Espacio-tiempo

En física, el espacio-tiempo o tiempo y espacio es un modelo matemático que combina las tres dimensiones del espacio y una dimensión del tiempo en una sola variedad de cuatro dimensiones. Los diagramas de espacio-tiempo se pueden usar para visualizar efectos relativistas, como por qué diferentes observadores perciben de manera diferente dónde y cuándo ocurren los eventos.

Hasta el siglo XX, se suponía que la geometría tridimensional del universo (su expresión espacial en términos de coordenadas, distancias y direcciones) era independiente del tiempo unidimensional. El físico Albert Einstein ayudó a desarrollar la idea del espacio-tiempo como parte de su teoría de la relatividad. Antes de su trabajo pionero, los científicos tenían dos teorías separadas para explicar los fenómenos físicos: las leyes de la física de Isaac Newton describían el movimiento de objetos masivos, mientras que los modelos electromagnéticos de James Clerk Maxwell explicaban las propiedades de la luz. Sin embargo, en 1905, Einstein basó un trabajo sobre la relatividad especial en dos postulados:

• Las leyes de la física son invariantes (es decir, idénticas) en todos los sistemas inerciales (es decir, marcos de referencia que no aceleran)
• La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente de luz.

La consecuencia lógica de tomar estos postulados juntos es la unión inseparable de las cuatro dimensiones —hasta ahora asumidas como independientes— del espacio y el tiempo. Surgen muchas consecuencias contrarias a la intuición: además de ser independiente del movimiento de la fuente de luz, la velocidad de la luz es constante independientemente del marco de referencia en el que se mida; las distancias e incluso el ordenamiento temporal de pares de eventos cambian cuando se miden en diferentes marcos de referencia inerciales (esta es la relatividad de la simultaneidad); y la aditividad lineal de las velocidades ya no es válida.

Einstein enmarcó su teoría en términos de cinemática (el estudio de los cuerpos en movimiento). Su teoría fue un avance sobre la teoría de los fenómenos electromagnéticos de Lorentz de 1904 y la teoría electrodinámica de Poincaré. Aunque estas teorías incluían ecuaciones idénticas a las que introdujo Einstein (es decir, la transformación de Lorentz), eran esencialmente modelos ad hoc propuestos para explicar los resultados de varios experimentos, incluido el famoso experimento del interferómetro de Michelson-Morley, que eran extremadamente difíciles de encajar. paradigmas existentes.

En 1908, Hermann Minkowski, una vez uno de los profesores de matemáticas de un joven Einstein en Zürich, presentó una interpretación geométrica de la relatividad especial que fusionaba el tiempo y las tres dimensiones espaciales del espacio en un solo continuo de cuatro dimensiones ahora conocido como espacio de Minkowski. Una característica clave de esta interpretación es la definición formal del intervalo de espacio-tiempo. Aunque las mediciones de distancia y tiempo entre eventos difieren para las mediciones realizadas en diferentes marcos de referencia, el intervalo de espacio-tiempo es independiente del marco de referencia inercial en el que se registran.

La interpretación geométrica de la relatividad de Minkowski resultó ser vital para el desarrollo de Einstein de su teoría general de la relatividad de 1915, en la que mostró cómo la masa y la energía curvan el espacio-tiempo plano en una variedad pseudo-riemanniana.

Introducción

Definiciones

La mecánica clásica no relativista trata el tiempo como una cantidad universal de medida que es uniforme en todo el espacio y separada del espacio. La mecánica clásica supone que el tiempo tiene un ritmo de paso constante, independiente del estado de movimiento del observador o de cualquier cosa externa. Además, supone que el espacio es euclidiano; asume que el espacio sigue la geometría del sentido común.

En el contexto de la relatividad especial, el tiempo no puede separarse de las tres dimensiones del espacio, porque la tasa observada a la que pasa el tiempo para un objeto depende de la velocidad del objeto en relación con el observador. La relatividad general también proporciona una explicación de cómo los campos gravitatorios pueden ralentizar el paso del tiempo para un objeto visto por un observador fuera del campo.

En el espacio ordinario, una posición se especifica mediante tres números, conocidos como dimensiones. En el sistema de coordenadas cartesianas, se denominan x, y y z. Una posición en el espacio-tiempo se denomina evento y requiere que se especifiquen cuatro números: la ubicación tridimensional en el espacio, más la posición en el tiempo (Fig. 1). Un evento está representado por un conjunto de coordenadas x, y, z y t. El espacio-tiempo es, por lo tanto, de cuatro dimensiones. Los eventos matemáticos tienen duración cero y representan un solo punto en el espacio-tiempo.

La trayectoria de una partícula a través del espacio-tiempo puede considerarse como una sucesión de eventos. La serie de eventos se puede vincular para formar una línea que representa el progreso de una partícula a través del espacio-tiempo. Esa línea se llama la línea del mundo de la partícula.

Matemáticamente, el espacio-tiempo es una variedad, es decir, aparece localmente "plano" cerca de cada punto de la misma manera que, a escalas suficientemente pequeñas, un globo parece plano. Un factor de escala (llamado convencionalmente la velocidad de la luz)) relaciona distancias medidas en el espacio con distancias medidas en el tiempo. La magnitud de este factor de escala (casi 300 000 kilómetros o 190 000 millas en el espacio equivalen a un segundo en el tiempo), junto con el hecho de que el espacio-tiempo es una variedad, implica que a velocidades ordinarias no relativistas y a escala humana ordinaria distancias, hay poco que los humanos puedan observar que sea notablemente diferente de lo que podrían observar si el mundo fuera euclidiano. Fue solo con el advenimiento de mediciones científicas sensibles a mediados del siglo XIX, como el experimento de Fizeau y el experimento de Michelson-Morley, que comenzaron a notarse discrepancias desconcertantes entre la observación y las predicciones basadas en la suposición implícita del espacio euclidiano.

En relatividad especial, un observador, en la mayoría de los casos, significará un marco de referencia desde el cual se mide un conjunto de objetos o eventos. Este uso difiere significativamente del significado ordinario del término en inglés. Los marcos de referencia son construcciones inherentemente no locales, y de acuerdo con este uso del término, no tiene sentido hablar de un observador como si tuviera una ubicación. En la figura 1-1, imagine que el marco en consideración está equipado con una densa red de relojes, sincronizados dentro de este marco de referencia, que se extiende indefinidamente a lo largo de las tres dimensiones del espacio. Cualquier ubicación específica dentro de la red no es importante. El enrejado de los relojes se utiliza para determinar la hora y la posición de los eventos que tienen lugar dentro de todo el marco. El término observadorse refiere al conjunto completo de relojes asociados con un marco de referencia inercial. En este caso idealizado, cada punto en el espacio tiene un reloj asociado y, por lo tanto, los relojes registran cada evento instantáneamente, sin demora de tiempo entre un evento y su registro. Sin embargo, un observador real verá un retraso entre la emisión de una señal y su detección debido a la velocidad de la luz. Para sincronizar los relojes, en la reducción de datos posterior a un experimento, se corregirá la hora en que se recibe una señal para reflejar su hora real si hubiera sido registrada por una red idealizada de relojes.

En muchos libros sobre relatividad especial, especialmente en los más antiguos, la palabra "observador" se usa en el sentido más común de la palabra. Suele quedar claro por el contexto qué significado se ha adoptado.

Los físicos distinguen entre lo que uno mide u observa (después de haber eliminado los retrasos en la propagación de la señal) y lo que uno ve visualmente sin tales correcciones. La falta de comprensión de la diferencia entre lo que uno mide/observa versus lo que uno ve es la fuente de muchos errores entre los estudiantes principiantes de la relatividad.

Historia

A mediados del siglo XIX, se consideró que varios experimentos, como la observación del punto de Arago y las mediciones diferenciales de la velocidad de la luz en el aire frente al agua, habían demostrado la naturaleza ondulatoria de la luz en oposición a una teoría corpuscular. Entonces se supuso que la propagación de las ondas requería la existencia de un medio ondulante; en el caso de las ondas de luz, se consideró que se trataba de un hipotético éter luminífero.Sin embargo, los diversos intentos por establecer las propiedades de este hipotético medio arrojaron resultados contradictorios. Por ejemplo, el experimento de Fizeau de 1851, realizado por el físico francés Hippolyte Fizeau, demostró que la velocidad de la luz en el agua corriente era menor que la suma de la velocidad de la luz en el aire más la velocidad del agua en una cantidad que dependía de la velocidad del agua. índice de refracción. Entre otras cuestiones, la dependencia del arrastre parcial del éter implícito en este experimento del índice de refracción (que depende de la longitud de onda) llevó a la desagradable conclusión de que el éter fluye simultáneamente a diferentes velocidades para diferentes colores de luz.El famoso experimento de Michelson-Morley de 1887 (Fig. 1-2) no mostró ninguna influencia diferencial de los movimientos de la Tierra a través del éter hipotético sobre la velocidad de la luz, y la explicación más probable, el arrastre completo del éter, estaba en conflicto con la observación de la estelar. aberración.

George Francis FitzGerald en 1889 y Hendrik Lorentz en 1892 propusieron de forma independiente que los cuerpos materiales que viajaban a través del éter fijo se veían afectados físicamente por su paso, contrayéndose en la dirección del movimiento en una cantidad que era exactamente la necesaria para explicar los resultados negativos de el experimento de Michelson-Morley. (No se producen cambios de longitud en direcciones transversales a la dirección del movimiento).

En 1904, Lorentz había ampliado su teoría de tal manera que había llegado a ecuaciones formalmente idénticas a las que Einstein derivaría más tarde (es decir, la transformación de Lorentz), pero con una interpretación fundamentalmente diferente. Como teoría de la dinámica (el estudio de las fuerzas y los pares y su efecto sobre el movimiento), su teoría asumía deformaciones físicas reales de los constituyentes físicos de la materia. Las ecuaciones de Lorentz predijeron una cantidad a la que llamó tiempo local, con la que pudo explicar la aberración de la luz, el experimento de Fizeau y otros fenómenos. Sin embargo, Lorentz consideraba que la hora local era solo una herramienta matemática auxiliar, un truco por así decirlo, para simplificar la transformación de un sistema a otro.

Otros físicos y matemáticos de principios de siglo estuvieron cerca de llegar a lo que actualmente se conoce como espacio-tiempo. El propio Einstein señaló que con tanta gente desentrañando piezas separadas del rompecabezas, "la teoría especial de la relatividad, si consideramos su desarrollo en retrospectiva, estaba lista para ser descubierta en 1905".

Un ejemplo importante es Henri Poincaré, quien en 1898 argumentó que la simultaneidad de dos eventos es una cuestión de convención. En 1900, reconoció que la "hora local" de Lorentz es en realidad lo que indican los relojes en movimiento al aplicar una definición explícitamente operativa de sincronización de relojes asumiendo una velocidad de la luz constante. En 1900 y 1904, sugirió la indetectabilidad inherente del éter al enfatizar la validez de lo que llamó el principio de la relatividad, y en 1905/1906perfeccionó matemáticamente la teoría de los electrones de Lorentz para ponerla de acuerdo con el postulado de la relatividad. Mientras discutía varias hipótesis sobre la gravitación invariante de Lorentz, introdujo el concepto innovador de un espacio-tiempo de 4 dimensiones al definir varios cuatro vectores, a saber, cuatro posiciones, cuatro velocidades y cuatro fuerzas. Sin embargo, no persiguió el formalismo de 4 dimensiones en artículos posteriores, afirmando que esta línea de investigación parecía "implicar un gran dolor por un beneficio limitado", y finalmente concluyó "que el lenguaje tridimensional parece el más adecuado para la descripción de nuestro mundo". ". Además, incluso en 1909, Poincaré seguía creyendo en la interpretación dinámica de la transformada de Lorentz.Por estas y otras razones, la mayoría de los historiadores de la ciencia argumentan que Poincaré no inventó lo que ahora se llama relatividad especial.

En 1905, Einstein introdujo la relatividad especial (aunque sin utilizar las técnicas del formalismo del espacio-tiempo) en su comprensión moderna como teoría del espacio y el tiempo. Si bien sus resultados son matemáticamente equivalentes a los de Lorentz y Poincaré, Einstein demostró que las transformaciones de Lorentz no son el resultado de interacciones entre la materia y el éter, sino que se refieren a la naturaleza del espacio y el tiempo en sí. Obtuvo todos sus resultados al reconocer que toda la teoría puede basarse en dos postulados: el principio de relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz.

Einstein realizó su análisis en términos de cinemática (el estudio de los cuerpos en movimiento sin referencia a las fuerzas) en lugar de la dinámica. Su trabajo de introducción al tema estaba lleno de imágenes vívidas que involucraban el intercambio de señales de luz entre relojes en movimiento, mediciones cuidadosas de las longitudes de las varillas en movimiento y otros ejemplos similares.

Además, en 1905, Einstein reemplazó intentos previos de una relación electromagnética masa-energía al introducir la equivalencia general de masa y energía, que fue fundamental para su posterior formulación del principio de equivalencia en 1907, que declara la equivalencia de masa inercial y gravitacional. Al usar la equivalencia masa-energía, Einstein demostró, además, que la masa gravitatoria de un cuerpo es proporcional a su contenido de energía, que fue uno de los primeros resultados en el desarrollo de la relatividad general. Si bien parecería que al principio no pensó geométricamente sobre el espacio-tiempo, en el desarrollo posterior de la relatividad general, Einstein incorporó completamente el formalismo del espacio-tiempo.

Cuando Einstein publicó en 1905, otro de sus competidores, su antiguo profesor de matemáticas Hermann Minkowski, también había llegado a la mayoría de los elementos básicos de la relatividad especial. Max Born relató un encuentro que había hecho con Minkowski, buscando ser alumno/colaborador de Minkowski:

Fui a Colonia, conocí a Minkowski y escuché su célebre conferencia 'Espacio y tiempo' pronunciada el 2 de septiembre de 1908. [...] Más tarde me dijo que se sorprendió mucho cuando Einstein publicó su artículo en el que la equivalencia de los diferentes tiempos locales de los observadores que se mueven uno respecto al otro; porque había llegado a las mismas conclusiones de forma independiente, pero no las publicó porque deseaba primero resolver la estructura matemática en todo su esplendor. Nunca hizo un reclamo de prioridad y siempre le dio a Einstein su parte completa en el gran descubrimiento.

Minkowski se había preocupado por el estado de la electrodinámica después de los experimentos disruptivos de Michelson al menos desde el verano de 1905, cuando Minkowski y David Hilbert dirigieron un seminario avanzado al que asistieron físicos notables de la época para estudiar los artículos de Lorentz, Poincaré et al. Sin embargo, no está del todo claro cuándo Minkowski comenzó a formular la formulación geométrica de la relatividad especial que llevaría su nombre, o en qué medida fue influenciado por la interpretación tetradimensional de Poincaré de la transformación de Lorentz. Tampoco está claro si alguna vez apreció completamente la contribución crítica de Einstein a la comprensión de las transformaciones de Lorentz, pensando en el trabajo de Einstein como una extensión del trabajo de Lorentz.

El 5 de noviembre de 1907 (poco más de un año antes de su muerte), Minkowski presentó su interpretación geométrica del espacio-tiempo en una conferencia en la sociedad matemática de Göttingen con el título El principio de la relatividad (Das Relativitätsprinzip). El 21 de septiembre de 1908, Minkowski presentó su famosa charla, Espacio y tiempo (Raum und Zeit), ante la Sociedad Alemana de Científicos y Médicos. Las palabras iniciales de Space and Time incluyen la famosa declaración de Minkowski de que "De ahora en adelante, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo se reducirán por completo a una mera sombra, y solo algún tipo de unión de los dos preservará la independencia". Espacio y tiempoincluyó la primera presentación pública de diagramas de espacio-tiempo (Fig. 1-4), e incluyó una demostración notable de que el concepto de intervalo invariante (discutido más adelante), junto con la observación empírica de que la velocidad de la luz es finita, permite la derivación de la totalidad de la relatividad especial.

El concepto de espacio-tiempo y el grupo de Lorentz están íntimamente relacionados con ciertos tipos de geometrías esféricas, hiperbólicas o conformes y sus grupos de transformación ya desarrollados en el siglo XIX, en los que se utilizan intervalos invariantes análogos al intervalo del espacio-tiempo.

Einstein, por su parte, desdeñó inicialmente la interpretación geométrica de la relatividad especial de Minkowski, considerándola como überflüssige Gelehrsamkeit (conocimiento superfluo). Sin embargo, para completar su búsqueda de la relatividad general que comenzó en 1907, la interpretación geométrica de la relatividad resultó ser vital y, en 1916, Einstein reconoció plenamente su deuda con Minkowski, cuya interpretación facilitó enormemente la transición a la relatividad general. Dado que existen otros tipos de espaciotiempo, como el espaciotiempo curvo de la relatividad general, el espaciotiempo de la relatividad especial se conoce hoy como espaciotiempo de Minkowski.

Espacio-tiempo en relatividad especial

Intervalo de espacio-tiempo

En tres dimensiones, la distancia entre dos puntos se puede definir utilizando el teorema de Pitágoras:

Aunque dos espectadores pueden medir la posición x, y y z de los dos puntos usando diferentes sistemas de coordenadas, la distancia entre los puntos será la misma para ambos (asumiendo que miden usando las mismas unidades). La distancia es "invariante".

En relatividad especial, sin embargo, la distancia entre dos puntos ya no es la misma si la miden dos observadores diferentes cuando uno de los observadores se está moviendo, debido a la contracción de Lorentz. La situación es aún más complicada si los dos puntos están separados tanto en el tiempo como en el espacio. Por ejemplo, si un observador ve que ocurren dos eventos en el mismo lugar, pero en momentos diferentes, una persona que se mueve con respecto al primer observador verá que los dos eventos ocurren en lugares diferentes, porque (desde su punto de vista) son estacionarios., y la posición del evento se aleja o se acerca. Por lo tanto, se debe usar una medida diferente para medir la "distancia" efectiva entre dos eventos.

En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el análogo a la distancia es el intervalo. Aunque el tiempo entra como una cuarta dimensión, se trata de manera diferente a las dimensiones espaciales. Por lo tanto, el espacio de Minkowski difiere en aspectos importantes del espacio euclidiano de cuatro dimensiones. La razón fundamental para fusionar el espacio y el tiempo en el espacio-tiempo es que el espacio y el tiempo no son invariantes por separado, lo que quiere decir que, bajo las condiciones apropiadas, diferentes observadores estarán en desacuerdo sobre la duración del tiempo entre dos eventos (debido a la dilatación del tiempo) o la distancia entre los dos eventos (debido a la contracción de la longitud). Pero la relatividad especial proporciona una nueva invariante, llamada intervalo de espacio-tiempo., que combina distancias en el espacio y en el tiempo. Todos los observadores que miden el tiempo y la distancia entre dos eventos cualesquiera terminarán calculando el mismo intervalo de espacio-tiempo. Supongamos que un observador mide dos eventos separados en el tiempo por una distancia espacial. Entonces, el intervalo de espacio-tiempo entre los dos eventos que están separados por una distancia en el espacio y por una coordenada es:

o para tres dimensiones espaciales,

La constante, la velocidad de la luz, convierte unidades de tiempo (como segundos) en unidades de espacio (como metros). El intervalo al cuadrado es una medida de separación entre los eventos A y B que están separados en el tiempo y, además, separados en el espacio, ya sea porque hay dos objetos separados que experimentan eventos o porque un solo objeto en el espacio se mueve inercialmente entre sus eventos. El intervalo de separación se obtiene elevando al cuadrado la distancia espacial que separa el evento B del evento A y restándola del cuadrado de la distancia espacial recorrida por una señal luminosa en ese mismo intervalo de tiempo . Si la separación del evento se debe a una señal luminosa, entonces esta diferencia desaparece y .

Cuando el evento considerado es infinitesimalmente cercano entre sí, entonces podemos escribir

En un marco inercial diferente, digamos con coordenadas , el intervalo de espacio-tiempo se puede escribir de la misma forma que arriba. Debido a la constancia de la velocidad de la luz, los eventos de luz en todos los marcos inerciales pertenecen al intervalo cero, . Para cualquier otro evento infinitesimal donde , uno puede probar lo que a su vez conduce a la integración . La invariancia del intervalo de cualquier evento entre todos los marcos de referencia interciales es uno de los resultados fundamentales de la teoría especial de la relatividad.

Aunque por razones de brevedad, con frecuencia se ven expresiones de intervalo expresadas sin deltas, incluso en la mayor parte de la siguiente discusión, debe entenderse que, en general, significa , etc. Siempre nos preocupan las diferencias de valores de coordenadas espaciales o temporales que pertenecen a dos eventos, y dado que no hay un origen preferido, los valores de coordenadas individuales no tienen un significado esencial.

La ecuación anterior es similar al teorema de Pitágoras, excepto que tiene un signo menos entre los términos y. El intervalo de espacio-tiempo es la cantidad, no en sí mismo. La razón es que, a diferencia de las distancias en la geometría euclidiana, los intervalos en el espacio-tiempo de Minkowski pueden ser negativos. En lugar de tratar con raíces cuadradas de números negativos, los físicos suelen considerarlo como un símbolo distinto en sí mismo, en lugar del cuadrado de algo.

En general puede asumir cualquier valor del número real. Si es positivo, el intervalo de espacio-tiempo se denomina temporal. Dado que la distancia espacial recorrida por cualquier objeto masivo es siempre menor que la distancia recorrida por la luz durante el mismo intervalo de tiempo, los intervalos reales siempre son temporales. Si es negativo, se dice que el intervalo de espacio-tiempo es similar al espacio, donde el intervalo de espacio-tiempo es imaginario. Los intervalos de espacio-tiempo son iguales a cero cuando En otras palabras, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos en la línea universal de algo que se mueve a la velocidad de la luz es cero. Tal intervalo se denomina similar a la luz o nulo.. Un fotón que llega a nuestro ojo procedente de una estrella lejana no habrá envejecido, a pesar de haber pasado (desde nuestra perspectiva) años en su paso.

Un diagrama de espacio-tiempo generalmente se dibuja con un solo espacio y una sola coordenada de tiempo. La figura 2-1 presenta un diagrama de espacio-tiempo que ilustra las líneas universales (es decir, las trayectorias en el espacio-tiempo) de dos fotones, A y B, que se originan en el mismo evento y van en direcciones opuestas. Además, C ilustra la línea de mundo de un objeto más lento que la velocidad de la luz. La coordenada de tiempo vertical se escala para que tenga las mismas unidades (metros) que la coordenada de espacio horizontal. Dado que los fotones viajan a la velocidad de la luz, sus líneas de universo tienen una pendiente de ±1. En otras palabras, cada metro que recorre un fotón hacia la izquierda o hacia la derecha requiere aproximadamente 3,3 nanosegundos de tiempo.

Hay dos convenciones de signos en uso en la literatura de relatividad:

y

Estas convenciones de signos están asociadas con las firmas métricas (+−−−) y (−+++). Una variación menor es colocar la coordenada de tiempo en último lugar en lugar de en primer lugar. Ambas convenciones son ampliamente utilizadas dentro del campo de estudio.

Marcos de referencia

Para comprender mejor cómo se comparan entre sí las coordenadas del espacio-tiempo medidas por los observadores en diferentes marcos de referencia, es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar. Con cuidado, esto permite la simplificación de las matemáticas sin pérdida de generalidad en las conclusiones a las que se llega. En la Fig. 2-2, se muestran dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos de 3 espacios convencionales) en movimiento relativo. El marco S pertenece a un primer observador O, y el marco S′ (pronunciado "S prime") pertenece a un segundo observador O′.

• Los ejes x, y, z del marco S están orientados paralelos a los respectivos ejes primos del marco S′.
• El marco S′ se mueve en la dirección x del marco S con una velocidad constante v medida en el marco S.
• Los orígenes de las tramas S y S′ son coincidentes cuando el tiempo t = 0 para la trama S y t ′ = 0 para la trama S′.

La figura 2-3a vuelve a dibujar la figura 2-2 con una orientación diferente. La figura 2-3b ilustra un diagrama de espacio-tiempo desde el punto de vista del observador O. Dado que S y S′ tienen una configuración estándar, sus orígenes coinciden en los momentos t = 0 en el marco S y t ′ = 0 en el marco S′. El eje ct ′ pasa a través de los eventos en el marco S′ que tienen x ′ = 0. Pero los puntos con x ′ = 0 se mueven en la dirección x del marco S con velocidad v, por lo que no coinciden con el ct eje en cualquier momento distinto de cero. Por lo tanto, el eje ct ′ está inclinado con respecto al eje ct en un ángulo θdada por

El eje x ′ también está inclinado con respecto al eje x. Para determinar el ángulo de esta inclinación, recordemos que la pendiente de la línea universal de un pulso de luz es siempre ±1. La figura 2-3c presenta un diagrama de espacio-tiempo desde el punto de vista del observador O′. El evento P representa la emisión de un pulso de luz en x ′ = 0, ct ′ = − a. El pulso se refleja en un espejo situado a una distancia a de la fuente de luz (evento Q), y regresa a la fuente de luz en x ′ = 0, ct ′ = a (evento R).

Los mismos eventos P, Q, R se trazan en la figura 2-3b en el marco del observador O. Las trayectorias de luz tienen pendientes = 1 y −1, de modo que △PQR forma un triángulo rectángulo con PQ y QR ambos a 45 grados. a los ejes x y ct. Como OP = OQ = OR, el ángulo entre x ′ y x también debe ser θ.

Mientras que el marco de reposo tiene ejes de espacio y tiempo que se encuentran en ángulo recto, el marco en movimiento se dibuja con ejes que se encuentran en un ángulo agudo. Los marcos son en realidad equivalentes. La asimetría se debe a distorsiones inevitables en la forma en que las coordenadas del espacio-tiempo se pueden representar en un plano cartesiano, y no debe considerarse más extraña que la forma en que, en una proyección Mercator de la Tierra, los tamaños relativos de las masas de tierra cerca de los polos (Groenlandia y Antártida) son muy exageradas en relación con las masas de tierra cerca del ecuador.

Cono de luz

En la figura 2-4, el evento O está en el origen de un diagrama de espacio-tiempo y las dos líneas diagonales representan todos los eventos que tienen un intervalo de espacio-tiempo cero con respecto al evento de origen. Estas dos líneas forman lo que se llama el cono de luz del evento O, ya que al agregar una segunda dimensión espacial (Fig. 2-5) se obtiene la apariencia de dos conos circulares rectos que se encuentran con sus vértices en O. Un cono se extiende hacia el futuro. (t>0), el otro en el pasado (t<0).

Un cono de luz (doble) divide el espacio-tiempo en regiones separadas con respecto a su vértice. El interior del futuro cono de luz consta de todos los eventos que están separados del vértice por más tiempo (distancia temporal) del necesario para cruzar su distancia espacial a la velocidad de la luz; estos eventos comprenden el futuro temporal del evento O. Asimismo, el pasado temporal comprende los eventos interiores del pasado cono de luz. Entonces, en los intervalos temporales, Δ ct es mayor que Δ x, lo que hace que los intervalos temporales sean positivos. La región exterior al cono de luz consta de eventos que están separados del evento O por más espacioque se puede cruzar a la velocidad de la luz en el tiempo dado. Estos eventos comprenden la llamada región espacial del evento O, denotada "En otra parte" en la figura 2-4. Se dice que los eventos en el cono de luz en sí son similares a la luz (o están completamente separados) de O. Debido a la invariancia del intervalo de espacio-tiempo, todos los observadores asignarán el mismo cono de luz a cualquier evento dado y, por lo tanto, estarán de acuerdo en esta división del espacio-tiempo..

El cono de luz tiene un papel esencial dentro del concepto de causalidad. Es posible que una señal no más rápida que la velocidad de la luz viaje desde la posición y el tiempo de O hasta la posición y el tiempo de D (Fig. 2-4). Por lo tanto, es posible que el evento O tenga una influencia causal en el evento D. El futuro cono de luz contiene todos los eventos que podrían estar causalmente influenciados por O. Asimismo, es posible que una señal que no sea más rápida que la velocidad de la luz viajan desde la posición y el tiempo de A hasta la posición y el tiempo de O. El cono de luz pasado contiene todos los eventos que podrían tener una influencia causal en O. Por el contrario, suponiendo que las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, cualquier un evento, como por ejemplo B o C, en la región similar al espacio (en otro lugar), no puede afectar al evento O, ni puede verse afectado por el evento O empleando dicha señalización.

Relatividad de la simultaneidad

Todos los observadores estarán de acuerdo en que para cualquier evento dado, un evento dentro del futuro cono de luz del evento dado ocurre después del evento dado. Del mismo modo, para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz pasado del evento dado ocurre antes del evento dado. La relación antes-después observada para eventos separados en el tiempo permanece sin cambios sin importar el marco de referencia del observador, es decir, sin importar cómo se mueva el observador. La situación es bastante diferente para eventos separados en forma de espacio. La figura 2-4 se dibujó a partir del marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0.A partir de este marco de referencia, se observa que el evento C ocurre después del evento O, y se observa que el evento B ocurre antes del evento O. Desde un marco de referencia diferente, se puede invertir el orden de estos eventos no relacionados causalmente. En particular, se observa que si dos eventos son simultáneos en un marco de referencia particular, necesariamente están separados por un intervalo similar al espacio y, por lo tanto, no están relacionados causalmente. La observación de que la simultaneidad no es absoluta, sino que depende del marco de referencia del observador, se denomina relatividad de la simultaneidad.

La figura 2-6 ilustra el uso de diagramas de espacio-tiempo en el análisis de la relatividad de la simultaneidad. Los eventos en el espacio-tiempo son invariantes, pero los marcos de coordenadas se transforman como se discutió anteriormente para la figura 2-3. Los tres eventos (A, B, C) son simultáneos desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0. Desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0.3 c, los eventos parecen ocurrir en el orden C, B, A. Desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = −0.5 c, los eventos parecen ocurrir en el orden A, B, C. La línea blanca representa un plano de simultaneidad.ser movido del pasado del observador al futuro del observador, resaltando los eventos que residen en él. El área gris es el cono de luz del observador, que permanece invariable.

Un intervalo de espacio-tiempo similar al espacio da la misma distancia que mediría un observador si los eventos que se están midiendo fueran simultáneos para el observador. Por tanto, un intervalo de espacio-tiempo similar al espacio proporciona una medida de la distancia adecuada, es decir, la distancia verdadera = Del mismo modo, un intervalo de espacio-tiempo similar al tiempo proporciona la misma medida de tiempo que presentaría el tictac acumulativo de un reloj que se mueve a lo largo de una línea del mundo dada. Por lo tanto, un intervalo de espacio-tiempo similar al tiempo proporciona una medida del tiempo propio =

Hipérbola invariante

En el espacio euclidiano (que solo tiene dimensiones espaciales), el conjunto de puntos equidistantes (usando la métrica euclidiana) de algún punto forman un círculo (en dos dimensiones) o una esfera (en tres dimensiones). En el espacio-tiempo de Minkowski (1+1)-dimensional (que tiene una dimensión temporal y una espacial), los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante lejos del origen (usando la métrica de Minkowski) forman curvas dadas por las dos ecuaciones

con alguna constante real positiva. Estas ecuaciones describen dos familias de hipérbolas en un diagrama de espacio-tiempo x – ct, que se denominan hipérbolas invariantes.

En la figura 2-7a, cada hipérbola magenta conecta todos los eventos que tienen alguna separación espacial fija desde el origen, mientras que las hipérbolas verdes conectan eventos con la misma separación temporal.

Las hipérbolas magenta, que cruzan el eje x, son curvas temporales, lo que quiere decir que estas hipérbolas representan caminos reales que pueden ser atravesados ​​por partículas (en constante aceleración) en el espacio-tiempo: Entre dos eventos cualesquiera en una hipérbola es posible una relación de causalidad, porque la inversa de la pendiente, que representa la velocidad necesaria, para todas las secantes es menor que . Por otro lado, las hipérbolas verdes, que cruzan el eje ct, son curvas espaciales porque todos los intervalos a lo largo de estas hipérbolas son intervalos espaciales: No es posible la causalidad entre dos puntos cualesquiera en una de estas hipérbolas, porque todas las secantes representan velocidades mayores que .

La figura 2-7b refleja la situación en el espacio-tiempo de Minkowski de (1+2) dimensiones (una dimensión temporal y dos espaciales) con los hiperboloides correspondientes. Las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos espaciales desde el origen generan hiperboloides de una hoja, mientras que las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos temporales desde el origen generan hiperboloides de dos hojas.

El límite dimensional (1+2) entre los hiperboloides similares al espacio y al tiempo, establecido por los eventos que forman un intervalo de espacio-tiempo cero hasta el origen, se forma mediante la degeneración de los hiperboloides al cono de luz. En dimensiones (1+1), las hipérbolas degeneran en las dos líneas grises de 45° representadas en la figura 2-7a.

Dilatación del tiempo y contracción de la longitud.

La figura 2-8 ilustra la hipérbola invariante para todos los eventos que se pueden alcanzar desde el origen en un tiempo propio de 5 metros (aproximadamente1,67 × 10 s). Las diferentes líneas del mundo representan relojes que se mueven a diferentes velocidades. Un reloj que está estacionario con respecto al observador tiene una línea universal que es vertical, y el tiempo transcurrido medido por el observador es el mismo que el tiempo propio. Para un reloj que viaja a 0,3 c, el tiempo transcurrido medido por el observador es de 5,24 metros (1,75 × 10 s), mientras que para un reloj que viaja a 0,7 c, el tiempo transcurrido medido por el observador es de 7,00 metros (2,34 × 10 s). Esto ilustra el fenómeno conocido como dilatación del tiempo. Los relojes que viajan más rápido tardan más (en el marco del observador) en marcar la misma cantidad de tiempo propio, y viajan más a lo largo del eje x dentro de ese tiempo propio de lo que habrían hecho sin la dilatación del tiempo. La medición de la dilatación del tiempo por parte de dos observadores en diferentes marcos de referencia inerciales es mutua. Si el observador O mide los relojes del observador O′ como más lentos en su marco, el observador O′ a su vez medirá los relojes del observador O como más lentos.

La contracción de la longitud, como la dilatación del tiempo, es una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. La medición de la longitud requiere la medición del intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos que son simultáneos en el marco de referencia de uno. Pero los eventos que son simultáneos en un marco de referencia, en general, no son simultáneos en otros marcos de referencia.

La figura 2-9 ilustra los movimientos de una varilla de 1 m que se desplaza a 0,5 c a lo largo del eje x. Los bordes de la banda azul representan las líneas de mundo de los dos extremos de la barra. La hipérbola invariante ilustra eventos separados del origen por un intervalo espacial de 1 m. Los extremos O y B medidos cuando t ′ = 0 son eventos simultáneos en el marco S′. Pero para un observador en el marco S, los eventos O y B no son simultáneos. Para medir la longitud, el observador en el marco S mide los puntos finales de la barra proyectada sobre el eje x a lo largo de sus líneas universales. La proyección de la lámina universal de la barra sobre el eje x produce la longitud en escorzo OC.

(no ilustrado) Dibujar una línea vertical a través de A de modo que interseque el eje x ′ demuestra que, incluso cuando OB está en escorzo desde el punto de vista del observador O, OA también lo está desde el punto de vista del observador O′. De la misma manera que cada observador mide los relojes del otro como lentos, cada observador mide las reglas del otro como contratadas.

En lo que respecta a la contracción de longitud mutua, la figura 2-9 ilustra que los marcos con y sin imprimación rotan mutuamente en un ángulo hiperbólico (análogo a los ángulos ordinarios en la geometría euclidiana). Debido a esta rotación, la proyección de una regla de un metro imprimada sobre el eje x sin prima se acorta, mientras que la proyección de una regla de un metro sin prima sobre el eje x′ también se acorta.

Dilatación mutua del tiempo y la paradoja de los gemelos

Dilatación mutua del tiempo

La dilatación mutua del tiempo y la contracción de la longitud tienden a sorprender a los principiantes como conceptos inherentemente contradictorios. Si un observador en el marco S mide un reloj, en reposo en el marco S', que corre más lento que el suyo', mientras que S' se mueve a una velocidad v en S, entonces el principio de relatividad requiere que un observador en el marco S' también mida un reloj en el cuadro S, moviéndose a una velocidad − v en S', como si fuera más lento que el de ella. Cómo dos relojes pueden ir más lentos que el otro es una pregunta importante que "va al corazón de la comprensión de la relatividad especial".

Esta aparente contradicción se debe a que no se han tenido en cuenta correctamente los diferentes ajustes de las medidas necesarias y relacionadas. Estos ajustes permiten una explicación coherente de la única contradicción aparente. No se trata del tictac abstracto de dos relojes idénticos, sino de cómo medir en un cuadro la distancia temporal de dos tictacs de un reloj en movimiento. Resulta que en la observación mutua de la duración entre tics de relojes, cada uno moviéndose en el marco respectivo, deben estar involucrados diferentes conjuntos de relojes. Para medir en el cuadro S la duración del tic de un reloj en movimiento W′ (en reposo en S′), se utilizan dos relojes sincronizados adicionales W ₁ y W ₂en reposo en dos puntos arbitrariamente fijos en S con la distancia espacial d.Dos eventos pueden ser definidos por la condición "dos relojes están simultáneamente en un lugar", es decir, cuando W′ pasa cada W ₁ y W ₂. Para ambos eventos se registran las dos lecturas de los relojes colocados. La diferencia de las dos lecturas de W ₁ y W ₂ es la distancia temporal de los dos eventos en S, y su distancia espacial es d. La diferencia de las dos lecturas de W′ es la distancia temporal de los dos eventos en S′. En S′ estos eventos solo están separados en el tiempo, suceden en el mismo lugar en S′. Debido a la invariancia del intervalo de espacio-tiempo abarcado por estos dos eventos, y la separación espacial distinta de cero den S, la distancia temporal en S′ debe ser menor que la de S: la menor distancia temporal entre los dos eventos, resultante de las lecturas del reloj en movimiento W′, pertenece al reloj más lento W′.

Por el contrario, para juzgar en el marco S′ la distancia temporal de dos eventos en un reloj en movimiento W (en reposo en S), se necesitan dos relojes en reposo en S′.En esta comparación, el reloj W se mueve con velocidad − v. Registrando nuevamente las cuatro lecturas de los eventos, definidos por "dos relojes simultáneamente en un lugar", da como resultado las distancias temporales análogas de los dos eventos, ahora separados temporal y espacialmente en S′, y solo separados temporalmente pero colocados en S. Para mantener invariable el intervalo de espacio-tiempo, la distancia temporal en S debe ser menor que en S′, debido a la separación espacial de los eventos en S′: ahora se observa que el reloj W corre más lento.

Las grabaciones necesarias para los dos juicios, con "un reloj en movimiento" y "dos relojes en reposo" en S o S′ respectivamente, implican dos conjuntos diferentes, cada uno con tres relojes. Dado que hay diferentes conjuntos de relojes involucrados en las mediciones, no hay una necesidad inherente de que las mediciones sean recíprocamente "consistentes" de modo que, si un observador mide que el reloj en movimiento es lento, el otro observador mide que el reloj de uno es rápido.

La figura 2-10 ilustra la discusión previa sobre la dilatación mutua del tiempo con los diagramas de Minkowski. La imagen superior refleja las medidas vistas desde el marco S "en reposo" con ejes rectangulares sin imprimación, y el marco S ′ "moviéndose con v > 0", coordinado por ejes oblicuos imprimados, inclinados hacia la derecha; la imagen inferior muestra el marco S ′ "en reposo" con coordenadas rectangulares imprimadas, y el marco S "moviéndose con - v < 0", con ejes oblicuos sin imprimación, inclinados hacia la izquierda.

Cada línea dibujada paralelamente a un eje espacial (x, x ′) representa una línea de simultaneidad. Todos los eventos en dicha línea tienen el mismo valor de tiempo (ct, ct ′). Asimismo, cada línea trazada paralela a un eje temporal (ct, ct′) representa una línea de iguales valores de coordenadas espaciales (x, x ′).Se puede designar en ambas imágenes el origen O (= O ′) como el evento, donde el "reloj en movimiento" respectivo se ubica junto al "primer reloj en reposo" en ambas comparaciones. Obviamente, para este evento las lecturas de ambos relojes en ambas comparaciones son cero. Como consecuencia, las líneas de mundo de los relojes en movimiento son los ejes ct inclinados hacia la derecha (imágenes superiores, reloj W′) y los ejes ct inclinados hacia la izquierda (imágenes inferiores, reloj W). Las líneas de mundo de W ₁ y W′ ₁ son los ejes de tiempo verticales correspondientes (ct en las imágenes superiores y ct ′ en las imágenes inferiores).En la imagen superior, el lugar para W ₂ se toma como A _x > 0 y, por lo tanto, la línea de mundo (que no se muestra en las imágenes) de este reloj se cruza con la línea de mundo del reloj en movimiento (el eje ct ′) en el evento etiquetado A, donde "dos relojes están simultáneamente en un lugar". En la imagen inferior, el lugar para W′ ₂ se toma como C _{x ′} < 0, y así en esta medida el reloj en movimiento W pasa por W′ ₂ en el evento C.En la imagen superior, la coordenada ct A _t del evento A (la lectura de W ₂) está etiquetada como B, dando así el tiempo transcurrido entre los dos eventos, medido con W ₁ y W ₂, como OB. Para una comparación, la longitud del intervalo de tiempo OA, medida con W′, debe transformarse a la escala del eje ct. Esto se hace mediante la hipérbola invariante (ver también la Fig. 2-8) a través de A, conectando todos los eventos con el mismo intervalo de espacio-tiempo desde el origen como A. Esto produce el evento C en el ct-eje, y obviamente: OC < OB, el reloj "en movimiento" W′ funciona más lento.

Para mostrar la dilatación temporal mutua inmediatamente en la imagen superior, el evento D puede construirse como el evento en x ′ = 0 (la ubicación del reloj W′ en S′), que es simultáneo a C (OC tiene el mismo intervalo de espacio-tiempo que OA) en S′. Esto muestra que el intervalo de tiempo OD es más largo que OA, lo que muestra que el reloj "en movimiento" funciona más lento.

En la imagen inferior, el marco S se mueve con velocidad − v en el marco S′ en reposo. La línea de mundo del reloj W es el eje ct (inclinado hacia la izquierda), la línea de mundo de W′ ₁ es el eje vertical ct ′ y la línea de mundo de W′ ₂ es el evento vertical pasante C, con la coordenada ct ′ D. _ La hipérbola invariante a través del evento C escala el intervalo de tiempo OC a OA, que es más corto que OD; además, B se construye (similar a D en las imágenes superiores) como simultáneo a Aen S, en x = 0. El resultado OB > OC corresponde de nuevo al anterior.

La palabra "medir" es importante. En la física clásica, un observador no puede afectar a un objeto observado, pero el estado de movimiento del objeto puede afectar las observaciones del objeto por parte del observador.

Paradoja gemela

Muchas introducciones a la relatividad especial ilustran las diferencias entre la relatividad galileana y la relatividad especial planteando una serie de "paradojas". Estas paradojas son, de hecho, problemas mal planteados, resultado de nuestra falta de familiaridad con velocidades comparables a la velocidad de la luz. El remedio es resolver muchos problemas de la relatividad especial y familiarizarse con sus llamadas predicciones contrarias a la intuición. El enfoque geométrico para estudiar el espacio-tiempo se considera uno de los mejores métodos para desarrollar una intuición moderna.

La paradoja de los gemelos es un experimento mental que involucra a gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad y regresa a casa para descubrir que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo observa que el otro gemelo se mueve, por lo que, a primera vista, parecería que cada uno debería encontrar que el otro ha envejecido menos. La paradoja de los gemelos elude la justificación de la dilatación mutua del tiempo presentada anteriormente al evitar el requisito de un tercer reloj. Sin embargo, la paradoja de los gemelos no es una verdadera paradoja porque se entiende fácilmente dentro del contexto de la relatividad especial.

La impresión de que existe una paradoja proviene de una mala interpretación de lo que establece la relatividad especial. La relatividad especial no declara que todos los marcos de referencia sean equivalentes, solo marcos inerciales. El marco del gemelo que viaja no es inercial durante los períodos en los que está acelerando. Además, la diferencia entre los gemelos es detectable por observación: el gemelo que viaja necesita disparar sus cohetes para poder regresar a casa, mientras que el gemelo que se queda en casa no.

Estas distinciones deberían resultar en una diferencia en las edades de los gemelos. El diagrama de espacio-tiempo de la figura 2-11 presenta el caso simple de un gemelo que avanza en línea recta a lo largo del eje x e inmediatamente regresa. Desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa, no hay nada desconcertante en la paradoja de los gemelos. El tiempo propio medido a lo largo de la línea del mundo del gemelo que viaja de O a C, más el tiempo propio medido de C a B, es menor que el tiempo propio del gemelo que se queda en casa medido de O a A a B. Las trayectorias más complejas requieren integrar el tiempo propio entre los eventos respectivos a lo largo de la curva (es decir, la integral de trayectoria) para calcular la cantidad total de tiempo propio experimentado por el gemelo que viaja.

Surgen complicaciones si la paradoja de los gemelos se analiza desde el punto de vista del gemelo viajero.

A continuación se utiliza la nomenclatura de Weiss, que designa al gemelo que se queda en casa como Terence y al gemelo viajero como Stella.

Stella no está en un marco inercial. Dado este hecho, a veces se afirma incorrectamente que la resolución completa de la paradoja de los gemelos requiere la relatividad general:

Un análisis SR puro sería el siguiente: Analizada en el marco de reposo de Stella, ella permanece inmóvil durante todo el viaje. Cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, experimenta una pseudo fuerza que se asemeja a una fuerza gravitacional. higos. 2-6 y 2-11 ilustran el concepto de líneas (planos) de simultaneidad: Las líneas paralelas al eje x del observador (plano xy) representan conjuntos de eventos que son simultáneos en el marco del observador. En la figura 2-11, las líneas azules conectan eventos en la línea del mundo de Terence que, desde el punto de vista de Stella , son simultáneos con eventos en su línea de mundo. (Terence, a su vez, observaría un conjunto de líneas horizontales de simultaneidad.) A lo largo de los tramos de ida y vuelta del viaje de Stella, ella mide que los relojes de Terence van más lentos que el suyo. Pero durante el giro (es decir, entre las líneas azules en negrita de la figura), se produce un cambio en el ángulo de sus líneas de simultaneidad, que corresponde a un rápido salto de los eventos en la línea del mundo de Terence que Stella considera que son simultáneos con su propio. Por lo tanto, al final de su viaje, Stella descubre que Terence ha envejecido más que ella.

Aunque no se requiere la relatividad general para analizar la paradoja de los gemelos, la aplicación del principio de equivalencia de la relatividad general proporciona una visión adicional del tema. Stella no está estacionaria en un marco inercial. Analizada en el marco de reposo de Stella, está inmóvil durante todo el viaje. Cuando se desplaza por inercia, su sistema de reposo es inercial y el reloj de Terence parecerá atrasarse. Pero cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, su marco de descanso es un marco acelerado y experimenta una fuerza que la empuja como si estuviera en un campo gravitatorio. Terence parecerá estar en lo alto de ese campo y, debido a la dilatación del tiempo gravitacional, su reloj parecerá correr rápido, tanto que el resultado neto será que Terence ha envejecido más que Stella cuando vuelvan a estar juntos.Los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no son exclusivos de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predirá la dilatación del tiempo gravitatorio si respeta el principio de equivalencia, incluida la teoría de Newton.

Gravitación

Esta sección introductoria se ha centrado en el espacio-tiempo de la relatividad especial, ya que es el más fácil de describir. El espacio-tiempo de Minkowski es plano, no tiene en cuenta la gravedad, es completamente uniforme y no sirve más que como un fondo estático para los eventos que tienen lugar en él. La presencia de la gravedad complica enormemente la descripción del espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo ya no es un fondo estático, sino que interactúa activamente con los sistemas físicos que contiene. El espacio-tiempo se curva en presencia de materia, puede propagar ondas, desvía la luz y exhibe una serie de otros fenómenos. Algunos de estos fenómenos se describen en las secciones posteriores de este artículo.

Matemáticas básicas del espacio-tiempo.

Transformaciones galileanas

Un objetivo básico es poder comparar mediciones realizadas por observadores en movimiento relativo. Si hay un observador O en el marco S que ha medido las coordenadas de tiempo y espacio de un evento, asignando a este evento tres coordenadas cartesianas y el tiempo medido en su red de relojes sincronizados (x, y, z, t) (ver Fig..1-1). Un segundo observador O′ en un marco diferente S′ mide el mismo evento en su sistema de coordenadas y su red de relojes sincronizados (x ′, y ′, z ′, t ′). Con marcos inerciales, ningún observador está bajo aceleración, y un conjunto simple de ecuaciones nos permite relacionar las coordenadas (x, y, z, t) con (x ′, y ′, z ′, t ′). Dado que los dos sistemas de coordenadas están en configuración estándar, lo que significa que están alineados con coordenadas paralelas (x, y, z) y que t = 0 cuando t ′ = 0, la transformación de coordenadas es la siguiente:

La figura 3-1 ilustra que, en la teoría de Newton, el tiempo es universal, no la velocidad de la luz. Considere el siguiente experimento mental: la flecha roja ilustra un tren que se mueve a 0,4 c con respecto a la plataforma. Dentro del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad de 0,4 c en el marco del tren. La flecha azul ilustra que una persona parada en las vías del tren mide la bala viajando a 0.8 c. Esto está de acuerdo con nuestras expectativas ingenuas.

De manera más general, suponiendo que el marco S′ se mueve a una velocidad v con respecto al marco S, entonces, dentro del marco S′, el observador O′ mide un objeto que se mueve con una velocidad u ′. La velocidad u con respecto al marco S, ya que x = ut, x ′ = x − vt, y t = t ′, se puede escribir como x ′ = ut − vt = (u − v) t = (u − v)t '. Esto lleva a u ′ = x ′ / t ′ y finalmente o

que es la ley galileana de sentido común para la suma de velocidades.

Composición relativista de velocidades

La composición de las velocidades es bastante diferente en el espacio-tiempo relativista. Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, introducimos una abreviatura común para la relación de la velocidad de un objeto con respecto a la luz,

La figura 3-2a ilustra un tren rojo que avanza a una velocidad dada por v / c = β = s / a. Desde el marco cebado del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad dada por u ′ / c = β ′ = n / m, donde la distancia se mide a lo largo de una línea paralela al eje rojo x ′ en lugar de paralelo a la eje x negro. ¿Cuál es la velocidad compuesta u de la bala relativa a la plataforma, representada por la flecha azul? Con referencia a la figura 3-2b:

1. Desde la plataforma, la velocidad compuesta de la bala viene dada por u = c (s + r)/(a + b).
2. Los dos triángulos amarillos son similares porque son triángulos rectángulos que comparten un ángulo común α. En el triángulo amarillo grande, la razón s / a = v / c = β.
3. Las proporciones de los lados correspondientes de los dos triángulos amarillos son constantes, de modo que r / a = b / s = n / m = β ′. Entonces b = u ′ s / c y r = u ′ a / c.
4. Sustituya las expresiones de b y r en la expresión de u en el paso 1 para obtener la fórmula de Einstein para la suma de velocidades:

La fórmula relativista para la suma de velocidades presentada anteriormente exhibe varias características importantes:

• Si u ′ y v son ambos muy pequeños en comparación con la velocidad de la luz, entonces el producto vu ′ / c se vuelve muy pequeño y el resultado general se vuelve indistinguible de la fórmula de Galileo (fórmula de Newton) para la suma de velocidades: u = u ' + v. La fórmula de Galileo es un caso especial de la fórmula relativista aplicable a bajas velocidades.
• Si u ′ se establece igual a c, entonces la fórmula produce u = c independientemente del valor inicial de v. La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de sus movimientos en relación con la fuente emisora.

Revisión de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud

Es sencillo obtener expresiones cuantitativas para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. La figura 3-3 es una imagen compuesta que contiene fotogramas individuales tomados de dos animaciones anteriores, simplificada y reetiquetada para los fines de esta sección.

Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, hay una variedad de diferentes notaciones abreviadas para ct:y son comunes.También se ve con mucha frecuencia el uso de la convención

En la figura 3-3a, los segmentos OA y OK representan intervalos de espacio-tiempo iguales. La dilatación del tiempo está representada por la relación OB / OK. La hipérbola invariante tiene la ecuación w = √ x + k donde k = OK, y la línea roja que representa la línea universal de una partícula en movimiento tiene la ecuación w = x / β = xc / v. Un poco de manipulación algebraica produce

La expresión que involucra el símbolo de la raíz cuadrada aparece con mucha frecuencia en la relatividad, y uno sobre la expresión se llama el factor de Lorentz, denotado por la letra griega gamma :

Si v es mayor o igual que c, la expresión para pierde sentido físico, lo que implica que c es la velocidad máxima posible en la naturaleza. Para cualquier v mayor que cero, el factor de Lorentz será mayor que uno, aunque la forma de la curva es tal que para velocidades bajas, el factor de Lorentz es extremadamente cercano a uno.

En la figura 3-3b, los segmentos OA y OK representan intervalos de espacio-tiempo iguales. La contracción de longitud está representada por la relación OB / OK. La hipérbola invariante tiene la ecuación x = √ w + k, donde k = OK, y los bordes de la banda azul que representan las líneas universales de los extremos de una barra en movimiento tienen pendiente 1/ β = c / v. El evento A tiene coordenadas (x, w) = (γk, γβk). Como la recta tangente que pasa por A y B tiene la ecuaciónw = (x − OB)/ β, tenemos γβk = (γk − OB)/ β y

Transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Galileo y su consiguiente ley de sentido común de la suma de velocidades funcionan bien en nuestro mundo ordinario de baja velocidad de aviones, automóviles y pelotas. Sin embargo, a partir de mediados del siglo XIX, la instrumentación científica sensible comenzó a encontrar anomalías que no encajaban bien con la adición ordinaria de velocidades.

Las transformaciones de Lorentz se utilizan para transformar las coordenadas de un evento de un marco a otro en relatividad especial.

El factor de Lorentz aparece en las transformaciones de Lorentz:

Las transformaciones inversas de Lorentz son:

Cuando v ≪ c y x es lo suficientemente pequeño, los términos v / c y vx / c se aproximan a cero, y las transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo.

etc., la mayoría de las veces realmente significan etc. Aunque por brevedad las ecuaciones de transformación de Lorentz se escriben sin deltas, x significa Δ x, etc. En general, siempre nos preocupan las diferencias de espacio y tiempo entre eventos.

Llamar a un conjunto de transformaciones las transformaciones normales de Lorentz y al otro las transformaciones inversas es engañoso, ya que no hay una diferencia intrínseca entre los marcos. Diferentes autores llaman a uno u otro conjunto de transformaciones el conjunto "inverso". Las transformaciones directa e inversa están trivialmente relacionadas entre sí, ya que el marco S solo puede moverse hacia adelante o hacia atrás con respecto a S ′. Entonces, invertir las ecuaciones simplemente implica cambiar las variables primadas y no primadas y reemplazar v con − v.

Ejemplo: Terence y Stella están en una carrera espacial de la Tierra a Marte. Terence es oficial en la línea de salida, mientras que Stella es participante. En el momento t = t ′ = 0, la nave espacial de Stella acelera instantáneamente a una velocidad de 0,5 c. La distancia de la Tierra a Marte es de 300 segundos luz (aproximadamente90,0 × 10 km). Terence observa a Stella cruzando el reloj de la línea de meta en t = 600.00 s. Pero Stella observa el tiempo en el cronómetro de su barco cuando pasa la línea de llegada, y calcula la distancia entre las líneas de salida y llegada, medida en su marco, en 259,81 segundos luz (alrededor de77,9 × 10 km). 1).

Derivación de las transformaciones de Lorentz

Ha habido muchas docenas de derivaciones de las transformaciones de Lorentz desde el trabajo original de Einstein en 1905, cada una con su enfoque particular. Aunque la derivación de Einstein se basó en la invariancia de la velocidad de la luz, existen otros principios físicos que pueden servir como puntos de partida. En última instancia, estos puntos de partida alternativos pueden considerarse diferentes expresiones del principio subyacente de localidad, que establece que la influencia que una partícula ejerce sobre otra no puede transmitirse instantáneamente.

La derivación dada aquí e ilustrada en la figura 3-5 se basa en una presentada por Bais y hace uso de resultados previos de las secciones Composición relativista de velocidades, Dilatación del tiempo y Contracción de longitud. El evento P tiene coordenadas (w, x) en el "sistema de reposo" negro y coordenadas (w ′, x ′) en el marco rojo que se mueve con el parámetro de velocidad β = v / c. Para determinar w ′ y x ′ en términos de w y x(o al revés) es más fácil al principio derivar la transformación inversa de Lorentz.

1. No puede haber tal cosa como expansión/contracción de longitud en las direcciones transversales. y ' debe ser igual a y y z ′ debe ser igual a z, de lo contrario, si una bola de 1 m que se mueve rápidamente podría pasar a través de un agujero circular de 1 m dependería del observador. El primer postulado de la relatividad establece que todos los marcos inerciales son equivalentes, y la expansión/contracción transversal violaría esta ley.
2. Del dibujo, w = a + b y x = r + s
3. De los resultados anteriores usando triángulos semejantes, sabemos que s / a = b / r = v / c = β.
4. Debido a la dilatación del tiempo, a = γw ′
5. Sustituyendo la ecuación (4) en s / a = β se obtiene s = γw ′ β.
6. La contracción de longitud y los triángulos similares nos dan r = γx ′ y b = βr = βγx ′
7. Sustituyendo las expresiones por s, a, r y b en las ecuaciones del Paso 2 se obtiene inmediatamente

Las ecuaciones anteriores son expresiones alternativas para las ecuaciones t y x de la transformación inversa de Lorentz, como se puede ver al sustituir ct por w, ct ′ por w ′ y v / c por β. A partir de la transformación inversa, las ecuaciones de la transformación directa se pueden derivar resolviendo para t ′ y x ′.

Linealidad de las transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz tienen una propiedad matemática llamada linealidad, ya que x ′ y t ′ se obtienen como combinaciones lineales de x y t, sin involucrar potencias mayores. La linealidad de la transformación refleja una propiedad fundamental del espacio-tiempo que se asumió tácitamente en la derivación, a saber, que las propiedades de los marcos de referencia inerciales son independientes de la ubicación y el tiempo. En ausencia de gravedad, el espacio-tiempo se ve igual en todas partes. Todos los observadores inerciales estarán de acuerdo en lo que constituye un movimiento acelerado y no acelerado.Cualquier observador puede usar sus propias medidas de espacio y tiempo, pero no hay nada absoluto en ellas. Las convenciones de otro observador funcionarán igual de bien.

Un resultado de la linealidad es que si se aplican secuencialmente dos transformaciones de Lorentz, el resultado también es una transformación de Lorentz.

Ejemplo: Terence observa que Stella se aleja de él a 0,500 c y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,500 para relacionar las medidas de Stella con las suyas. Stella, en su marco, observa a Ursula alejándose de ella a 0,250 c, y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,250 para relacionar las medidas de Ursula con las suyas. Debido a la linealidad de las transformaciones y la composición relativista de las velocidades, Terence puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0.666 para relacionar las medidas de Ursula con las suyas.

Efecto Doppler

El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia o longitud de onda de una onda para un receptor y una fuente en movimiento relativo. Para simplificar, consideramos aquí dos escenarios básicos: (1) Los movimientos de la fuente y/o el receptor son exactamente a lo largo de la línea que los conecta (efecto Doppler longitudinal), y (2) los movimientos son en ángulo recto a dicha línea (efecto Doppler transversal). Estamos ignorando escenarios donde se mueven a lo largo de ángulos intermedios.

Efecto Doppler longitudinal

El análisis Doppler clásico se ocupa de las ondas que se propagan en un medio, como las ondas de sonido o las ondas de agua, y que se transmiten entre fuentes y receptores que se acercan o se alejan unos de otros. El análisis de tales ondas depende de si la fuente, el receptor o ambos se mueven en relación con el medio. Dado el escenario donde el receptor está estacionario con respecto al medio, y la fuente se está alejando directamente del receptor a una velocidad de v _s para un parámetro de velocidad de β _s, la longitud de onda aumenta y se da la frecuencia observada f por

Por otro lado, dado el escenario donde la fuente está estacionaria y el receptor se aleja directamente de la fuente a una velocidad de v _r para un parámetro de velocidad de β _r, la longitud de onda no cambia, pero la velocidad de transmisión de las ondas en relación con el receptor disminuye, y la frecuencia observada f viene dada por

La luz, a diferencia del sonido o las ondas del agua, no se propaga a través de un medio y no hay distinción entre una fuente que se aleja del receptor o un receptor que se aleja de la fuente. La figura 3-6 ilustra un diagrama de espacio-tiempo relativista que muestra una fuente que se separa del receptor con un parámetro de velocidad β, de modo que la separación entre la fuente y el receptor en el tiempo w es βw. Debido a la dilatación del tiempo, . Como la pendiente del rayo de luz verde es −1, . Por lo tanto, el efecto Doppler relativista viene dado por

Efecto Doppler transversal

Suponga que una fuente y un receptor, ambos acercándose en un movimiento inercial uniforme a lo largo de líneas que no se intersecan, están en su máxima aproximación entre sí. Parecería que el análisis clásico predice que el receptor no detecta ningún desplazamiento Doppler. Debido a sutilezas en el análisis, esa expectativa no es necesariamente cierta. Sin embargo, cuando se define apropiadamente, el desplazamiento Doppler transversal es un efecto relativista que no tiene un análogo clásico. Las sutilezas son estas:

• Figura 3-7a. ¿Cuál es la medida de frecuencia cuando el receptor está geométricamente en su punto más cercano a la fuente? Este escenario se analiza más fácilmente desde el marco S' de la fuente.
• Figura 3-7b. ¿Cuál es la medida de frecuencia cuando el receptor ve que la fuente está más cerca de él? Este escenario se analiza más fácilmente desde el marco S del receptor.

Otros dos escenarios se examinan comúnmente en las discusiones sobre el desplazamiento Doppler transversal:

• Figura 3-7c. Si el receptor se mueve en círculo alrededor de la fuente, ¿qué frecuencia mide el receptor?
• Figura 3-7d. Si la fuente se mueve en círculo alrededor del receptor, ¿qué frecuencia mide el receptor?

En el escenario (a), el punto de máxima aproximación es independiente del marco y representa el momento en el que no hay cambio en la distancia frente al tiempo (es decir, dr/dt = 0, donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) y, por lo tanto, no hay efecto Doppler longitudinal. cambio. La fuente observa que el receptor está iluminado por una luz de frecuencia f ′, pero también observa que el receptor tiene un reloj dilatado en el tiempo. Por lo tanto, en el cuadro S, el receptor está iluminado por una luz desplazada hacia el azul de frecuencia

En el escenario (b), la ilustración muestra que el receptor está iluminado por la luz de cuando la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya movido. Debido a que los relojes de la fuente están dilatados en el tiempo medidos en el marco S, y dado que dr/dt era igual a cero en este punto, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza hacia el rojo con la frecuencia

Los escenarios (c) y (d) pueden analizarse mediante argumentos simples de dilatación del tiempo. En (c), el receptor observa que la luz de la fuente se desplaza hacia el azul por un factor de , y en (d), la luz se desplaza hacia el rojo. La única complicación aparente es que los objetos en órbita están en movimiento acelerado. Sin embargo, si un observador inercial observa un reloj en aceleración, solo la velocidad instantánea del reloj es importante al calcular la dilatación del tiempo. (Sin embargo, lo contrario no es cierto). La mayoría de los informes de desplazamiento Doppler transversal se refieren al efecto como un desplazamiento hacia el rojo y analizan el efecto en términos de los escenarios (b) o (d).

Energía e impulso

Extendiendo el impulso a cuatro dimensiones

En mecánica clásica, el estado de movimiento de una partícula se caracteriza por su masa y su velocidad. El momento lineal, el producto de la masa y la velocidad de una partícula, es una cantidad vectorial que posee la misma dirección que la velocidad: p = m v. Es una cantidad conservada, lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento lineal total no puede cambiar.

En mecánica relativista, el vector de momento se extiende a cuatro dimensiones. Agregado al vector de cantidad de movimiento hay un componente de tiempo que permite que el vector de cantidad de espacio-tiempo se transforme como el vector de posición en el espacio-tiempo . Al explorar las propiedades de la cantidad de movimiento del espaciotiempo, comenzamos, en la figura 3-8a, examinando cómo se ve una partícula en reposo. En el marco de reposo, la componente espacial del impulso es cero, es decir, p = 0, pero la componente temporal es igual a mc.

Podemos obtener las componentes transformadas de este vector en el marco móvil usando las transformaciones de Lorentz, o podemos leerlo directamente de la figura porque sabemos que y , ya que los ejes rojos están reescalados por gamma. La figura 3-8b ilustra la situación tal como aparece en el cuadro en movimiento. Es evidente que los componentes de espacio y tiempo de los cuatro impulsos van al infinito a medida que la velocidad del marco en movimiento se aproxima a c.

Usaremos esta información en breve para obtener una expresión para los cuatro impulsos.

Momento de la luz

Las partículas de luz, o fotones, viajan a la velocidad de c, la constante que se conoce convencionalmente como la velocidad de la luz. Esta declaración no es una tautología, ya que muchas formulaciones modernas de la relatividad no comienzan con la velocidad constante de la luz como postulado. Por lo tanto, los fotones se propagan a lo largo de una línea de mundo similar a la luz y, en unidades apropiadas, tienen componentes de espacio y tiempo iguales para cada observador.

Una consecuencia de la teoría del electromagnetismo de Maxwell es que la luz transporta energía y cantidad de movimiento, y que su relación es una constante: . Reordenando, , y dado que para los fotones, las componentes de espacio y tiempo son iguales, E/c debe por lo tanto igualarse con la componente de tiempo del vector de cantidad de movimiento del espacio-tiempo.

Los fotones viajan a la velocidad de la luz, pero tienen un impulso y una energía finitos. Para que esto sea así, el término de masa en γmc debe ser cero, lo que significa que los fotones son partículas sin masa. Infinito por cero es una cantidad mal definida, pero E/c está bien definida.

Según este análisis, si la energía de un fotón es igual a E en el marco de reposo, es igual en un marco en movimiento. Este resultado puede derivarse mediante la inspección de la figura 3-9 o mediante la aplicación de las transformaciones de Lorentz, y es consistente con el análisis del efecto Doppler dado anteriormente.

Relación masa-energía

La consideración de las interrelaciones entre los diversos componentes del vector de momento relativista llevó a Einstein a varias conclusiones famosas.

• En el límite de baja velocidad, cuando β = v/c tiende a cero, γ tiende a 1, por lo que la componente espacial del momento relativista tiende a mv, el término clásico para momento. Siguiendo esta perspectiva, γm puede interpretarse como una generalización relativista de m. Einstein propuso que la masa relativista de un objeto aumenta con la velocidad según la fórmula .
• Asimismo, comparando la componente temporal del momento relativista con la del fotón, , de modo que Einstein llegó a la relación . Simplificada al caso de velocidad cero, esta es la famosa ecuación de Einstein que relaciona energía y masa.

Otra forma de ver la relación entre masa y energía es considerar una expansión en serie de γmc a baja velocidad:

El segundo término es solo una expresión de la energía cinética de la partícula. De hecho, la masa parece ser otra forma de energía.

El concepto de masa relativista que introdujo Einstein en 1905, m _rel, aunque ampliamente validado todos los días en aceleradores de partículas de todo el mundo (o incluso en cualquier instrumentación cuyo uso dependa de partículas de alta velocidad, como microscopios electrónicos, televisores en color anticuados, etc.), sin embargo, no ha demostrado ser un concepto fructífero en física en el sentido de que no es un concepto que haya servido de base para otros desarrollos teóricos. La masa relativista, por ejemplo, no juega ningún papel en la relatividad general.

Por esta razón, así como por cuestiones pedagógicas, la mayoría de los físicos actualmente prefieren una terminología diferente cuando se refieren a la relación entre masa y energía. "Masa relativista" es un término en desuso. El término "masa" en sí mismo se refiere a la masa en reposo o masa invariante, y es igual a la longitud invariante del vector de momento relativista. Expresado como una fórmula,

Esta fórmula se aplica a todas las partículas, tanto sin masa como con masa. Para fotones donde m _resto es igual a cero, se obtiene, .

Cuatro impulsos

Debido a la estrecha relación entre la masa y la energía, el cuatro-momento (también llamado 4-momento) también se denomina 4-vector energía-momento. Usando una P mayúscula para representar los cuatro impulsos y una p minúscula para denotar el impulso espacial, los cuatro impulsos se pueden escribir comoo alternativamente,utilizando la convención de que

Leyes de conservación

En física, las leyes de conservación establecen que ciertas propiedades medibles particulares de un sistema físico aislado no cambian a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. En 1915, Emmy Noether descubrió que detrás de cada ley de conservación se encuentra una simetría fundamental de la naturaleza. El hecho de que a los procesos físicos no les importe en qué lugar del espacio tienen lugar (simetría de traslación espacial) produce la conservación de la cantidad de movimiento, el hecho de que a tales procesos no les importe cuándo tienen lugar (simetría de traslación del tiempo) produce la conservación de la energía, y así en. En esta sección, examinamos los puntos de vista newtonianos sobre la conservación de la masa, el momento y la energía desde una perspectiva relativista.

Momento total

Para comprender cómo debe modificarse la visión newtoniana de la conservación del momento en un contexto relativista, examinamos el problema de dos cuerpos en colisión limitados a una sola dimensión.

En la mecánica newtoniana, se pueden distinguir dos casos extremos de este problema que producen matemáticas de mínima complejidad:(1) Los dos cuerpos rebotan entre sí en un choque completamente elástico.(2) Los dos cuerpos se mantienen unidos y continúan moviéndose como una sola partícula. Este segundo caso es el caso de colisión completamente inelástica.

Para ambos casos (1) y (2), se conservan el momento, la masa y la energía total. Sin embargo, la energía cinética no se conserva en casos de colisión inelástica. Una cierta fracción de la energía cinética inicial se convierte en calor.

En el caso (2), dos masas con momentos y chocan para producir una sola partícula de masa conservada que viaja en el centro de la velocidad de masa del sistema original, . El momento total se conserva.

La figura 3-10 ilustra la colisión inelástica de dos partículas desde una perspectiva relativista. Los componentes de tiempo y se suman al total E/c del vector resultante, lo que significa que se conserva la energía. Asimismo, las componentes del espacio y se suman para formar p del vector resultante. El cuatro impulso es, como se esperaba, una cantidad conservada. Sin embargo, la masa invariante de la partícula fusionada, dada por el punto donde la hipérbola invariante del momento total se cruza con el eje de energía, no es igual a la suma de las masas invariantes de las partículas individuales que chocaron. De hecho, es mayor que la suma de las masas individuales: .

Mirando los eventos de este escenario en secuencia inversa, vemos que la no conservación de la masa es una ocurrencia común: cuando una partícula elemental inestable se descompone espontáneamente en dos partículas más ligeras, la energía total se conserva, pero la masa no. Parte de la masa se convierte en energía cinética.

Elección de marcos de referencia

La libertad de elegir cualquier marco en el que realizar un análisis nos permite elegir uno que puede ser particularmente conveniente. Para el análisis de problemas de cantidad de movimiento y energía, el marco más conveniente suele ser el "marco del centro de cantidad de movimiento" (también llamado marco de cantidad de movimiento cero o marco COM). Este es el marco en el que la componente espacial de la cantidad de movimiento total del sistema es cero. La figura 3-11 ilustra la ruptura de una partícula de alta velocidad en dos partículas hijas. En el marco del laboratorio, las partículas hijas se emiten preferentemente en una dirección orientada a lo largo de la trayectoria de la partícula original. En el marco COM, sin embargo, las dos partículas hijas se emiten en direcciones opuestas, aunque sus masas y la magnitud de sus velocidades generalmente no son las mismas.

Conservación de energía y cantidad de movimiento

En un análisis newtoniano de partículas que interactúan, la transformación entre marcos es simple porque todo lo que se necesita es aplicar la transformación de Galileo a todas las velocidades. Dado que , el impulso . Si se observa que la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas que interactúan se conserva en un marco, también se observará que se conserva en cualquier otro marco.

La conservación de la cantidad de movimiento en el marco COM equivale al requisito de que p = 0 tanto antes como después de la colisión. En el análisis newtoniano, la conservación de la masa dicta que . En los escenarios unidimensionales simplificados que hemos estado considerando, solo se necesita una restricción adicional antes de que se puedan determinar los momentos salientes de las partículas: una condición de energía. En el caso unidimensional de una colisión completamente elástica sin pérdida de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan en el marco COM serán precisamente iguales y opuestas a sus velocidades de entrada. En el caso de una colisión completamente inelástica con pérdida total de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan serán cero.

Los momentos newtonianos, calculados como , no se comportan correctamente bajo la transformación lorentziana. La transformación lineal de velocidades se reemplaza por la altamente no lineal, de modo que un cálculo que demuestre la conservación del momento en un marco no será válido en otros marcos. Einstein se enfrentó a tener que renunciar a la conservación de la cantidad de movimiento o cambiar la definición de la cantidad de movimiento. Esta segunda opción fue la que eligió.

La ley de conservación relativista de la energía y la cantidad de movimiento reemplaza las tres leyes clásicas de conservación de la energía, la cantidad de movimiento y la masa. La masa ya no se conserva de forma independiente, porque se ha subsumido en la energía relativista total. Esto hace que la conservación relativista de la energía sea un concepto más simple que en la mecánica no relativista, porque la energía total se conserva sin ninguna calificación. La energía cinética convertida en calor o energía potencial interna se manifiesta como un aumento de masa.

Ejemplo: debido a la equivalencia de masa y energía, las masas de las partículas elementales suelen expresarse en unidades de energía, donde

1 MeV = 10 electronvoltios. Un pión cargado es una partícula de 139,57 MeV de masa (aproximadamente 273 veces la masa del electrón). Es inestable y se desintegra en un muón de 105,66 MeV de masa (aproximadamente 207 veces la masa del electrón) y un antineutrino, que tiene una masa casi insignificante. La diferencia entre la masa del pión y la masa del muón es de 33,91 MeV.π→m+v_m

La figura 3-12a ilustra el diagrama energía-cantidad de movimiento de esta reacción de decaimiento en el sistema de reposo del pión. Debido a su masa insignificante, un neutrino viaja casi a la velocidad de la luz. La expresión relativista de su energía, como la del fotón, es cuál es también el valor de la componente espacial de su impulso. Para conservar la cantidad de movimiento, el muón tiene el mismo valor que la componente espacial de la cantidad de movimiento del neutrino, pero en dirección opuesta.Los análisis algebraicos de la energía de esta reacción de descomposición están disponibles en línea, por lo que la figura 3-12b presenta en cambio una solución de calculadora gráfica. La energía del neutrino es 29,79 MeV y la energía del muón es

33,91 MeV − 29,79 MeV = 4,12 MeV. La mayor parte de la energía se la lleva el neutrino de masa casi nula.

Mas allá de lo básico

Los temas de esta sección tienen una dificultad técnica significativamente mayor que los de las secciones anteriores y no son esenciales para comprender la Introducción al espacio-tiempo curvo.

Rapidez

Las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas de los eventos en un marco de referencia con las de otro marco. La composición relativista de velocidades se utiliza para sumar dos velocidades. Las fórmulas para realizar estos últimos cálculos no son lineales, lo que las hace más complejas que las fórmulas galileanas correspondientes.

Esta no linealidad es un artefacto de nuestra elección de parámetros. Hemos notado previamente que en un diagrama de espacio-tiempo x-ct, los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante desde el origen forman una hipérbola invariante. También hemos notado que los sistemas de coordenadas de dos marcos de referencia de espacio-tiempo en configuración estándar están rotados hiperbólicamente entre sí.

Las funciones naturales para expresar estas relaciones son los análogos hiperbólicos de las funciones trigonométricas. La figura 4-1a muestra un círculo unitario con sen(a) y cos(a), la única diferencia entre este diagrama y el familiar círculo unitario de la trigonometría elemental es que se interpreta a, no como el ángulo entre el rayo y la x. -eje, pero como el doble del área del sector barrida por el rayo desde el eje x. (Numéricamente, las medidas del ángulo y 2 × área para el círculo unitario son idénticas.) La figura 4-1b muestra una hipérbola unitaria con senh(a) y cosh(a), donde ase interpreta igualmente como el doble del área teñida. La figura 4-2 presenta gráficas de las funciones senh, cosh y tanh.

Para el círculo unitario, la pendiente del rayo viene dada por

En el plano cartesiano, la rotación del punto (x, y) en el punto (x ', y ') por el ángulo θ está dada por

En un diagrama de espacio-tiempo, el parámetro de velocidad es el análogo de la pendiente. La rapidez, φ, está definida por

dónde

La rapidez definida anteriormente es muy útil en relatividad especial porque muchas expresiones adquieren una forma considerablemente más simple cuando se expresan en términos de ella. Por ejemplo, la rapidez es simplemente aditiva en la fórmula de suma de velocidad colineal;

o en otras palabras,

Las transformaciones de Lorentz toman una forma simple cuando se expresan en términos de rapidez. El factor γ se puede escribir como

Las transformaciones que describen el movimiento relativo con velocidad uniforme y sin rotación de los ejes de coordenadas espaciales se denominan impulsos.

Sustituyendo γ y γβ en las transformaciones como se presentó anteriormente y reescribiendo en forma de matriz, el impulso de Lorentz en la dirección x se puede escribir como

y el impulso de Lorentz inverso en la dirección x se puede escribir como

En otras palabras, los impulsos de Lorentz representan rotaciones hiperbólicas en el espacio-tiempo de Minkowski.

Las ventajas de usar funciones hiperbólicas son tales que algunos libros de texto como los clásicos de Taylor y Wheeler introducen su uso en una etapa muy temprana.

4-vectores

Los cuatro vectores se han mencionado anteriormente en el contexto del 4 vector de energía-momento, pero sin mucho énfasis. De hecho, ninguna de las derivaciones elementales de la relatividad especial los requiere. Pero una vez entendidos, los 4-vectores, y más generalmente los tensores, simplifican enormemente la comprensión matemática y conceptual de la relatividad especial. Trabajar exclusivamente con tales objetos conduce a fórmulas que son manifiestamenterelativistamente invariante, lo cual es una ventaja considerable en contextos no triviales. Por ejemplo, demostrar la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell en su forma habitual no es trivial, mientras que es simplemente un cálculo de rutina (realmente no más que una observación) utilizando la formulación del tensor de intensidad de campo. Por otro lado, la relatividad general, desde el principio, se basa en gran medida en los 4 vectores y, más generalmente, en los tensores, que representan entidades físicamente relevantes. Relacionarlos a través de ecuaciones que no dependen de coordenadas específicas requiere tensores, capaces de conectar estos 4 vectores incluso dentro de un espacio-tiempo curvo, y no solo dentro de un plano.uno como en la relatividad especial. El estudio de los tensores está fuera del alcance de este artículo, que proporciona solo una discusión básica del espacio-tiempo.

Definición de 4-vectores

Una tupla de 4, es un "vector de 4" si su componente A _i se transforma entre marcos de acuerdo con la transformación de Lorentz.

Si usa coordenadas, A es un vector de 4 si se transforma (en la dirección x) de acuerdo con

que proviene simplemente de reemplazar ct con A ₀ y x con A ₁ en la presentación anterior de la transformación de Lorentz.

Como de costumbre, cuando escribimos x, t, etc. generalmente queremos decir Δx, Δt, etc.

Los últimos tres componentes de un vector de 4 deben ser un vector estándar en un espacio tridimensional. Por lo tanto, un vector de 4 debe transformarse como en las transformaciones de Lorentz y en las rotaciones.

Propiedades de los 4 vectores

• Cierre bajo combinación lineal: si A y B son 4-vectores, entonces también es un 4-vector.
• Invariancia del producto interno: si A y B son 4 vectores, entonces su producto interno (producto escalar) es invariante, es decir, su producto interno es independiente del marco en el que se calcula. Observe cómo el cálculo del producto interno difiere del cálculo del producto interno de un 3-vector. En lo siguiente, y son 3-vectores:

Además de ser invariante bajo la transformación de Lorentz, el producto interno anterior también es invariante bajo la rotación en 3 espacios.Se dice que dos vectores son ortogonales si A diferencia del caso de los 3 vectores, los 4 vectores ortogonales no están necesariamente en ángulo recto entre sí. La regla es que dos 4-vectores son ortogonales si están desplazados por ángulos iguales y opuestos desde la línea de 45° que es la línea universal de un rayo de luz. Esto implica que un cuadrivector similar a la luz es ortogonal consigo mismo.

• Invariancia de la magnitud de un vector: la magnitud de un vector es el producto interno de un cuadrivector consigo mismo y es una propiedad independiente del marco. Al igual que con los intervalos, la magnitud puede ser positiva, negativa o cero, por lo que los vectores se denominan temporales, espaciales o nulos (similares a la luz). Tenga en cuenta que un vector nulo no es lo mismo que un vector cero. Un vector nulo es aquel para el que mientras que un vector cero es aquel cuyas componentes son todas cero. Los casos especiales que ilustran la invariancia de la norma incluyen el intervalo invariante y la longitud invariante del vector de momento relativista

Ejemplos de 4 vectores

• 4-vector de desplazamiento: también conocido como la separación del espacio-tiempo, esto es (Δt, Δx, Δy, Δz), o para separaciones infinitesimales, (dt, dx, dy, dz).

• 4-vector de velocidad: Esto resulta cuando el 4-vector de desplazamiento se divide por , donde es el tiempo propio entre los dos eventos que producen dt, dx, dy y dz.

La 4-velocidad es tangente a la línea universal de una partícula y tiene una longitud igual a una unidad de tiempo en el marco de la partícula.Una partícula acelerada no tiene un marco de inercia en el que esté siempre en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un marco inercial que momentáneamente se mueva con la partícula. Este marco, el marco de referencia momentáneamente comóvil (MCRF), permite la aplicación de la relatividad especial al análisis de partículas aceleradas.Dado que los fotones se mueven en líneas nulas, para un fotón y una velocidad de 4 no se puede definir. No hay marco en el que un fotón esté en reposo, y no se puede establecer MCRF a lo largo del camino de un fotón.

• Energía-momento 4-vector:

Como se indicó anteriormente, existen diversos tratamientos para el vector de 4 energía-momento, de modo que también se puede ver expresado como o El primer componente es la energía total (incluida la masa) de la partícula (o sistema de partículas) en un marco dado, mientras que los componentes restantes son su momento espacial. El cuadrivector energía-momento es una cantidad conservada.

• Aceleración 4-vector: Esto resulta de tomar la derivada del 4-vector de velocidad con respecto a

• Fuerza 4-vector: Esta es la derivada del 4-vector de impulso con respecto a

Como era de esperar, los componentes finales de los 4 vectores anteriores son todos 3 vectores estándar correspondientes a 3 impulsos espaciales, 3 fuerzas, etc.

4-vectores y ley física

El primer postulado de la relatividad especial declara la equivalencia de todos los marcos inerciales. Una ley física que se cumple en un marco debe aplicarse en todos los marcos, ya que de lo contrario sería posible diferenciar entre marcos. Los momentos newtonianos no se comportan correctamente bajo la transformación lorentziana, y Einstein prefirió cambiar la definición de momento a una que involucrara 4 vectores en lugar de renunciar a la conservación del momento.

Las leyes físicas deben basarse en construcciones que sean independientes del marco. Esto significa que las leyes físicas pueden tomar la forma de ecuaciones que conectan escalares, que siempre son independientes del marco. Sin embargo, las ecuaciones que involucran 4 vectores requieren el uso de tensores con el rango apropiado, que a su vez se puede pensar que se construyen a partir de 4 vectores.

Aceleración

Es un error común pensar que la relatividad especial es aplicable solo a marcos de referencia inerciales y que no puede manejar objetos que se aceleran o marcos de referencia que se aceleran. En realidad, los objetos que se aceleran generalmente se pueden analizar sin necesidad de lidiar con fotogramas que se aceleran. Solo cuando la gravitación es significativa se requiere la relatividad general.

Sin embargo, el manejo adecuado de los marcos acelerados requiere cierto cuidado. La diferencia entre la relatividad especial y la general es que (1) En la relatividad especial, todas las velocidades son relativas, pero la aceleración es absoluta. (2) En la relatividad general, todo movimiento es relativo, ya sea de inercia, aceleración o rotación. Para adaptarse a esta diferencia, la relatividad general utiliza el espacio-tiempo curvo.

En esta sección, analizamos varios escenarios que involucran marcos de referencia acelerados.

Paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell

La paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell (paradoja de la nave espacial de Bell) es un buen ejemplo de un problema en el que el razonamiento intuitivo sin la ayuda de la visión geométrica del enfoque del espacio-tiempo puede generar problemas.

En la figura 4-4, dos naves espaciales idénticas flotan en el espacio y están en reposo una respecto de la otra. Están conectados por una cuerda que es capaz de estirarse solo una cantidad limitada antes de romperse. En un instante dado en nuestro marco, el marco del observador, ambas naves espaciales aceleran en la misma dirección a lo largo de la línea que las separa con la misma aceleración propia constante. ¿Se romperá la cuerda?

Cuando la paradoja era nueva y relativamente desconocida, incluso los físicos profesionales tenían dificultades para encontrar la solución. Dos líneas de razonamiento conducen a conclusiones opuestas. Ambos argumentos, que se presentan a continuación, son defectuosos aunque uno de ellos arroja la respuesta correcta.

1. Para los observadores en el marco de reposo, las naves espaciales comienzan a una distancia L y permanecen a la misma distancia durante la aceleración. Durante la aceleración, L es una distancia de longitud contraída de la distancia L ' = γL en el marco de las naves espaciales que aceleran. Después de un tiempo lo suficientemente largo, γ aumentará a un factor lo suficientemente grande como para que la cuerda se rompa.
2. Sean A y B las naves trasera y delantera. En el marco de las naves espaciales, cada nave espacial ve a la otra nave espacial haciendo lo mismo que está haciendo. A dice que B tiene la misma aceleración que él tiene, y B ve que A iguala todos sus movimientos. Entonces, las naves espaciales se mantienen separadas a la misma distancia y la cuerda no se rompe.

El problema con el primer argumento es que no hay un "marco de las naves espaciales". No puede haber, porque las dos naves espaciales miden una distancia creciente entre los dos. Debido a que no existe un marco común de las naves espaciales, la longitud de la cuerda está mal definida. Sin embargo, la conclusión es correcta, y el argumento es mayormente correcto. El segundo argumento, sin embargo, ignora por completo la relatividad de la simultaneidad.

Un diagrama de espacio-tiempo (Fig. 4-5) hace que la solución correcta a esta paradoja sea casi inmediatamente evidente. Dos observadores en el espacio-tiempo de Minkowski aceleran con una aceleración de magnitud constante durante el tiempo adecuado (aceleración y tiempo transcurrido medidos por los propios observadores, no por un observador inercial). Son comóviles e inerciales antes y después de esta fase. En la geometría de Minkowski, la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad resulta ser mayor que la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad .

El aumento de longitud se puede calcular con la ayuda de la transformación de Lorentz. Si, como se ilustra en la Fig. 4-5, la aceleración finaliza, los barcos permanecerán en un desplazamiento constante en algún marco Si y son las posiciones de los barcos en las posiciones en el marco son:

La "paradoja", por así decirlo, proviene de la forma en que Bell construyó su ejemplo. En la discusión habitual de la contracción de Lorentz, la longitud en reposo es fija y la longitud en movimiento se acorta según se mide en el marco . Como se muestra en la figura 4-5, el ejemplo de Bell afirma que las longitudes en movimiento y medidas en el marco son fijas, lo que obliga a aumentar la longitud del marco en reposo .

Observador acelerado con horizonte

Ciertas configuraciones de problemas de relatividad especial pueden conducir a una comprensión de los fenómenos normalmente asociados con la relatividad general, como los horizontes de eventos. En el texto que acompaña a la figura 2-7, las hipérbolas magenta representaban caminos reales que son seguidos por un viajero en constante aceleración en el espacio-tiempo. Durante los períodos de aceleración positiva, la velocidad del viajero se acerca a la velocidad de la luz, mientras que, medida en nuestro marco, la aceleración del viajero disminuye constantemente.

La figura 4-6 detalla varias características de los movimientos del viajero con más especificidad. En un momento dado, su eje espacial está formado por una línea que pasa por el origen y su posición actual en la hipérbola, mientras que su eje temporal es la tangente a la hipérbola en su posición. El parámetro de velocidad se acerca a un límite de uno a medida que aumenta. Asimismo, se acerca al infinito.

La forma de la hipérbola invariante corresponde a un camino de aceleración propia constante. Esto es demostrable de la siguiente manera:

1. recordamos que
2. Dado que concluimos que
3. 
4. De la ley de la fuerza relativista,
5. Sustituyendo del paso 2 y la expresión del paso 3 da como resultado una expresión constante.

La figura 4-6 ilustra un escenario calculado específico. Terence (A) y Stella (B) inicialmente están juntos a 100 horas luz del origen. Stella despega en el tiempo 0, su nave espacial acelera a 0,01 c por hora. Cada veinte horas, Terence transmite por radio actualizaciones a Stella sobre la situación en el hogar (líneas verdes continuas). Stella recibe estas transmisiones regulares, pero la distancia cada vez mayor (compensada en parte por la dilatación del tiempo) hace que reciba las comunicaciones de Terence cada vez más tarde según lo medido en su reloj, y nunca recibe ninguna comunicación de Terence después de 100 horas en su reloj (línea discontinua verde líneas).

Después de 100 horas según el reloj de Terence, Stella entra en una región oscura. Ha viajado fuera del futuro temporal de Terence. Por otro lado, Terence puede seguir recibiendo los mensajes de Stella indefinidamente. Solo tiene que esperar lo suficiente. El espacio-tiempo se ha dividido en distintas regiones separadas por un aparente horizonte de eventos. Mientras Stella continúe acelerando, nunca podrá saber qué sucede detrás de este horizonte.

Introducción al espacio-tiempo curvo

Proposiciones básicas

Las teorías de Newton asumieron que el movimiento tiene lugar en el contexto de un marco de referencia euclidiano rígido que se extiende por todo el espacio y todo el tiempo. La gravedad está mediada por una fuerza misteriosa, que actúa instantáneamente a lo largo de una distancia, cuyas acciones son independientes del espacio intermedio. En contraste, Einstein negó que haya un marco de referencia euclidiano de fondo que se extienda por todo el espacio. Tampoco existe tal cosa como una fuerza de gravitación, solo la estructura del propio espacio-tiempo.

En términos de espacio-tiempo, la trayectoria de un satélite que orbita alrededor de la Tierra no está dictada por las influencias distantes de la Tierra, la Luna y el Sol. En cambio, el satélite se mueve por el espacio solo en respuesta a las condiciones locales. Dado que el espacio-tiempo es localmente plano en todas partes cuando se considera en una escala suficientemente pequeña, el satélite siempre sigue una línea recta en su marco inercial local. Decimos que el satélite siempre sigue la trayectoria de una geodésica. No se puede descubrir evidencia de gravitación siguiendo los movimientos de una sola partícula.

En cualquier análisis del espacio-tiempo, la evidencia de la gravitación requiere que se observen las aceleraciones relativas de dos cuerpos o dos partículas separadas. En la figura 5-1, dos partículas separadas, en caída libre en el campo gravitatorio de la Tierra, exhiben aceleraciones de marea debido a falta de homogeneidad local en el campo gravitatorio, de modo que cada partícula sigue un camino diferente a través del espacio-tiempo. Las aceleraciones de marea que exhiben estas partículas entre sí no requieren fuerzas para su explicación. Más bien, Einstein los describió en términos de la geometría del espacio-tiempo, es decir, la curvatura del espacio-tiempo. Estas aceleraciones de marea son estrictamente locales. Es el efecto total acumulativo de muchas manifestaciones locales de curvatura lo que da como resultado la aparienciade una fuerza gravitacional que actúa a gran distancia de la Tierra.

Dos proposiciones centrales subyacen a la relatividad general.

• El primer concepto crucial es la independencia de las coordenadas: las leyes de la física no pueden depender del sistema de coordenadas que se utilice. Esta es una extensión importante del principio de la relatividad de la versión utilizada en la relatividad especial, que establece que las leyes de la física deben ser las mismas para cada observador que se mueve en marcos de referencia no acelerados (inerciales). En relatividad general, para usar las propias palabras de Einstein (traducidas), "las leyes de la física deben ser de tal naturaleza que se apliquen a los sistemas de referencia en cualquier tipo de movimiento". Esto lleva a un problema inmediato: en marcos acelerados, uno siente fuerzas que aparentemente le permitirían evaluar su estado de aceleración en un sentido absoluto. Einstein resolvió este problema mediante el principio de equivalencia.
• El principio de equivalencia establece que en cualquier región suficientemente pequeña del espacio, los efectos de la gravitación son los mismos que los de la aceleración.

En la figura 5-2, la persona A está en una nave espacial, lejos de cualquier objeto masivo, que sufre una aceleración uniforme de g. La persona B está en una caja que descansa sobre la Tierra. Siempre que la nave espacial sea lo suficientemente pequeña para que los efectos de las mareas no sean medibles (dada la sensibilidad de la instrumentación de medición de gravedad actual, A y B probablemente deberían ser liliputienses), no hay experimentos que A y B puedan realizar que les permitan decir en qué configuración se encuentran.Una expresión alternativa del principio de equivalencia es notar que en la ley de gravitación universal de Newton, F = GMm _g /r = m _g g y en la segunda ley de Newton, F = m _i a, no hay una razón a priori por la cual la masa gravitatoria m _g debe ser igual a la masa inercial m _i. El principio de equivalencia establece que estas dos masas son idénticas.

Pasar de la descripción elemental anterior del espacio-tiempo curvo a una descripción completa de la gravitación requiere cálculo tensorial y geometría diferencial, temas que requieren un estudio considerable. Sin estas herramientas matemáticas, es posible escribir sobre la relatividad general, pero no es posible demostrar ninguna derivación no trivial.

Curvatura del tiempo

En la discusión de la relatividad especial, las fuerzas no jugaron más que un papel secundario. La relatividad especial asume la capacidad de definir marcos de inercia que llenan todo el espacio-tiempo, todos cuyos relojes funcionan al mismo ritmo que el reloj en el origen. ¿Es esto realmente posible? En un campo gravitatorio no uniforme, el experimento dicta que la respuesta es no. Los campos gravitatorios hacen que sea imposible construir un marco de inercia global. En regiones lo suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, los marcos inerciales locales todavía son posibles. La relatividad general implica la unión sistemática de estos marcos locales en una imagen más general del espacio-tiempo.

Años antes de la publicación de la teoría general en 1916, Einstein usó el principio de equivalencia para predecir la existencia del corrimiento al rojo gravitatorio en el siguiente experimento mental: (i) Suponga que se ha construido una torre de altura h (figura 5-3). (ii) Deje caer una partícula de masa en reposo m desde la parte superior de la torre. Cae libremente con aceleración g, alcanzando el suelo con velocidad v = (2 gh), de modo que su energía total E, medida por un observador en el suelo, es(iii) Un convertidor de masa-energía transforma la energía total de la partícula en un solo fotón de alta energía, que dirige hacia arriba. (iv) En la parte superior de la torre, un convertidor de energía-masa transforma la energía del fotón E ' nuevamente en una partícula de masa en reposo m '.

Debe ser que m = m ', ya que de lo contrario se podría construir un dispositivo de movimiento perpetuo. Por lo tanto, predecimos que E ' = m, de modo que

Un fotón que sube en el campo gravitatorio de la Tierra pierde energía y se desplaza hacia el rojo. Los primeros intentos de medir este corrimiento al rojo a través de observaciones astronómicas no fueron concluyentes, pero Pound & Rebka (1959) y más tarde Pound & Snider (1964) realizaron observaciones de laboratorio definitivas.

La luz tiene una frecuencia asociada, y esta frecuencia puede usarse para impulsar el funcionamiento de un reloj. El corrimiento al rojo gravitatorio lleva a una conclusión importante sobre el tiempo mismo: la gravedad hace que el tiempo corra más lento. Supongamos que construimos dos relojes idénticos cuyas velocidades están controladas por alguna transición atómica estable. Coloque un reloj en la parte superior de la torre, mientras que el otro reloj permanece en el suelo. Un experimentador en la parte superior de la torre observa que las señales del reloj del suelo tienen una frecuencia más baja que las del reloj de al lado en la torre. La luz que sube por la torre es solo una ola, y es imposible que las crestas de las olas desaparezcan en el camino hacia arriba. A la parte superior de la torre llegan exactamente tantas oscilaciones de luz como las que se emiten en la parte inferior. El experimentador llega a la conclusión de que el reloj terrestre se está atrasando,Para una torre de 1 km, la discrepancia ascendería a unos 9,4 nanosegundos por día, fácilmente medible con instrumentación moderna.

Los relojes en un campo gravitatorio no funcionan todos a la misma velocidad. Experimentos como el de Pound-Rebka han establecido firmemente la curvatura del componente temporal del espacio-tiempo. El experimento de Pound-Rebka no dice nada sobre la curvatura del componente espacial del espaciotiempo. Pero los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no dependen en absoluto de los detalles de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predirá la dilatación del tiempo gravitatorio si respeta el principio de equivalencia.Esto incluye la gravitación newtoniana. Una demostración estándar en relatividad general es mostrar cómo, en el "límite newtoniano" (es decir, las partículas se mueven lentamente, el campo gravitatorio es débil y el campo está estático), la curvatura del tiempo por sí sola es suficiente para derivar la ley de la gravedad de Newton..

La gravitación newtoniana es una teoría del tiempo curvo. La relatividad general es una teoría del tiempo curvo y del espacio curvo. Dado G como la constante gravitacional, M como la masa de una estrella newtoniana y cuerpos en órbita de masa insignificante a una distancia r de la estrella, el intervalo de espacio-tiempo para la gravitación newtoniana es uno para el cual solo el coeficiente de tiempo es variable:

Curvatura del espacio

El coeficiente delante de describe la curvatura del tiempo en la gravitación newtoniana, y esta curvatura explica completamente todos los efectos gravitatorios newtonianos. Como era de esperar, este factor de corrección es directamente proporcional a y , y debido a que en el denominador, el factor de corrección aumenta a medida que uno se acerca al cuerpo gravitatorio, lo que significa que el tiempo es curvo.

Pero la relatividad general es una teoría del espacio curvo y el tiempo curvo, por lo que si hay términos que modifican los componentes espaciales del intervalo de espacio-tiempo presentado anteriormente, ¿no deberían verse sus efectos en, por ejemplo, órbitas planetarias y satelitales debido a los factores de corrección de curvatura aplicados? a los términos espaciales?

La respuesta es que se ven, pero los efectos son minúsculos. La razón es que las velocidades planetarias son extremadamente pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, por lo que para los planetas y satélites del sistema solar, el término eclipsa los términos espaciales.

A pesar de la minuciosidad de los términos espaciales, los primeros indicios de que algo andaba mal con la gravitación newtoniana se descubrieron hace más de un siglo y medio. En 1859, Urbain Le Verrier, en un análisis de las observaciones cronometradas disponibles de los tránsitos de Mercurio sobre el disco solar de 1697 a 1848, informó que la física conocida no podía explicar la órbita de Mercurio, a menos que existiera la posibilidad de que existiera un planeta o un cinturón de asteroides dentro del mismo. órbita de Mercurio. El perihelio de la órbita de Mercurio exhibió una tasa de precesión superior a la que podría explicarse por los tirones de los otros planetas. La capacidad de detectar y medir con precisión el valor minuto de esta precesión anómala (solo 43 segundos de arco por siglo tropical) es testimonio de la sofisticación de la astrometría del siglo XIX.

Como el famoso astrónomo que había descubierto anteriormente la existencia de Neptuno "en la punta de su pluma" mediante el análisis de oscilaciones en la órbita de Urano, el anuncio de Le Verrier desencadenó un largo período de dos décadas de "vulcano-manía", como profesional y aficionado. los astrónomos buscaron por igual el hipotético nuevo planeta. Esta búsqueda incluyó varios avistamientos falsos de Vulcano. Finalmente se estableció que no existía tal planeta o cinturón de asteroides.

En 1916, Einstein demostraría que esta precesión anómala de Mercurio se explica por los términos espaciales en la curvatura del espacio-tiempo. La curvatura en el término temporal, siendo simplemente una expresión de la gravitación newtoniana, no tiene nada que ver con la explicación de esta precesión anómala. El éxito de su cálculo fue una poderosa indicación para los compañeros de Einstein de que la teoría general de la relatividad podría ser correcta.

La más espectacular de las predicciones de Einstein fue su cálculo de que los términos de curvatura en los componentes espaciales del intervalo de espacio-tiempo podrían medirse en la curvatura de la luz alrededor de un cuerpo masivo. La luz tiene una pendiente de ±1 en un diagrama de espacio-tiempo. Su movimiento en el espacio es igual a su movimiento en el tiempo. Para la expresión de campo débil del intervalo invariante, Einstein calculó una curvatura de signo exactamente igual pero de signo opuesto en sus componentes espaciales.

En la gravitación de Newton, el coeficiente delante de predice la flexión de la luz alrededor de una estrella. En relatividad general, el coeficiente delante de predice una duplicación de la flexión total.

La historia de la expedición al eclipse de Eddington de 1919 y el ascenso a la fama de Einstein está bien contada en otros lugares.

Fuentes de la curvatura del espacio-tiempo

En la teoría de la gravitación de Newton, la única fuente de fuerza gravitacional es la masa.

Por el contrario, la relatividad general identifica varias fuentes de curvatura del espacio-tiempo además de la masa. En las ecuaciones de campo de Einstein, las fuentes de gravedad se presentan en el lado derecho del tensor tensión-energía.

La figura 5-5 clasifica las diversas fuentes de gravedad en el tensor esfuerzo-energía:

• (rojo): la densidad total de masa-energía, incluidas las contribuciones a la energía potencial de las fuerzas entre las partículas, así como la energía cinética de los movimientos térmicos aleatorios.
• y (naranja): estos son términos de densidad de momento. Incluso si no hay movimiento masivo, la energía puede transmitirse por conducción de calor y la energía conducida llevará impulso.
• son las tasas de flujo del componente i del impulso por unidad de área en la dirección j. Incluso si no hay movimiento masivo, los movimientos térmicos aleatorios de las partículas darán lugar a un flujo de cantidad de movimiento, por lo que los términos i = j (verde) representan presión isotrópica, y los términos i ≠ j (azul) representan esfuerzos cortantes.

Una conclusión importante que se deriva de las ecuaciones es que, coloquialmente hablando, la gravedad misma crea gravedad. La energía tiene masa. Incluso en la gravedad newtoniana, el campo gravitatorio está asociado con una energía, llamada energía potencial gravitacional. En relatividad general, la energía del campo gravitatorio retroalimenta la creación del campo gravitatorio. Esto hace que las ecuaciones no sean lineales y sean difíciles de resolver en casos que no sean de campo débil. La relatividad numérica es una rama de la relatividad general que utiliza métodos numéricos para resolver y analizar problemas, a menudo empleando supercomputadoras para estudiar agujeros negros, ondas gravitacionales, estrellas de neutrones y otros fenómenos en el régimen de campo fuerte.

Energía-impulso

En la relatividad especial, la masa-energía está estrechamente relacionada con el impulso. Así como el espacio y el tiempo son aspectos diferentes de una entidad más completa llamada espaciotiempo, la energía de masa y el momento son simplemente aspectos diferentes de una cantidad unificada de cuatro dimensiones llamada cuatro momentos. En consecuencia, si la masa-energía es una fuente de gravedad, el momento también debe ser una fuente. La inclusión del impulso como fuente de gravedad conduce a la predicción de que las masas en movimiento o en rotación pueden generar campos análogos a los campos magnéticos generados por cargas en movimiento, un fenómeno conocido como gravitomagnetismo.

Es bien sabido que la fuerza del magnetismo se puede deducir aplicando las reglas de la relatividad especial a las cargas en movimiento. (Feynman presentó una demostración elocuente de esto en el volumen II, capítulo 13–6 de sus Lectures on Physics, disponible en línea). Se puede usar una lógica análoga para demostrar el origen del gravitomagnetismo. En la figura 5-7a, dos flujos paralelos infinitamente largos de partículas masivas tienen velocidades iguales y opuestas −vy + v con respecto a una partícula de prueba en reposo y centrada entre las dos. Debido a la simetría del montaje, la fuerza neta sobre la partícula central es cero. Asumirde modo que las velocidades son simplemente aditivas. La figura 5-7b muestra exactamente la misma configuración, pero en el marco de la corriente superior. La partícula de prueba tiene una velocidad de + v, y la corriente de fondo tiene una velocidad de + 2v. Dado que la situación física no ha cambiado, solo el marco en el que se observan las cosas, la partícula de prueba no debe ser atraída hacia ninguna de las corrientes. Pero no está nada claro que las fuerzas ejercidas sobre la partícula de prueba sean iguales. (1) Dado que la corriente inferior se mueve más rápido que la superior, cada partícula en la corriente inferior tiene una energía de masa mayor que una partícula en la parte superior. (2) Debido a la contracción de Lorentz, hay más partículas por unidad de longitud en la corriente inferior que en la corriente superior. (3) Otra contribución a la masa gravitacional activa de la corriente de fondo proviene de un término de presión adicional que, en este punto, no tenemos suficientes antecedentes para discutir. Todos estos efectos juntos aparentemente exigirían que la partícula de prueba fuera atraída hacia la corriente inferior.

La partícula de prueba no es atraída hacia la corriente de fondo debido a una fuerza dependiente de la velocidad que sirve para repeler una partícula que se mueve en la misma dirección que la corriente de fondo. Este efecto gravitacional dependiente de la velocidad es el gravitomagnetismo.

Por lo tanto, la materia en movimiento a través de un campo gravitomagnético está sujeta a los llamados efectos de arrastre de marco análogos a la inducción electromagnética. Se ha propuesto que tales fuerzas gravitomagnéticas son la base de la generación de los chorros relativistas (Fig. 5-8) expulsados ​​por algunos agujeros negros supermasivos en rotación.

Presión y estrés

Las cantidades que están directamente relacionadas con la energía y el momento también deberían ser fuentes de gravedad, es decir, presión interna y estrés. En conjunto, masa-energía, momento, presión y estrés sirven como fuentes de gravedad: colectivamente, son lo que le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.

La relatividad general predice que la presión actúa como una fuente gravitatoria con exactamente la misma fuerza que la densidad de masa-energía. La inclusión de la presión como fuente de gravedad conduce a diferencias dramáticas entre las predicciones de la relatividad general y las de la gravitación newtoniana. Por ejemplo, el término de presión establece un límite máximo para la masa de una estrella de neutrones. Cuanto más masiva es una estrella de neutrones, más presión se requiere para soportar su peso contra la gravedad. Sin embargo, el aumento de la presión se suma a la gravedad que actúa sobre la masa de la estrella. Por encima de cierta masa determinada por el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, el proceso se descontrola y la estrella de neutrones colapsa en un agujero negro.

Los términos de estrés se vuelven muy significativos cuando se realizan cálculos como simulaciones hidrodinámicas de supernovas con colapso del núcleo.

Estas predicciones sobre los roles de la presión, el impulso y la tensión como fuentes de la curvatura del espacio-tiempo son elegantes y juegan un papel importante en la teoría. Con respecto a la presión, el universo primitivo estaba dominado por la radiación, y es muy poco probable que alguno de los datos cosmológicos relevantes (p. ej., abundancias de nucleosíntesis, etc.) pudiera reproducirse si la presión no contribuyera a la gravedad, o si no tuviera la misma fuerza como fuente de gravedad que masa-energía. Asimismo, la consistencia matemática de las ecuaciones de campo de Einstein se rompería si los términos de tensión no contribuyeran como fuente de gravedad.

Prueba experimental de las fuentes de curvatura del espacio-tiempo

Definiciones: masa activa, pasiva e inercial

Bondi distingue entre diferentes tipos posibles de masa: (1) masa activa () es la masa que actúa como fuente de un campo gravitatorio; (2) masa pasiva () es la masa que reacciona a un campo gravitacional; (3) masa inercial () es la masa que reacciona a la aceleración.

• es lo mismo que la masa gravitacional () en la discusión del principio de equivalencia.

En la teoría newtoniana,

• La tercera ley de acción y reacción dicta eso y debe ser la misma.
• Por otro lado, si y son iguales es un resultado empírico.

En la relatividad general,

• La igualdad de y está dictada por el principio de equivalencia.
• No existe un principio de "acción y reacción" que dicte una relación necesaria entre y .

La presión como fuente gravitacional

El experimento clásico para medir la fuerza de una fuente gravitatoria (es decir, su masa activa) fue realizado por primera vez en 1797 por Henry Cavendish (figura 5-9a). Dos bolas pequeñas pero densas están suspendidas de un alambre fino, formando un equilibrio de torsión. Acercar dos grandes masas de prueba a las bolas introduce un par detectable. Dadas las dimensiones del aparato y la constante de resorte medible del alambre de torsión, se puede determinar la constante gravitatoria G.

Estudiar los efectos de la presión comprimiendo las masas de prueba es inútil, porque las presiones alcanzables en el laboratorio son insignificantes en comparación con la masa-energía de una bola de metal.

Sin embargo, las presiones electromagnéticas repulsivas resultantes de los protones apretados dentro de los núcleos atómicos son típicamente del orden de 10 atm ≈ 10 Pa ≈ 10 kg·s m. Esto equivale a alrededor del 1% de la densidad de masa nuclear de aproximadamente 10 kg/m (después de tener en cuenta c ≈ 9×10 m s).

Si la presión no actúa como fuente gravitatoria, entonces la relación debería ser menor para los núcleos con mayor número atómico Z, en los que las presiones electrostáticas son mayores. LB Kreuzer (1968) hizo un experimento de Cavendish usando una masa de teflón suspendida en una mezcla de tricloroetileno y dibromoetano líquidos que tenían la misma densidad de flotación que el teflón (figura 5-9b). El flúor tiene número atómico Z = 9, mientras que el bromo tiene Z = 35. Kreuzer descubrió que el reposicionamiento de la masa de teflón no provocó una desviación diferencial de la barra de torsión, por lo que estableció que la masa activa y la masa pasiva eran equivalentes a una precisión de 5 × 10.

Aunque Kreuzer originalmente consideró este experimento simplemente como una prueba de la relación entre masa activa y masa pasiva, Clifford Will (1976) reinterpretó el experimento como una prueba fundamental del acoplamiento de fuentes a campos gravitatorios.

En 1986, Bartlett y Van Buren notaron que el alcance del láser lunar había detectado un desplazamiento de 2 km entre el centro de figura de la luna y su centro de masa. Esto indica una asimetría en la distribución de Fe (abundante en el núcleo de la Luna) y Al (abundante en su corteza y manto). Si la presión no contribuyera por igual a la curvatura del espacio-tiempo como lo hace la masa-energía, la luna no estaría en la órbita predicha por la mecánica clásica. Usaron sus medidas para ajustar los límites de cualquier discrepancia entre la masa activa y pasiva a alrededor de 10.

Gravitomagnetismo

La existencia del gravitomagnetismo fue probada por Gravity Probe B (GP-B), una misión satelital que se lanzó el 20 de abril de 2004. La fase de vuelo espacial duró hasta2005. El objetivo de la misión era medir la curvatura del espacio-tiempo cerca de la Tierra, con especial énfasis en el gravitomagnetismo.

Los resultados iniciales confirmaron el efecto geodésico relativamente grande (que se debe a la simple curvatura del espacio-tiempo y también se conoce como precesión de De Sitter) con una precisión de alrededor del 1%. El efecto de arrastre de marco mucho más pequeño (que se debe al gravitomagnetismo y también se conoce como precesión de Lense-Thirring) fue difícil de medir debido a efectos de carga inesperados que causan una deriva variable en los giroscopios. Sin embargo, poragosto de 2008, el efecto de arrastre del marco se confirmó dentro del 15 % del resultado esperado, mientras que el efecto geodésico se confirmó mejor que el 0,5 %.

Las mediciones posteriores de arrastre de tramas por observaciones de rango láser de los satélites LARES, LAGEOS-1 y LAGEOS-2 han mejorado la medición GP-B, con resultados (a partir de 2016) que demuestran el efecto dentro del 5% de su valor teórico. aunque ha habido cierto desacuerdo sobre la exactitud de este resultado.

Otro esfuerzo, el experimento Giroscopios en Relatividad General (GINGER), busca utilizar tres láseres anulares de 6 m montados en ángulo recto entre sí a 1400 m por debajo de la superficie de la Tierra para medir este efecto.

Temas técnicos

¿El espacio-tiempo es realmente curvo?

En las opiniones convencionalistas de Poincaré, los criterios esenciales según los cuales se debería seleccionar una geometría euclidiana frente a una no euclidiana serían la economía y la simplicidad. Un realista diría que Einstein descubrió que el espacio-tiempo no es euclidiano. Un convencionalista diría que a Einstein simplemente le resultó más conveniente utilizar geometría no euclidiana. El convencionalista mantendría que el análisis de Einstein no dice nada acerca de cuál es realmente la geometría del espacio-tiempo.

Dicho esto,1. ¿Es posible representar la relatividad general en términos de espacio-tiempo plano?2. ¿Existen situaciones en las que una interpretación del espacio-tiempo plano de la relatividad general pueda ser más conveniente que la interpretación habitual del espacio-tiempo curvo?

En respuesta a la primera pregunta, varios autores, incluidos Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc., han proporcionado varias formulaciones de la gravitación como un campo en una variedad plana. Esas teorías se denominan de diversas formas "gravedad bimétrica", "enfoque teórico de campo de la relatividad general", etc. Kip Thorne ha proporcionado una revisión popular de estas teorías.

El paradigma del espacio-tiempo plano postula que la materia crea un campo gravitacional que hace que las reglas se encojan cuando se giran de la orientación circunferencial a la radial, y eso hace que se dilaten las velocidades de tictac de los relojes. El paradigma del espacio-tiempo plano es completamente equivalente al paradigma del espacio-tiempo curvo en el sentido de que ambos representan los mismos fenómenos físicos. Sin embargo, sus formulaciones matemáticas son completamente diferentes. Los físicos que trabajan alternan rutinariamente entre el uso de técnicas de espacio-tiempo planas y curvas, según los requisitos del problema. El paradigma del espacio-tiempo plano resulta especialmente conveniente cuando se realizan cálculos aproximados en campos débiles. Por lo tanto, las técnicas de espacio-tiempo plano se utilizarán para resolver problemas de ondas gravitacionales, mientras que las técnicas de espacio-tiempo curvo se utilizarán en el análisis de agujeros negros.

Simetrías asintóticas

El grupo de simetría del espacio-tiempo para la Relatividad Especial es el grupo de Poincaré, que es un grupo de diez dimensiones de tres aumentos de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espacio-tiempo. Es lógico preguntar qué simetrías, si es que hay alguna, podrían aplicarse en la relatividad general. Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espacio-tiempo tal como las ven los observadores ubicados lejos de todas las fuentes del campo gravitatorio. La expectativa ingenua de las simetrías del espacio-tiempo asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espacio-tiempo plano de la relatividad especial, a saber. , el grupo de Poincaré.

En 1962, Hermann Bondi, MG van der Burg, AW Metzner y Rainer K. Sachs abordaron este problema de simetría asintótica para investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales. Su primer paso fue decidir sobre algunas condiciones de contorno físicamente sensibles para colocar en el campo gravitacional en el infinito similar a la luz para caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer a priorisuposiciones sobre la naturaleza del grupo de simetría asintótica, ni siquiera la suposición de que tal grupo existe. Luego, después de diseñar lo que consideraban las condiciones de contorno más sensibles, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintótica resultantes que dejan invariable la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitatorios asintóticamente planos. Lo que encontraron fue que las transformaciones de simetría asintótica en realidad forman un grupo y la estructura de este grupo no depende del campo gravitacional particular que esté presente. Esto significa que, como era de esperar, se puede separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitatorio al menos en el infinito espacial. La desconcertante sorpresa en 1962 fue su descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. Las transformaciones de Lorentz no solo son transformaciones de simetría asintótica, también hay transformaciones adicionales que no son transformaciones de Lorentz sino transformaciones de simetría asintótica. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformación conocidos comosupertraducciones. Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (GR) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a largas distancias.

Geometría riemanniana

La geometría riemanniana es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades riemannianas, variedades suaves con una métrica riemanniana, es decir, con un producto interior en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro. Esto da, en particular, nociones locales de ángulo, longitud de curvas, superficie y volumen. A partir de ellos, se pueden derivar algunas otras cantidades globales integrando las contribuciones locales.La geometría riemanniana se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural "

Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría"). Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial. geometría de superficies en R. El desarrollo de la geometría de Riemann dio como resultado la síntesis de diversos resultados sobre la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas sobre ellas, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Permitió la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein, tuvo un profundo impacto en la teoría de grupos y la teoría de la representación, así como en el análisis, y estimuló el desarrollo de la topología algebraica y diferencial.

Colectores curvos

Por razones físicas, un continuo de espacio-tiempo se define matemáticamente como una variedad lorentziana de cuatro dimensiones, suave y conectada . Esto significa que la métrica suave de Lorentz tiene firma . La métrica determina elgeometría del espacio-tiempo, así como determinar las geodésicas de partículas y haces de luz. Sobre cada punto (evento) en esta variedad, se utilizan gráficos de coordenadas para representar a los observadores en marcos de referencia. Por lo general, se utilizancoordenadas cartesianasAdemás, por motivos de simplicidad, las unidades de medida suelen elegirse de modo que la velocidad de la luzsea igual a 1.

Un marco de referencia (observador) se puede identificar con uno de estos gráficos de coordenadas; cualquier observador puede describir cualquier evento . Otro marco de referencia puede identificarse mediante un segundo gráfico de coordenadas sobre . Dos observadores (uno en cada marco de referencia) pueden describir el mismo evento pero obtener descripciones diferentes.

Por lo general, se necesitan muchos gráficos de coordenadas superpuestos para cubrir una variedad. Dados dos gráficos de coordenadas, uno que contiene (que representa a un observador) y otro que contiene (que representa a otro observador), la intersección de los gráficos representa la región del espacio-tiempo en la que ambos observadores pueden medir cantidades físicas y, por lo tanto, comparar resultados. La relación entre los dos conjuntos de medidas viene dada por una transformación de coordenadas no singulares en esta intersección. La idea de los gráficos de coordenadas como observadores locales que pueden realizar mediciones en su vecindad también tiene sentido desde el punto de vista físico, ya que así es como se recopilan los datos físicos: localmente.

Por ejemplo, dos observadores, uno de los cuales está en la Tierra, pero el otro está en un cohete rápido hacia Júpiter, pueden observar un cometa chocando contra Júpiter (este es el evento ). En general, no estarán de acuerdo sobre la ubicación exacta y el momento de este impacto, es decir, tendrán 4 tuplas diferentes (ya que utilizan diferentes sistemas de coordenadas). Aunque sus descripciones cinemáticas diferirán, las leyes dinámicas (físicas), como la conservación del momento y la primera ley de la termodinámica, seguirán siendo válidas. De hecho, la teoría de la relatividad requiere más que esto en el sentido de que estipula que estas (y todas las demás leyes físicas) deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. Esto introduce tensores en la relatividad, mediante los cuales se representan todas las cantidades físicas.

Se dice que las geodésicas son similares al tiempo, nulas o espaciales si el vector tangente a un punto de la geodésica es de esta naturaleza. Las trayectorias de las partículas y los haces de luz en el espacio-tiempo están representadas por geodésicas similares al tiempo y nulas (similares a la luz), respectivamente.

Personaje privilegiado del espacio-tiempo 3+1

Hay dos tipos de dimensiones: espaciales (bidireccionales) y temporales (unidireccionales). Sea N el número de dimensiones espaciales y T el número de dimensiones temporales. Que N = 3 y T = 1, dejando de lado las dimensiones compactadas invocadas por la teoría de cuerdas e indetectables hasta la fecha, puede explicarse apelando a las consecuencias físicas de dejar que N difiera de 3 y T de 1. El argumento es a menudo de una carácter antrópico y posiblemente el primero de su tipo, aunque antes de que el concepto completo se pusiera de moda.

La noción implícita de que la dimensionalidad del universo es especial se atribuye por primera vez a Gottfried Wilhelm Leibniz, quien en el Discurso sobre la metafísica sugirió que el mundo es "el que es al mismo tiempo el más simple en hipótesis y el más rico en fenómenos". Immanuel Kant argumentó que el espacio tridimensional era una consecuencia de la ley del inverso del cuadrado de la gravitación universal. Si bien el argumento de Kant es importante desde el punto de vista histórico, John D. Barrow dijo que "tiene el remate al revés: es la tridimensionalidad del espacio lo que explica por qué vemos las leyes de la fuerza del cuadrado inverso en la naturaleza, y no al revés". (Barrow 2002: 204).

En 1920, Paul Ehrenfest demostró que si solo hay una dimensión temporal y más de tres dimensiones espaciales, la órbita de un planeta alrededor de su Sol no puede permanecer estable. Lo mismo ocurre con la órbita de una estrella alrededor del centro de su galaxia. Ehrenfest también demostró que si hay un número par de dimensiones espaciales, las diferentes partes de un impulso de onda viajarán a diferentes velocidades. Si hay dimensiones espaciales, donde k es un número entero positivo, entonces los impulsos de onda se distorsionan. En 1922, Hermann Weyl demostró que la teoría del electromagnetismo de Maxwell funciona solo con tres dimensiones de espacio y una de tiempo.Finalmente, Tangherlini demostró en 1963 que cuando hay más de tres dimensiones espaciales, los orbitales de electrones alrededor de los núcleos no pueden ser estables; los electrones caerían en el núcleo o se dispersarían.

Max Tegmark amplía el argumento anterior de la siguiente manera antrópica. Si T difiere de 1, el comportamiento de los sistemas físicos no podría predecirse de manera confiable a partir del conocimiento de las ecuaciones diferenciales parciales relevantes. En tal universo, la vida inteligente capaz de manipular la tecnología no podría surgir. Además, si T > 1, Tegmark sostiene que los protones y los electrones serían inestables y podrían descomponerse en partículas con mayor masa que ellos mismos. (Esto no es un problema si las partículas tienen una temperatura suficientemente baja).

Por último, si N < 3, la gravitación de cualquier tipo se vuelve problemática, y el universo probablemente sea demasiado simple para contener observadores. Por ejemplo, cuando N < 3, los nervios no pueden cruzarse sin intersecarse.

Por lo tanto, los argumentos antrópicos y otros descartan todos los casos excepto N = 3 y T = 1, que describen el mundo que nos rodea.En 2019, James Scargill argumentó que la vida compleja puede ser posible con dos dimensiones espaciales. Según Scargill, una teoría de la gravedad puramente escalar puede permitir una fuerza gravitatoria local, y las redes 2D pueden ser suficientes para redes neuronales complejas.