Espacio proyectivo real

En matemáticas, espacio de proyecto real, denotado ${displaystyle mathbb {fn}$ o ${displaystyle mathbb {} _{n}(mathbb {R}),}$ es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en el espacio real ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}$ Es un conjunto compacto y suave de dimensión n, y es un caso especial ${displaystyle mathbf {Gr} (1,mathbb {R} ^{n+1}}$ de un espacio Grassmanniano.

Propiedades básicas

Construcción

Como ocurre con todos los espacios proyectivos, RPⁿ se forma tomando el cociente de Rⁿ⁺¹ ∖ {0} bajo la relación de equivalencia x ∼ λx para todos los números reales λ ≠ 0. Para todos los x en Rⁿ⁺¹ ∖ {0} siempre se puede encontrar un λ tal que λx tenga la norma 1. Hay precisamente dos λ que difieren por signo.

Por lo tanto, RPⁿ también se puede formar identificando los puntos antípodas de la unidad n-esfera, < i>Sⁿ, en Rⁿ⁺¹.

Se puede restringir aún más al hemisferio superior de Sⁿ y simplemente identificar puntos antípodas en el ecuador delimitador. Esto muestra que RPⁿ también es equivalente al disco cerrado n-dimensional, Dⁿ, con puntos antípodas en el límite, ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹, identificado.

Ejemplos de bajas dimensiones

• RP¹ se llama la línea de proyecto real, que es topológicamente equivalente a un círculo.
• RP² se llama el plano de proyecto real. Este espacio no puede estar incrustado en R³. Sin embargo, puede ser incrustado en R⁴ y puede ser inmerso en R³ (ver aquí). Cuestiones de incrustabilidad e inmersibilidad para proyección n- El espacio ha sido bien estudiado.
• RP³ es (diffeomorfo a) SO(3), por lo tanto admite una estructura de grupo; el mapa de cobertura S³ → RP³ es un mapa de grupos Spin(3) → SO(3), donde Spin(3) es un grupo Lie que es la cubierta universal de SO(3).

Topología

El mapa antípoda en la n-esfera (el mapa que envía x a −x) genera una acción de grupo Z2 en Sⁿ. Como se mencionó anteriormente, el espacio orbital para esta acción es RPⁿ. Esta acción es en realidad una acción de cobertura de espacio dando Sⁿ como una doble cobertura de RPⁿ. Dado que Sⁿ está simplemente conectado para n ≥ 2, también sirve como cobertura universal en estos casos. De ello se deduce que el grupo fundamental de RPⁿ es Z₂ cuando n > 1. (Cuando n = 1 el grupo fundamental es Z debido al homeomorfismo con S¹). Un generador del grupo fundamental es la curva cerrada que se obtiene proyectando cualquier curva que conecte puntos antípodas en Sⁿ hasta RPⁿ.

El proyecto n- el espacio es compacto, conectado y tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo cíclico de orden 2: su espacio de cobertura universal es dado por el mapa de cociente antipodía del n-sfera, un espacio simplemente conectado. Es una cubierta doble. El mapa de los antipodos en R^p Tiene señal ${displaystyle (-1)^{p}$, por lo que es la orientación-preservación si y sólo si p es incluso. El carácter de orientación es, pues, el bucle no-trivial en ${displaystyle pi _{1}(Mathbf {RP} ^{n}}$ actos ${displaystyle (-1)^{n+1}$ sobre orientación, así que RPⁿ es orientable si y sólo si n + 1 es incluso, es decir, n Es extraño.

El espacio proyectivo n es de hecho difeomorfo a la subvariedad de R⁽ⁿ⁺¹⁾² que consta de todas las matrices simétricas (n + 1) × (n + 1) de la traza 1 que también son transformaciones lineales idempotentes.

Geometría de espacios proyectivos reales

El espacio proyectivo real admite una métrica de curvatura escalar positiva constante, proveniente de la doble cobertura por la esfera redonda estándar (el mapa antípoda es localmente una isometría).

Para la métrica redonda estándar, esta tiene una curvatura seccional idéntica a 1.

En la métrica redonda estándar, la medida del espacio proyectivo es exactamente la mitad de la medida de la esfera.

Estructura lisa

Los espacios proyectivos reales son variedades suaves. En Sⁿ, en coordenadas homogéneas, (x₁,..., x_n+1), considere el subconjunto U_i con x_{i< /sub>} ≠ 0. Cada U_i es homeomorfo a la unión disjunta de dos bolas unitarias abiertas en R ⁿ que se asignan al mismo subconjunto de RPⁿ y las funciones de transición de coordenadas son suaves. Esto le da a RPⁿ una estructura suave.

Estructura como complejo CW

El espacio proyectivo real RPⁿ admite la estructura de un complejo CW con 1 celda en cada dimensión.

En coordenadas homogéneas (x₁... x_n+1) en Sⁿ, la vecindad de coordenadas U₁ = {(x ₁... x_n+1) | x₁ ≠ 0} se puede identificar con el interior del n-disco Dⁿ. Cuando x_i = 0, uno tiene RPⁿ⁻¹. Por lo tanto, el esqueleto n−1 de RPⁿ es RP^{<. i>n−1}, y el mapa adjunto f: S^{n−1 → RPn−1 es el mapa de cobertura 2 a 1. uno puede poner}

$${displaystyle mathbf {cH00} {fn}=Mathbf {RP} {fn1}cup} _{f} D^{n}$$

La inducción muestra que RPⁿ es un complejo CW con 1 celda en cada dimensión hasta n.

Las celdas son celdas de Schubert, como en el colector de bandera. Es decir, tome una bandera completa (digamos la bandera estándar) 0 = V₀ < V₁ <...< V_n; entonces la celda k cerrada son líneas que se encuentran en V_k. Además, la celda k abierta (el interior de la celda k) son líneas en V_k V_k−1 (líneas en V_k>i> pero no V_k−1).

En coordenadas homogéneas (respecto a la bandera), las celdas están

$${displaystyle {begin{c}{c}[*:0:0:dots:0]{[}*:0:dots:0]\vdots {fnMicrosoft Sans Serif}}$$

Esta no es una estructura CW normal, ya que los mapas adjuntos son 2 a 1. Sin embargo, su cubierta es una estructura CW regular en la esfera, con 2 celdas en cada dimensión; de hecho, la estructura mínima regular de CW en la esfera.

A la luz de la estructura suave, la existencia de una función Morse mostraría que RPⁿ es un complejo CW. Una de esas funciones viene dada por, en coordenadas homogéneas,

$${displaystyle g(x_{1},ldotsx_{n+1}=sum ¿Qué? Silencio.$$

En cada vecindad U_i, g tiene un punto crítico no degenerado (0,...,1,...,0) donde 1 aparece en la posición i-ésima con índice Morse i. Esto muestra que RPⁿ es un complejo CW con 1 celda en cada dimensión.

Paquetes tautológicos

El espacio proyectivo real tiene un haz de líneas naturales sobre él, llamado haz tautológico. Más precisamente, esto se llama subconjunto tautológico, y también existe un conjunto dual n-dimensional llamado conjunto de cociente tautológico.

Topología algebraica de espacios proyectivos reales

Grupos de homotopía

Los grupos de homotopía superior de RPⁿ son exactamente los grupos de homotopía superior de Sⁿ , a través de la larga secuencia exacta sobre homotopía asociada a una fibración.

Explícitamente, el haz de fibras es:

$${displaystyle mathbf {Z} _{2}to S^{n}to mathbf {RP} ^{n}$$

$${displaystyle S^{0}to S^{n}to mathbf {RP}$$

$${displaystyle O(1)to S^{n}to mathbf {RP}$$

Los grupos de homotopía son:

$${displaystyle pi _{i}(mathbf {RP})={begin{cases}0 limiti=0\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\fnMicrosoft} {Z} /2mathbf {Z} &i=1,n confía1\\pi _{i}(S^{n}) limitadai confianza1,n confianza0.end{cases}}$$

Homología

El complejo de cadena celular asociado a la estructura CW anterior tiene 1 celda en cada dimensión 0,..., n. Para cada dimensión k, el límite se asigna d_k: δD^k → RP^k-1/RP^k-2 es el mapa que colapsa el ecuador en S^k−1 y luego identifica puntos antípodas. En dimensiones impares (o pares), esto tiene grado 0 (o 2):

$${displaystyle deg(d_{k})=1+(-1)^{k}$$

Así la homología integral es

$${displaystyle {fnfn}\fnMicrosoft Sans Serif}\mnMicrosoft Sans Serif}mfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {fnMicrosoft} {f}f}f}f}f}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft,fnMicrosoft}f}f}f}fnMicrosoft}fnMicrosoftfnMicrosoft}fnMicrosoft,fnMicrosoft,f}f}fnMicrosoft {fnMicrosoftfnMicrosoftfnMicrosoft}fnMicrosoft {fnMicrosoft$$

RPⁿ es orientable si y sólo si n es impar, como muestra el cálculo de homología anterior.

Espacio proyectivo real infinito

El espacio proyectivo real infinito se construye como límite directo o unión de los espacios proyectivos finitos:

$${displaystyle mathbf {} {infty}:=lim _{n}mathbf {RP} ^{n}$$

La doble cubierta de este espacio es la esfera infinita ${displaystyle S^{infty}$, que es contractual. Por lo tanto, el espacio proyector infinito es el espacio Eilenberg-MacLane K()Z₂1).

Para cada entero no negativo q, el grupo de homología modulo 2 ${displaystyle ¿Qué? {Z} /2}$.

Su anillo de cohomología módulo 2 es

$${displaystyle ¿Qué? {Z} [w_{1},}$$

${displaystyle ¿Qué?$${displaystyle mathbf {Z} {Z}$${displaystyle ¿Qué?$