Espacio ultramétrico

En matemáticas, un espacio ultramétrico es un espacio métrico en el que se fortalece la desigualdad triángulo d()x,z)≤ ≤ max{}d()x,Sí.),d()Sí.,z)}{displaystyle d(x,z)leq max left{d(x,y),d(y,z)right}}. A veces la métrica asociada se llama también métrica no argentina o supermétrico.

Definición formal

Una ultramétrica en un conjunto M es una función de valor real

d:: M× × M→ → R{displaystyle dcolon Mtimes Mrightarrow mathbb {R}

(where ℝ denote the real numbers), such that for all x, y, z ∈ M:

1. d()x, Sí.) ≥ 0;
2. d()x, Sí.) d()Sí., x) ()simetría);
3. d()x, x) = 0;
4. si d()x, Sí.) = 0 entonces x = Sí.;
5. d()x, z≤ max {d()x, Sí.), d()Sí., z).fuerte desigualdad triángulo o desigualdad ultramétrica).

Un espacio ultramétrico es un par (M, d) que consta de un establezca M junto con una d en M, que se denomina función de distancia asociada al espacio (también denominada métrica).

Si d satisface todas las condiciones excepto posiblemente la condición 4, entonces d se denomina ultrapseudométrico en M. Un espacio ultratrapseudométrico es un par (M, d) que consta de un conjunto M y una d ultrapseudométrica en M.

En el caso cuando M es un grupo Abeliano (aditivo escrito) y d se genera por una función de longitud .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} (para que d()x,Sí.)=.. x− − Sí... {displaystyle d(x,y)=fnx-yfnción}), la última propiedad se puede hacer más fuerte utilizando el afilado Krull para:

.. x+Sí... ≤ ≤ max{}.. x.. ,.. Sí... }{displaystylefnx+yfnMicrosoft Sans Serif} con igualdad si .. x.. ل ل .. Sí... {displaystyle Toddxbeqfnh00}.

Queremos probarlo si .. x+Sí... ≤ ≤ max{}.. x.. ,.. Sí... }{displaystylefnx+yfnMicrosoft Sans Serif}, entonces la igualdad ocurre si .. x.. ل ل .. Sí... {displaystyle Toddxbeqfnh00}. Sin pérdida de generalidad, asumamos que |y|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. x.. ■.. Sí... {displaystylefnxfnMicrosoft Sans Serif}|y|" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4e54981bb79816f816f87e14638e32f96829b9" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.233ex; height:2.843ex;"/>. Esto implica que .. x+Sí... ≤ ≤ .. x.. {displaystylefnx+yfnMicrosoftfnh}. Pero también podemos calcular .. x.. =.. ()x+Sí.)− − Sí... ≤ ≤ max{}.. x+Sí... ,.. Sí... }{displaystylefnxfnMicrosoft Sans SerpientesfnMicrosoft Sans Serpientes,fnMicrosoft Sans Serif}. Ahora, el valor de max{}.. x+Sí... ,.. Sí... }{displaystyle max left{fnx+yfnMientras,fnciónfnciónfnciónfnsexual} no puede ser .. Sí... {displaystyle 'responsable', por si ese es el caso, tenemos .. x.. ≤ ≤ .. Sí... {displaystyle Toddxfnsteriorleqfnción} contrario a la suposición inicial. Así, max{}.. x+Sí... ,.. Sí... }=.. x+Sí... {displaystyle maxleft{fnMicrosoft Sans,fnMicrosoft Sans SerpientesfnMicrosoft Sans Serif}=fnx+yh}, y .. x.. ≤ ≤ .. x+Sí... {displaystyle Toddxfnsteriorleqfnx+yfnse}. Usando la desigualdad inicial, tenemos .. x.. ≤ ≤ .. x+Sí... ≤ ≤ .. x.. {displaystyle Toddxfnciónleqfnx+yfnciónleqfnxi} por lo tanto .. x+Sí... =.. x.. {displaystylefnx+yfnh00=fnxfnh00}.

Propiedades

De la definición anterior, se pueden concluir varias propiedades típicas de ultrametría. Por ejemplo, para todos x,Sí.,z▪ ▪ M{displaystyle x,y,zin M}, al menos una de las tres igualdades d()x,Sí.)=d()Sí.,z){displaystyle d(x,y)=d(y,z)} o d()x,z)=d()Sí.,z){displaystyle d(x,z)=d(y,z)} o d()x,Sí.)=d()z,x){displaystyle d(x,y)=d(z,x)} sostiene. Es decir, cada triple de puntos en el espacio forma un triángulo isosceles, por lo que todo el espacio es un conjunto isosceles.

Definición de la bola (abierto) de radio 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/> centrado en x▪ ▪ M{displaystyle xin M} como <math alttext="{displaystyle B(x;r):={yin Mmid d(x,y)B()x;r):={}Sí.▪ ▪ M▪ ▪ d()x,Sí.).r}{displaystyle B(x;r):={yin Mmid d(x,y)cantador}<img alt="{displaystyle B(x;r):={yin Mmid d(x,y), tenemos las siguientes propiedades:

• Cada punto dentro de una bola es su centro, es decir, si <math alttext="{displaystyle d(x,y)d()x,Sí.).r{displaystyle d(x,y)<img alt="d(x,y) entonces B()x;r)=B()Sí.;r){displaystyle B(x;r)=B(y;r)}.
• Las bolas que se entrecruzan se contienen, es decir, si B()x;r)∩ ∩ B()Sí.;s){displaystyle B(x;r)cap B(y;s)} no está vacía entonces B()x;r)⊆ ⊆ B()Sí.;s){displaystyle B(x;r)subseteq B(y;s)} o B()Sí.;s)⊆ ⊆ B()x;r){displaystyle B(y;s)subseteq B(x;r)}.
• Todas las bolas de radio estrictamente positivo son ambos conjuntos abiertos y cerrados en la topología inducida. Es decir, las bolas abiertas también están cerradas, y las bolas cerradas (sustitución <math alttext="{displaystyle .{displaystyle]<img alt=" con ≤ ≤ {displaystyle leq }) también están abiertos.
• El conjunto de todas las bolas abiertas con radio r{displaystyle r} y centro en una bola cerrada de radio 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/> forma una partición de este último, y la distancia mutua de dos bolas abiertas distintas es (más grande o) igual a r{displaystyle r}.

Probar estas afirmaciones es un ejercicio instructivo. Todos se derivan directamente de la desigualdad del triángulo ultramétrico. Tenga en cuenta que, según la segunda afirmación, una bola puede tener varios puntos centrales que tienen una distancia distinta de cero. La intuición detrás de estos efectos aparentemente extraños es que, debido a la fuerte desigualdad del triángulo, las distancias en ultrametría no cuadran.

Ejemplos

• La métrica discreta es una ultramétrica.
• Los números p-adic forman un espacio ultramétrico completo.
• Considere el conjunto de palabras de longitud arbitraria (finita o infinita), la^*, sobre un alfabeto. Definir la distancia entre dos palabras diferentes a ser 2⁻ⁿ, donde n es el primer lugar en el que las palabras difieren. La métrica resultante es un ultramétrico.
• El conjunto de palabras con extremos pegados de la longitud n sobre un alfabeto La navegación es un espacio ultramétrico con respecto a la p- cercana distancia. Dos palabras x y Sí. son p- si hay subestring de p Cartas consecutivas ()p. n) aparece el mismo número de veces (que también podría ser cero) ambos en x y Sí..
• Si r =r_n) es una secuencia de números reales que disminuyen a cero, luegoxSilencio_r:= lim sup_n→ Silenciox_nSilencio^r_n induce un ultramétrico en el espacio de todas las secuencias complejas para las que es finita. (Nota que esto no es un seminorm ya que carece de homogeneidad - Si el r_n se permite ser cero, uno debe utilizar aquí la convención bastante inusual que 00 = 0.)
• Si G es un gráfico sin dirección, todos los pesos del borde son positivos, y d()u,v) es el peso de la ruta minimax entre u y v (es decir, el mayor peso de un borde, en un camino elegido para minimizar este mayor peso), luego los vértices del gráfico, con la distancia medida por d, formar un espacio ultramétrico, y todos los espacios ultramétricos finitos pueden ser representados de esta manera.

Aplicaciones

• Un mapeo de contracción puede ser pensado como una manera de aproximar el resultado final de una computación (que se puede garantizar que exista por el teorema de punta fija Banach). Se pueden encontrar ideas similares en la teoría del dominio. El análisis p-adic hace un uso pesado de la naturaleza ultramétrica de la métrica p-adic.
• En la física de materia condensada, la superposición de autopromedio entre las espinas del Modelo SK de las gafas de giro muestra una estructura ultramétrica, con la solución dada por el procedimiento de ruptura de la simetría de réplica completa primero delineado por Giorgio Parisi y coworkers. La ultrametría también aparece en la teoría de sólidos aperódicos.
• En la construcción de árboles de taxonomía y filogenética, las distancias ultramétricas también son utilizadas por los métodos UPGMA y WPGMA. Estos algoritmos requieren una suposición constante y producen árboles en los que las distancias de la raíz a cada punta de rama son iguales. Cuando se analizan los datos de ADN, ARN y proteínas, la suposición de ultrametría se denomina reloj molecular.
• Los modelos de intermitencia en la turbulencia tridimensional de fluidos hacen uso de las denominadas cascadas, y en modelos discretos de cascadas dyadicas, que tienen una estructura ultramétrica.
• En la geografía y la ecología paisajística se han aplicado distancias ultramétricas para medir la complejidad paisajística y evaluar en qué medida una función paisajística es más importante que otra.