Espacio topológico

En matemáticas, un espacio topológico es, en términos generales, un espacio geométrico en el que la cercanía se define pero no necesariamente se puede medir mediante una distancia numérica. Más específicamente, un espacio topológico es un conjunto cuyos elementos se denominan puntos, junto con una estructura adicional denominada topología, que se puede definir como un conjunto de vecindades para cada punto que satisfacen algunos axiomas que formalizan el concepto. de cercanía. Hay varias definiciones equivalentes de una topología, la más utilizada de las cuales es la definición a través de conjuntos abiertos, que es más fácil de manipular que las demás.

Un espacio topológico es el tipo más general de un espacio matemático que permite la definición de límites, continuidad y conectividad. Los tipos comunes de espacios topológicos incluyen espacios euclidianos, espacios métricos y variedades.

Aunque es muy general, el concepto de espacios topológicos es fundamental y se utiliza prácticamente en todas las ramas de las matemáticas modernas. El estudio de los espacios topológicos por derecho propio se denomina topología de conjunto de puntos o topología general.

Historia

Alrededor de 1735, Leonhard Euler descubrió la fórmula V− − E+F=2{displaystyle V-E+F=2} relaciona el número de vértices, bordes y caras de un poliedro convexo, y por lo tanto de un gráfico plano. El estudio y generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy (1789-1857) y L'Huilier (1750-1840), impulsaron el estudio de la topología. En 1827, Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales de superficies curvas, que en la sección 3 define la superficie curvada de una manera similar al entendimiento topológico moderno: "Se dice que una superficie curvada posee curvatura continua en uno de sus puntos A, si la dirección de todas las líneas rectas dibujadas desde A a puntos de la superficie a una distancia infinitamente pequeña de A son desviadas infinitamente poco de uno y el mismo plano pasando por A."

Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataban desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y nunca se consideraban las cuestiones topológicas". " Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema de la topología de superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricas) para decidir la equivalencia de superficies, es decir, decidir si dos superficies son homeomorfas o no. "

El tema está claramente definido por Felix Klein en su "Programa Erlangen" (1872): la geometría invariantes de la transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había utilizado el término en la correspondencia algunos años antes en lugar de 'Analysis situs' utilizado anteriormente. La base de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creada por Henri Poincaré. Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894. En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano.

Los espacios topológicos fueron definidos por primera vez por Felix Hausdorff en 1914 en su seminal "Principios de la teoría de conjuntos". Los espacios métricos habían sido definidos anteriormente en 1906 por Maurice Fréchet, aunque fue Hausdorff quien popularizó el término "espacio métrico" (Alemán: metrischer Raum).

Definiciones

La utilidad del concepto de topología se demuestra por el hecho de que existen varias definiciones equivalentes de esta estructura matemática. Así se elige la axiomatización adecuada para la aplicación. El más comúnmente usado es en términos de conjuntos abiertos, pero quizás más intuitivo es en términos de vecindarios y por eso se da primero.

Definición a través de barrios

Esta axiomatización se debe a Félix Hausdorff. Vamos X{displaystyle X} ser un conjunto; los elementos de X{displaystyle X} generalmente se llama puntos, aunque pueden ser cualquier objeto matemático. Permitimos X{displaystyle X} para estar vacío. Vamos N{displaystyle {fn} ser una función asignando a cada uno x{displaystyle x} (punto) en X{displaystyle X} a colección no vacía N()x){displaystyle {mathcal {N}(x)} of subsets of X.{displaystyle X.} Los elementos de N()x){displaystyle {mathcal {N}(x)} será llamado barrios de x{displaystyle x} con respecto a N{displaystyle {fn} (o, simplemente, barrios de x{displaystyle x}). La función N{displaystyle {fn} se llama topología vecinal si los axiomas de abajo están satisfechos; y luego X{displaystyle X} con N{displaystyle {fn} se llama espacio topológico.

1. Si N{displaystyle N} es un barrio x{displaystyle x} (es decir, N▪ ▪ N()x){displaystyle Nin {Mathcal {N}(x)}), entonces x▪ ▪ N.{displaystyle xin N.} En otras palabras, cada punto pertenece a cada uno de sus barrios.
2. Si N{displaystyle N} es un subconjunto de X{displaystyle X} e incluye un barrio x,{displaystyle x,} entonces N{displaystyle N} es un barrio x.{displaystyle x.} Es decir, cada superconjunto de un barrio de un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es otra vez un barrio x.{displaystyle x.}
3. La intersección de dos barrios de x{displaystyle x} es un barrio x.{displaystyle x.}
4. Cualquier barrio N{displaystyle N} de x{displaystyle x} incluye un barrio M{displaystyle M} de x{displaystyle x} tales que N{displaystyle N} es un barrio de cada punto M.{displaystyle M.}

Los tres primeros axiomas para los barrios tienen un significado claro. El cuarto axioma tiene un uso muy importante en la estructura de la teoría, la de unir los barrios de diferentes puntos de X.{displaystyle X.}

Un ejemplo estándar de tal sistema de barrios es para la línea real R,{displaystyle mathbb {R} donde un subconjunto N{displaystyle N} de R{displaystyle mathbb {R} se define como un barrio de un número real x{displaystyle x} si incluye un intervalo abierto que contiene x.{displaystyle x.}

Dada esa estructura, un subconjunto U{displaystyle U} de X{displaystyle X} se define como abierto si U{displaystyle U} es un barrio de todos los puntos U.{displaystyle U.} Los conjuntos abiertos entonces satisfacen los axiomas dados a continuación. Por el contrario, cuando se dan los conjuntos abiertos de un espacio topológico, los barrios que satisfacen los axiomas anteriores se pueden recuperar definiendo N{displaystyle N} ser un barrio x{displaystyle x} si N{displaystyle N} incluye un conjunto abierto U{displaystyle U} tales que x▪ ▪ U.{displaystyle xin U.}

Definición a través de conjuntos abiertos

A topología en un set X puede definirse como una colección τ τ {displaystyle tau } of subsets of X, llamado juegos abiertos y satisfacción de los siguientes axiomas:

1. El set vacío y X{displaystyle X} pertenece a τ τ .{displaystyle tau.}
2. Cualquier unión arbitraria (finita o infinita) τ τ {displaystyle tau } pertenece τ τ .{displaystyle tau.}
3. La intersección de cualquier número finito de miembros τ τ {displaystyle tau } pertenece τ τ .{displaystyle tau.}

Como esta definición de topología es la más utilizada, el conjunto τ τ {displaystyle tau } de los conjuntos abiertos se llama comúnmente topología on X.{displaystyle X.}

Un subconjunto C⊆ ⊆ X{displaystyle Csubseteq X} se dice que cerrado dentro ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} si su complemento X∖ ∖ C{displaystyle Xsetminus C} es un juego abierto.

Ejemplos de topologías

Vamos τ τ {displaystyle tau } ser denotado con los círculos, aquí hay cuatro ejemplos y dos no ejemplos de topologías en el conjunto de tres puntos {}1,2,3}.{displaystyle {1,2,3} El ejemplo de abajo izquierda no es una topología porque la unión de {}2}{displaystyle {2}} y {}3}{displaystyle {3}} [i.e. {}2,3}{displaystyle {2,3}}] falta; el ejemplo inferior derecha no es una topología porque la intersección de {}1,2}{displaystyle {1,2}} y {}2,3}{displaystyle {2,3}} [i.e. {}2}{displaystyle {2}}], está desaparecido.

1. Dado X={}1,2,3,4},{displaystyle X={1,2,3,4},} el trivial o indiscreto topología en X{displaystyle X} es la familia τ τ ={}{}},{}1,2,3,4}}={}∅ ∅ ,X}{displaystyle tau ={{\},{1,2,3,4}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH consistiendo sólo en los dos subconjuntos de X{displaystyle X} requerido por los axiomas forma una topología de X.{displaystyle X.}
2. Dado X={}1,2,3,4},{displaystyle X={1,2,3,4},} la familia
   τ τ ={}{}},{}2},{}1,2},{}2,3},{}1,2,3},{}1,2,3,4}}={}∅ ∅ ,{}2},{}1,2},{}2,3},{}1,2,3},X}{displaystyle tau ={2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}}\\\\\\\\\\\\\\\\\}\\\\\cH001\\}\\\\\\\\\\\\\cH001\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi

   
   de seis subconjuntos X{displaystyle X} forma otra topología de X.{displaystyle X.}
3. Dado X={}1,2,3,4},{displaystyle X={1,2,3,4},} la topología discreta en X{displaystyle X} es el conjunto de poder X,{displaystyle X. que es la familia τ τ =℘ ℘ ()X){displaystyle tau =wp (X)} consistente en todos los subconjuntos posibles X.{displaystyle X.} En este caso el espacio topológico ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} se llama espacio discreto.
4. Dado X=Z,{displaystyle X=Mathbb {Z} el conjunto de enteros, la familia τ τ {displaystyle tau } de todos los subconjuntos finitos de los enteros más Z{displaystyle mathbb {Z} en sí mismo no a topología, porque (por ejemplo) la unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero no es finita, pero no es todo Z,{displaystyle mathbb {Z} y así no puede estar τ τ .{displaystyle tau.}

Definición a través de conjuntos cerrados

Usando las leyes de Morgan, los axiomas anteriores que definen conjuntos abiertos se convierten en axiomas que definen conjuntos cerrados:

1. El set vacío y X{displaystyle X} están cerrados.
2. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados también está cerrada.
3. La unión de cualquier número finito de conjuntos cerrados también está cerrada.

Usando estos axiomas, otra manera de definir un espacio topológico es como un conjunto X{displaystyle X} junto con una colección τ τ {displaystyle tau } de subconjuntos cerrados X.{displaystyle X.} Así los conjuntos en la topología τ τ {displaystyle tau } son los conjuntos cerrados, y sus complementos en X{displaystyle X} son los juegos abiertos.

Otras definiciones

Hay muchas otras formas equivalentes de definir un espacio topológico: en otras palabras, los conceptos de vecindad o de conjuntos abiertos o cerrados pueden reconstruirse a partir de otros puntos de partida y satisfacer los axiomas correctos.

Otra manera de definir un espacio topológico es usando los axiomas de cierre de Kuratowski, que definen los conjuntos cerrados como los puntos fijos de un operador en el conjunto de energía X.{displaystyle X.}

Una red es una generalización del concepto de secuencia. Una topología está completamente determinada si por cada red en X{displaystyle X} se especifica el conjunto de sus puntos de acumulación.

Comparación de topologías

Una variedad de topologías se pueden colocar en un conjunto para formar un espacio topológico. Cuando cada conjunto en una topología τ τ 1{displaystyle tau _{1} también está en una topología τ τ 2{displaystyle tau _{2} y τ τ 1{displaystyle tau _{1} es un subconjunto de τ τ 2,{displaystyle tau _{2},} diremos que τ τ 2{displaystyle tau _{2}es fino que τ τ 1,{displaystyle tau _{1},} y τ τ 1{displaystyle tau _{1} es grueso que τ τ 2.{displaystyle tau _{2} Una prueba que sólo se basa en la existencia de ciertos conjuntos abiertos también tendrá para cualquier topología más fina, y de manera similar una prueba que sólo se basa en ciertos conjuntos que no están abiertos se aplica a cualquier topología más gruesa. Los términos más grande y más pequeño a veces se utilizan en lugar de más fino y más grueso, respectivamente. Los términos más fuerte y más débil se utilizan también en la literatura, pero con poco acuerdo sobre el significado, por lo que uno siempre debe estar seguro de la convención de un autor al leer.

La colección de todas las topologías en un determinado conjunto fijo X{displaystyle X} forma una celosa completa: si F={}τ τ α α :α α ▪ ▪ A}{displaystyle F=left{tau _{alpha }:alpha in Aright}} es una colección de topologías en X,{displaystyle X. entonces la reunión de F{displaystyle F} es la intersección de F,{displaystyle F,} y la unión de F{displaystyle F} es el encuentro de la colección de todas las topologías en X{displaystyle X} que contienen todos los miembros F.{displaystyle F.}

Funciones continuas

Una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. entre los espacios topológicos se llama continuo si por cada x▪ ▪ X{displaystyle xin X} y todos los barrios N{displaystyle N} de f()x){displaystyle f(x)} hay un barrio M{displaystyle M} de x{displaystyle x} tales que f()M)⊆ ⊆ N.{displaystyle f(M)subseteq N.} Esto se relaciona fácilmente con la definición habitual en el análisis. Equivalentemente, f{displaystyle f} es continua si la imagen inversa de cada conjunto abierto está abierta. Esto es un intento de capturar la intuición de que no hay "jugos" o "separaciones" en la función. Un homeomorfismo es una bijeción continua y cuyo inverso también es continuo. Dos espacios se llaman homeomorfo si existe un homeomorfismo entre ellos. Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorficos son esencialmente idénticos.

En la teoría de categorías, una de las categorías fundamentales es Superior, que denota la categoría de espacios topológicos cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son funciones continuas. El intento de clasificar los objetos de esta categoría (hasta el homeomorfismo) por invariantes ha motivado áreas de investigación, como la teoría de la homotopía, la teoría de la homología y la teoría K.

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le da una topología diferente, se lo ve como un espacio topológico diferente. A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta en la que cada subconjunto está abierto. Las únicas sucesiones o redes convergentes en esta topología son aquellas que eventualmente son constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y el espacio completo están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en espacios topológicos generales, los límites de secuencias no necesitan ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

Espacios métricos

Los espacios métricos encarnan una métrica, una noción precisa de distancia entre puntos.

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Esta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normado. En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

Hay muchas maneras de definir una topología en R,{displaystyle mathbb {R} el conjunto de números reales. La topología estándar en R{displaystyle mathbb {R} se genera por los intervalos abiertos. El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base o base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de algunos conjuntos de la base. En particular, esto significa que un conjunto está abierto si existe un intervalo abierto de radio no cero alrededor de cada punto en el conjunto. Más generalmente, los espacios euclidianos Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} se puede dar una topología. En el topología habitual on Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} los juegos abiertos básicos son las bolas abiertas. Análogamente, C,{displaystyle mathbb {C} el conjunto de números complejos, y Cn{displaystyle mathbb {C} {n}} tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas.

Espacios de proximidad

Espacios uniformes

Espacios de función

Espacios de Cauchy

Espacios de convergencia

Sitios de Grothendieck

Otros espacios

Si .. {displaystyle "Gamma" es un filtro en un conjunto X{displaystyle X} entonces {}∅ ∅ }∪ ∪ .. {displaystyle {varnothing }cup Gamma } es una topología en X.{displaystyle X.}

Muchos conjuntos de operadores lineales en análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.

Cualquier campo local tiene una topología nativa y esto se puede extender a espacios vectoriales sobre ese campo.

Toda variedad tiene una topología natural ya que es localmente euclidiana. Del mismo modo, todo simplex y todo complejo simplicial hereda una topología natural.

La topología de Zariski se define algebraicamente en el espectro de un anillo o una variedad algebraica. On Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} o Cn,{displaystyle mathbb {C} } {n} los conjuntos cerrados de la topología Zariski son los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas.

Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas.

El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica.

Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado. Estos espacios se denominan espacios topológicos finitos. Los espacios finitos a veces se utilizan para proporcionar ejemplos o contraejemplos de conjeturas sobre espacios topológicos en general.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T1 más pequeña en cualquier conjunto infinito.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cocontable, en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o si su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

La línea real también se puede dar la topología límite inferior. Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos medio abiertos [a,b).{displaystyle [a,b). } Esta topología en R{displaystyle mathbb {R} es estrictamente más fino que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y sólo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él.

Si .. {displaystyle "Gamma" es un número ordinal, entonces el conjunto .. =[0,.. ){displaystyle Gamma =[0,Gamma]} puede ser dotado con la topología del orden generada por los intervalos ()a,b),{displaystyle (a,b),} [0,b),{displaystyle [0,b] y ()a,.. ){displaystyle (a,Gamma)} Donde a{displaystyle a} y b{displaystyle b} son elementos de .. .{displaystyle Gamma.}

Espacio exterior de un grupo libre Fn{displaystyle F_{n} consiste en las llamadas "estructuras gráficas métricas marcadas" del volumen 1 sobre Fn.{displaystyle F_{n}.

Construcciones topológicas

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología de subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio más grande con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto, que se genera mediante las imágenes inversas de conjuntos abiertos de los factores bajo las asignaciones de proyección. Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consta de todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas menos una cantidad finita de sus proyecciones son el espacio completo.

A quotient space is defined as follows: si X{displaystyle X} es un espacio topológico y Y{displaystyle Sí. es un juego, y si f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es una función subjetiva, luego la topología cociente en Y{displaystyle Sí. es la colección de subconjuntos de Y{displaystyle Sí. que tienen imágenes inversas abiertas bajo f.{displaystyle f.} En otras palabras, la topología cociente es la mejor topología en Y{displaystyle Sí. para la cual f{displaystyle f} es continuo. Un ejemplo común de una topología cociente es cuando una relación de equivalencia se define en el espacio topológico X.{displaystyle X.} El mapa f{displaystyle f} es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia.

El Topología de Vietoris en el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de un espacio topológico X,{displaystyle X. nombrado para Leopold Vietoris, se genera por la siguiente base: para cada uno n{displaystyle n}-tuple U1,...... ,Un{displaystyle U_{1},ldots U_{n} de juegos abiertos en X,{displaystyle X. construimos un conjunto de bases que consiste en todos los subconjuntos de la unión del Ui{displaystyle U_{i} que tienen intersecciones no vacías con cada Ui.{displaystyle U_{i}.

El Topología Fell en el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de un espacio polaco compacto localmente X{displaystyle X} es una variante de la topología de Vietoris, y es nombrado por el matemático James Fell. Se genera por la siguiente base: para cada n{displaystyle n}-tuple U1,...... ,Un{displaystyle U_{1},ldots U_{n} de juegos abiertos en X{displaystyle X} y para cada conjunto compacto K,{displaystyle K,} el conjunto de todos los subconjuntos X{displaystyle X} que están descompuestos K{displaystyle K} y tienen intersecciones no vacías con cada Ui{displaystyle U_{i} es miembro de la base.

Clasificación de espacios topológicos

Los espacios topológicos se pueden clasificar ampliamente, hasta el homeomorfismo, por sus propiedades topológicas. Una propiedad topológica es una propiedad de los espacios que es invariante bajo homeomorfismos. Para probar que dos espacios no son homeomorfos es suficiente encontrar una propiedad topológica que no compartan. Los ejemplos de tales propiedades incluyen conectividad, compacidad y varios axiomas de separación. Para invariantes algebraicas, consulte topología algebraica.

Espacios topológicos con estructura algebraica

Para cualquier objeto algebraico podemos introducir la topología discreta, bajo la cual las operaciones algebraicas son funciones continuas. Para cualquier estructura de este tipo que no sea finita, a menudo tenemos una topología natural compatible con las operaciones algebraicas, en el sentido de que las operaciones algebraicas siguen siendo continuas. Esto conduce a conceptos tales como grupos topológicos, espacios vectoriales topológicos, anillos topológicos y campos locales.

Espacios topológicos con estructura de orden

• Spectral: Un espacio es espectral si y sólo si es el espectro principal de un anillo (Teorema Hochster).
• Preorden de especialización: En un espacio el preorden de especialización (o preorden canónico) se define por x≤ ≤ Sí.{displaystyle xleq y} si cl⁡ ⁡ {}x}⊆ ⊆ cl⁡ ⁡ {}Sí.},{displaystyle operatorname {cl} {x}subseteq operatorname {cl} {y},} Donde cl{displaystyle operatorname {cl} denota un operador que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski.