Espacio pseudométrico

En matemáticas, un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero. Los espacios pseudométricos fueron introducidos por Đuro Kurepa en 1934. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico, todo espacio seminormado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología) a veces se usa como sinónimo, especialmente en análisis funcional.

Cuando se genera una topología utilizando una familia de pseudometrías, el espacio se denomina espacio de calibre.

Definición

Un espacio pseudométrico ()X,d){displaystyle (X,d)} es un juego X{displaystyle X} junto con una función no negativa de valor real d:X× × Xrestablecimiento restablecimiento R≥ ≥ 0,{displaystyle d:Xtimes Xlongrightarrow mathbb {R} _{geq 0} llamado pseudométrico, tal que para cada x,Sí.,z▪ ▪ X,{displaystyle x,y,zin X,}

1. d()x,x)=0.{displaystyle d(x,x)=0.}
2. Simmetría: d()x,Sí.)=d()Sí.,x){displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
3. Subadditividad/Inequidad del triángulo: d()x,z)≤ ≤ d()x,Sí.)+d()Sí.,z){displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)}

A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan distinguirse; es decir, uno puede tener d()x,Sí.)=0{displaystyle d(x,y)=0} para valores distintos xل ل Sí..{displaystyle xneq y.}

Ejemplos

Cualquier espacio métrico es un espacio pseudométrico. La pseudometría surge naturalmente en el análisis funcional. Considerar el espacio F()X){displaystyle {mathcal}(X)} de funciones de valor real f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb {R} junto con un punto especial x0▪ ▪ X.{displaystyle x_{0}in X.} Este punto entonces induce un pseudométrico en el espacio de funciones, dado por

d()f,g)=Silenciof()x0)− − g()x0)Silencio{displaystyle d(f,g)=left imperf(x_{0})-g(x_{0})right WordPress}

f,g▪ ▪ F()X){displaystyle f,gin {fnMithcal}(X)}

Un seminorm p{displaystyle p} induce el seudométrico d()x,Sí.)=p()x− − Sí.){displaystyle d(x,y)=p(x-y)}. Esta es una función convexa de una función afinada x{displaystyle x} (en particular, una traducción), y por lo tanto convexo en x{displaystyle x}. (Al igual que para Sí.{displaystyle y}.)

Por el contrario, una pseudometría homogénea e invariable en la traducción induce una seminorma.

La pseudometría también surge en la teoría de las variedades complejas hiperbólicas: consulte la métrica de Kobayashi.

Cada medida de espacio ()Ω Ω ,A,μ μ ){displaystyle (Omega{mathcal {A}},mu)} puede ser visto como un espacio pseudométrico completo

d()A,B):=μ μ ()A  B){displaystyle d(A,B):=mu (Avartriángulo B)}

A,B▪ ▪ A,{displaystyle A,Bin {cH00}

Si f:X1→ → X2{displaystyle f:X_{1}to X_{2} es una función y d₂ es un pseudométrico X₂, entonces d1()x,Sí.):=d2()f()x),f()Sí.)){displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y)} da un pseudométrico en X₁. Si d₂ es una métrica f es inyectable, entonces d₁ es una métrica.

Topología

La topología pseudométrica es la topología generada por las bolas abiertas

La diferencia entre pseudometría y métrica es totalmente topológica. Es decir, una pseudométrica es una métrica si y solo si la topología que genera es T0 (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles).

Las definiciones de secuencias de Cauchy y la terminación métrica para espacios métricos se trasladan a espacios pseudométricos sin cambios.

Identificación métrica

La desaparición de la pseudométrica induce una relación de equivalencia, llamada la Identificación métrica, que convierte el espacio pseudométrico en un espacio métrico completo. Esto se hace definiendo x♪ ♪ Sí.{displaystyle xsim y} si d()x,Sí.)=0{displaystyle d(x,y)=0}. Vamos XAlternativa Alternativa =X/♪ ♪ {displaystyle X^{*}=X/{sim } ser el espacio conveniente X{displaystyle X} por esta relación de equivalencia y definir

dAlternativa Alternativa :()X/♪ ♪ )× × ()X/♪ ♪ )restablecimiento restablecimiento R≥ ≥ 0dAlternativa Alternativa ()[x],[Sí.])=d()x,Sí.){displaystyle {begin{aligned}d^{*}:(X/sim) caertimes (X/sim)longrightarrow mathbb {R} _{geq 0}d^{*}([x],[y]) Due=d(x,y)end{aligned}}}}}} {

x.▪ ▪ [x]{displaystyle x'in [x]}

d()x,x.)=0{displaystyle d(x,x')=0}

d()x.,Sí.)≤ ≤ d()x,x.)+d()x,Sí.)=d()x,Sí.){displaystyle d(x',y)leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}

dAlternativa Alternativa {displaystyle d^{*}

XAlternativa Alternativa {displaystyle X^{*}

()XAlternativa Alternativa ,dAlternativa Alternativa ){displaystyle (X^{*},d^{*})}

()X,d){displaystyle (X,d)}

La identificación métrica conserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} está abierto (o cerrado) ()X,d){displaystyle (X,d)} si π π ()A)=[A]{displaystyle pi (A)=[A] está abierto (o cerrado) ()XAlternativa Alternativa ,dAlternativa Alternativa ){displaystyle left(X^{*},d^{*}right)} y A{displaystyle A} está saturada. La identificación topológica es el cociente Kolmogorov.

Un ejemplo de esta construcción es la terminación de un espacio métrico por sus sucesiones de Cauchy.