Espacio tangente de Zariski

En geometría algebraica, el espacio tangente de Zariski es una construcción que define un espacio tangente en un punto P en una variedad algebraica V (y más en general). No utiliza cálculo diferencial, basándose directamente en álgebra abstracta y, en los casos más concretos, simplemente en la teoría de un sistema de ecuaciones lineales.

Motivación

Por ejemplo, supongamos que dada una curva plana C definida por una ecuación polinómica

F()X,Y) = 0

y toma P como origen (0,0). Borrar términos de orden superior a 1 produciría una expresión 'linealizada' lectura de ecuaciones

L()X,Y) = 0

en el que todos los términos X^aY^b han sido descartados si a + b > 1.

Tenemos dos casos: L puede ser 0, o puede ser la ecuación de una recta. En el primer caso, el espacio tangente (Zariski) a C en (0,0) es todo el plano, considerado como un espacio afín bidimensional. En el segundo caso, el espacio tangente es aquella recta, considerada como espacio afín. (La cuestión del origen surge cuando tomamos P como punto general en C; es mejor decir "espacio afín" y luego tenga en cuenta que P es un origen natural, en lugar de insistir directamente en que es un espacio vectorial).

Es fácil ver que sobre el campo real podemos obtener L en términos de las primeras derivadas parciales de F. Cuando ambos son 0 en P, tenemos un punto singular (punto doble, cúspide o algo más complicado). La definición general es que los puntos singulares de C son los casos en los que el espacio tangente tiene dimensión 2.

Definición

El espacio de un anillo local R, con el máximo ideal ${displaystyle {m}$ se define como

${displaystyle {Mathfrak {}/{Mathfrak} {m}} {2}}$

Donde ${displaystyle {m}$² es dado por el producto de ideales. Es un espacio vectorial sobre el campo de residuos k:= R/${displaystyle {m}$. Su doble (como k- el espacio del vencedor) se llama espacio tangente de R.

Esta definición es una generalización del ejemplo anterior a dimensiones superiores: suponga que se le da una variedad algebraica afine V y un punto v de V. Moralmente, temblando ${displaystyle {m}$² corresponde a retirar los términos no lineales de las ecuaciones que definen V dentro de un espacio de afinidad, dando un sistema de ecuaciones lineales que definen el espacio tangente.

El espacio tangente ${displaystyle T_{P}(X)}$ y espacio de cotanción ${displaystyle T_{P}{*}(X)}$ a un plan X en un momento P es el espacio (co)tangente ${fnMicrosoft Sans Serif}$. Debido a la functorialidad de Spec, el mapa de cociente natural ${displaystyle f:Rrightarrow R/I$ induce un homomorfismo ${displaystyle g:{mathcal {O}_{X,f^{-1}(P)}rightarrow {fnMithcal {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}f}}}}}f}}}}}}}}}}}f} {f} {f}}}}f}f}}}}}}f}}}}f}}}}}}f}}}}}f}}}}}f}f}f}}}f}f}f}f}}f}}}}f}f}f}}f}f}f}}}}}}f}}}$ para X=Spec(R), P un punto en Y=Spec(R/I). Esto se utiliza para incrustar ${displaystyle T_{P}(Y)}$ dentro ${displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$. Puesto que los morfismos de los campos son inyectables, la subjeción de los campos de residuos inducidos por g es un isomorfismo. Entonces un morfismo k de los espacios cotangentes es inducido por g, dado por

${displaystyle {Mathfrak {m}_{f}/ {fnMicrok} {m}_{2}}$

${displaystyle cong ({mathfrak {m}_{f^{-1}P}/I)/({mathfrak {m}_{f^{-1}P} {2}+I)}}$

${displaystyle cong {Mathfrak {m}_{-1}P}/({mthfrak {m}_{f^{-1}P}{2}+I) }$

${displaystyle cong ({mathfrak {m}_{f^{-1}P}/{mathfrak {m}_{f^{-1}P} {2})/mathrm {Ker} (k).}$

Puesto que esto es una subjeción, la transposición ${displaystyle K^{*}:T_{P}(Y)rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$ es una inyección.

(A menudo se definen los espacios tangente y cotangente de una variedad de manera análoga.)

Funciones analíticas

Si V es una subvariedad de un espacio vectorial n-dimensional, definido por un ideal I, entonces R = F _n / I, donde F_n es el anillo de funciones suaves/analíticas/holomórficas en este espacio vectorial. El espacio tangente de Zariski en x es

m_n / ()I+m_n²),

donde m_n es el ideal máximo que consiste en aquellas funciones en F_n que desaparecen en x.

En el ejemplo plano anterior, I = (F(X,Y)) y I+m² = (L(X,Y))+m².

Propiedades

Si R es un anillo local noetheriano, la dimensión del espacio tangente es al menos la dimensión de R:

dim m/m² Silencio R

R se llama regular si se cumple la igualdad. En un lenguaje más geométrico, cuando R es el anillo local de una variedad V en un punto v, también se dice que v es un punto regular. De lo contrario se llama punto singular.

El espacio tangente tiene una interpretación en términos de K[t]/(t²>i>), los números duales para K; en el lenguaje de los esquemas, los morfismos de Spec K[t]/(t ²) a un esquema X sobre K corresponden a una elección de un punto racional x ∈ X(k) y un elemento del espacio tangente en x. Por tanto, también se habla de vectores tangentes. Ver también: espacio tangente a un funtor.

En general, la dimensión del espacio tangente Zariski puede ser extremadamente grande. Por ejemplo, vamos ${displaystyle C^{1}(mathbf {R})}$ ser el anillo de funciones de valor real continuamente diferentes en ${displaystyle mathbf {R}$. Define ${displaystyle R=C_{0} {1}(Mathbf {R})}$ ser el anillo de gérmenes de tales funciones en el origen. Entonces... R es un anillo local, y su máximo ideal m consiste en todos los gérmenes que desaparecen en el origen. Funciones ${displaystyle x^{alpha }$ para ${displaystyle alpha in (1,2)}$ definir vectores linealmente independientes en el espacio cotangente Zariski ${displaystyle m/m^{2}$, así la dimensión de ${displaystyle m/m^{2}$ por lo menos ${displaystyle {Mathfrak}}$, la cardenalidad del continuum. La dimensión del espacio tangente Zariski ${displaystyle (m/m^{2}} {}}$ por lo tanto, ${displaystyle 2^{Mathfrak {c}}$. Por otro lado, el anillo de gérmenes de funciones suaves en un punto en un n- Manifold tiene un n-dimensional Espacio cotangente Zariski.