Espacio reflexivo

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Localmente convexo espacio vectorial topológico

En el área de las matemáticas conocidas como análisis funcional, a espacio reflexivo es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) para el cual el mapa de evaluación canónico $X$ en su bidual (que es el fuerte dual del fuerte dual de $X$ ) es un isomorfismo de TVSs. Puesto que un TVS normable es reflexivo si y sólo si es semi-reflexivo, cada espacio normal (y así en particular, cada espacio de Banach) $X$ es reflexivo si y sólo si el mapa de evaluación canónico de $X$ en su bidual es subjetivo; en este caso el espacio normal es necesariamente un espacio de Banach. En 1951, R. C. James descubrió un espacio de Banach, ahora conocido como espacio de James, eso es no reflexivo pero sin embargo es isométricamente isomorfa a su bidual (cualquier isomorfismo es necesariamente no el mapa de evaluación canónico).

Los espacios reflexivos juegan un papel importante en la teoría general de los TVS localmente convexos y en la teoría de los espacios de Banach en particular. Los espacios de Hilbert son ejemplos destacados de espacios reflexivos de Banach. Los espacios reflexivos de Banach a menudo se caracterizan por sus propiedades geométricas.

Definición

Definición de la licitación

Supongamos que $X$ es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo $mathbb {F}$ (que es el número real o complejo) cuyo espacio dual continuo, ${displaystyle X^{prime },}$ separa puntos on $X$ (es decir, para cualquier ${displaystyle xin X,xneq 0}$ existe ${displaystyle x^{prime }in X^{prime }}$ tales que ${displaystyle x^{prime }(x)neq 0}$ ). Vamos ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ y ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ ambos denotan el fuerte dual de $X,$ que es el espacio vectorial ${displaystyle X^{prime }}$ de funciones lineales continuas en $X$ dotada de la topología de la convergencia uniforme en subconjuntos atados de $X$ ; esta topología también se llama fuerte doble topología y es la topología "default" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si $X$ es un espacio normal, entonces la fuerte dual de $X$ es el espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }}$ con su topología normal. El licitación de $X,$ denotado por ${displaystyle X^{prime prime },}$ es el fuerte dual de ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ ; es decir, es el espacio ${displaystyle left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }.}$ Si $X$ es un espacio normal, entonces ${displaystyle X^{prime prime }}$ es el espacio dual continuo del espacio de Banach ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ con su topología normal.

Definiciones del mapa de evaluación y espacios reflexivos

Para cualquier ${displaystyle xin X,}$ Deja ${displaystyle J_{x}:X^{prime }to mathbb {F} }$ se define por ${displaystyle J_{x}left(x^{prime }right)=x^{prime }(x),}$ Donde $J_{x}$ es un mapa lineal llamado mapa de evaluación en $x$ ; desde entonces ${displaystyle J_{x}:X_{b}^{prime }to mathbb {F} }$ es necesariamente continuo, sigue que ${displaystyle J_{x}in left(X_{b}^{prime }right)^{prime }.}$ Desde ${displaystyle X^{prime }}$ puntos separados sobre $X,$ el mapa lineal ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)^{prime }}$ definidas por ${displaystyle J(x):=J_{x}}$ es inyectable donde este mapa se llama mapa de la evaluación o el mapa canónico. Call $X$ semi-reflexivo si ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)^{prime }}$ es bijetivo (o equivalente, subjetivo) y llamamos $X$ reflexivo si además ${displaystyle J:Xto X^{prime prime }=left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }}$ es un isomorfismo de TVSs. Un espacio normable es reflexivo si es semi-reflexivo o equivalente, si y sólo si el mapa de evaluación es subjetivo.

Espacios de Banach reflexivos

Suppose $X$ es un espacio vectorial normalizado sobre el campo número ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {C} }$ (los números reales o los números complejos), con una norma ${displaystyle |,cdot ,|.}$ Considere su espacio doble ${displaystyle X^{prime },}$ que consiste en todas las funciones lineales continuas ${displaystyle f:Xto mathbb {F} }$ y está equipado con la doble norma ${displaystyle |,cdot ,|^{prime }}$ definidas por

{displaystyle |f|^{prime }=sup{|f(x)|,:,xin X, |x|=1}.}

El dual ${displaystyle X^{prime }}$ es un espacio normal (un espacio de Banach para ser preciso), y su espacio doble, ${displaystyle X^{prime prime }=left(X^{prime }right)^{prime }}$ se llama espacio bidual para $X.$ El bidual consiste en todas las funciones lineales continuas ${displaystyle h:X^{prime }to mathbb {F} }$ y está equipado con la norma ${displaystyle |,cdot ,|^{prime prime }}$ dual a ${displaystyle |,cdot ,|^{prime }.}$ Cada vector $xin X$ genera una función de escalar ${displaystyle J(x):X^{prime }to mathbb {F} }$ por la fórmula:

{displaystyle J(x)(f)=f(x)qquad {text{ for all }}fin X^{prime },}

J(x)

{displaystyle X^{prime },}

{displaystyle J(x)in X^{prime prime }.}

{displaystyle J:Xto X^{prime prime }}

mapa de la evaluación

J

{displaystyle {text{ for all }}xin Xqquad |J(x)|^{prime prime }=|x|,}

J

X

J(X)

{displaystyle X^{prime prime }.}

J(X)

{displaystyle X^{prime prime },}

{displaystyle X^{prime prime }.}

Un espacio normal $X$ se llama reflexivo si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

el mapa de evaluación ${displaystyle J:Xto X^{prime prime }}$ es subjetivo,
el mapa de evaluación ${displaystyle J:Xto X^{prime prime }}$ es un isomomorfismo isométrico de espacios normados,
el mapa de evaluación ${displaystyle J:Xto X^{prime prime }}$ es un isomorfismo de espacios ordenados.

Un espacio reflexivo $X$ es un espacio de Banach, ya que $X$ es entonces isométrico al espacio de Banach ${displaystyle X^{prime prime }.}$

Observación

A Banach space $X$ es reflexivo si es linealmente isométrico a su bidual bajo esta embedición canónica ${displaystyle J.}$ El espacio de James es un ejemplo de un espacio no reflexivo que es linealmente isométrico a su bidual. Además, la imagen del espacio de James bajo la incrustación canónica $J$ tiene codimensión uno en su bidual. A Banach space $X$ se llama quasi-reflexive (de orden) $d$ ) si el cociente ${displaystyle X^{prime prime }/J(X)}$ tiene dimensión finita $d.$

Ejemplos

Cada espacio fijo-dimensional es reflexivo, simplemente porque en este caso el espacio, su doble y bidual todos tienen la misma dimensión lineal, por lo tanto la inyección lineal $J$ de la definición es bijetivo, por el teorema de rango-nullidad.
El espacio de Banach $c_{0}$ de secuencias de escalar tienden a 0 en el infinito, equipado con la norma supremum, no es reflexivo. Se deriva de las propiedades generales siguientes que $ell ^{1}$ y ${displaystyle ell ^{infty }}$ no son reflexivos, porque $ell ^{1}$ es isomorfa a la dualidad $c_{0}$ y ${displaystyle ell ^{infty }}$ es isomorfa a la dualidad ${displaystyle ell ^{1}.}$
Todos los espacios Hilbert son reflexivos, al igual que los espacios Lp $L^{p}$ para $<math alttext="{displaystyle 1<p1.p.JUEGO JUEGO .{displaystyle 1 seccionóinfty.} <img alt="{displaystyle 1<p$ Más generalmente: todos los espacios convexos de Banach son reflexivos según el teorema Milman-Pettis. El $L^1(mu)$ y ${displaystyle L^{infty }(mu)}$ los espacios no son reflexivos (a menos que sean dimensionales finitas, lo que sucede por ejemplo cuando $mu$ es una medida en un conjunto finito). Del mismo modo, el espacio Banach ${displaystyle C([0,1])}$ de funciones continuas $[0,1]$ no es reflexivo.
Los espacios ${displaystyle S_{p}(H)}$ de operadores en la clase Schatten en un espacio Hilbert $H$ son uniformemente convex, por lo tanto reflexivo, cuando $<math alttext="{displaystyle 1<p1.p.JUEGO JUEGO .{displaystyle 1 seccionóinfty.} <img alt="{displaystyle 1<p$ Cuando la dimensión de $H$ es infinito, entonces ${displaystyle S_{1}(H)}$ (la clase traza) no es reflexivo, porque contiene un isomorfo subespacial a ${displaystyle ell ^{1},}$ y ${displaystyle S_{infty }(H)=L(H)}$ (los operadores lineales conectados $H$ ) no es reflexivo, porque contiene un isomorfo subespacial a ${displaystyle ell ^{infty }.}$ En ambos casos, el subespacio puede ser elegido para ser los operadores diagonales con respecto a una determinada base ortonormal de $H.$

Propiedades

Si un espacio de Banach $Y$ es isomorfo a un espacio de Banach reflexivo $X$ entonces $Y$ es reflexivo.

Todo subespacio lineal cerrado de un espacio reflexivo es reflexivo. El dual continuo de un espacio reflexivo es reflexivo. Todo cociente de un espacio reflexivo por un subespacio cerrado es reflexivo.

Vamos $X$ ser un espacio de Banach. Lo siguiente es equivalente.

El espacio $X$ es reflexivo.
El dual continuo $X$ es reflexivo.
La bola de la unidad cerrada $X$ es compacto en la topología débil. (Esto es conocido como Teorema de Kakutani.)
Cada secuencia atada en $X$ tiene una subsequencia débilmente convergente.
Cada funcionamiento lineal continuo en $X$ alcanza supremum en la bola de unidad cerrada en $X.$ (Teorema de James)

Puesto que los subconjuntos de convexo cerrados por norma en un espacio de Banach están débilmente cerrados, sigue de la tercera propiedad que cerró subconjuntos convexos de un espacio reflexivo $X$ son débilmente compactos. Así, por cada secuencia decreciente de subconjuntos convexos no vacíos cerrados $X,$ la intersección no es vacía. Como consecuencia, cada función convexa continua $f$ en un subconjunto convexo cerrado $C$ de $X,$ tal que el conjunto

{displaystyle C_{t}={xin C,:,f(x)leq t}}

t,

{displaystyle C.}

La propiedad geométrica prometida de espacios reflexivos de Banach es la siguiente: si $C$ es un subconjunto convexo cerrado sin vacío del espacio reflexivo $X,$ entonces por cada $xin X$ existe $cin C$ tales que ${displaystyle |x-c|}$ minimiza la distancia entre $x$ y puntos de ${displaystyle C.}$ Esto se deriva del resultado anterior para las funciones convexas, aplicadas a ${displaystyle f(y)+|y-x|.}$ Tenga en cuenta que mientras que la distancia mínima entre $x$ y $C$ es una definición única $x,$ el punto $c$ No lo es. El punto más cercano $c$ es único cuando $X$ es uniformemente convexo.

Un espacio de Banach reflexivo es separable si y sólo si su dual continuo es separable. Esto se deriva del hecho de que para cada espacio normal $Y,$ separabilidad del dual continuo ${displaystyle Y^{prime }}$ implica separabilidad de $Y.$

Espacio súper reflexivo

Informalmente, un espacio de Banach súper reflexivo $X$ tiene la siguiente propiedad: dado un espacio Banach arbitrario $Y,$ si todos los subespacios finitos-dimensionales de $Y$ tiene una copia muy similar sentado en algún lugar $X,$ entonces $Y$ Debe ser reflexivo. Por esta definición, el espacio $X$ debe ser reflexivo. Como ejemplo elemental, cada espacio de Banach $Y$ cuyos subespacios bidimensionales son isométricos a subespacios de ${displaystyle X=ell ^{2}}$ satisfice la ley paralelograma, por lo tanto $Y$ es un espacio Hilbert, por lo tanto $Y$ es reflexivo. Así que... $ell ^{2}$ es súper reflexivo.

La definición formal no utiliza isometrías, sino casi isometrías. A Banach space $Y$ es finitamente representable en un espacio de Banach $X$ si para cada subespacio finito-dimensional $Y_{0}$ de $Y$ y todos $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0,{displaystyle epsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c08d32cc0a46cfa7ccabd48ba8a50a87e0ca66" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.852ex; height:2.509ex;"/>$ hay un subespacial $X_{0}$ de $X$ tal que la distancia multiplicativa Banach–Mazur entre $X_{0}$ y $Y_{0}$ satisfizo

<math alttext="{displaystyle dleft(X_{0},Y_{0}right)d()X0,Y0).1+ε ε .{displaystyle dleft(X_{0},Y_{0}right) seleccionó1+varepsilon.}<img alt="{displaystyle dleft(X_{0},Y_{0}right)

Un espacio de Banach finitamente representable en $ell ^{2}$ es un espacio de Hilbert. Cada espacio de Banach es finitamente representable en ${displaystyle c_{0}.}$ El espacio Lp ${displaystyle L^{p}([0,1])}$ es finitamente representable en ${displaystyle ell ^{p}.}$

A Banach space $X$ es super-reflexivo si todos los espacios de Banach $Y$ finitamente representable en $X$ son reflexivos, o, en otras palabras, si no hay espacio no reflexivo $Y$ es finitamente representable en $X.$ La noción de ultraproducto de una familia de espacios de Banach permite una definición concisa: el espacio Banach $X$ es super-reflexivo cuando sus ultrapoderes son reflexivos.

James demostró que un espacio es súper reflexivo si y solo si su dual es súper reflexivo.

Árboles finitos en espacios de Banach

Una de las caracterizaciones de James de la super-reflexividad utiliza el crecimiento de árboles separados. La descripción de un árbol binario vectorial comienza con un árbol binario arraigado etiquetado por vectores: un árbol de altura $n$ en un espacio de Banach $X$ es una familia de $2^{{n+1}}-1$ vectores de $X,$ que se puede organizar en niveles sucesivos, comenzando por el nivel 0 que consiste en un único vector ${displaystyle x_{varnothing },}$ la raíz del árbol, seguido, ${displaystyle k=1,ldotsn,}$ por una familia ${displaystyle s^{k}}$ 2 vectores que forman nivel ${displaystyle k:}$

{displaystyle left{x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k}}right},quad varepsilon _{j}=pm 1,quad j=1,ldotsk,}

{displaystyle k-1.}

<math alttext="{displaystyle x_{emptyset }={frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},quad x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k}}={frac {x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},1}+x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},-1}}{2}},quad 1leq kx∅ ∅ =x1+x− − 12,xε ε 1,...... ,ε ε k=xε ε 1,...... ,ε ε k,1+xε ε 1,...... ,ε ε k,− − 12,1≤ ≤ k.n.{displaystyle x_{emptyset }={frac {x_{1}+x_{-1}{2}}quad x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon ¿Qué? {x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon ¿Qué? _{1},ldotsvarepsilon ¿Qué?<img alt="{displaystyle x_{emptyset }={frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},quad x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k}}={frac {x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},1}+x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},-1}}{2}},quad 1leq k

Dado un número real positivo $t,$ el árbol se dice que $t$ - separados si por cada vértice interior, los dos niños son $t$ -separado en la norma espacial dada:

<math alttext="{displaystyle left|x_{1}-x_{-1}right|geq t,quad left|x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},1}-x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},-1}right|geq t,quad 1leq k.x1− − x− − 1.≥ ≥ t,.xε ε 1,...... ,ε ε k,1− − xε ε 1,...... ,ε ε k,− − 1.≥ ≥ t,1≤ ≤ k.n.{displaystyle leftfnx_{1}-x_{-1}rightfnMientras,quad leftfnx_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon ¿Qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle left|x_{1}-x_{-1}right|geq t,quad left|x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},1}-x_{varepsilon _{1},ldotsvarepsilon _{k},-1}right|geq t,quad 1leq k

Teorema.El espacio de Banach $X$ es super-reflexivo si y sólo si por cada ${displaystyle tin (0,2pi ],}$ hay un número $n(t)$ tal que todos $t$ - árbol separado contenido en la bola unitaria $X$ tiene altura inferior a ${displaystyle n(t).}$

Los espacios uniformemente convexos son súper reflexivos. Vamos $X$ ser uniformemente convex, con módulo de convexidad $delta _{X}$ y dejar $t$ ser un número real en ${displaystyle (0,2].}$ Por las propiedades del módulo de convexidad, a $t$ - árbol separado de altura ${displaystyle n,}$ contenido en la bola de unidad, debe tener todos los puntos de nivel $n-1$ contenida en la bola de radio $<math alttext="{displaystyle 1-delta _{X}(t)1− − δ δ X()t).1.{displaystyle 1-delta _{X}(t) obedeció1.}<img alt="{displaystyle 1-delta _{X}(t)$ Por inducción, sigue que todos los puntos de nivel $n-k$ están contenidos en la bola de radio

{displaystyle left(1-delta _{X}(t)right)^{j}, j=1,ldotsn.}

Si la altura $n$ era tan grande que

<math alttext="{displaystyle left(1-delta _{X}(t)right)^{n-1}()1− − δ δ X()t))n− − 1.t/2,{displaystyle left(1-delta _{X}(t)right)^{n-1}cantado/2,}<img alt="{displaystyle left(1-delta _{X}(t)right)^{n-1}

{displaystyle x_{1},x_{-1}}

t

{displaystyle n(t),}

{displaystyle delta _{X}(t)}

Usando la carbonatación, Enflo demostró que los espacios de Banach súper reflexivos admiten una norma uniformemente convexa equivalente. Los árboles en un espacio de Banach son una instancia especial de martingales de valor vectorial. Añadiendo técnicas de la teoría del martingale escalar, Pisier mejoró el resultado de Enflo mostrando que un espacio super-reflexivo $X$ admite una norma equivalente uniformemente convexa para la cual el módulo de satisfios de convexidad, para alguna constante $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■0{displaystyle c]0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;"/>$ y algún número real ${displaystyle qgeq 2,}$

{displaystyle delta _{X}(t)geq c,t^{q},quad {text{ whenever }}tin [0,2].}

Espacios reflexivos localmente convexos

La noción de espacio de Banach reflexivo se puede generalizar a espacios vectoriales topológicos de la siguiente manera.

Vamos $X$ ser un espacio vectorial topológico sobre un campo número $mathbb F$ (de números reales $mathbb {R}$ o números complejos $mathbb{C}$ ). Considere su espacio dual fuerte ${displaystyle X_{b}^{prime },}$ que consiste en todas las funciones lineales continuas ${displaystyle f:Xto mathbb {F} }$ y está equipado con la fuerte topología ${displaystyle bleft(X^{prime },Xright),}$ es decir, la topología de la convergencia uniforme en subconjuntos atados en $X.$ El espacio ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ es un espacio vectorial topológico (para ser más preciso, un espacio localmente convexo), por lo que uno puede considerar su espacio dual fuerte ${displaystyle left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime },}$ que se llama espacio bidual fuerte para $X.$ Se compone de todas las funciones lineales continuas ${displaystyle h:X_{b}^{prime }to mathbb {F} }$ y está equipado con la fuerte topología ${displaystyle bleft(left(X_{b}^{prime }right)^{prime },X_{b}^{prime }right).}$ Cada vector $xin X$ genera un mapa ${displaystyle J(x):X_{b}^{prime }to mathbb {F} }$ por la siguiente fórmula:

{displaystyle J(x)(f)=f(x),qquad fin X^{prime }.}

{displaystyle X_{b}^{prime },}

{displaystyle J(x)in left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }.}

mapa de la evaluación

{displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }.}

X

J

U

X

V

{displaystyle left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }}

{displaystyle J(U)supseteq Vcap J(X)}

Un espacio convexo local $X$ se llama

semi-reflexivo si el mapa de evaluación ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }}$ es subjetivo (de ahí bijetivo),
reflexivo si el mapa de evaluación ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }}$ es subjetivo y continuo (en este caso $J$ es un isomorfismo de los espacios vectoriales topológicos).

Theorem—Un espacio localmente convexo Hausdorff $X$ es semi-reflexivo si y sólo si $X$ con el $sigma (X,X^{*})$ -topología tiene la propiedad Heine-Borel (es decir, subconjuntos débilmente cerrados y atados de $X$ son débilmente compactos).

Theorem—Un espacio convexo local $X$ es reflexivo si y sólo si es semi-reflexivo y en barrica.

Theorem—El fuerte doble de un espacio semireflexivo está en barrica.

Theorem—Si $X$ es un Hausdorff localmente espacio convexo entonces la inyección canónica de $X$ en su bidual es una incrustación topológica si y sólo si $X$ está infrarrojo.

Espacios semirreflexivos

Caracterizaciones

Si $X$ es un Hausdorff localmente espacio convexo entonces los siguientes son equivalentes:

$X$ es semireflexivo;
La débil topología en $X$ tenía la propiedad Heine-Borel (es decir, para la débil topología ${displaystyle sigma left(X,X^{prime }right),}$ cada subconjunto cerrado y atado de $X_{{sigma }}$ es débilmente compacto).
Si forma lineal en ${displaystyle X^{prime }}$ que continua cuando ${displaystyle X^{prime }}$ tiene la doble topología fuerte, entonces es continuo cuando ${displaystyle X^{prime }}$ tiene la débil topología;
${displaystyle X_{tau }^{prime }}$ está en barrica;
$X$ con la débil topología ${displaystyle sigma left(X,X^{prime }right)}$ es cuasi-completo.

Caracterizaciones de los espacios reflexivos

Si $X$ es un Hausdorff localmente espacio convexo entonces los siguientes son equivalentes:

$X$ es reflexivo;
$X$ es semireflexivo e infrarrojo;
$X$ es semireflexivo y en barrica;
$X$ está en barrica y la débil topología en $X$ tenía la propiedad Heine-Borel (es decir, para la débil topología ${displaystyle sigma left(X,X^{prime }right),}$ cada subconjunto cerrado y atado de $X_{{sigma }}$ es débilmente compacto).
$X$ es semireflexivo y cuasibarrelled.

Si $X$ es un espacio normal entonces los siguientes son equivalentes:

$X$ es reflexivo;
La bola de unidad cerrada es compacta cuando $X$ tiene la débil topología ${displaystyle sigma left(X,X^{prime }right).}$
$X$ es un espacio de Banach y ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ es reflexivo.
Cada secuencia ${displaystyle left(C_{n}right)_{n=1}^{infty },}$ con ${displaystyle C_{n+1}subseteq C_{n}}$ para todos $n$ de subconjuntos convexos no vacíos cerrados $X$ tiene intersección sin vacío.

Theorem—Un espacio de Banach real es reflexivo si y sólo si cada par de subconjuntos convexos cerrados no vacíos, uno de los cuales está atado, puede ser estrictamente separado por un hiperplano.

Teorema de James—A Banach space $B$ es reflexivo si y sólo si cada funcional lineal continuo en $B$ alcanza supremum en la bola de unidad cerrada en $B.$

Condiciones suficientes

Espacios Normed

Un espacio normado que es semireflexivo es un espacio de Banach reflexivo. Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo.

Vamos $X$ ser un espacio de Banach y $M$ un subespacio vectorial cerrado $X.$ Si dos ${displaystyle X,M,}$ y ${displaystyle X/M}$ son reflexivos entonces todos lo son. Es por eso que la reflexividad se conoce como propiedad de tres espacios.

Espacios vectoriales Topológicos

Si un espacio de Hausdorff localmente convexo en forma de barril es semirreflexivo, entonces es reflexivo.

El dual fuerte de un espacio reflexivo es reflexivo. Todo espacio Montel es reflexivo. Y el dual fuerte de un espacio de Montel es un espacio de Montel (y por lo tanto es reflexivo).

Propiedades

Un espacio reflexivo Hausdorff localmente convexo está en barrica. Si $X$ es un espacio normal entonces ${displaystyle I:Xto X^{prime prime }}$ es una isometría en un subespacio cerrado ${displaystyle X^{prime prime }.}$ Esta isometría puede ser expresada por:

{displaystyle |x|=sup _{stackrel {x^{prime }in X^{prime },}{|x^{prime }|leq 1}}left|leftlangle x^{prime },xrightrangle right|.}

Supongamos que $X$ es un espacio normal y ${displaystyle X^{prime prime }}$ es su bidual equipado con la norma bidual. Entonces la bola de unidad $X,$ ${displaystyle I({xin X:|x|leq 1})}$ es denso en la bola unidad ${displaystyle left{x^{prime prime }in X^{prime prime }:left|x^{prime prime }right|leq 1right}}$ de ${displaystyle X^{prime prime }}$ para la débil topología ${displaystyle sigma left(X^{prime prime },X^{prime }right).}$

Ejemplos

Cada espacio vectorial topológico de Hausdorff finito-dimensional es reflexivo, porque $J$ es bijetivo por álgebra lineal, y porque hay una topología vectorial Hausdorff única en un espacio vectorial finito.
Un espacio normal X{displaystyle X} $X$ es reflexivo como un espacio normal si y sólo si es reflexivo como un espacio localmente convexo. Esto se debe al hecho de que para un espacio normal X{displaystyle X} $X$ su espacio doble X.. {displaystyle X^{prime } ${displaystyle X^{prime }}$ coincide como un espacio vectorial topológico con el espacio dual fuerte Xb.. .{displaystyle X_{b} {prime } ${displaystyle X_{b}^{prime }.}$ Como corolario, el mapa de evaluación J:X→ → X.. .. {displaystyle J:Xto X^{primeprime } ${displaystyle J:Xto X^{prime prime }}$ coincide con el mapa de evaluación J:X→ → ()Xb.. )b.. ,{displaystyle J:Xto left(X_{b}{prime }right)_{b}^{prime }} ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime },}$ y las siguientes condiciones son equivalentes:
1. $X$ es un espacio reflexivo (es decir, ${displaystyle J:Xto X^{prime prime }}$ es un isomorfismo de los espacios ordenados),
2. $X$ es un espacio reflexivo localmente convexo (es decir, ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }}$ es un isomorfismo de los espacios vectoriales topológicos),
3. $X$ es un espacio semi-reflexivo localmente convexo (es decir, ${displaystyle J:Xto left(X_{b}^{prime }right)_{b}^{prime }}$ es subjetivo).
Un ejemplo (algo artificial) de un espacio semi-reflexivo que no es reflexivo se obtiene como sigue: $Y$ ser un espacio de Banach reflexivo dimensional infinito, y dejar $X$ ser el espacio vectorial topológico ${displaystyle left(Y,sigma left(Y,Y^{prime }right)right),}$ es decir, el espacio vectorial $Y$ equipado con la topología débil. Luego el dual continuo $X$ y ${displaystyle Y^{prime }}$ son el mismo conjunto de funcionalidades, y subconjuntos atados de $X$ (es decir, subconjuntos débilmente ligados de $Y$ ) están llenos de norma, por lo tanto el espacio de Banach ${displaystyle Y^{prime }}$ es el fuerte dual de $X.$ Desde $Y$ es reflexivo, el dual continuo de ${displaystyle X^{prime }=Y^{prime }}$ es igual a la imagen $J(X)$ de $X$ bajo la incrustación canónica ${displaystyle J,}$ pero la topología en $X$ (la débil topología de $Y$ ) no es la topología fuerte ${displaystyle beta left(X,X^{prime }right),}$ que es igual a la topología de la norma $Y.$
Los espacios de Montel son espacios vectoriales reflexivos localmente convexos. En particular, los siguientes espacios funcionales utilizados frecuentemente en el análisis funcional son espacios reflexivos localmente convexos:
- el espacio $C^{infty }(M)$ of smooth functions on arbitrary (real) smooth manifold ${displaystyle M,}$ y su espacio dual fuerte ${displaystyle left(C^{infty }right)^{prime }(M)}$ de distribuciones con soporte compacto sobre ${displaystyle M,}$
- el espacio ${displaystyle {mathcal {D}}(M)}$ de funciones suaves con soporte compacto en el manifold arbitrario (real) ${displaystyle M,}$ y su espacio dual fuerte ${displaystyle {mathcal {D}}^{prime }(M)}$ de las distribuciones ${displaystyle M,}$
- el espacio ${mathcal {O}}(M)$ de funciones holomorfas en complejos arbitrarios ${displaystyle M,}$ y su espacio dual fuerte ${displaystyle {mathcal {O}}^{prime }(M)}$ de las funciones analíticas en ${displaystyle M,}$
- el espacio Schwartz ${displaystyle {mathcal {S}}left(mathbb {R} ^{n}right)}$ on ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ y su espacio dual fuerte ${displaystyle {mathcal {S}}^{prime }left(mathbb {R} ^{n}right)}$ de las distribuciones templadas sobre $mathbb{R} ^{n}.$

Contra-exampos

Existe un TVS convexo local no reflexivo, cuyo fuerte doble es reflexivo.

Otros tipos de reflexividad

Un espacio estereotipo, o espacio reflexivo polar, se define como un espacio vectorial topológico (TVS) que satisface una condición similar de reflexividad, pero con la topología de la convergencia uniforme en subconjuntos totalmente atados (en lugar de subconjuntos atados) en la definición de espacio dual ${displaystyle X^{prime }.}$ Más precisamente, un TVS $X$ se llama reflexivo polar o estereotipo si el mapa de evaluación en el segundo espacio dual

{displaystyle J:Xto X^{star star },quad J(x)(f)=f(x),quad xin X,quad fin X^{star }}

X^{star }

{displaystyle X^{prime }}

X

estereotipo segundo espacio dual

{displaystyle X^{star star }}

X^{{star }}

En contraste con los espacios reflexivos clásicos, la clase Ste de espacios estereotipados es muy amplia (contiene, en particular, todos los espacios de Fréchet y, por lo tanto, todos los espacios de Banach), forma una categoría monoide cerrada, y admite operaciones estándar (definidas dentro de Ste) de construcción de nuevos espacios, como tomar subespacios cerrados, espacios cocientes, límites proyectivos e inyectivos, el espacio de operadores, productos tensoriales, etc. La categoría Ste tiene aplicaciones en la teoría de la dualidad para grupos no conmutativos.

Del mismo modo, se puede sustituir la clase de subconjuntos atados (y totalmente atados) en $X$ en la definición de espacio dual ${displaystyle X^{prime },}$ por otras clases de subconjuntos, por ejemplo, por la clase de subconjuntos compactos en $X$ – los espacios definidos por la condición de reflexividad correspondiente se llaman reflectante, y forman una clase aún más amplia que Ste, pero no está claro (2012), si esta clase forma una categoría con propiedades similares a las de Ste.

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