Espacio secuencial

En topología y campos relacionados de las matemáticas, un espacio secuencial es un espacio topológico cuya topología puede caracterizarse completamente por sus secuencias convergentes/divergentes. Se los puede considerar como espacios que satisfacen un axioma muy débil de numerabilidad, y todos los espacios de primer orden (especialmente los espacios métricos) son secuenciales.

En cualquier espacio topológico ${\displaystyle (X,\tau),}$ si una secuencia convergente está contenida en un conjunto cerrado ${\displaystyle C,}$ entonces el límite de esa secuencia debe ser contenido en ${\displaystyle C}$ también. Los conjuntos con esta propiedad son conocidos como cerrado secuencialmente. Los espacios secuenciales son precisamente aquellos espacios topológicos para los cuales los conjuntos cerrados secuencialmente están cerrados de hecho. (Estas definiciones también pueden reformularse en términos de conjuntos secuencialmente abiertos; véase más adelante). Dicho de otra manera, cualquier topología se puede describir en términos de redes (también conocidas como secuencias Moore-Smith), pero esas secuencias pueden ser "demasiado largas" (indizadas por una ordinal demasiado grande) para comprimir en una secuencia. Los espacios secuenciales son aquellos espacios topológicos para los cuales las redes de longitud contable (es decir, secuencias) bastan para describir la topología.

Cualquier topología puede ser refinada (es decir, hecha más fina) a una topología secuencial, llamada la Coreflection secuencial de ${\displaystyle X.}$

Los conceptos relacionados de los espacios Fréchet-Urysohn, T- espacios secuenciales, y ${\displaystyle N}$- espacios secuenciales también se definen en términos de cómo la topología del espacio interactúa con secuencias, pero tienen propiedades subtly diferentes.

Espacios secuenciales y ${\displaystyle N}$- espacios secuenciales fueron introducidos por S. P. Franklin.

Aunque los espacios que satisfacen tales propiedades se han estudiado implícitamente durante varios años, la primera definición formal se debe a S. P. Franklin en 1965. Franklin quería determinar "las clases de espacios topológicos que pueden especificarse completamente mediante el conocimiento de sus secuencias convergentes", y comenzó investigando los espacios de primer orden, para los que ya se sabía que las secuencias eran suficientes. Franklin llegó entonces a la definición moderna abstrayendo las propiedades necesarias de los espacios de primer orden.

Vamos. ${\displaystyle X}$ ser un set y dejar ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ser una secuencia en ${\displaystyle X}$; es decir, una familia de elementos ${\displaystyle X}$, indexado por los números naturales. En este artículo, ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S.$ significa que cada elemento en la secuencia ${\displaystyle x_{\bullet}}$ es un elemento ${\displaystyle S,}$ y, si ${\displaystyle f:X\to Sí.$ es un mapa, entonces ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)_{i=1}{\infty }$ Para cualquier índice ${\displaystyle i,}$ la cola de ${\displaystyle x_{\bullet}}$ empezando ${\displaystyle i}$ es la secuencia $${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots){\text{.}}}}$$ Una secuencia ${\displaystyle x_{\bullet}}$ eventualmente ${\displaystyle S.$ si algo de cola ${\displaystyle x_{\bullet}}$ satisfizo ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Vamos. ${\displaystyle \tau }$ ser una topología en ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle x_{\bullet}}$ una secuencia en ella. La secuencia ${\displaystyle x_{\bullet}}$ converge a un punto ${\displaystyle x\in X,}$ escrito ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to} {\to} }x}$ (cuando el contexto permite, ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$), si, por cada vecindario ${\displaystyle U\in \tau }$ de ${\displaystyle x,}$ eventualmente ${\displaystyle x_{\bullet}}$ está dentro. ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ entonces se llama un punto límite ${\displaystyle x_{\bullet }$

Una función ${\displaystyle f:X\to Sí.$ entre los espacios topológicos es secuencialmente continuo si ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ implicación ${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x). }$

Vamos. ${\displaystyle (X,\tau)}$ ser un espacio topológico y dejar ${\displaystyle S\subseteq X}$ ser un subconjunto. El cierre topológico (resp. topológico interior) de ${\displaystyle S.$ dentro ${\displaystyle (X,\tau)}$ es denotado por ${\displaystyle \operatorname {cl} ¿Qué?$ (Resp. ${\displaystyle \operatorname {int} ¿Qué?$).

El cierre secuencial de ${\displaystyle S.$ dentro ${\displaystyle (X,\tau)}$ es el conjunto$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{Existe una secuencia }s_{\bullet }\subseteq S{\text{ tal that }s_{\bullet }\to x\right\}$$que define un mapa, el operador de cierre secuencial, en el conjunto de energía ${\displaystyle X.}$ Si es necesario para la claridad, este conjunto también puede ser escrito ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$ o ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau)}(S).}$ Siempre es el caso que ${\displaystyle \operatorname {scl} ¿Por qué?$ pero el revés puede fallar.

El interior secuencial de ${\displaystyle S.$ dentro ${\displaystyle (X,\tau)}$ es el conjunto$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{cuando sea }x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }x_{\bullet }\to s,{\text{ then }x_{\bullet }{\text{ is eventually in }S\}}$$(el espacio topológico nuevamente indicado con un subscript si es necesario).

Cierre secuencial e interior satisfacen muchas de las buenas propiedades topológica cierre e interior: para todos los subconjuntos ${\displaystyle R,S\subseteq X.$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$ y ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$;

  Prueba

  Corrección ${\displaystyle x\in \operatorname {sint} (X\setminus S).}$ Si ${\displaystyle x\in \operatorname {scl} (S),}$ entonces existe ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.$ con ${\displaystyle s_{\bullet }\to x.}$ Pero por la definición del interior secuencial, eventualmente ${\displaystyle s_{\bullet }$ está dentro. ${\displaystyle X\setminus S,}$ contradicción ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.}$ Por el contrario, supongo ${\displaystyle x\notin \operatorname {sint} (X\setminus S)}$; entonces existe una secuencia ${\displaystyle s_{\bullet # Subseteq X #$ con ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ que no es eventualmente ${\displaystyle X\setminus S.}$ Pasando a la subsequencia de elementos no ${\displaystyle X\setminus S,}$ podemos asumir que ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.}$ Pero entonces ${\displaystyle x\in \operatorname {scl} (S).}$ ▮

• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset)=\emptyset }$ y ${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset)=\emptyset }$;
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; y
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)). }$

Es decir, el cierre secuencial es un operador de precierre. A diferencia del cierre topológico, el cierre secuencial no es idempotente: la última contención puede ser estricta. Por tanto, el cierre secuencial no es un operador de cierre (Kuratowski).

Un juego ${\displaystyle S.$ está cerrado secuencialmente si ${\displaystyle S=\operatorname {scl} (S)}$; equivalente, para todos ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.$ y ${\displaystyle x\in X}$ tales que ${\displaystyle s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }x,}$ Debemos tener ${\displaystyle x\in S.}$

Un juego ${\displaystyle S.$ se define como abierto secuencialmente si su complemento está cerrado secuencialmente. Las condiciones equitativas incluyen:

• ${\displaystyle S=\operatorname {sint} (S)}$ o
• Para todos ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X.$ y ${\displaystyle s\in S}$ tales que ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau}{\to }s,}$ eventualmente ${\displaystyle x_{\bullet}}$ está dentro. ${\displaystyle S.$ (es decir, hay un número entero ${\displaystyle i}$ tal que la cola ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.$).

Un juego ${\displaystyle S.$ es un barrio secuencial de un punto ${\displaystyle x\in X}$ si contiene ${\displaystyle x}$ en su interior secuencial; los barrios secuenciales necesitan no ser abierto secuencialmente (ver § T- y N-espacios secuenciales abajo).

Es posible para un subconjunto de ${\displaystyle X}$ ser abierto secuencialmente pero no abierto. Del mismo modo, es posible que exista un subconjunto secuencialmente cerrado que no esté cerrado.

Como se mencionó anteriormente, el cierre secuencial no es en general idempotente, y por lo tanto no el operador de cierre de una topología. Uno puede obtener un cierre secuencial idempotente mediante la iteración transfinita: para un ordinal sucesor ${\displaystyle \alpha +1,}$ definir (como de costumbre)$${\displaystyle (\operatorname {scl})^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl}(\operatorname {scl})^{\alpha }(S)}$$y, para un ordinal límite ${\displaystyle \alpha}$ definir$${\displaystyle (\operatorname {scl})^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta }{\operatorname {\scl}} {\beta } {\beta} {\text{}}}}}}}}}}}}}} {\$$Este proceso da una secuencia creciente de conjuntos de índice ordinal; como resulta, esa secuencia siempre se estabiliza por índice ${\displaystyle \omega ¿Qué?$ (el primer ordinal incontable). Por el contrario, orden secuencial de ${\displaystyle X}$ es el ordinal mínimo en el que, para cualquier elección de ${\displaystyle S,}$ la secuencia anterior se estabilizará.

El cierre secuencial transfinito de ${\displaystyle S.$ es el terminal establecido en la secuencia anterior: ${\displaystyle (\operatorname {scl})^{\omega - Sí.$ El operador ${\displaystyle (\operatorname {scl})^{\omega ¿Qué?$ es idempotente y por lo tanto un operador de cierre. En particular, define una topología, la consiguiente coreflexión. En la reflexión básica secuencial, cada conjunto secuencialmente cerrado está cerrado (y cada conjunto secuencialmente abierto está abierto).

Un espacio topológico ${\displaystyle (X,\tau)}$ es secuencial si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• ${\displaystyle \tau }$ es su propia coreflexión secuencial.
• Cada subconjunto secuencialmente abierto ${\displaystyle X}$ está abierto.
• Cada subconjunto secuencialmente cerrado ${\displaystyle X}$ está cerrado.
• Para cualquier subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ eso es no cerrado en ${\displaystyle X.$ existe ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S}$ y una secuencia en ${\displaystyle S.$ que convergen a ${\displaystyle x.}$
• ( Propiedad universitaria) Para cada espacio topológico ${\displaystyle Sí.$ a mapa ${\displaystyle f:X\to Sí.$ es continuo si y sólo si es secuencialmente continuo (si ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ entonces ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$).
• ${\displaystyle X}$ es el cociente de un espacio de primera cuenta.
• ${\displaystyle X}$ es el cociente de un espacio métrico.

Al tomar ${\displaystyle Y=X}$ y ${\displaystyle f}$ ser el mapa de identidad en ${\displaystyle X}$ en la propiedad universal, sigue que la clase de espacios secuenciales consiste precisamente en aquellos espacios cuya estructura topológica está determinada por secuencias convergentes. Si dos topologías coinciden en secuencias convergentes, entonces necesariamente tienen la misma coreflexión secuencial. Además, una función de ${\displaystyle Sí.$ es secuencialmente continuo si y sólo si es continua en la coreflexión secuencial (es decir, cuando se compone con ${\displaystyle f}$).

Un T-espacio secuencial es un espacio topológico con orden secuencial 1, que es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones:

• Cierre secuencial (o interior) de cada subconjunto de ${\displaystyle X}$ se cierra secuencialmente (resp. open).
• ${\displaystyle \operatorname {scl}$ o ${\displaystyle \operatorname {sint}$ son idempotentes.
• ${\textstyle \operatorname {scl}(S)=\bigcap _{\text{sequentially closed }C\supseteq S} {C}$ o ${\textstyle \operatorname {sint}(S)=\bigcup _{\text{sequentially open }U\subseteq S}{U}}}}$
• Cualquier barrio secuencial de ${\displaystyle x\in X}$ puede ser arrugado a un conjunto secuencialmente abierto que contiene ${\displaystyle x}$; formalmente, los barrios abiertos secuencialmente son una base de barrio para los barrios secuenciales.
• Para cualquier ${\displaystyle x\in X}$ y cualquier vecindario secuencial ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle x,}$ existe un barrio secuencial ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle x}$ así, por cada uno ${\displaystyle m\in M,}$ el conjunto ${\displaystyle N}$ es un barrio secuencial ${\displaystyle m.}$

Ser un ser T- espacio secuencial es incomparable con ser un espacio secuencial; hay espacios secuenciales que no son T- secuencial y viceversa. Sin embargo, un espacio topológico ${\displaystyle (X,\tau)}$ se llama ${\displaystyle N}$- secuencial (o barrio secuencial) si es secuencial y T- secuencial. Una condición equivalente es que cada barrio secuencial contiene un vecindario abierto (clásico).

Cada espacio de primera cuenta (y por lo tanto cada espacio metro) es ${\displaystyle N}$- secuencial. Existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales pero no ${\displaystyle N}$- secuencial (y por lo tanto no T- secuencial).

Un espacio topológico ${\displaystyle (X,\tau)}$ se llama Fréchet- Urysohn si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• ${\displaystyle X}$ es hereditariamente secuencial; es decir, cada subespacio topológico es secuencial.
• Para cada subset ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} - ¿Qué? {cl} - Sí.$
• Para cualquier subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ que no está cerrado ${\displaystyle X}$ y todos ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} ¿Qué? S,}$ existe una secuencia en ${\displaystyle S.$ que convergen a ${\displaystyle x.}$

A veces también se dice que los espacios de Fréchet-Urysohn son "Fréchet" pero no debe confundirse ni con los espacios de Fréchet en el análisis funcional ni con la condición T1.

Cada complejo CW es secuencial, ya que puede considerarse como un cociente de un espacio métrico.

El espectro primario de un anillo noetheriano conmutativo con topología de Zariski es secuencial.

Toma la línea real ${\displaystyle \mathbb {R}$ e identificar el conjunto ${\displaystyle \mathbb {Z}$ de enteros a un punto. Como cociente de un espacio métrico, el resultado es secuencial, pero no es primero contable.

Cada primer espacio contable es Fréchet-Urysohn y cada espacio de Fréchet-Urysohn es secuencial. Por tanto, todo espacio metrizable o pseudometrizable (en particular, cada segundo espacio contable, espacio métrico o espacio discreto) es secuencial.

Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser un conjunto de mapas de los espacios Fréchet-Urysohn a ${\displaystyle X.}$ Entonces la topología final que ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ induces en ${\displaystyle X}$ es secuencial.

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es secuencial si y sólo si no existe una topología estrictamente más fina con las mismas secuencias convergentes.

Espacio Schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}\left(\mathbb {R} {\n}\right)}$y el espacio ${\displaystyle C^{\infty}(U)}$ de funciones lisas, como se discutió en el artículo sobre distribuciones, son espacios secuenciales ampliamente utilizados.

De manera más general, cada espacio Montel DF de dimensión infinita es secuencial, pero no Fréchet-Urysohn.

Arens' el espacio es secuencial, pero no Fréchet-Urysohn.

El espacio más simple que no es secuencial es la topología contable en un conjunto incontable. Cada secuencia convergente en tal espacio es eventualmente constante; por tanto, todo conjunto es secuencialmente abierto. Pero la topología contable no es discreta. (Se podría llamar a la topología "secuencialmente discreta".)

Vamos. ${\displaystyle C_{c} {k}(U)}$ denota el espacio de ${\displaystyle k}$- funciones de prueba con su topología canónica y dejar ${\displaystyle {\mathcal {}'(U)}$ denota el espacio de las distribuciones, el espacio dual fuerte ${\displaystyle C_{c} {\infty}(U)}$; ni son secuenciales (ni siquiera un espacio Ascoli). Por otro lado, ambos ${\displaystyle C_{c} {\infty}(U)}$ y ${\displaystyle {\mathcal {}'(U)}$ son los espacios Montel y, en el espacio dual de cualquier espacio Montel, un secuencia de las funciones lineales continuas convergen en la fuerte topología dual si y sólo si converge en la débil* topología (es decir, converge sentido de punto).

Cada espacio secuencial tiene una estanqueidad contable y se genera de forma compacta.

Si ${\displaystyle f:X\to Sí.$ es una subjeción abierta continua entre dos espacios secuenciales Hausdorff entonces el conjunto ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ Sí.$ de puntos con preimage único está cerrado. (Por continuidad, así es su preimage en ${\displaystyle X.$ el conjunto de todos los puntos sobre los cuales ${\displaystyle f}$ es inyectable.)

Si ${\displaystyle f:X\to Sí.$ es un mapa subjetivo (no necesariamente continuo) sobre un espacio secuencial Hausdorff ${\displaystyle Sí.$ y ${\displaystyle {\máthcal {B}}$ bases para la topología ${\displaystyle X.$ entonces ${\displaystyle f:X\to Sí.$ es un mapa abierto si y sólo si, por cada ${\displaystyle x\in X,}$ barrio básico ${\displaystyle B\in {\cHFF}$ de ${\displaystyle x,}$ y secuencia ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}{\infty }\to f(x)}$ dentro ${\displaystyle Sí.$ hay una subsequencia de ${\displaystyle y_{\bullet}}$ que finalmente está en ${\displaystyle f(B).}$

La subcategoría completa Seq de todos los espacios secuenciales se cierra bajo las siguientes operaciones en la categoría Top de espacios topológicos:

La categoría Seq no está cerrada bajo las siguientes operaciones en Top:

Dado que están cerrados bajo sumas y cocientes topológicos, los espacios secuenciales forman una subcategoría correflexiva de la categoría de espacios topológicos. De hecho, son el casco correflectivo de espacios metrizables (es decir, la clase más pequeña de espacios topológicos cerrados bajo sumas y cocientes y que contienen los espacios metrizables).

La subcategoría Seq es una categoría cartesiana cerrada respecto de su propio producto (no el de Top). Los objetos exponenciales están equipados con la topología abierta (secuencia convergente).

P.I. Booth y A. Tillotson han demostrado que Seq es la subcategoría cerrada cartesiana más pequeña de Top que contiene los espacios topológicos subyacentes de todos los espacios métricos, complejos CW y variedades diferenciables y que está cerrado bajo colímites, cocientes y otras "ciertas identidades razonables" que Norman Steenrod describió como "conveniente".

Cada espacio secuencial se genera de forma compacta, y los productos finitos en Seq coinciden con los de espacios generados de forma compacta, ya que los productos en la categoría de espacios generados de forma compacta conservan cocientes de espacios métricos.

• Axioma de conteo – propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría) que afirma la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades. Sin tal axioma, tal conjunto probablemente no exista.Páginas que muestran descripciones de wikidata como retroceso
• Propiedad gráfica cerrada – Gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto
• Espacio topológico donde cada punto tiene una base de barrio contable
• Espacio Fréchet–Urysohn – Propiedad del espacio topológico
• Mapa de cobertura de secuencias

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