es "no más de la mitad de grande". Finalmente, el último axioma declara que la propiedad "cereza" con respecto a una estructura uniforme es simétrica en $x$ y $y.$

A base de séquitos o sistema fundamental de entorno (o vicinities) de una uniformidad $Phi$ es cualquier juego ${mathcal {B}}$ de séquitos $Phi$ tal que cada séquito de $Phi$ contiene un conjunto perteneciente a ${displaystyle {mathcal {B}}.}$ Así, por la propiedad 2 supra, un sistema fundamental de séquitos ${mathcal {B}}$ es suficiente para especificar la uniformidad $Phi$ inequívocamente: $Phi$ es el conjunto de subconjuntos de $Xtimes X$ que contienen un conjunto de ${displaystyle {mathcal {B}}.}$ Cada espacio uniforme tiene un sistema fundamental de entorpecimientos que consiste en desvíos simétricos.

La intuición sobre uniformidades es proporcionada por el ejemplo de espacios métricos: si $(X,d)$ es un espacio métrico, los conjuntos

0}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Ua={}()x,Sí.)▪ ▪ X× × X:d()x,Sí.)≤ ≤ a}Dondea■0{displaystyle ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603aa7115c46ac70055d069377db526c6d7c0cbc" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.975ex; height:2.843ex;"/>

X.

x

y

U_{a}

x

y

a.

Una uniformidad $Phi$ es fino que otra uniformidad $Psi$ en el mismo conjunto si ${displaystyle Phi supseteq Psi;}$ en ese caso $Psi$ se dice que grueso que $Phi.$

Definición de pseudometría

Los espacios uniformes pueden definirse alternativa y equivalentemente utilizando sistemas de pseudométricos, un enfoque que es particularmente útil en el análisis funcional (con pseudométricos proporcionados por seminormas). Más precisamente, dejemos ${displaystyle f:Xtimes Xto mathbb {R} }$ ser un pseudométrico en un conjunto $X.$ Las imágenes inversas ${displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ se puede demostrar que forma un sistema fundamental de séquitos de uniformidad. La uniformidad generada por el $U_{a}$ es la uniformidad definida por el único pseudométrico $f.$ Algunos autores llaman espacios la topología de los cuales se define en términos de pseudométricos espacios de medición.

Para un familia ${displaystyle left(f_{i}right)}$ de seudometría $X,$ la estructura uniforme definida por la familia es la inferior al límite superior de las estructuras uniformes definidas por el individuo pseudométrico ${displaystyle f_{i}.}$ Un sistema fundamental de séquitos de esta uniformidad es proporcionado por el conjunto de finito intersecciones de séquitos de las uniformidades definidas por los pseudométricos individuales ${displaystyle f_{i}.}$ Si la familia de los pseudométricos es finito, se puede ver que la misma estructura uniforme se define por una single pseudométrico, a saber, el sobre superior ${displaystyle sup _{}f_{i}}$ de la familia.

De manera menos trivial, se puede demostrar que una estructura uniforme que admite un sistema fundamental contable de séquitos (de ahí, en particular, una uniformidad definida por una familia contable de pseudometría) puede definirse mediante una sola pseudometría. Una consecuencia es que cualquier estructura uniforme puede definirse como se indicó anteriormente mediante una (posiblemente incontable) familia de pseudometrías (ver Bourbaki: General Topology Chapter IX §1 no. 4).

Definición de cobertura uniforme

A espacio uniforme ${displaystyle (X,Theta)}$ es un juego $X$ equipado con una distinguido familia de cubiertas ${displaystyle Theta}$ "Cubiertas uniformes", extraídas del conjunto de cubiertas de $X,$ que forman un filtro cuando se ordena por refinamiento de estrellas. Uno dice que una cubierta $mathbf {P}$ es un refinamiento de estrellas de cobertura ${displaystyle mathbf {Q}}$ escrito $<math alttext="{displaystyle mathbf {P} P.Alternativa Alternativa Q,{displaystyle mathbf {P} <img alt="{displaystyle mathbf {P}$ si por cada ${displaystyle Ain mathbf {P}}$ hay un ${displaystyle Uin mathbf {Q} }$ tal si ${displaystyle Acap Bneq varnothingBin mathbf {P}}$ entonces ${displaystyle Bsubseteq U.}$ Axiomáticamente, la condición de ser un filtro reduce a:

${X}$ es una cubierta uniforme (es decir, ${displaystyle {X}in Theta }$ ).
Si $<math alttext="{displaystyle mathbf {P} P.Alternativa Alternativa Q{displaystyle mathbf {P} <img alt="{displaystyle mathbf {P}$ con $mathbf {P}$ una cubierta uniforme y $mathbf {Q}$ una cubierta de $X,$ entonces $mathbf {Q}$ es también una cubierta uniforme.
Si $mathbf {P}$ y $mathbf {Q}$ son cubiertas uniformes entonces hay una cubierta uniforme $mathbf {R}$ esa estrella refina ambas $mathbf {P}$ y $mathbf {Q}$

Dado un punto $x$ y una cubierta uniforme ${displaystyle mathbf {P}}$ uno puede considerar la unión de los miembros de $mathbf {P}$ que contienen $x$ como un típico barrio $x$ de tamaño ${displaystyle mathbf {P}}$ y esta medida intuitiva se aplica uniformemente sobre el espacio.

Dado un espacio uniforme en el sentido del entorno, definir una cubierta $mathbf {P}$ para ser uniforme si hay algún séquito $U$ tal que para cada uno ${displaystyle xin X,}$ hay un ${displaystyle Ain mathbf {P} }$ tales que ${displaystyle U[x]subseteq A.}$ Estos uniformes forman un espacio uniforme como en la segunda definición. Por el contrario, dado un espacio uniforme en el sentido de la cubierta uniforme, los superconjuntos de ${displaystyle bigcup {Atimes A:Ain mathbf {P} },}$ como $mathbf {P}$ rangos sobre las cubiertas uniformes, son los séquitos para un espacio uniforme como en la primera definición. Además, estas dos transformaciones son inversas entre sí.

Topología de espacios uniformes

Cada espacio uniforme $X$ se convierte en un espacio topológico definiendo un subconjunto ${displaystyle Osubseteq X}$ ser abierto si y sólo si por cada ${displaystyle xin O}$ existe un séquito $V$ tales que ${displaystyle V[x]}$ es un subconjunto de ${displaystyle O.}$ En esta topología, el filtro de barrio de un punto $x$ es ${displaystyle {V[x]:Vin Phi }.}$ Esto se puede probar con un uso recurrente de la existencia de un entorpecimiento "medio-tamaño". En comparación con un espacio global topológico la existencia de la estructura uniforme hace posible la comparación de tamaños de barrios: ${displaystyle V[x]}$ y ${displaystyle V[y]}$ son considerados como de la misma talla.

La topología definida por una estructura uniforme se dice que inducido por la uniformidad. Una estructura uniforme en un espacio topológico compatible con la topología si la topología definida por la estructura uniforme coincide con la topología original. En general, varias estructuras uniformes pueden ser compatibles con una topología dada $X.$

Espacios uniformizables

Un espacio topológico se llama uniformizable si existe una estructura uniforme compatible con la topología.

Cada espacio uniforme es un espacio topológico completamente regular. Además, para un espacio uniforme $X$ los siguientes son equivalentes:

$X$ es un espacio Kolmogorov
$X$ es un espacio Hausdorff
$X$ es un espacio Tychonoff
para cualquier estructura uniforme compatible, la intersección de todos los entornos es la diagonal ${displaystyle {(x,x):xin X}.}$

Algunos autores (por ejemplo, Engelking) agregan esta última condición directamente en la definición de un espacio uniformizable.

La topología de un espacio uniformizable es siempre una topología simétrica; es decir, el espacio es un espacio R0.

Por el contrario, cada espacio completamente regular es uniforme. Una uniformidad compatible con la topología de un espacio completamente regular $X$ se puede definir como la uniformidad más gruesa que hace todas las funciones de valor real continuo en $X$ uniformemente continuo. Un sistema fundamental de séquitos para esta uniformidad es proporcionado por todas las intersecciones finitas de conjuntos ${displaystyle (ftimes f)^{-1}(V),}$ Donde $f$ es una función de valor real continuo en $X$ y $V$ es un séquito del espacio uniforme ${displaystyle mathbf {R}.}$ Esta uniformidad define una topología, que es claramente más gruesa que la topología original de ${displaystyle X;}$ que también es más fino que la topología original (de ahí coincide con ella) es una consecuencia simple de la regularidad completa: para cualquier $xin X$ y un barrio $X$ de $x,$ hay una función de valor real continuo $f$ con $f(x) = 0$ e igual a 1 en el complemento $V$

En particular, un espacio compacto Hausdorff es uniforme. De hecho, para un espacio Hausdorff compacto $X$ el conjunto de todos los barrios de la diagonal en $Xtimes X$ la forma único uniformidad compatible con la topología.

Un espacio uniforme de Hausdorff es metrizable si su uniformidad se puede definir mediante una familia contable de pseudometría. De hecho, como se discutió anteriormente, dicha uniformidad puede definirse mediante una pseudométrica única, que es necesariamente una métrica si el espacio es Hausdorff. En particular, si la topología de un espacio vectorial es Hausdorff y definible por una familia numerable de seminormas, es metrizable.

Continuidad uniforme

Al igual que las funciones continuas entre espacios topológicos, que conservan propiedades topológicas, son las funciones uniformemente continuas entre espacios uniformes, que conservan propiedades uniformes.

Una función uniformemente continua se define como una en la que las imágenes inversas de los entornos son de nuevo entorpecimientos, o equivalentemente, uno donde las imágenes inversas de las cubiertas uniformes son de nuevo cubiertas uniformes. Explícitamente, una función $f:Xto Y$ entre espacios uniformes se llama uniformemente continuo si por cada séquito $V$ dentro $Y$ existe un séquito $U$ dentro $X$ tal si ${displaystyle left(x_{1},x_{2}right)in U}$ entonces ${displaystyle left(fleft(x_{1}right),fleft(x_{2}right)right)in V;}$ o en otras palabras, siempre que $V$ es un séquito $Y$ entonces ${displaystyle (ftimes f)^{-1}(V)}$ es un séquito $X$ , donde ${displaystyle ftimes f:Xtimes Xto Ytimes Y}$ se define por ${displaystyle (ftimes f)left(x_{1},x_{2}right)=left(fleft(x_{1}right),fleft(x_{2}right)right).}$

Todas las funciones uniformemente continuas son continuas con respecto a las topologías inducidas.

Los espacios uniformes con mapas uniformes forman una categoría. Un isomorfismo entre espacios uniformes se llama isomorfismo uniforme; explícitamente, a es una bijeción uniformemente continua cuyo inverso también es uniformemente continuo. A incrustación uniforme es un mapa uniformemente continuo inyectable ${displaystyle i:Xto Y}$ entre espacios uniformes cuya inversa ${displaystyle i^{-1}:i(X)to X}$ es también uniformemente continuo, donde la imagen $i(X)$ tiene la uniformidad subespacial heredada $Y.$

Integridad

Generalizando la noción de espacio métrico completo, también se puede definir la completitud para espacios uniformes. En lugar de trabajar con secuencias de Cauchy, se trabaja con filtros de Cauchy (o redes de Cauchy).

A Filtro de caché (respectivamente, una Prefiltro de caqui) $F$ sobre un espacio uniforme $X$ es un filtro (respectivamente, un prefiltro) $F$ tal que por cada entorpecimiento ${displaystyle U,}$ existe ${displaystyle Ain F}$ con ${displaystyle Atimes Asubseteq U.}$ En otras palabras, un filtro es Cauchy si contiene conjuntos "arbitraramente pequeños". De las definiciones se desprende que cada filtro que converge (con respecto a la topología definida por la estructura uniforme) es un filtro Cauchy. A filtro Cauchy mínimo es un filtro Cauchy que no contiene ningún más pequeño (es decir, más grueso) Filtro Cauchy (excepto él mismo). Se puede demostrar que cada filtro Cauchy contiene un único filtro Cauchy mínimo. El filtro de barrio de cada punto (el filtro que consiste en todos los barrios del punto) es un filtro Cauchy mínimo.

Por el contrario, un espacio uniforme se llama complete si todos los filtros de Cauchy convergen. Cualquier espacio compacto de Hausdorff es un espacio uniforme completo con respecto a la única uniformidad compatible con la topología.

Espacios uniformes completos disfrutan de la propiedad importante: si ${displaystyle f:Ato Y}$ es un uniformemente continuo función de un subconjunto denso $A$ de un espacio uniforme $X$ en una completo espacio uniforme $Y,$ entonces $f$ se puede ampliar (uniquely) en una función uniformemente continua en todos los $X.$

Un espacio topológico que puede convertirse en un espacio uniforme completo, cuya uniformidad induce la topología original, se denomina espacio completamente uniformizable.

A finalización de un espacio uniforme $X$ es un completo es un par ${displaystyle (i,C)}$ que consiste en un espacio uniforme completo $C$ y una incrustación uniforme ${displaystyle i:Xto C}$ cuya imagen ${displaystyle i(C)}$ es un subconjunto denso ${displaystyle C.}$

Finalización de Hausdorff de un espacio uniforme

Como con espacios métricos, cada espacio uniforme $X$ tiene Terminación de Hausdorff de un espacio uniforme: es decir, existe un completo espacio uniforme Hausdorff $Y$ y un mapa uniformemente continuo ${displaystyle i:Xto Y}$ (si $X$ es un espacio uniforme Hausdorff entonces $i$ es una incrustación topológica) con la siguiente propiedad:

para cualquier cartografía uniformemente continua

f

X

en un espacio uniforme Hausdorff completo

Z,

hay un mapa único uniformemente continuo

g:Yto Z

tales que

{displaystyle f=gi.}

La terminación Hausdorff $Y$ es único hasta el isomorfismo. Como un conjunto, $Y$ se puede tomar para consistir en mínimo Filtros de caché en $X.$ Como filtro de barrio ${displaystyle mathbf {B} (x)}$ de cada punto $x$ dentro $X$ es un filtro Cauchy mínimo, el mapa $i$ se puede definir mediante mapeo $x$ a ${displaystyle mathbf {B} (x).}$ El mapa $i$ así definido no es en general inyectable; de hecho, el gráfico de la relación de equivalencia ${displaystyle i(x)=i(x')}$ es la intersección de todos los séquitos de $X,$ y así $i$ es inyectable precisamente cuando $X$ Es Hausdorff.

La estructura uniforme $Y$ se define como sigue: para cada uno simétrica entorno $V$ (es decir, tal que ${displaystyle (x,y)in V}$ implicación ${displaystyle (y,x)in V}$ ), vamos ${displaystyle C(V)}$ ser el conjunto de todos los pares ${displaystyle (F,G)}$ de filtros mínimos Cauchy que tienen en común al menos uno $V$ - pequeño set. Los juegos ${displaystyle C(V)}$ se puede demostrar que forma un sistema fundamental de entorpecimientos; $Y$ está equipado con la estructura uniforme así definida.

El set $i(X)$ es entonces un subconjunto denso $Y.$ Si $X$ es Hausdorff, entonces $i$ es un isomorfismo sobre ${displaystyle i(X),}$ y así $X$ se puede identificar con un subconjunto denso de su terminación. Además, $i(X)$ es siempre Hausdorff; se llama Espacio uniforme Hausdorff asociado con $X.$ Si $R$ denota la relación de equivalencia ${displaystyle i(x)=i(x'),}$ entonces el espacio conveniente ${displaystyle X/R}$ es homeomorfo a ${displaystyle i(X).}$

Ejemplos

Cada espacio métrico $(M,d)$ puede considerarse un espacio uniforme. De hecho, ya que una métrica es a fortiori un pseudométrico, la definición pseudométrica proporciona $M$ con una estructura uniforme. Los conjuntos proporcionan un sistema fundamental de séquitos de esta uniformidad
${displaystyle qquad U_{a}triangleq d^{-1}([0,a])={(m,n)in Mtimes M:d(m,n)leq a}.}$
Esta estructura uniforme $M$ genera la topología espacial métrica habitual en ${displaystyle M.}$ Sin embargo, diferentes espacios métricos pueden tener la misma estructura uniforme (el ejemplo trivial es proporcionado por un múltiple constante de una métrica). Esta estructura uniforme produce también definiciones equivalentes de continuidad y integridad uniformes para los espacios métricos.
Utilizando métricas, se puede construir un simple ejemplo de estructuras uniformes distintas con topologías coincidentes. Por ejemplo, déjeme ${displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ser la métrica habitual $mathbb {R}$ y dejar ${displaystyle d_{2}(x,y)=left|e^{x}-e^{y}right|.}$ Entonces ambas métricas inducen la topología habitual en ${displaystyle mathbb {R}}$ las estructuras uniformes son distintas, ya que $<math alttext="{displaystyle {(x,y):|x-y|{}()x,Sí.):Silenciox- - Sí.Silencio.1}{displaystyle {(x,y): <img alt="{displaystyle {(x,y):|x-y|$ es un séquito en la estructura uniforme ${displaystyle d_{1}(x,y)}$ pero no para ${displaystyle d_{2}(x,y).}$ Informalmente, este ejemplo puede verse como tomar la uniformidad habitual y distorsionarlo a través de la acción de una función continua pero no uniformemente continua.
Cada grupo topológico $G$ (en particular, cada espacio vectorial topológico) se convierte en un espacio uniforme si definimos un subconjunto ${displaystyle Vsubseteq Gtimes G}$ ser un séquito si y sólo si contiene el conjunto ${displaystyle {(x,y):xcdot y^{-1}in U}}$ para algún vecindario $U$ del elemento de identidad $G.$ Esta estructura uniforme $G$ se llama uniformidad derecha on $G,$ porque para cada ${displaystyle ain G,}$ la multiplicación correcta ${displaystyle xto xcdot a}$ es uniformemente continuo con respecto a esta estructura uniforme. También se puede definir una uniformidad izquierda en ${displaystyle G;}$ los dos no necesitan coincidir, pero ambos generan la topología dada en $G.$
Para cada grupo topológico $G$ y su subgrupo $Hsubseteq G$ el conjunto de cosets izquierdos ${displaystyle G/H}$ es un espacio uniforme con respecto a la uniformidad $Phi$ definido como sigue. Los juegos ${displaystyle {tilde {U}}={(s,t)in G/Htimes G/H: tin Ucdot s},}$ Donde $U$ corre por barrios de la identidad en $G,$ forma un sistema fundamental de séquitos para la uniformidad $Phi.$ La topología inducida correspondiente en ${displaystyle G/H}$ es igual a la topología cociente definida por el mapa natural ${displaystyle gto G/H.}$
La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano $Xtimes X$ es el único séquito.

Historia

Antes de que André Weil diera la primera definición explícita de una estructura uniforme en 1937, los conceptos uniformes, como la integridad, se discutían utilizando espacios métricos. Nicolas Bourbaki proporcionó la definición de estructura uniforme en términos de séquitos en el libro Topologie Générale y John Tukey dio la definición de portada uniforme. Weil también caracterizó espacios uniformes en términos de una familia de pseudometría.

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