Espacio Tychonoff

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, los espacios de Tychonoff y los espacios completamente regulares son tipos de espacios topológicos. Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación. Un espacio de Tychonoff se refiere a cualquier espacio completamente regular que también sea un espacio de Hausdorff; existen espacios completamente regulares que no son Tychonoff (es decir, no Hausdorff).

Los espacios de Tychonoff llevan el nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, cuyo nombre ruso (Тихонов) se traduce de diversas formas como "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", & #34;Tichonov", etc., quien los introdujo en 1930 para evitar la situación patológica de los espacios de Hausdorff cuyas únicas funciones continuas con valores reales son mapas constantes.

Definiciones

Separación de un punto desde un conjunto cerrado mediante una función continua.

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama completamente regular si los puntos pueden separarse de conjuntos cerrados a través de funciones continuas de valor real. En términos técnicos esto significa: para cualquier conjunto cerrado ${displaystyle Asubseteq X}$ y cualquier punto ${displaystyle xin Xsetminus A,}$ existe una función continua de valor real ${displaystyle f:Xto mathbb {R}$ tales que ${displaystyle f(x)=1}$ y ${displaystyle fvert _{A}=0}$ (Equivalentemente uno puede elegir cualquier dos valores en lugar de ${displaystyle 0}$ y ${displaystyle 1}$ e incluso exigir que ${displaystyle f}$ ser una función atada.)

Un espacio topológico se denomina espacio de Tychonoff (alternativamente: T_3½ espacio, o T_π espacio, o completamente T₃ espacio) si es un espacio de Hausdorff completamente regular.

Observación. Los espacios completamente regulares y los espacios de Tychonoff están relacionados a través de la noción de equivalencia de Kolmogorov. Un espacio topológico es Tychonoff si y solo si es completamente regular y T0. Por otro lado, un espacio es completamente regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es Tychonoff.

Convenciones de nomenclatura

En la literatura matemática se aplican diferentes convenciones cuando se trata del término "completamente regular" y los axiomas "T". Las definiciones en esta sección tienen un uso moderno típico. Algunos autores, sin embargo, cambian los significados de los dos tipos de términos o usan todos los términos indistintamente. En Wikipedia, los términos "completamente regular" y "Tychonoff" se usan libremente y generalmente se evita la notación "T". En la literatura estándar, se recomienda precaución para averiguar qué definiciones está usando el autor. Para obtener más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación.

Ejemplos y contraejemplos

Casi todos los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son Tychonoff, o al menos completamente regulares. Por ejemplo, la línea real es Tychonoff bajo la topología euclidiana estándar. Otros ejemplos incluyen:

• Cada espacio métrico es Tychonoff; cada espacio pseudométrico es completamente regular.
• Cada espacio regular localmente compacto es completamente regular, y por lo tanto cada espacio Hausdorff localmente compacto es Tychonoff.
• En particular, cada doble topológico es Tychonoff.
• Cada conjunto totalmente ordenado con la topología del pedido es Tychonoff.
• Cada grupo topológico es completamente regular.
• Generalizando tanto los espacios métricos como los grupos topológicos, cada espacio uniforme es completamente regular. El contrario también es cierto: cada espacio completamente regular es uniforme.
• Cada complejo CW es Tychonoff.
• Cada espacio normal es completamente regular, y cada espacio Hausdorff normal es Tychonoff.
• El avión Niemytzki es un ejemplo de un espacio Tychonoff que no es normal.

Propiedades

Preservación

La regularidad completa y la propiedad de Tychonoff se comportan bien con respecto a las topologías iniciales. Específicamente, la regularidad completa se preserva tomando topologías iniciales arbitrarias y la propiedad de Tychonoff se preserva tomando topologías iniciales de separación de puntos. Resulta que:

• Cada subespacio de un espacio completamente regular o Tychonoff tiene la misma propiedad.
• Un espacio de productos no vacío es completamente regular (respectivamente Tychonoff) si y sólo si cada espacio factor es completamente regular (respectivamente Tychonoff).

Como todos los axiomas de separación, la regularidad completa no se conserva tomando topologías finales. En particular, los cocientes de espacios completamente regulares no necesitan ser regulares. Los cocientes de los espacios de Tychonoff ni siquiera necesitan ser Hausdorff, con un contraejemplo elemental que es la línea de ojos saltones. Hay cocientes cerrados del plano de Moore que proporcionan contraejemplos.

Funciones continuas de valor real

Para cualquier espacio topológico ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle C(X)}$ denotar a la familia de funciones continuas de valor real ${displaystyle X}$ y dejar ${displaystyle C_{b}(X)}$ ser el subconjunto de funciones continuas de valor real ligadas.

Los espacios completamente regulares pueden caracterizarse por el hecho de que su topología está completamente determinada por ${displaystyle C(X)}$ o ${displaystyle C_{b}(X). }$ En particular:

• Un espacio ${displaystyle X}$ es completamente regular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por ${displaystyle C(X)}$ o ${displaystyle C_{b}(X). }$
• Un espacio ${displaystyle X}$ es completamente regular si y sólo si cada conjunto cerrado puede ser escrito como la intersección de una familia de cero conjuntos en ${displaystyle X}$ (es decir, el cero establece una base para los conjuntos cerrados de ${displaystyle X}$).
• Un espacio ${displaystyle X}$ es completamente regular si y sólo si los conjuntos de cozero de ${displaystyle X}$ forma una base para la topología de ${displaystyle X.}$

Dado un espacio topológico arbitrario ${displaystyle (X,tau)}$ hay una manera universal de asociar un espacio completamente regular con ${displaystyle (X,tau).}$ Let ρ ser la topología inicial en ${displaystyle X}$ inducido por ${displaystyle C_{tau }(X)}$ o, equivalentemente, la topología generada por la base de conjuntos de cozero en ${displaystyle (X,tau).}$ Entonces ρ será la mejor topología completamente regular en ${displaystyle X}$ que es más grueso que ${displaystyle tau.}$ Esta construcción es universal en el sentido de que cualquier función continua

$${displaystyle f:(X,tau)to Y}$$

${displaystyle Sí.$${displaystyle (X,rho). }$${displaystyle (X,tau)}$${displaystyle (X,rho)}$CRegTopCRegTop

Uno puede demostrar que ${displaystyle C_{tau }(X)=C_{rho }(X)}$ en la construcción anterior para que los anillos ${displaystyle C(X)}$ y ${displaystyle C_{b}(X)}$ son generalmente sólo estudiados para espacios completamente regulares ${displaystyle X.}$

La categoría de espacios reales de Tychonoff es antiequivalente a la categoría de los anillos ${displaystyle C(X)}$ (donde) ${displaystyle X}$ es realcompact) junto con los homomorfismos de anillo como mapas. Por ejemplo, uno puede reconstruir ${displaystyle X}$ desde ${displaystyle C(X)}$ cuando ${displaystyle X}$ es (real) compacto. La teoría algebraica de estos anillos es por lo tanto sujeto de estudios intensivos. Una vasta generalización de esta clase de anillos que todavía se asemeja a muchas propiedades de los espacios de Tychonoff, pero también es aplicable en la geometría algebraica real, es la clase de anillos cerrados reales.

Incrustaciones

Los espacios Tychonoff son precisamente aquellos espacios que pueden ser incrustados en espacios compactos Hausdorff. Más precisamente, por cada espacio Tychonoff ${displaystyle X.$ existe un espacio compacto Hausdorff ${displaystyle K}$ tales que ${displaystyle X}$ es homeomorfo a un subespacio ${displaystyle K.}$

De hecho, uno siempre puede elegir ${displaystyle K}$ ser un cubo Tychonoff (es decir, un producto posiblemente infinito de intervalos de unidad). Cada cubo Tychonoff es Hausdorff compacto como consecuencia del teorema de Tychonoff. Puesto que cada subespacio de un espacio compacto Hausdorff es Tychonoff uno tiene:

Un espacio topológico es Tychonoff si y sólo si puede ser incrustado en un cubo Tychonoff.

Compactaciones

De particular interés son los embeddings donde la imagen de ${displaystyle X}$ es denso en ${displaystyle K;}$ estas son llamadas compactaciones Hausdorff de ${displaystyle X.}$Dado cualquier incrustación de un espacio Tychonoff ${displaystyle X}$ en un espacio Hausdorff compacto ${displaystyle K}$ el cierre de la imagen ${displaystyle X}$ dentro ${displaystyle K}$ es una compactación de ${displaystyle X.}$En el mismo artículo de 1930 donde Tychonoff define espacios completamente regulares, también demostró que cada espacio Tychonoff tiene una compactación Hausdorff.

Entre esas compactaciones Hausdorff, hay una única "más general", la compactación Stone-Čech ${displaystyle beta X.}$Se caracteriza por la propiedad universal que, dada un mapa continuo ${displaystyle f}$ desde ${displaystyle X}$ a cualquier otro espacio compacto Hausdorff ${displaystyle Sí.$ hay un mapa continuo único ${displaystyle g:beta Xto Y}$ que se extiende ${displaystyle f}$ en el sentido de que ${displaystyle f}$ es la composición ${displaystyle g}$ y ${displaystyle J.$

Estructuras uniformes

La regularidad completa es exactamente la condición necesaria para la existencia de estructuras uniformes en un espacio topológico. En otras palabras, cada espacio uniforme tiene una topología completamente regular y cada espacio completamente regular ${displaystyle X}$ es uniforme. Un espacio topológico admite una estructura uniforme separada si y sólo si es Tychonoff.

Dado un espacio completamente regular ${displaystyle X}$ generalmente hay más de una uniformidad en ${displaystyle X}$ que es compatible con la topología ${displaystyle X.}$ Sin embargo, siempre habrá una mejor uniformidad compatible, llamada la fina uniformidad en ${displaystyle X.}$ Si ${displaystyle X}$ es Tychonoff, entonces la estructura uniforme se puede elegir para que ${displaystyle beta X}$ se convierte en la terminación del espacio uniforme ${displaystyle X.}$