Espacio normal

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio normal es un espacio topológico X que satisface el Axioma T₄: cada dos conjuntos cerrados disjuntos de X tienen vecindades abiertas disjuntas. Un espacio de Hausdorff normal también se denomina espacio T₄. Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación y sus refuerzos adicionales definen espacios de Hausdorff completamente normales, o T₅ espacios, y espacios de Hausdorff perfectamente normales espacios, o T₆ espacios.

Definiciones

Un espacio topológico X es un espacio normal si, dados conjuntos cerrados disjuntos E y F, hay barrios U de E y V de F que también son disjuntos. Más intuitivamente, esta condición dice que E y F pueden estar separados por vecindades.

Los conjuntos cerrados E y F, aquí representado por discos cerrados en los lados opuestos de la imagen, están separados por sus respectivos barrios U y V, aquí representado por discos más grandes, pero todavía descomunales, abiertos.

Un espacio T₄ es un espacio T1 X que es normal; esto es equivalente a que X sea normal y Hausdorff.

Un espacio completamente normal, o hereditariamente espacio normal, es un espacio topológico X tal que todo subespacio de X con topología de subespacio es un espacio normal. Resulta que X es completamente normal si y solo si cada dos conjuntos separados pueden estar separados por vecindarios. Además, X es completamente normal si y solo si cada subconjunto abierto de X es normal con la topología del subespacio.

Un T₅ espacio, o completamente T₄ espacio, es un T _{completamente normal 1} espacio X, lo que implica que X es Hausdorff; de manera equivalente, cada subespacio de X debe ser un espacio T₄.

A espacio perfectamente normal es un espacio topológico X{displaystyle X} en los que cada dos conjuntos cerrados disyuntiva E{displaystyle E} y F{displaystyle F} puede ser precisamente separado por una función, en el sentido de que hay una función continua f{displaystyle f} desde X{displaystyle X} al intervalo [0,1]{displaystyle [0,1]} tales que f− − 1()0)=E{displaystyle f^{-1}(0)=E} y f− − 1()1)=F{displaystyle f^{-1}(1)=F}. (Esta es una propiedad de separación más fuerte que la normalidad, como por la lemma disjoint de Urysohn conjuntos cerrados en un espacio normal puede ser separado por una función, en el sentido de E⊆ ⊆ f− − 1()0){displaystyle Esubseteq f^{-1}(0)} y F⊆ ⊆ f− − 1()1){displaystyle Fsubseteq f^{-1}(1)}, pero no precisamente separado en general.) Resulta que X es perfectamente normal si y sólo si X es normal y cada conjunto cerrado es un conjunto Gδ. Equivalentemente, X es perfectamente normal si y sólo si cada conjunto cerrado es un conjunto cero. La equivalencia entre estas tres caracterizaciones se llama teorema de Vedenissoff. Cada espacio perfectamente normal es completamente normal, porque la normalidad perfecta es una propiedad hereditaria.

Un espacio T₆, o espacio perfectamente T₄, es un espacio de Hausdorff perfectamente normal.

Tenga en cuenta que los términos "espacio normal" y "T₄" y los conceptos derivados ocasionalmente tienen un significado diferente. (Sin embargo, "T₅" siempre significa lo mismo que "completamente T₄", sea lo que sea). Las definiciones dadas aquí son las que generalmente se usan hoy en día. Para obtener más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación.

Términos como "espacio regular normal" y "espacio normal de Hausdorff" también aparecen en la literatura—simplemente significan que el espacio es normal y satisface la otra condición mencionada. En particular, un espacio de Hausdorff normal es lo mismo que un espacio T₄. Dada la confusión histórica del significado de los términos, las descripciones verbales, cuando corresponda, son útiles, es decir, "Hausdorff normal" en lugar de "T₄", o "Hausdorff completamente normal" en lugar de "T₅".

Los espacios completamente normales y los espacios completamente T4 se analizan en otra parte; están relacionados con la paracompacidad.

Un espacio localmente normal es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad abierta que es normal. Todo espacio normal es localmente normal, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente normal completamente regular que no es normal es el plano de Nemytskii.

Ejemplos de espacios normales

La mayoría de los espacios que se encuentran en el análisis matemático son espacios de Hausdorff normales, o al menos espacios regulares normales:

• Todos los espacios métricos (y por lo tanto todos los espacios metros) son perfectamente normales Hausdorff;
• Todos los espacios pseudométricos (y por lo tanto todos los espacios pseudometrisables) son perfectamente normales regulares, aunque no en general Hausdorff;
• Todos los espacios compactos de Hausdorff son normales;
• En particular, la compactación Stone-Čech de un espacio Tychonoff es Hausdorff normal;
• Generalizando los ejemplos anteriores, todos los espacios paracompactados de Hausdorff son normales, y todos los espacios regulares paracompactados son normales;
• Todos los manifolds paracompactos topológicos son perfectamente normales Hausdorff. Sin embargo, existen múltiples ejes no paralelos que ni siquiera son normales.
• Todas las topologías de pedidos en conjuntos totalmente ordenados son hereditariamente normales y Hausdorff.
• Cada segundo espacio normal es completamente normal, y cada espacio regular de Lindelöf es normal.

Además, todos los espacios completamente normales son normales (incluso si no son regulares). El espacio de Sierpiński es un ejemplo de un espacio normal que no es regular.

Ejemplos de espacios no normales

Un ejemplo importante de una topología no normal es la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo, que se utiliza en geometría algebraica.

Un espacio no normal de cierta relevancia para el análisis es el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la línea real R a sí misma, con la topología de convergencia puntual. De manera más general, un teorema de Arthur Harold Stone establece que el producto de innumerables espacios métricos no compactos nunca es normal.

Propiedades

Todo subconjunto cerrado de un espacio normal es normal. La imagen continua y cerrada de un espacio normal es normal.

La principal importancia de los espacios normales radica en el hecho de que admiten "suficiente" funciones continuas de valor real, expresadas por los siguientes teoremas válidos para cualquier espacio normal X.

Lema de Urysohn: Si A y B son dos subconjuntos cerrados disjuntos de X, entonces existe una función continua f de X a la línea real R tal que f(x) = 0 para todo x en A y f(x) = 1 para todo x en B. De hecho, podemos tomar los valores de f completamente dentro del intervalo unitario [0,1]. (En términos más sofisticados, los conjuntos cerrados disjuntos no solo están separados por vecindarios, sino también separados por una función).

Más generalmente, el teorema de extensión de Tietze: Si A es un subconjunto cerrado de X y f es una función continua de A a R, entonces existe una función continua F: X → R que extiende f en el sentido de que F(x) = f(x) para todas las x en A.

El mapa ∅ ∅ → → X{displaystyle emptyset rightarrow X} tiene la propiedad de elevación con respecto a un mapa de un determinado espacio topológico finito con cinco puntos (dos abiertos y tres cerrados) al espacio con uno abierto y dos puntos cerrados.

Si U es una cubierta abierta localmente finita de un espacio normal X, entonces hay una partición de unidad subordinada precisamente a U. (Esto muestra la relación de los espacios normales con la paracompacidad).

De hecho, cualquier espacio que satisfaga cualquiera de estas tres condiciones debe ser normal.

Un producto de espacios normales no es necesariamente normal. Este hecho fue probado por primera vez por Robert Sorgenfrey. Un ejemplo de este fenómeno es el avión de Sorgenfrey. De hecho, dado que existen espacios que son Dowker, un producto de un espacio normal y [0, 1] no tiene por qué ser normal. Además, un subconjunto de un espacio normal no necesita ser normal (es decir, no todo espacio de Hausdorff normal es un espacio de Hausdorff completamente normal), ya que todo espacio de Tychonoff es un subconjunto de su compactación de Stone-Čech (que es Hausdorff normal). Un ejemplo más explícito es el tablón Tychonoff. La única gran clase de espacios producto de espacios normales que se sabe que son normales son los productos de espacios compactos de Hausdorff, ya que tanto la compacidad (teorema de Tychonoff) como el axioma T₂ se conservan bajo productos arbitrarios..

Relaciones con otros axiomas de separación

Si un espacio normal es R0, entonces es completamente regular. Por lo tanto, cualquier cosa desde "normal R₀" a "normal completamente regular" es lo mismo que solemos llamar normal regular. Tomando los cocientes de Kolmogorov, vemos que todos los espacios T1 normales son Tychonoff. Estos son lo que solemos llamar espacios normales de Hausdorff.

Se dice que un espacio topológico es pseudonormal si, dados dos conjuntos cerrados disjuntos en él, uno de los cuales es contable, hay conjuntos abiertos disjuntos que los contienen. Todo espacio normal es pseudonormal, pero no al revés.

En las listas anteriores se pueden encontrar contraejemplos de algunas variaciones de estas afirmaciones. Específicamente, el espacio de Sierpiński es normal pero no regular, mientras que el espacio de funciones de R a sí mismo es de Tychonoff pero no normal.