Espacio separable

En matemáticas, un espacio topológico se llama separable si contiene un subconjunto contable y denso; es decir, existe una secuencia {}xn}n=1JUEGO JUEGO {displaystyle {fn} {fn} {fn} {fn}}}} de elementos del espacio tal que cada subconjunto abierto no vacío del espacio contiene al menos un elemento de la secuencia.

Al igual que los otros axiomas de contabilidad, la separabilidad es una "limitación en el tamaño", no necesariamente en términos de cardinalidad (aunque, en presencia del axioma de Hausdorff, este resulta ser el caso; ver más abajo) pero en un sentido topológico más sutil. En particular, toda función continua sobre un espacio separable cuya imagen es un subconjunto de un espacio de Hausdorff está determinada por sus valores sobre el subconjunto denso numerable.

Compare la separabilidad con la noción relacionada de segunda contabilidad, que en general es más fuerte pero equivalente en la clase de espacios metrizables.

Primeros ejemplos

Cualquier espacio topológico que es en sí mismo finito o contablemente infinito es separable, porque todo el espacio es un subconjunto denso contable de sí mismo. Un ejemplo importante de un espacio separable incontable es la línea real, en la que los números racionales forman un subconjunto denso contable. Del mismo modo el conjunto de toda la longitud-n{displaystyle n} vectores de números racionales, r=()r1,...... ,rn)▪ ▪ Qn{displaystyle {boldsymbol {r}=(r_{1},ldotsr_{n}in mathbb {Q} } {n}, es un subcontable denso del conjunto de toda la longitud-n{displaystyle n} vectores de números reales, Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}; así por cada n{displaystyle n}, n{displaystyle n}-dimensional El espacio euclidiano es separable.

Un ejemplo simple de un espacio que no es separable es un espacio discreto de cardinalidad incontable.

Más ejemplos se dan a continuación.

Separabilidad versus segunda contabilidad

Cualquier segundo espacio es separable: si {}Un}{displaystyle {fn}} es una base contable, elegir cualquier xn▪ ▪ Un{displaystyle x_{n}in U_{n} de los no empleados Un{displaystyle U_{n} da un subconjunto denso contable. Por el contrario, un espacio metroble es separable si y sólo si es segunda contable, que es el caso si y sólo si es Lindelöf.

Para comparar más estas dos propiedades:

• Un subespacio arbitrario de un espacio de segunda cuenta es segundo contable; subespacios de espacios separables no necesitan ser separables (ver abajo).
• Cualquier imagen continua de un espacio separable es separable (Willard 1970, Th. 16.4a); incluso un cociente de un espacio de segunda cuenta no necesita ser segundo contado.
• Un producto de muchos espacios separables al máximo continuo es separable (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). Un producto contable de espacios de segunda cuenta es segundo contable, pero un producto incontable de espacios de segunda cuenta no necesita ser considerado primero.

Podemos construir un ejemplo de un espacio separable topológico que no es segundo contable. Considere cualquier conjunto incontable X{displaystyle X}, elegir algunos x0▪ ▪ X{displaystyle x_{0}in X}, y definir la topología para ser la colección de todos los conjuntos que contienen x0{displaystyle x_{0} (o están vacías). Entonces, el cierre de x0{displaystyle {x_{0}} es todo el espacio (X{displaystyle X} es el conjunto cerrado más pequeño que contiene x0{displaystyle x_{0}), pero cada conjunto de la forma {}x0,x}{displaystyle {x_{0},x}} está abierto. Por lo tanto, el espacio es separable pero no puede haber una base contable.

Cardinalidad

La propiedad de separabilidad en sí misma no otorga ninguna limitación a la cardinalidad de un espacio topológico: cualquier conjunto dotado de la topología trivial es separable, así como segundo numerable, cuasi-compacto y conexo. El "problema" con la topología trivial son sus malas propiedades de separación: su cociente de Kolmogorov es el espacio de un punto.

Un espacio de Hausdorff (en particular, un espacio métrico separable) de primera cuenta tiene en la mayoría de la cardenalidad continua c{displaystyle {Mathfrak}}. En tal espacio, el cierre se determina por límites de secuencias y cualquier secuencia convergente tiene en la mayoría de un límite, por lo que hay un mapa subjetivo del conjunto de secuencias convergentes con valores en el subconjunto denso contable a los puntos de X{displaystyle X}.

Un espacio separable Hausdorff tiene cardenalidad en la mayoría 2c{displaystyle 2^{Mathfrak {c}}, donde c{displaystyle {Mathfrak}} es la cardenalidad del continuum. Para este cierre se caracteriza por límites de bases filtrantes: si Y⊆ ⊆ X{displaystyle Y 'subseteq X' y z▪ ▪ X{displaystyle zin X}, entonces z▪ ▪ Ȳ ̄ {displaystyle zin {fnK}} si existe una base de filtro B{displaystyle {máthcal {B}} consistente en subconjuntos Y{displaystyle Sí. que converge en z{displaystyle z}. La cardinalidad del conjunto S()Y){displaystyle S(Y)} de tales bases de filtro es en la mayoría 22SilencioYSilencio{displaystyle 2^{2} {fnh00}}. Además, en un espacio Hausdorff, hay en la mayoría de un límite a cada base de filtros. Por lo tanto, hay una subjeción S()Y)→ → X{displaystyle S(Y)rightarrow X. cuando Ȳ ̄ =X.{displaystyle {overline {}=X.}

Los mismos argumentos establecen un resultado más general: suponen que un espacio topológico Hausdorff X{displaystyle X} contiene un subconjunto denso de la cardenalidad κ κ {displaystyle kappa }. Entonces... X{displaystyle X} tiene cardenalidad en la mayoría 22κ κ {displaystyle 2^{2^{kappa } y cardenalidad en la mayoría 2κ κ {displaystyle 2^{kappa } si es primero contable.

El producto de muchos espacios separables es un espacio separable (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). En particular, el espacio RR{displaystyle mathbb {R} {R} de todas las funciones de la línea real a sí misma, dotada de la topología del producto, es un espacio separable Hausdorff de la cardinalidad 2c{displaystyle 2^{Mathfrak {c}}. Más generalmente, si κ κ {displaystyle kappa } es cualquier cardenal infinito, entonces un producto de la mayoría 2κ κ {displaystyle 2^{kappa } espacios con subconjuntos densos de tamaño a la mayoría κ κ {displaystyle kappa } tiene un subconjunto denso de tamaño a la mayoría κ κ {displaystyle kappa } (Hewitt–Marczewski–Pondiczery teorem).

Matemáticas constructivas

La separabilidad es especialmente importante en el análisis numérico y las matemáticas constructivas, ya que muchos teoremas que se pueden probar para espacios no separables tienen pruebas constructivas solo para espacios separables. Estas pruebas constructivas se pueden convertir en algoritmos para su uso en el análisis numérico, y son los únicos tipos de pruebas aceptables en el análisis constructivo. Un ejemplo famoso de un teorema de este tipo es el teorema de Hahn-Banach.

Más ejemplos

Espacios separables

• Cada espacio métrico compacto (o espacio metroble) es separable.
• Cualquier espacio topológico que sea la unión de un número contable de subespacios separables es separable. Juntos, estos dos primeros ejemplos dan una prueba diferente de que n{displaystyle n}-dimensional El espacio euclidiano es separable.
• El espacio C()K){displaystyle C(K)} de todas las funciones continuas de un subconjunto compacto K⊆ ⊆ R{displaystyle Ksubseteq mathbb {R} a la línea real R{displaystyle mathbb {R} es separable.
• Los espacios de Lebesgue Lp()X,μ μ ){displaystyle L^{p}left(X,muright)}, sobre un espacio de medida separable .X,M,μ μ .{displaystyle leftlangle X,{mathcal {M},mu rightrangle }, son separables para cualquier <math alttext="{displaystyle 1leq p1≤ ≤ p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1leq p buscadoinfty}<img alt="1leq p.
• El espacio C()[0,1]){displaystyle C([0,1])} de funciones de valor real continuo en el intervalo de unidad [0,1]{displaystyle [0,1]} con la métrica de convergencia uniforme es un espacio separable, ya que sigue del teorema de aproximación Weierstrass que el conjunto Q[x]{displaystyle mathbb {Q} [x] de polinomios en una variable con coeficientes racionales es un subconjunto denso contable C()[0,1]){displaystyle C([0,1])}. El teorema de Banach-Mazur afirma que cualquier espacio separable de Banach es isométricomente isomorfo a un subespacio lineal cerrado C()[0,1]){displaystyle C([0,1])}.
• Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si tiene una base ortonormal contable. Sigue que cualquier espacio separable e infinito Hilbert es isométrico al espacio l l 2{displaystyle ell ^{2} de secuencias cuadradas.
• Un ejemplo de un espacio separable que no es de segunda cuenta es la línea Sorgenfrey S{displaystyle mathbb {S}, el conjunto de números reales equipados con la topología límite inferior.
• A separable σ-algebra es un σ-algebra F{displaystyle {fnMithcal}} que es un espacio separable cuando se considera un espacio métrico *** *** ()A,B)=μ μ ()A  B){displaystyle rho (A,B)=mu (Atriangle B)} para A,B▪ ▪ F{displaystyle A,Bin {fnMitcal} y una medida determinada μ μ {displaystyle mu } (y con   {displaystyle triangle } ser el operador de diferencia simétrica).

Espacios no separables

• El primer ordinal incontable ⋅ ⋅ 1{displaystyle omega ¿Qué?, equipado con su topología del orden natural, no es separable.
• El espacio de Banach l l JUEGO JUEGO {displaystyle ell ^{infty} de todas las secuencias reales ligadas, con la norma supremum, no es separable. Lo mismo vale LJUEGO JUEGO {displaystyle L^{infty}.
• El espacio de Banach de funciones de variación atada no es separable; note sin embargo que este espacio tiene aplicaciones muy importantes en matemáticas, física e ingeniería.

Propiedades

• Un subespacio de un espacio separable no necesita ser separable (ver el plano Sorgenfrey y el plano Moore), sino cada uno abierto subespacio de un espacio separable es separable (Willard 1970, Th 16.4b). También cada subespacio de un espacio métrico separable es separable.
• De hecho, cada espacio topológico es un subespacio de un espacio separable de la misma cardinalidad. Una construcción que agrega a lo más contable muchos puntos se da en (Sierpiński 1952, p. 49); si el espacio era un espacio Hausdorff entonces el espacio construido en el que se incrusta es también un espacio Hausdorff.
• El conjunto de todas las funciones continuas de valor real en un espacio separable tiene una cardinalidad igual a c{displaystyle {Mathfrak}}, la cardenalidad del continuum. Esto se debe a que esas funciones están determinadas por sus valores en subconjuntos densos.
• De la propiedad anterior, se puede deducir lo siguiente: Si X es un espacio separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, entonces X no puede ser normal. Esto muestra que el avión Sorgenfrey no es normal.
• Para un espacio Hausdorff compacto X, los siguientes son equivalentes:
  1. X es segundo contable.
  2. El espacio C()X,R){displaystyle {mathcal {}(X,mathbb {R})} de funciones de valor real continuo X con la norma supremum es separable.
  3. X es metro.

Incrustación de espacios métricos separables

• Cada espacio métrico separable es homeomórfico a un subconjunto del cubo de Hilbert. Esto se establece en la prueba del teorema de metrización Urysohn.
• Cada espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del (no estable) Banach space l^JUEGO de todas las secuencias reales ligadas con la norma supremum; esto se conoce como la incrustación Fréchet. (Heinonen 2003)
• Cada espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto de C([0,1]), el espacio separado Banach de funciones continuas [0,1] →R, con la norma supremum. Esto es debido a Stefan Banach. (Heinonen 2003)
• Cada espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio universal Urysohn.

Para espacios no separables:

• Un espacio métrico de densidad igual a un cardenal infinito α es isométrico a un subespacio de C([0,1]^α, R), el espacio de funciones continuas reales sobre el producto de α copias del intervalo de unidad. (Kleiber 1969) harv error: no target: CITEREFKleiber1969 (help)