Espacio proyectivo

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Finalización del espacio habitual con "puntos en el infinito"

En perspectiva gráfica, líneas paralelas (horizontal) en el plano se intersectan en un punto de fuga (en el horizonte).

En matemáticas, el concepto de un espacio proyectivo se originó a partir del efecto visual de la perspectiva, donde líneas paralelas parecen encontrarse en el infinito. Un espacio proyectivo puede verse así como la extensión de un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín con puntos en el infinito, de tal manera que hay un punto en el infinito de cada dirección de líneas paralelas.

Esta definición de un espacio proyectivo tiene la desventaja de no ser isotrópica, teniendo dos tipos diferentes de puntos, que deben ser considerados por separado en las demostraciones. Por lo tanto, generalmente se prefieren otras definiciones. Hay dos clases de definiciones. En geometría sintética, punto y línea son entidades primitivas que están relacionadas por la relación de incidencia "un punto está en una línea" o "una línea pasa por un punto", que está sujeta a los axiomas de la geometría proyectiva. Para algunos de estos conjuntos de axiomas, se ha demostrado que los espacios proyectivos que se definen son equivalentes a los que resultan de la siguiente definición, que se encuentra con más frecuencia en los libros de texto modernos.

Usando álgebra lineal, un espacio proyectivo de dimensión $n$ se define como el conjunto de líneas vectoriales (es decir, vector subespacios de dimensión uno) en un espacio vectorial $V$ de dimensión $n + 1. De manera equivalente, es el conjunto cociente de V {0} por la relación de equivalencia "estar en la misma línea vectorial". Como una línea vectorial intersecta la esfera unitaria de V en dos puntos antípodas, los espacios proyectivos pueden definirse de manera equivalente como esferas en las que los puntos antípodas son identificados. Un espacio proyectivo de dimensión 1 es una línea proyectiva, y un espacio proyectivo de dimensión 2 es un plano proyectivo.$

Los espacios proyectivos se usan ampliamente en geometría, ya que permiten declaraciones y pruebas más simples. Por ejemplo, en geometría afín, dos líneas distintas en un plano se intersecan como máximo en un punto, mientras que, en geometría proyectiva, se intersecan exactamente en un punto. Además, solo hay una clase de secciones cónicas, que se pueden distinguir solo por sus intersecciones con la línea en el infinito: dos puntos de intersección para hipérbolas; uno para la parábola, que es tangente a la recta en el infinito; y ningún punto de intersección real de elipses.

En topología, y más específicamente en teoría de variedades, los espacios proyectivos juegan un papel fundamental, siendo ejemplos típicos de variedades no orientables.

Motivación

Plano de proyecto y proyección central

Como se describió anteriormente, los espacios proyectivos se introdujeron para formalizar declaraciones como "dos líneas coplanares se intersecan exactamente en un punto, y este punto está en el infinito si las líneas son paralelas". Tales declaraciones son sugeridas por el estudio de la perspectiva, que puede considerarse como una proyección central del espacio tridimensional en un plano (ver modelo de cámara estenopeica). Más precisamente, la pupila de entrada de una cámara o del ojo de un observador es el centro de proyección, y la imagen se forma en el plano de proyección.

Matemáticamente, el centro de proyección es un punto $O$ del espacio (la intersección de los ejes en la figura); el plano de proyección ( $P 2$ , en azul en la figura) es un plano que no pasa por $O$ , que a menudo se elige para ser el plano de ecuación $z = 1$ , cuando se consideran coordenadas cartesianas. Luego, la proyección central asigna un punto $P$ a la intersección de la línea $OP$ con el plano de proyección. Tal intersección existe si y solo si el punto $P$ no pertenece al plano ( $P 1$ , en verde en la figura) que pasa por $O$ y es paralelo a $P 2$ .

Se sigue que las líneas que pasan por $O$ se dividen en dos subconjuntos disjuntos: las líneas que no están contenidas en $P 1$ , que están en correspondencia biunívoca con los puntos de $P 2$ , y las contenidas en $P 1$ , que están en correspondencia uno a uno con las direcciones de las líneas paralelas en $P 2$ . Esto sugiere definir los puntos (llamados aquí puntos proyectivos para mayor claridad) del plano proyectivo como las líneas que pasan a través de $O$ . Una línea proyectiva en este plano consta de todos los puntos proyectivos (que son líneas) contenidos en un plano que pasa por $O. Como la intersección de dos planos que pasan por O es una recta que pasa por O, la intersección de dos líneas proyectivas distintas consta de un único punto proyectivo. El avión P 1 define una línea proyectiva que se llama línea en el infinito de P 2 . Al identificar cada punto de P 2 con el punto proyectivo correspondiente, se puede decir que el plano proyectivo es el disjunto unión de P 2 y la línea (proyectiva) en el infinito.$

Como un espacio afín con un punto distinguido $O$ puede identificarse con su espacio vectorial asociado (ver Espacio afín § Espacios vectoriales como espacios afines), la construcción anterior se realiza generalmente a partir de un espacio vectorial y se denomina proyectivización. Además, la construcción se puede hacer a partir de un espacio vectorial de cualquier dimensión positiva.

Entonces, un espacio proyectivo de dimensión $n$ se puede definir como el conjunto de líneas vectoriales (subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial de dimensión $n + 1$ . Un espacio proyectivo también se puede definir como los elementos de cualquier conjunto que está en correspondencia natural con este conjunto de líneas vectoriales.

Este conjunto puede ser el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia entre vectores definida por "un vector es el producto del otro por un escalar distinto de cero". En otras palabras, esto equivale a definir un espacio proyectivo como el conjunto de líneas vectoriales en las que se ha eliminado el vector cero.

Una tercera definición equivalente es definir un espacio proyectivo de dimensión $n$ como el conjunto de pares de puntos antípodas en una esfera de dimensión $n$ (en un espacio de dimensión $n + 1$ ).

Definición

Dado un espacio vectorial $V$ sobre un terreno $K$ , el espacio proyectado $P () V)$ es el conjunto de clases de equivalencia $V {0}$ en relación con la equivalencia $~$ definidas por $x ~ Sí.$ si hay un elemento no cero $λ$ de $K$ tales que $x = λy$ . Si $V$ es un espacio vectorial topológico, el espacio cociente $P () V)$ es un espacio topológico, dotado con la topología cociente de la topología subespacial de la $V {0}$ . Este es el caso cuando $K$ es el campo $mathbb {R}$ de los números reales o el campo $mathbb {C}$ de los números complejos. Si $V$ es finito dimensional, el dimensión de $P () V)$ es la dimensión de $V$ menos uno.

En el caso común donde $V = K n +1$ , el espacio proyectivo $P (V)$ se denota $P n (K)$ (así como $K P n$ o $P n (K)$ , aunque esta notación puede confundirse con la exponenciación). El espacio $P n (K)$ a menudo se denomina el espacio proyectivo de dimensión $n$ sobre $K$ , o el proyectivo $n$ -space, ya que todos los espacios proyectivos de dimensión $n$ son isomorfos a él (porque cada $K$ el espacio vectorial de dimensión $n + 1$ es isomorfo a $K n +1$ ).

Los elementos de un espacio proyectivo $P (V)$ se denominan comúnmente puntos. Si se ha elegido una base de $V$ y, en particular, si $V = K n +1$ , las coordenadas proyectivas de un punto P son las coordenadas sobre la base de cualquier elemento de la clase de equivalencia correspondiente. Estas coordenadas se denotan comúnmente $[x 0 :...: x n]$ , los dos puntos y los corchetes se utilizan para distinguir las coordenadas habituales, y enfatizar que esta es una clase de equivalencia, que se define hasta la multiplicación por una constante distinta de cero. Es decir, si $[x 0 :...: x n]$ son coordenadas proyectivas de un punto, entonces $[λx 0 :...: λx n]$ también son coordenadas proyectivas del mismo punto, para cualquier $λ$ en $K$ . Además, la definición anterior implica que $[x 0 :...: x n]$ son coordenadas proyectivas de un punto si y solo si al menos una de las coordenadas es distinta de cero.

Si $K$ es el campo de los números reales o complejos, un espacio proyectivo se llama espacio proyectivo real o proyectivo complejo espacio, respectivamente. Si $n$ es uno o dos, un espacio proyectivo de dimensión $n$ se llama línea proyectiva o plano proyectivo, respectivamente. La línea proyectiva compleja también se llama esfera de Riemann.

Todas estas definiciones se extienden naturalmente al caso donde $K$ es un anillo de división; véase, por ejemplo, espacio proyectivo cuaterniónico. La notación $PG(n, K)$ se usa a veces para $P n (K)$ . Si $K$ es un campo finito con $q$ elementos, $P n (K)$ a menudo se denota como $PG(n, q)$ (ver PG(3,2)).

Conceptos relacionados

Subespacio

Sea $P (V)$ un espacio proyectivo, donde $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $K$ , y

{displaystyle p:Vto mathbf {P} (V)}

mapa canónico

p

Todo subespacio lineal $W$ de $V$ es una unión de líneas. De ello se deduce que $p (W)$ es un espacio proyectivo, que se puede identificar con $P (W)$ .

Un subespacio proyectivo es, pues, un espacio proyectivo que se obtiene restringiendo a un subespacio lineal la relación de equivalencia que define $P (V)$ .

Si $p (v)$ y $p (w)$ son dos puntos diferentes de $P (V)$ , los vectores $v$ y $w$ son linealmente independientes. Resulta que:

Hay exactamente una línea de proyecto que pasa a través de dos puntos diferentes $P () V)$ , y
Un subconjunto de $P () V)$ es un subespacio proyector si y sólo si, dadas dos puntos diferentes, contiene toda la línea proyectiva pasando por estos puntos.

En geometría sintética, donde las líneas proyectivas son objetos primitivos, la primera propiedad es un axioma y la segunda es la definición de un subespacio proyectivo.

Espacio

Cada intersección de subespacios proyectivos es un subespacio proyectivo. De ello se deduce que para cada subconjunto $S$ de un espacio proyectivo, hay un subespacio proyectivo más pequeño que contiene $S$ , la intersección de todos los subespacios proyectivos que contienen $S$ . Este subespacio proyectivo se denomina intervalo proyectivo de $S$ y $S$ es un conjunto de expansión para ello.

Un conjunto $S$ de puntos es proyectivamente independiente si su lapso no es el lapso de ninguno subconjunto adecuado de $S$ . Si $S$ es un conjunto generador de un espacio proyectivo $P$ , entonces hay un subconjunto de $S$ que abarca $P$ y es proyectivamente independiente (esto resulta del teorema similar para espacios vectoriales). Si la dimensión de $P$ es $n$ , dicho conjunto de expansión independiente tiene elementos $n + 1$ .

Al contrario de los casos de espacios vectoriales y espacios afines, un conjunto de expansión independiente no es suficiente para definir coordenadas. Uno necesita un punto más, vea la siguiente sección.

Marco

Un marco proyectivo es un conjunto ordenado de puntos en un espacio proyectivo que permite definir coordenadas. Más precisamente, en un espacio proyectivo $n$ -dimensional, un marco proyectivo es una tupla de $n + 2$ puntos tales que cualquier $n + 1$ de ellos son independientes, es decir, no están contenidos en un hiperplano.

Si $V$ es un $() n + 1)$ -dimensional espacio vectorial, y $p$ es la proyección canónica de $V$ a $P () V)$ , entonces ${displaystyle (p(e_{0}),dotsp(e_{n+1}))}$ es un marco de proyecto si y sólo si ${displaystyle (e_{0},dotse_{n})}$ es una base de $V$ , y los coeficientes de $e_{{n+1}}$ sobre esta base son todos no cero. Rescalando la primera $n$ vectores, cualquier marco puede ser reescrito como ${displaystyle (p(e'_{0}),dotsp(e'_{n+1}))}$ tales que ${displaystyle e'_{n+1}=e'_{0}+dots +e'_{n};}$ esta representación es única hasta la multiplicación de todos ${displaystyle e'_{i}}$ con un factor común no cero.

El coordenadas proyectivas o coordenadas homogéneas de un punto $p () v)$ en un marco ${displaystyle (p(e_{0}),dotsp(e_{n+1}))}$ con ${displaystyle e_{n+1}=e_{0}+dots +e_{n}}$ son las coordenadas de $v$ sobre la base ${displaystyle (e_{0},dotse_{n}).}$ Sólo se definen de nuevo para escalar con un factor común no cero.

El marco canónico del espacio proyectivo $P n (K)$ consta de imágenes de $p$ de los elementos de la base canónica de $K n + 1$ (las tuplas con una sola entrada distinta de cero, igual a 1), y la imagen por $p$ de su suma.

Geometría proyectiva

En matemáticas, la geometría proyectiva es el estudio de propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas. Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental, la geometría proyectiva tiene un entorno diferente, espacio proyectivo y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos. Las intuiciones básicas son que el espacio proyector tiene más puntos que el espacio euclidiano, para una dimensión determinada, y que se permiten transformaciones geométricas que transforman los puntos extra (llamados "puntos al infinito") a puntos euclidianos, y viceversa.

Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que es más radical en sus efectos que se puede expresar por una matriz de transformación y las traducciones (las transformaciones afinadas). El primer problema para los geométricos es qué tipo de geometría es adecuada para una situación nueva. No es posible referirse a ángulos en geometría proyectiva como está en la geometría euclidiana, porque el ángulo es un ejemplo de un concepto no invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo de perspectiva. Una fuente de geometría proyectiva fue la teoría de la perspectiva. Otra diferencia de la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto de infinito, una vez que el concepto se traduce en términos de geometría proyectiva. De nuevo esta noción tiene una base intuitiva, como las vías ferroviarias que se reúnen en el horizonte en un dibujo de perspectiva. Ver plano proyectivo para los fundamentos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.

Mientras que las ideas estaban disponibles anteriormente, la geometría proyectiva era principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluyó la teoría del espacio complejo proyector, las coordenadas utilizadas (coordenadas homogéneas) son números complejos. Varios tipos importantes de matemáticas más abstractas (incluyendo la teoría invariante, la escuela italiana de geometría algebraica, y el programa Erlangen de Felix Klein resultante en el estudio de los grupos clásicos) fueron motivados por la geometría proyectiva. También fue un tema con muchos practicantes por su propio bien, como geometría sintética. Otro tema que se desarrolló a partir de estudios axiomáticos de geometría proyectiva es la geometría finita.

El tema de la geometría proyectiva se divide ahora en muchos subtópicos de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de las variedades proyectivas) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de los invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).

Transformación proyectiva

En la geometría proyectiva, una homografía es un isomorfismo de espacios proyectivos, inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales de los que se derivan los espacios proyectivos. Es una bijeción que mapea líneas a líneas, y por lo tanto una collineación. En general, algunas collineaciones no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que no es así en el caso de espacios reales de proyección de dimensión por lo menos dos. Los sinónimos incluyen la proyección, la transformación proyectiva y la colineación proyectiva.

Históricamente, se han introducido homografías (y espacios proyectivos) para estudiar perspectivas y proyecciones en la geometría euclidiana, y el término homografía, que, etimológicamente, significa aproximadamente "trazado similar", data de este tiempo. A finales del siglo XIX se introdujeron definiciones formales de espacios proyectados, que difieren de ampliar los espacios euclidianos o afines añadiendo puntos en el infinito. El término "transformación proyectiva" se originó en estas construcciones abstractas. Estas construcciones se dividen en dos clases que han demostrado ser equivalentes. Un espacio proyector se puede construir como el conjunto de las líneas de un espacio vectorial sobre un campo dado (la definición anterior se basa en esta versión); esta construcción facilita la definición de coordenadas proyectivas y permite utilizar las herramientas de álgebra lineal para el estudio de homografías. El enfoque alternativo consiste en definir el espacio proyector a través de un conjunto de axiomas, que no implican explícitamente ningún campo (geometría de la incidencia, ver también geometría sintética); en este contexto, las collineaciones son más fáciles de definir que las homografías, y las homografías se definen como collineaciones específicas, llamadas así "colineaciones proyectivas".

En aras de la simplicidad, a menos que se indique otra cosa, se supone que los espacios proyectivos considerados en este artículo se definen en un campo (commutante). El teorema hexagonal de Pappus y el teorema de Desargues se supone que son verdad. Una gran parte de los resultados siguen siendo verdaderos, o pueden ser generalizados a geometrías proyectivas para las cuales estos teoremas no sostienen.

Topología

Un espacio proyectivo es un espacio topológico, como dotado de la topología cociente de la topología de un espacio vectorial real de dimensión finita.

Sea $S$ la esfera unitaria en un espacio vectorial normado $V$ , y considere la función

{displaystyle pi:Sto mathbf {P} (V)}

S

P () V)

Un espacio proyector (finito dimensional) es compacto.

Para cada punto $P$ de $S$ , la restricción de $π$ a una vecindad de $P$ es un homeomorfismo sobre su imagen, siempre que el vecindario sea lo suficientemente pequeño como para no contener ningún par de puntos antípodas. Esto muestra que un espacio proyectivo es una variedad. Se puede proporcionar un atlas simple, de la siguiente manera.

Tan pronto como se haya elegido una base para $V$ , se puede identificar cualquier vector con sus coordenadas en la base, y cualquier punto de $P (V)$ puede identificarse con sus coordenadas homogéneas. Para $i = 0,..., n$ , el conjunto

{displaystyle U_{i}={[x_{0}:cdots:x_{n}],x_{i}neq 0}}

P () V)

{displaystyle mathbf {P} (V)=bigcup _{i=0}^{n}U_{i}}

P () V)

A cada $U i$ se le asocia una tabla, que son los homeomorfismos

{displaystyle {begin{aligned}mathbb {varphi } _{i}:R^{n}&to U_{i}\(y_{0},dots{widehat {y_{i}}},dots y_{n})&mapsto [y_{0}:cdots:y_{i-1}:1:y_{i+1}:cdots:y_{n}],end{aligned}}}

{displaystyle varphi _{i}^{-1}left([x_{0}:cdots x_{n}]right)=left({frac {x_{0}}{x_{i}}},dots{widehat {frac {x_{i}}{x_{i}}}},dots{frac {x_{n}}{x_{i}}}right),}

Estructura múltiple de la línea de proyecto real

Estos gráficos forman un atlas y, como los mapas de transición son funciones analíticas, resulta que los espacios proyectivos son variedades analíticas.

Por ejemplo, en el caso de $n = 1$ , es decir de una línea proyectiva, solo hay dos $U i$ , cada uno de los cuales puede identificarse con una copia de la línea real. En ambas líneas, la intersección de los dos gráficos es el conjunto de números reales distintos de cero, y el mapa de transición es

{displaystyle xmapsto {frac {1}{x}}}

Estructura compleja CW

Los espacios proyectivos reales tienen una estructura compleja CW simple, como $P n (R)$ se puede obtener de $P n - 1 (R)$ adjuntando una celda $n$ con la proyección del cociente $S n -1 \to P n -1 (R)$ como el mapa adjunto.

Geometría algebraica

Originalmente, la geometría algebraica era el estudio de los ceros comunes de conjuntos de polinomios multivariantes. Estos ceros comunes, llamados variedades algebraicas, pertenecen a un espacio afín. Pronto apareció, que en el caso de coeficientes reales, uno debe considerar todos los ceros complejos para tener resultados precisos. Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariado sin cuadrados de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas. En el caso multivariado, la consideración de ceros complejos también es necesaria, pero no suficiente: también se deben considerar ceros en el infinito. Por ejemplo, el teorema de Bézout afirma que la intersección de dos curvas algebraicas planas de grados respectivos $d$ y $e$ consiste exactamente en $de$ puntos si uno considerar puntos complejos en el plano proyectivo, y si se cuentan los puntos con su multiplicidad. Otro ejemplo es la fórmula género-grado que permite calcular el género de una curva algebraica plana a partir de sus singularidades en el plano proyectivo complejo.

Entonces una variedad proyectiva es el conjunto de puntos en un espacio proyectivo, cuyas coordenadas homogéneas son ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos.

Cualquier variedad afín se puede completar, de forma única, en una variedad proyectiva sumando sus puntos al infinito, lo que consiste en homogeneizar los polinomios definitorios, y quitar las componentes que están contenidas en el hiperplano en el infinito, por saturación con respecto a la variable homogeneizadora.

Una propiedad importante de los espacios proyectivos y las variedades proyectivas es que la imagen de una variedad proyectiva bajo un morfismo de variedades algebraicas es cerrada para la topología de Zariski (es decir, es un conjunto algebraico). Esta es una generalización a todo campo fundamental de la compacidad del espacio proyectivo real y complejo.

Un espacio proyectivo es en sí mismo una variedad proyectiva, siendo el conjunto de ceros del polinomio cero.

Teoría de esquemas

Teoría del esquema, introducida por Alexander Grothendieck durante la segunda mitad del siglo XX, permite definir una generalización de variedades algebraicas, llamadas esquemas, pegando piezas más pequeñas llamadas esquemas de ataúdes, de manera similar como los manifolds se pueden construir pegando conjuntos abiertos de $mathbb{R} ^{n}.$ La construcción Proj es la construcción del esquema de un espacio proyector, y, más generalmente de cualquier variedad proyectiva, al enganchar juntos esquemas affine. En el caso de espacios proyectores, se puede tomar para estos esquemas affine los esquemas affine asociados a los gráficos (espacios afines) de la descripción anterior de un espacio proyector como un múltiple.

Geometría sintética

En geometría sintética, un espacio proyectivo S se puede definir axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), satisfaciendo estos axiomas:

Cada dos puntos distintos p y q están exactamente en una línea.
El axioma de Veblen: Si a, b, c, d son puntos distintos y las líneas a través ab y cd conocer, entonces también hacer las líneas ac y bd.
Cualquier línea tiene al menos 3 puntos en ella.

El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con líneas de 2 puntos que unen dos puntos cualesquiera en espacios proyectivos distintos. De manera más abstracta, se puede definir como una estructura de incidencia $(P, L, I)$ que consta de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que establece qué puntos se encuentran en qué líneas.

Las estructuras definidas por estos axiomas son más generales que las obtenidas a partir de la construcción del espacio vectorial dada anteriormente. Si la dimensión (proyectiva) es al menos tres, entonces, según el teorema de Veblen-Young, no hay diferencia. Sin embargo, para la dimensión dos, hay ejemplos que satisfacen estos axiomas que no se pueden construir a partir de espacios vectoriales (o incluso módulos sobre anillos de división). Estos ejemplos no satisfacen el Teorema de Desargues y se conocen como planos no desarguesianos. En la dimensión uno, cualquier conjunto con al menos tres elementos satisface los axiomas, por lo que es habitual suponer una estructura adicional para las líneas proyectivas definidas axiomáticamente.

Es posible evitar los casos problemáticos en dimensiones bajas agregando o modificando axiomas que definen un espacio proyectivo. Coxeter (1969, p. 231) da tal extensión debido a Bachmann. Para asegurarse de que la dimensión sea al menos dos, reemplace el axioma de tres puntos por línea anterior por;

Existen cuatro puntos, no tres de los cuales son collineales.

Para evitar los planos no desarguesianos, incluya el teorema de Pappus como axioma;

Si los seis vértices de un hexágono se encuentran alternativamente en dos líneas, los tres puntos de intersección de pares de lados opuestos son collinear.

Y, para garantizar que el espacio vectorial se defina sobre un campo que no tiene ni siquiera una característica, incluya el axioma de Fano;

Los tres puntos diagonales de un cuadrángulo completo nunca son collineales.

Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X, tal que cualquier línea que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, completamente contenido en X). El espacio lleno y el espacio vacío son siempre subespacios.

Se dice que la dimensión geométrica del espacio es n si ese es el número más grande para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma:

{displaystyle varnothing =X_{-1}subset X_{0}subset cdots X_{n}=P.}

Un subespacio $X_{i}$ en tal cadena se dice que tiene (geométrica) dimensión $i$ . Subespacios de dimensión 0 se llaman puntos, los de la dimensión 1 se llaman líneas y así sucesivamente. Si el espacio completo tiene dimensión $n$ entonces cualquier subespacio de dimensión $n-1$ se llama hiperplano.

Los espacios proyectivos admiten una formulación equivalente en términos de teoría reticular. Existe una correspondencia biyectiva entre los espacios proyectivos y las redes geomodulares, es decir, redes modulares complementadas, generadas de manera compacta, subdirectamente irreducibles.

Clasificación

Dimensión 0 (sin líneas): El espacio es un solo punto.
Dimensión 1 (exactamente una línea): Todos los puntos se encuentran en la línea única.
Dimensión 2: Hay por lo menos 2 líneas, y se reúnen dos líneas. Un espacio de proyecto $n = 2$ es equivalente a un plano proyectivo. Estos son mucho más difíciles de clasificar, ya que no todos son isomorfos con un $PG(d, K)$ . Los planos desargueses (los que son isomorfos con un $PG(2, K)$ Satisfacer el teorema de Desargues y son planos proyectivos sobre los anillos de división, pero hay muchos aviones no-argueses.
Dimensiones al menos 3: Existen dos líneas no intersectorias. Veblen " Young (1965) demostró el teorema Veblen-Young, hasta el efecto de que cada espacio proyectivo de dimensión $n \geq 3$ es isomorfo con un $PG(n, K)$ , el n- espacio proyectivo dimensional sobre un anillo de división K.

Espacios y planos proyectivos finitos

El avión Fano

Un espacio proyectivo finito es un espacio proyectivo donde P es un conjunto finito de puntos. En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común. Para espacios proyectivos finitos de dimensión al menos tres, el teorema de Wedderburn implica que el anillo de división sobre el que se define el espacio proyectivo debe ser un campo finito, GF(q), cuyo orden (que es decir, número de elementos) es q (una potencia prima). Un espacio proyectivo finito definido sobre tal campo finito tiene $q + 1$ puntos en una línea, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Notacionalmente, $PG(n, GF(q))$ generalmente se escribe como $PG (n, q)$ .

Todos los campos finitos del mismo orden son isomorfos, por lo que, salvo isomorfismo, solo existe un espacio proyectivo finito para cada dimensión mayor o igual a tres, sobre un campo finito dado. Sin embargo, en la dimensión dos hay planos no desarguesianos. Hasta el isomorfismo hay

1, 1, 1, 0, 1, 4, 0,... A001231 en el OEIS)

planos proyectivos finitos de orden 2, 3, 4,..., 10, respectivamente. Los números más allá de esto son muy difíciles de calcular y no están determinados excepto por algunos valores cero debido al teorema de Bruck-Ryser.

El plano proyectivo más pequeño es el plano de Fano, $PG(2, 2)$ con 7 puntos y 7 líneas. El espacio proyectivo tridimensional más pequeño es PG(3,2), con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos.

Morfismos

Mapas lineales inyectivos $T \in L (V, W)$ entre dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo campo k inducen mapeos de los espacios proyectivos correspondientes $P (V) \to P (W)$ a través de:

[v] \to T () v)

donde v es un elemento distinto de cero de V y [...] denota las clases de equivalencia de un vector bajo la identificación definitoria de los respectivos espacios proyectivos. Dado que los miembros de la clase de equivalencia difieren en un factor escalar y los mapas lineales conservan factores escalares, este mapa inducido está bien definido. (Si T no es inyectiva, tiene un espacio nulo mayor que {0}; en este caso el significado de la clase de T(v) es problemático si v es distinto de cero y está en el espacio nulo. En este caso, se obtiene el llamado mapa racional, véase también geometría birracional.)

Dos mapas lineales S y T en $L (V, W)$ inducen el mismo mapa entre P(V) y P(W ) si y solo si difieren en un múltiplo escalar, es decir, si $T = λS$ para algunos $λ \neq 0$ . Por lo tanto, si uno identifica los múltiplos escalares del mapa de identidad con el campo subyacente K, el conjunto de morfismos lineales K de P(V) a P(W) es simplemente $P (L (V, W))$ .

Los automorfismos $P (V) \to P (V)$ se puede describir de forma más concreta. (Nos ocupamos solo de automorfismos que conservan el campo base K). Usando la noción de poleas generadas por secciones globales, se puede demostrar que cualquier automorfismo algebraico (no necesariamente lineal) debe ser lineal, es decir, provenir de un automorfismo (lineal) del espacio vectorial V. Estos últimos forman el grupo GL(V). Al identificar mapas que difieren en un escalar, se concluye que

Aut(P () V) = Aut(V)/ K \times GL(V)/ K \times = PGL(V)

el grupo cociente de GL(V) módulo las matrices que son múltiplos escalares de la identidad. (Estas matrices forman el centro de Aut(V).) Los grupos PGL se denominan grupos lineales proyectivos. Los automorfismos de la línea proyectiva compleja P¹(C) se denominan transformaciones de Möbius.

Espacio proyectivo dual

Cuando la construcción anterior se aplica al espacio dual V^∗ en lugar de V, se obtiene el espacio proyectivo dual, que puede ser identificado canónicamente con el espacio de los hiperplanos a través del origen de V. Es decir, si V es n dimensional, entonces P(V^∗) es el Grassmanniano de $n - 1$ planos en V.

En geometría algebraica, esta construcción permite una mayor flexibilidad en la construcción de paquetes proyectivos. A uno le gustaría poder asociar un espacio proyectivo a cada haz cuasi-coherente E sobre un esquema Y, no solo los localmente libres. Ver EGA_II, Cap. II, párr. 4 para más detalles.

Generalizaciones

dimensión: El espacio proyector, siendo el "espacio" de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial dado V se generaliza a los múltiples Grassmannianos, que parametriza subespacios de mayor dimensión (de alguna dimensión fija) de V.
secuencia de subespacios: Más generalmente el manifold bandera es el espacio de banderas, es decir, cadenas de subespacios lineales de V.
otras subvariedades: Más generalmente, los espacios moduli parametrizan objetos como curvas elípticas de un tipo determinado.
otros anillos: La generalización a anillos asociativos (en lugar de sólo campos) produce, por ejemplo, la línea proyectiva sobre un anillo.
parcheando: Los espacios proyectados juntos producen paquetes de espacio proyectados.

Las variedades de Severi-Brauer son variedades algebraicas sobre un campo k, que se vuelven isomorfas a los espacios proyectivos después de una extensión del campo base k.

Otra generalización de los espacios proyectivos son los espacios proyectivos ponderados; estos son en sí mismos casos especiales de variedades tóricas.

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