Espacio T1

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio T₁ es un espacio topológico en el que, para cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene el otro punto Un espacio R₀ es aquel en el que esto se cumple para cada par de puntos topológicamente distinguibles. Las propiedades T₁ y R₀ son ejemplos de axiomas de separación.

Definiciones

Sea X un espacio topológico y sean x e y puntos en X. Decimos que x e y están separados si cada uno se encuentra en una vecindad que no contiene al otro punto.

• X se llama T₁ espacio si hay dos puntos distintos en X están separados.
• X se llama R₀ espacio si hay dos puntos topológicamente distinguibles en X están separados.

Un espacio T₁ también se denomina espacio accesible o un espacio con topología Fréchet y un R₀ El espacio también se llama espacio simétrico. (El término espacio de Fréchet también tiene un significado completamente diferente en el análisis funcional. Por esta razón, se prefiere el término T₁ espacio. Hay también una noción de un espacio de Fréchet-Urysohn como un tipo de espacio secuencial. El término espacio simétrico también tiene otro significado.)

Un espacio topológico es un espacio T₁ si y solo si es a la vez un espacio R₀ y un espacio de Kolmogorov (o T0) (es decir, un espacio en qué puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es un espacio R₀ si y solo si su cociente de Kolmogorov es un espacio T₁.

Propiedades

Si X{displaystyle X} es un espacio topológico entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. X{displaystyle X} es una T₁ espacio.
2. X{displaystyle X} es un espacio T0 y un R₀ espacio.
3. Los puntos están cerrados X{displaystyle X}; es decir, por cada punto x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} el conjunto de singleton {}x}{displaystyle {x}} es un subconjunto cerrado X.{displaystyle X.}
4. Cada subconjunto de X{displaystyle X} es la intersección de todos los conjuntos abiertos que lo contienen.
5. Cada conjunto finito está cerrado.
6. Cada conjunto cofinito de X{displaystyle X} está abierto.
7. Por todos x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} el ultrafiltro fijo en x{displaystyle x} converge sólo a x.{displaystyle x.}
8. Para cada subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} y cada punto x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} x{displaystyle x} es un punto límite S{displaystyle S. si y sólo si cada barrio abierto x{displaystyle x} contiene infinitamente muchos puntos S.{displaystyle S.}
9. Cada mapa del espacio Sierpinski a X{displaystyle X} es trivial.
10. El mapa desde el espacio Sierpinski hasta el punto único tiene la propiedad de levantamiento con respecto al mapa desde X{displaystyle X} al único punto.

Si X{displaystyle X} es un espacio topológico entonces las siguientes condiciones son equivalentes: cl⁡ ⁡ {}x}{displaystyle operatorname {cl} {x}} denota el cierre de {}x}{displaystyle {x}})

1. X{displaystyle X} es un R₀ espacio.
2. Dados x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} el cierre del {}x}{displaystyle {x}} contiene sólo los puntos que son topológicamente indistinguibles de x.{displaystyle x.}
3. El cociente de Kolmogorov X{displaystyle X} T₁.
4. Para cualquier x,Sí.▪ ▪ X,{displaystyle x,yin X,} x{displaystyle x} se encuentra en el cierre de {}Sí.}{displaystyle {y}} si Sí.{displaystyle y} se encuentra en el cierre de {}x}.{displaystyle {x}}
5. El preorden de especialización en X{displaystyle X} es simétrico (y por lo tanto una relación de equivalencia).
6. Los juegos cl⁡ ⁡ {}x}{displaystyle operatorname {cl} {x}} para x▪ ▪ X{displaystyle xin X} forma una partición de X{displaystyle X} (es decir, cualquiera de estos dos conjuntos es idéntico o descomunal).
7. Si F{displaystyle F} es un conjunto cerrado y x{displaystyle x} es un punto que no F{displaystyle F}, entonces F∩ ∩ cl⁡ ⁡ {}x}=∅ ∅ .{displaystyle Fcap operatorname {cl} {x}=emptyset.}
8. Cada barrio de un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} contiene cl⁡ ⁡ {}x}.{displaystyle operatorname {cl} {x}.}
9. Cada conjunto abierto es una unión de conjuntos cerrados.
10. Por todos x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} el ultrafiltro fijo en x{displaystyle x} converge sólo a los puntos que son topológicamente indistinguibles desde x.{displaystyle x.}

En cualquier espacio topológico tenemos, como propiedades de dos puntos cualesquiera, las siguientes implicaciones

separados ⟹ ⟹ {displaystyle implies } topológicamente distinguible ⟹ ⟹ {displaystyle implies } diferencia

Si la primera flecha se puede invertir, el espacio es R₀. Si la segunda flecha se puede invertir, el espacio es T0. Si la flecha compuesta se puede invertir, el espacio es T₁. Un espacio es T₁ si y solo si es tanto R₀ como T₀.

Un espacio T₁ finito es necesariamente discreto (ya que todo conjunto es cerrado).

Un espacio que es localmente T₁, en el sentido de que cada punto tiene una vecindad T₁ (cuando se le da la topología del subespacio), también es T ₁. De manera similar, un espacio que es localmente R₀ también es R₀. Por el contrario, la declaración correspondiente no se cumple para T₂ espacios. Por ejemplo, la línea con dos orígenes no es un espacio de Hausdorff pero es localmente Hausdorff.

Ejemplos

• El espacio Sierpinski es un simple ejemplo de una topología que es T₀ pero no es T₁, y por lo tanto no R₀.
• La topología de intervalos superpuestos es un simple ejemplo de una topología que es T₀ pero no es T₁.
• Cada débil espacio Hausdorff es T₁ pero el contrario no es cierto en general.
• La topología cofinita en un conjunto infinito es un simple ejemplo de una topología que es T₁ pero no es Hausdorff (T)₂). Esto sigue ya que no hay dos conjuntos abiertos de la topología cofinita que están descomunados. Específicamente, X{displaystyle X} ser el conjunto de enteros, y definir los conjuntos abiertos OA{displaystyle O_{A} para ser esos subconjuntos de X{displaystyle X} que contienen todo menos un subconjunto finito A{displaystyle A} de X.{displaystyle X.} Entonces dado distintos enteros x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y}:

• el conjunto abierto O{}x}{displaystyle O. contiene Sí.{displaystyle y} pero no x,{displaystyle x,} y el conjunto abierto O{}Sí.}{displaystyle O. contiene x{displaystyle x} y no Sí.{displaystyle y};
• equivalentemente, cada conjunto de un soloton {}x}{displaystyle {x}} es el complemento del conjunto abierto O{}x},{displaystyle O... por lo que es un conjunto cerrado;

así que el espacio resultante es T₁ por cada una de las definiciones anteriores. Este espacio no es T₂, porque la intersección de los dos conjuntos abiertos OA{displaystyle O_{A} y OB{displaystyle O_{B} es OA∩ ∩ OB=OA∪ ∪ B,{displaystyle O_{A}cap O_{B}=O_{Acup B} que nunca está vacía. Alternativamente, el conjunto de incluso números enteros es compacto pero no cerrado, lo que sería imposible en un espacio Hausdorff.

• El ejemplo anterior se puede modificar ligeramente para crear la topología cofinita de doble punta, que es un ejemplo de un R₀ espacio que no es T₁ ni R₁. Vamos X{displaystyle X} ser el conjunto de enteros de nuevo, y utilizar la definición de OA{displaystyle O_{A} del ejemplo anterior, definir una subbase de conjuntos abiertos Gx{displaystyle G_{x} para cualquier entero x{displaystyle x} para ser Gx=O{}x,x+1}{displaystyle G_{x}=O_{x,x+1}} si x{displaystyle x} es un número uniforme, y Gx=O{}x− − 1,x}{displaystyle G_{x}=O_{x-1,x}} si x{displaystyle x} Es extraño. Luego la base de la topología se da por intersecciones finitas de los conjuntos subbásicos: dado un conjunto finito A,{displaystyle A,}los conjuntos abiertos X{displaystyle X} son

UA:=⋂ ⋂ x▪ ▪ AGx.{displaystyle U_{A}:=bigcap _{xin A}G_{x}

El espacio resultante no es T₀ (y por lo tanto no T₁), porque los puntos x{displaystyle x} y x+1{displaystyle x+1} (por x{displaystyle x} incluso) son topológicamente indistinguibles; pero de lo contrario es esencialmente equivalente al ejemplo anterior.

• La topología de Zariski en una variedad algebraica (sobre un campo algebraicamente cerrado) es T₁. Para ver esto, note que el singleton contiene un punto con coordenadas locales ()c1,...... ,cn){displaystyle left(c_{1},ldotsc_{n}right)} es el conjunto cero de los polinomios x1− − c1,...... ,xn− − cn.{displaystyle x_{1}-c_{1},ldotsx_{n}-c_{n} Así, el punto está cerrado. Sin embargo, este ejemplo es bien conocido como un espacio que no es Hausdorff (T₂). La topología de Zariski es esencialmente un ejemplo de una topología cofinita.
• La topología Zariski en un anillo comunicativo (es decir, el espectro principal de un anillo) es T₀ pero no, en general, T₁. Para ver esto, note que el cierre de un conjunto de un punto es el conjunto de todos los ideales principales que contienen el punto (y por lo tanto la topología es T₀). Sin embargo, este cierre es un ideal máximo, y los únicos puntos cerrados son los ideales máximos, y por lo tanto no están contenidos en ninguno de los conjuntos abiertos de la topología, y por lo tanto el espacio no satisface el axioma T₁. Para ser claro sobre este ejemplo: la topología Zariski para un anillo conmutativo A{displaystyle A} se da como sigue: el espacio topológico es el conjunto X{displaystyle X} de todos los ideales primos de A.{displaystyle A.} La base de la topología es dada por los conjuntos abiertos Oa{displaystyle O_{a} de ideales primos que hacen no contener a▪ ▪ A.{displaystyle ain A.} Es sencillo verificar que esto constituye la base: así Oa∩ ∩ Ob=Oab{displaystyle O_{a}cap O... y O0=∅ ∅ {displaystyle O_{0}=varnothing } y O1=X.{displaystyle O_{1}=X.} Los conjuntos cerrados de la topología Zariski son los conjuntos de ideales primos que do contener a.{displaystyle a.} Observe cómo este ejemplo difiere sutilmente del ejemplo cofinito de topología, arriba: los puntos en la topología no están cerrados, en general, mientras que en una T₁ espacio, los puntos siempre están cerrados.
• Cada espacio totalmente desconectado es T₁, ya que cada punto es un componente conectado y por lo tanto cerrado.

Generalizaciones a otros tipos de espacios

Los términos "T₁", "R₀" y sus sinónimos también se pueden aplicar a tales variaciones de espacios topológicos como espacios uniformes, espacios de Cauchy y espacios de convergencia. La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de ultrafiltros fijos (o redes constantes) son únicos (para espacios T₁) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para R₀ espacios).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre R₀, por lo que la condición T₁ en estos casos se reduce a T₀ condición. Pero R₀ solo puede ser una condición interesante en otros tipos de espacios de convergencia, como los espacios pretopológicos.