Espacio minkowski

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Tiempo espacial utilizado en teoría de la relatividad

Hermann Minkowski (1864–1909) encontró que la teoría de la relatividad especial, introducida por su antiguo estudiante Albert Einstein, podría entenderse mejor como un espacio cuatridimensional, ya que se conoce como la hora espacial de Minkowski.

En física matemática, el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) () combina variedades inerciales de espacio y tiempo (x,y) con un marco de referencia no inercial del espacio. y el tiempo (x',t') en un modelo de cuatro dimensiones que relaciona una posición (marco de referencia inercial) con el campo (física). Se puede usar un cuatro vector (x, y, z, t) que consta de ejes de coordenadas, como un espacio euclidiano más el tiempo, con el marco no inercial para ilustrar detalles específicos del movimiento, pero no debe confundirse con el modelo de espacio-tiempo en general. El modelo ayuda a mostrar cómo un intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos cualesquiera es independiente del marco de referencia inercial en el que se registran. Aunque inicialmente fue desarrollado por el matemático Hermann Minkowski para las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell, se demostró que la estructura matemática del espacio-tiempo de Minkowski está implícita en los postulados de la relatividad especial.

El espacio de Minkowski está estrechamente relacionado con las teorías de la relatividad especial y la relatividad general de Einstein, y es la estructura matemática más común sobre la que se formula la relatividad especial. Si bien los componentes individuales en el espacio y el tiempo euclidianos pueden diferir debido a la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo, en el espacio-tiempo de Minkowski, todos los marcos de referencia coincidirán en la distancia total en el espacio-tiempo entre eventos. Debido a que trata el tiempo de manera diferente a como trata las 3 dimensiones espaciales, el espacio de Minkowski difiere del espacio euclidiano de cuatro dimensiones.

En el espacio euclidiano tridimensional, el grupo de isometría (los mapas que conservan la distancia euclidiana regular) es el grupo euclidiano. Se genera por rotaciones, reflexiones y traslaciones. Cuando se agrega el tiempo como una cuarta dimensión, se agregan las transformaciones adicionales de las traslaciones en el tiempo y los impulsos de Lorentz, y el grupo de todas estas transformaciones se denomina grupo de Poincaré. El modelo de Minkowski sigue la relatividad especial donde el movimiento provoca la dilatación del tiempo cambiando la escala aplicada al marco en movimiento y cambia la fase de la luz.

El espacio-tiempo está equipado con una forma bilineal indefinida no degenerada, denominada métrica de Minkowski, cuadrado estándar de Minkowski o producto interno de Minkowski dependiendo del contexto. El producto interno de Minkowski se define para producir el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos cuando se les da su vector de diferencia de coordenadas como argumento. Equipado con este producto interno, el modelo matemático del espacio-tiempo se llama espacio de Minkowski. El grupo de transformaciones para el espacio de Minkowski, conservando el intervalo de espacio-tiempo (en oposición a la distancia euclidiana espacial) es el grupo de Poincaré.

Historia

Espaciotiempo complejo de Minkowski

En su segundo artículo sobre la relatividad en 1905–06, Henri Poincaré mostró cómo, tomando el tiempo como una cuarta coordenada imaginaria del espacio-tiempo $ict$ , donde $c$ es la velocidad de la luz y $i$ es la unidad imaginaria, las transformaciones de Lorentz se pueden visualizar como rotaciones ordinarias de la esfera euclidiana de cuatro dimensiones. El espacio-tiempo de cuatro dimensiones se puede visualizar como una esfera de cuatro dimensiones, en la que cada punto de la esfera representa un evento en el espacio-tiempo. Las transformaciones de Lorentz se pueden considerar como rotaciones de esta esfera de cuatro dimensiones, donde el eje de rotación corresponde a la dirección del movimiento relativo entre los dos observadores y el ángulo de rotación está relacionado con su velocidad relativa.

Para ver esto, considere las coordenadas de un evento en el espacio-tiempo representado como un vector de cuatro (t, x, y, z). Una transformación de Lorentz se puede representar como una matriz que actúa sobre los cuatro vectores y cambia sus componentes. Esta matriz se puede considerar como una matriz de rotación en un espacio de cuatro dimensiones, que gira el cuatro vector alrededor de un eje particular.

{displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}={text{const}}.}

Poincaré estableció $c = 1$ por conveniencia. Las rotaciones en planos atravesados por dos vectores unitarios espaciales aparecen en el espacio de coordenadas, así como en el espacio-tiempo físico, como rotaciones euclidianas y se interpretan en el sentido ordinario. La "rotación" en un plano atravesado por un vector unitario de espacio y un vector unitario de tiempo, mientras que formalmente sigue siendo una rotación en el espacio de coordenadas, es un impulso de Lorentz en el espacio-tiempo físico con coordenadas inerciales reales. La analogía con las rotaciones euclidianas es solo parcial, ya que el radio de la esfera es en realidad imaginario, lo que convierte las rotaciones en rotaciones en el espacio hiperbólico. (ver rotación hiperbólica).

Esta idea, que Poincaré mencionó brevemente, fue elaborada por Minkowski en un artículo en alemán publicado en 1908 llamado "Las ecuaciones fundamentales para procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento". Minkowski, usando esta formulación, reafirmó la entonces reciente teoría de la relatividad de Einstein. En particular, al reformular las ecuaciones de Maxwell como un conjunto simétrico de ecuaciones en las cuatro variables $(x, y, z, ict)$ combinado con variables vectoriales redefinidas para cantidades electromagnéticas, pudo mostrar de manera directa y muy simple su invariancia bajo la transformación de Lorentz. También hizo otras contribuciones importantes y utilizó la notación matricial por primera vez en este contexto. A partir de su reformulación, concluyó que el tiempo y el espacio deben tratarse por igual, y así surgió su concepto de eventos que tienen lugar en un continuo espacio-tiempo unificado de cuatro dimensiones.

Espacio-tiempo real de Minkowski

En un desarrollo posterior en su obra de 1908 "Space and Time" conferencia, Minkowski dio una formulación alternativa de esta idea que usaba una coordenada de tiempo real en lugar de una imaginaria, representando las cuatro variables $(x, y, z, t)$ del espacio y el tiempo en forma de coordenadas en un espacio vectorial real de cuatro dimensiones. Los puntos en este espacio corresponden a eventos en el espacio-tiempo. En este espacio, hay un cono de luz definido asociado con cada punto, y los eventos que no se encuentran en el cono de luz se clasifican por su relación con el vértice como de tipo espacial o de tipo temporal. Es principalmente esta visión del espacio-tiempo la que está vigente hoy en día, aunque la visión más antigua que involucraba el tiempo imaginario también ha influido en la relatividad especial.

En la traducción al inglés del artículo de Minkowski, la métrica de Minkowski, tal como se define a continuación, se denomina elemento de línea. El producto interno de Minkowski de abajo aparece sin nombre cuando se refiere a la ortogonalidad (que él llama normalidad) de ciertos vectores, y se hace referencia a la norma de Minkowski al cuadrado (algo crípticamente, tal vez esto depende de la traducción) como &# 34;suma".

La herramienta principal de Minkowski es el diagrama de Minkowski, y lo usa para definir conceptos y demostrar propiedades de las transformaciones de Lorentz (por ejemplo, tiempo adecuado y contracción de longitud) y para brindar una interpretación geométrica a la generalización de la mecánica newtoniana a la mecánica relativista.. Para estos temas especiales, consulte los artículos a los que se hace referencia, ya que la presentación a continuación se limitará principalmente a la estructura matemática (métrica de Minkowski y de ella cantidades derivadas y el grupo de Poincaré como grupo de simetría del espacio-tiempo) siguiente de la invariancia del intervalo de espacio-tiempo en la variedad de espacio-tiempo como consecuencia de los postulados de la relatividad especial, no a la aplicación específica o derivación de la invariancia del intervalo de espacio-tiempo. Esta estructura proporciona el escenario de fondo de todas las teorías relativistas actuales, salvo la relatividad general para la cual el espacio-tiempo plano de Minkowski todavía proporciona un trampolín, ya que el espacio-tiempo curvo es localmente lorentziano.

Minkowski, consciente de la reformulación fundamental de la teoría que había hecho, dijo

Las vistas del espacio y del tiempo que deseo poner antes de que usted haya brotado del suelo de la física experimental, y en él reside su fuerza. Son radicales. De aquí en adelante el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo, están condenados a desaparecer en meras sombras, y sólo una clase de unión de los dos preservará una realidad independiente.
—Hermann Minkowski, 1908, 1909

Aunque Minkowski dio un paso importante para la física, Albert Einstein vio su limitación:

En un momento en que Minkowski estaba dando la interpretación geométrica de la relatividad especial al extender el Euclidean tres espacios a un cuasi-Euclidean cuatro-espacio que incluía el tiempo, Einstein ya era consciente de que esto no es válido, porque excluye el fenómeno de la gravedad. Todavía estaba lejos del estudio de coordenadas curvilinear y geometría Riemanniana, y el aparato matemático pesado implicado.

Para más información histórica ver referencias Galison (1979), Corry (1997) y Walter (1999).

Estructura causal

Subdivision of Minkowski spacetime with respect to an event in four disjoint sets. El cono de luz, el futuro absoluto, el pasado absoluto, y en otros lugares. La terminología es de Sard (1970).

Donde $v$ es la velocidad, y $x$ , $y$ y $z$ son coordenadas cartesianas en 3 -espacio dimensional, y $c$ es la constante que representa el límite de velocidad universal, y $t$ es el tiempo, el vector de cuatro dimensiones $v = (ct, x, y, z) = (ct, r)$ se clasifica según el signo de $c 2 t 2 - r 2$ . Un vector es temporal si $c 2 t 2 > r 2$ , espacio si $c 2 t 2 < r 2$ y null o similar a la luz si $c 2 t 2 = r 2$ . Esto se puede expresar en términos del signo de $η (v, v)$ como bueno, eso depende de la firma. La clasificación de cualquier vector será la misma en todos los marcos de referencia que estén relacionados por una transformación de Lorentz (pero no por una transformación general de Poincaré porque entonces el origen puede estar desplazado) debido a la invariancia del intervalo.

El conjunto de todos los vectores nulos en un evento del espacio de Minkowski constituye el cono de luz de ese evento. Dado un vector temporal $v$ , hay una línea de mundo de velocidad constante asociada con él, representada por una línea recta en un diagrama de Minkowski.

Una vez que se elige una dirección de tiempo, los vectores temporales y nulos se pueden descomponer en varias clases. Para vectores temporales se tiene

vectores de tiempo orientados hacia el futuro cuyo primer componente es positivo, (tip of vector located in absolute future in figure) and
vectores de tiempo pasado-dirigido cuyo primer componente es negativo (absoluto pasado).

Los vectores nulos se dividen en tres clases:

el vector cero, cuyos componentes en cualquier base son $(0, 0, 0, 0)$ (origin),
vectores nulos dirigidos por el futuro cuyo primer componente es positivo (cono ligero superior), y
vectores nulos dirigidos anteriormente cuyo primer componente es negativo (cono ligero más bajo).

Junto con los vectores espaciales, hay 6 clases en total.

Una base ortonormal para el espacio de Minkowski consta necesariamente de un vector unitario temporal y tres espaciales. Si se desea trabajar con bases no ortonormales es posible tener otras combinaciones de vectores. Por ejemplo, uno puede construir fácilmente una base (no ortonormal) que consiste completamente en vectores nulos, llamada base nula.

Los campos vectoriales se denominan temporales, espaciales o nulos si los vectores asociados son temporales, espaciales o nulos en cada punto donde se define el campo.

Propiedades de los vectores temporales

Los vectores temporales tienen especial importancia en la teoría de la relatividad ya que corresponden a eventos accesibles al observador en (0, 0, 0, 0) con una velocidad menor que la de la luz. De mayor interés son los vectores similares al tiempo que están dirigidos de manera similar, es decir, todos en los conos hacia adelante o hacia atrás. Dichos vectores tienen varias propiedades que no comparten los vectores similares al espacio. Estos surgen porque tanto los conos hacia adelante como hacia atrás son convexos, mientras que la región similar al espacio no es convexa.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores similares al tiempo $u 1 = (t 1, x 1, y 1, z 1)$ y $u 2 = (t 2, x 2, y 2, z 2)$ es

{displaystyle eta (u_{1},u_{2})=u_{1}cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}

Positividad del producto escalar: una propiedad importante es que el producto escalar de dos vectores similares al tiempo dirigidos de manera similar siempre es positivo. Esto se puede ver en la desigualdad de Cauchy-Schwarz invertida a continuación. De ello se deduce que si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces al menos uno de ellos debe ser similar al espacio. El producto escalar de dos vectores similares al espacio puede ser positivo o negativo, como se puede ver al considerar el producto de dos vectores similares al espacio que tienen componentes espaciales ortogonales y tiempos de signos iguales o diferentes.

Usando la propiedad de positividad de los vectores temporales, es fácil verificar que una suma lineal con coeficientes positivos de vectores temporales dirigidos de manera similar también es similar en el tiempo (la suma permanece dentro del cono de luz debido a la convexidad).

Norma y desigualdad de Cauchy inversa

La norma de un vector similar al tiempo $u = (ct, x, y, z)$ se define como

{displaystyle left|uright|={sqrt {eta (u,u)}}={sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}

La desigualdad de Cauchy invertida es otra consecuencia de la convexidad de cualquiera de los conos de luz. Para dos vectores distintos similares al tiempo dirigidos de manera similar $u 1$ y $u 2$ esta desigualdad es

left|u_{1}right|left|u_{2}right|}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. ()u1,u2)■.u1..u2.{displaystyle eta (u_{1},u_{2}) {left imperu_{1}right just eternaleft eternau_{2}rightleft|u_{1}right|left|u_{2}right|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de59308192830900ad041be868deeb2b70039618" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.684ex; height:2.843ex;"/>

o algebraicamente,

{sqrt {left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}right)left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}right)}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c2t1t2− − x1x2− − Sí.1Sí.2− − z1z2■()c2t12− − x12− − Sí.12− − z12)()c2t22− − x22− − Sí.22− − z22){displaystyle c^{2}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2} {2}-y_{2}-z_{2}}} {2}-s_{2} {2}-y_{2} {2}-z_{1} {2}right)left(c^{2}t_{2} {2}-x_{2} {2}-y_{2}{2} {2}{2} {2} {2}{2}{2}}{2}}}}}{2}}}}}}} {2}}{2}}} {2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {2}}}}}}}}}}}}}}}} {2}{2}{2}{2}{2}}}}}}} {2}}}}}}}}}}}}}} {2}}}}}}}}}}}}}} {2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{sqrt {left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}right)left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}right)}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa38089c969e94176a944f0d1c24e8723a484c9" style="vertical-align: -1.838ex; width:76.303ex; height:4.843ex;"/>

De esto se puede ver la propiedad de positividad del producto escalar.

La desigualdad del triángulo invertido

Para dos vectores similares al tiempo dirigidos de manera similar $u$ y $w$ , la desigualdad es

{displaystyle left|u+wright|geq left|uright|+left|wright|,}

donde la igualdad se mantiene cuando los vectores son linealmente dependientes.

La prueba usa la definición algebraica con la desigualdad de Cauchy invertida:

{displaystyle {begin{aligned}left|u+wright|^{2}&=left|uright|^{2}+2left(u,wright)+left|wright|^{2}\[5mu]&geq left|uright|^{2}+2left|uright|left|wright|+left|wright|^{2}=left(left|uright|+left|wright|right)^{2}.end{aligned}}}

El resultado ahora sigue sacando la raíz cuadrada en ambos lados.

Estructura matemática

A continuación se supone que el espacio-tiempo está dotado de un sistema de coordenadas correspondiente a un marco inercial. Esto proporciona un origen, que es necesario para poder referirse al espacio-tiempo modelado como un espacio vectorial. Esto no está realmente físicamente motivado en el sentido de que debería existir un origen canónico (evento 'central' en el espacio-tiempo). Uno puede salirse con la suya con menos estructura, la de un espacio afín, pero esto complicaría innecesariamente la discusión y no reflejaría cómo el espacio-tiempo plano normalmente se trata matemáticamente en la literatura introductoria moderna.

Para obtener una descripción general, el espacio de Minkowski es un espacio vectorial real de $cuatro$ dimensiones equipado con una forma bilineal simétrica no degenerada en el espacio tangente en cada punto del espacio-tiempo, aquí simplemente llamado el producto interno de Minkowski, con firma métrica ya sea $(+ - - -)$ o $(- + + +). El espacio tangente en cada evento es un espacio vectorial de la misma dimensión que el espacio-tiempo, 4 .$

Vectores tangentes

Una representación pictórica del espacio tangente en un punto,

x

En una esfera. Este espacio vectorial se puede considerar como un subespacio

R 3

en sí mismo. Entonces vectores en él se llamarían vectores geométricos tangentes. Por el mismo principio, el espacio tangente en un punto de espacio plano se puede considerar como un subespacio de tiempo espacial que resulta ser Todos de tiempo espacial.

En la práctica, no es necesario preocuparse por los espacios tangentes. La naturaleza de espacio vectorial del espacio de Minkowski permite la identificación canónica de vectores en espacios tangentes en puntos (eventos) con vectores (puntos, eventos) en el mismo espacio de Minkowski. Véase, por ejemplo. Lee (2003, Proposición 3.8.) o Lee (2012, Proposición 3.13.) Estas identificaciones se realizan de manera rutinaria en matemáticas. Se pueden expresar formalmente en coordenadas cartesianas como

{displaystyle {begin{aligned}left(x^{0},,x^{1},,x^{2},,x^{3}right) &leftrightarrow left.x^{0}mathbf {e} _{0}right|_{p}+left.x^{1}mathbf {e} _{1}right|_{p}+left.x^{2}mathbf {e} _{2}right|_{p}+left.x^{3}mathbf {e} _{3}right|_{p}\&leftrightarrow left.x^{0}mathbf {e} _{0}right|_{q}+left.x^{1}mathbf {e} _{1}right|_{q}+left.x^{2}mathbf {e} _{2}right|_{q}+left.x^{3}mathbf {e} _{3}right|_{q}end{aligned}}}

con vectores base en los espacios tangentes definidos por

{displaystyle left.mathbf {e} _{mu }right|_{p}=left.{frac {partial }{partial x^{mu }}}right|_{p}{text{ or }}mathbf {e} _{0}|_{p}=left({begin{matrix}1\0\0\0end{matrix}}right){text{, etc}}.}

Aquí $p$ y $q$ son dos eventos cualesquiera y la identificación del vector de segunda base se denomina transporte paralelo. La primera identificación es la identificación canónica de vectores en el espacio tangente en cualquier punto con vectores en el espacio mismo. La aparición de vectores base en espacios tangentes como operadores diferenciales de primer orden se debe a esta identificación. Está motivado por la observación de que un vector tangente geométrico se puede asociar de manera biunívoca con un operador derivado direccional en el conjunto de funciones suaves. Esto se promueve a una definición de vectores tangentes en variedades no necesariamente incrustadas en $R n$ . Esta definición de vectores tangentes no es la única posible, ya que también se pueden utilizar n-tuplas ordinarias.

Definiciones de vectores tangentes como vectores ordinarios

Un vector tangente en un punto $p$ se puede definir, aquí especializado a coordenadas cartesianas en marcos de Lorentz, como $4 \times 1$ vectores de columna $v$ asociados cada uno Lorentz frame related by Lorentz transformation $▪$ tal que el vector $v$ en un marco relacionado con algún marco por $▪$ transforma según $v \to v$ . Este es el igual la manera en que las coordenadas $x μ$ transformar. Explícitamente,

{displaystyle {begin{aligned}x'^{mu }&={Lambda ^{mu }}_{nu }x^{nu },\v'^{mu }&={Lambda ^{mu }}_{nu }v^{nu }.end{aligned}}}

Esta definición equivale a la definición dada anteriormente bajo un isomorfismo canónico.

Para algunos propósitos es deseable identificar vectores tangentes en un punto $p$ con vectores de desplazamiento en $p$ , que es, por supuesto, admisible esencialmente por la misma identificación canónica. Las identificaciones de vectores a las que se hace referencia anteriormente en el entorno matemático se pueden encontrar correspondientemente en un entorno más físico y explícitamente geométrico en Misner, Thorne & Wheeler (1973). Ofrecen varios grados de sofisticación (y rigor) según la parte del material que se elija leer.

Firma métrica

La firma métrica se refiere a qué signo produce el producto interno de Minkowski cuando se le da espacio (spacelike para ser específico, definido más abajo) y vectores de base de tiempo (timelike) como argumentos La discusión adicional sobre esta elección teóricamente intrascendente, pero prácticamente necesaria, para propósitos de consistencia interna y conveniencia, se remite al recuadro oculto a continuación.

La elección de la firma métrica

En general, pero con varias excepciones, los matemáticos y los relativistas generales prefieren vectores como el espacio para dar un signo positivo, $(+- + +)$ , mientras que los físicos de partículas tienden a preferir vectores de tiempo para producir un signo positivo, $(+ - - -)$ . Autores que cubren varias áreas de la física, por ejemplo Steven Weinberg y Landau y Lifshitz (Steven Weinberg y Landau y Lifshitz) $(+- + +)$ y $(+ - - -)$ respectivamente) se adhieren a una opción independientemente del tema. Los argumentos para la convención anterior incluyen "continuidad" del caso Euclidean correspondiente al límite no relativista $c \to$ . Los argumentos para este último incluyen que menos signos, de otro modo omnipresentes en la física de partículas, desaparecen. Sin embargo, otros autores, especialmente de textos introductorios, por ejemplo Kleppner " Kolenkow (1978), sí no elegir una firma en absoluto, pero en cambio optar por coordinar el tiempo espacial de tal manera que el tiempo coordenadas (pero no el tiempo en sí mismo!) es imaginario. Esto elimina la necesidad de explícita introducción de un tensor métrico (que puede parecer una carga adicional en un curso introductorio), y una necesidad no estar preocupado con vectores covariantes y vectores contravariantes (o índices de elevación y reducción) que se describen a continuación. El producto interno se produce en cambio por una extensión directa del producto del punto en $R 3$ a $R 3 \times C$ . Esto funciona en el espacio plano de la relatividad especial, pero no en el espacio curvado de la relatividad general, ver Misner, Thorne & Wheeler (1973, Box 2.1, Adiós a ict(quien, por cierto uso $(+- + +)$ ). MTW también argumenta que esconde lo verdadero indefinidamente naturaleza de la métrica y la verdadera naturaleza de los impulsos de Lorentz, que no son rotaciones. También complica innecesariamente el uso de herramientas de geometría diferencial que están de otra manera inmediatamente disponibles y útiles para la descripción y cálculo geométricos – incluso en el espacio plano de la relatividad especial, por ejemplo del campo electromagnético.

Terminología

Matemáticamente asociado a la forma bilineal hay un tensor de tipo $(0,2)$ en cada punto del espacio-tiempo, llamado métrica de Minkowski. La métrica de Minkowski, la forma bilineal y el producto interno de Minkowski son todos el mismo objeto; es una función bilineal que acepta dos vectores (contravariantes) y devuelve un número real. En coordenadas, esta es la matriz $4\times4$ que representa la forma bilineal.

A modo de comparación, en la relatividad general, una variedad lorentziana $L$ también está equipada con un tensor métrico $g$ , que es una forma bilineal simétrica no degenerada en el espacio tangente $T p L$ en cada punto $p$ de <span class="texhtml" L. En coordenadas, puede representarse mediante una matriz $4\times4$ dependiendo de la posición del espacio-tiempo. El espacio de Minkowski es, por lo tanto, un caso especial comparativamente simple de una variedad lorentziana. Su tensor métrico está en coordenadas de la misma matriz simétrica en cada punto de $M$ , y sus argumentos pueden, según lo anterior, tomarse como vectores en el propio espacio-tiempo.

Al presentar más terminología (pero no más estructura), el espacio de Minkowski es, por lo tanto, un espacio pseudo-euclidiano con dimensión total $n = 4$ y signatura (3, 1) o $(1, 3)$ . Los elementos del espacio de Minkowski se llaman eventos. El espacio de Minkowski a menudo se denota $R 3,1$ o $R 1,3$ para enfatizar la firma elegida, o simplemente $M$ . Es quizás el ejemplo más simple de una variedad pseudo-riemanniana.

Entonces matemáticamente, la métrica es una forma bilineal en un espacio abstracto de cuatro dimensiones vectorial real $V$ , es decir,

{displaystyle eta:Vtimes Vrightarrow mathbb {R} }

Donde $eta$ tiene firma $(-,+,+,+)$ , y la firma es una propiedad invariable de coordenadas $eta$ . El espacio de mapas bilineales forma un espacio vectorial que se puede identificar con ${displaystyle M^{*}otimes M^{*}}$ , y $eta$ puede ser considerado como un elemento de este espacio. Haciendo una elección de base ortonormal ${displaystyle {e_{mu }}}$ , podemos identificar ${displaystyle M:=(V,eta)}$ con el espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}:=(mathbb {R} ^{4},eta _{mu nu })}$ . La notación está destinada a enfatizar el hecho de que $M$ y ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$ no son sólo espacios vectoriales sino que han añadido estructura. ${displaystyle eta _{mu nu }={text{diag}}(-1,+1,+1,+1)}$ .

Un ejemplo interesante de coordenadas no inerciales para (parte del) espacio-tiempo de Minkowski son las coordenadas de Born. Otro conjunto útil de coordenadas son las coordenadas del cono de luz.

Métricas pseudo-euclidianas

El producto interno de Minkowski no es un producto interno, ya que no es definido positivo, es decir, la forma cuadrática $η (v, v)$ no necesita ser positivo para $v$ distinto de cero. La condición definida positiva ha sido reemplazada por la condición más débil de no degeneración. Se dice que la forma bilineal es indefinida. La métrica de Minkowski $η$ es el tensor métrico del espacio de Minkowski. Es una métrica pseudo-euclidiana, o más generalmente una métrica pseudo-riemanniana constante en coordenadas cartesianas. Como tal, es una forma bilineal simétrica no degenerada, un tensor de tipo $(0, 2)$ . Acepta dos argumentos $u p, v p$ , vectores en $T p M, p \in M$ , el espacio tangente en $p$ en $M$ . Debido a la identificación canónica mencionada anteriormente de $T p M$ con $M$ en sí mismo, acepta argumentos $u, v$ con $u$ y $v$ en $M$ .

Como convención de notación, los vectores $v$ en $M$ , llamados 4-vectores, se indican en cursiva y no, como es común en la configuración euclidiana, con negrita $v . Este último generalmente se reserva para la parte del vector 3 (que se presentará a continuación) de un vector 4 .$

La definición

{displaystyle ucdot v=eta (u,,v)}

produce una estructura interna similar a un producto en $M$ , anteriormente y también de ahora en adelante, denominada producto interno de Minkowski, similar al producto interior euclidiano, pero describe una geometría diferente. También se llama el producto escalar relativista. Si los dos argumentos son iguales,

{displaystyle ucdot u=eta (u,u)equiv |u|^{2}equiv u^{2},}

la cantidad resultante se llamará Norma de Minkowski al cuadrado. El producto interno de Minkowski satisface las siguientes propiedades.

Linearidad en el primer argumento: ${displaystyle eta (au+v,,w)=aeta (u,,w)+eta (v,,w),quad forall u,,vin M,;forall ain mathbb {R} }$
Simmetría: ${displaystyle eta (u,,v)=eta (v,,u)}$
No degeneración: ${displaystyle eta (u,,v)=0,;forall vin M Rightarrow u=0}$

Las dos primeras condiciones implican bilinealidad. La diferencia definitoria entre un pseudoproducto interno y un producto interno propiamente dicho es que no se requiere que el primero sea definido positivo, es decir, $η (u, u) < 0$ está permitido.

La característica más importante del producto interno y el cuadrado normal es que estas son cantidades que no se ven afectadas por las transformaciones de Lorentz. De hecho, se puede tomar como propiedad definitoria de una transformación de Lorentz que conserva el producto interno (es decir, el valor de la forma bilineal correspondiente en dos vectores). Este enfoque se toma de manera más general para todos los grupos clásicos definibles de esta manera en el grupo clásico. Allí, la matriz $Φ$ es idéntica en el caso $O(3, 1)$ (el grupo de Lorentz) a la matriz $η$ que se mostrará a continuación.

Dos vectores $v$ y $w$ se dice que son ortogonales si $η (v, w) = 0$ . Para una interpretación geométrica de la ortogonalidad en el caso especial cuando $η (v, v) \leq 0$ y $η (w, w) \geq 0$ (o viceversa), ver ortogonalidad hiperbólica.

Un vector $e$ se llama vector unitario si $η (e, e) = \pm1$ . Una base para $M$ que consta de vectores unitarios mutuamente ortogonales se denomina base ortonormal.

Para un marco inercial dado, una base ortonormal en el espacio, combinada con el vector de tiempo unitario, forma una base ortonormal en el espacio de Minkowski. El número de vectores unitarios positivos y negativos en cualquiera de estas bases es un par fijo de números, igual a la firma de la forma bilineal asociada con el producto interno. Esta es la ley de inercia de Sylvester.

Más terminología (pero no más estructura): La métrica de Minkowski es una métrica pseudo-Riemanniana, más específicamente, una métrica de Lorentz, más específicamente, la métrica de Lorentz, reservada para $4$ -espacio-tiempo plano dimensional con la ambigüedad restante solo siendo la convención de la firma.

Métrica de Minkowski

Del segundo postulado de la relatividad especial, junto con la homogeneidad del espacio-tiempo y la isotropía del espacio, se sigue que el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos arbitrarios llamados $1$ y $2$ es:

{displaystyle c^{2}left(t_{1}-t_{2}right)^{2}-left(x_{1}-x_{2}right)^{2}-left(y_{1}-y_{2}right)^{2}-left(z_{1}-z_{2}right)^{2}.}

Esta cantidad no se nombra de manera consistente en la literatura. A veces se hace referencia al intervalo como la raíz cuadrada del intervalo tal como se define aquí.

La invariancia del intervalo bajo transformaciones de coordenadas entre marcos inerciales se deriva de la invariancia de

{displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

siempre que las transformaciones sean lineales. Esta forma cuadrática se puede utilizar para definir una forma bilineal

{displaystyle ucdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}

a través de la identidad de polarización. Esta forma bilineal puede a su vez escribirse como

{displaystyle ucdot v=u^{textsf {T}}[eta ]v,.}

Donde $[.]$ es un $4times 4$ matriz asociada con $.$ . Aunque posiblemente confuso, es práctica común denotar $[.]$ con sólo $.$ . La matriz se lee de la forma bilineal explícita como

{displaystyle eta ={begin{pmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}},}

y la forma bilineal

{displaystyle ucdot v=eta (u,v),}

con el que esta sección comenzó asumiendo su existencia, ahora se identifica.

Para mayor precisión y una presentación más breve, se adopta la firma $(- + + +)$ a continuación. Esta elección (o la otra elección posible) no tiene implicaciones físicas (conocidas). El grupo de simetría que conserva la forma bilineal con una opción de firma es isomorfo (en el mapa que se muestra aquí) y el grupo de simetría conserva la otra opción de firma. Esto significa que ambas elecciones están de acuerdo con los dos postulados de la relatividad. Cambiar entre las dos convenciones es sencillo. Si el tensor métrico $η$ se ha usado en una derivación, regrese al punto más antiguo donde se usó, sustituya $η$ para $- η$ , y retroceda hasta el deseado fórmula con la firma métrica deseada.

Base estándar

Una base estándar u ortonormal para el espacio de Minkowski es un conjunto de cuatro vectores mutuamente ortogonales ${e 0, e 1, e 2, e 3}$ tal que

{displaystyle -eta (e_{0},e_{0})=eta (e_{1},e_{1})=eta (e_{2},e_{2})=eta (e_{3},e_{3})=1}

{displaystyle eta (e_{mu },e_{nu })=0}

{textstyle mu neq nu ,.}

Estas condiciones se pueden escribir de forma compacta en la forma

{displaystyle eta (e_{mu },e_{nu })=eta _{mu nu }.}

En relación con una base estándar, los componentes de un vector $v$ se escriben $(v 0, v 1, v 2, v 3)$ donde se usa la notación de Einstein para escribir $v = v μ e μ$ . El componente $v 0$ se denomina componente temporal de $v$ mientras que los otros tres componentes se denominan componentes espaciales. Los componentes espaciales de un $4$ -vector $v$ pueden identificarse con un $3$ -vector $v = (v 1, v 2, v 3)$ .

En términos de componentes, el producto interno de Minkowski entre dos vectores $v$ y $w$ viene dado por

{displaystyle eta (v,w)=eta _{mu nu }v^{mu }w^{nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{mu }w_{mu }=v_{mu }w^{mu },}

{displaystyle eta (v,v)=eta _{mu nu }v^{mu }v^{nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{mu }v_{mu }.}

Aquí se utilizó la reducción de un índice con la métrica.

Hay muchas opciones posibles de base estándar que obedecen a la condición $eta (e_{mu },e_{nu })=eta _{mu nu }.$ Cualquier dos de estas bases están relacionadas en algún sentido por una transformación de Lorentz, ya sea por una matriz de cambio de base ${displaystyle Lambda _{nu }^{mu }}$ , un verdadero $4times 4$ matriz satisfactoria

{displaystyle Lambda _{rho }^{mu }eta _{mu nu }Lambda _{sigma }^{nu }=eta _{rho sigma }.}

o $Lambda$ un mapa lineal sobre el espacio vectorial abstracto que satisface, para cualquier par de vectores $u,v,$

{displaystyle eta (Lambda u,Lambda v)=eta (u,v).}

Entonces si tenemos dos bases diferentes ${displaystyle {e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}}}$ y ${displaystyle {e_{0}',e_{1}',e_{2}',e_{3}'}}$ , podemos escribir ${displaystyle e_{mu }'=e_{nu }Lambda _{mu }^{nu }}$ o ${displaystyle e_{mu }'=Lambda e_{mu }}$ . Aunque podría ser tentador pensar en ${displaystyle Lambda _{nu }^{mu }}$ y $Lambda$ como lo mismo, matemáticamente son elementos de diferentes espacios, y actúan en el espacio de bases estándar de diferentes lados.

Subida y bajada de índices

Funcionalidades lineales (1-formas) α, β y su suma σ vectores u, v, w, en 3d espacio Euclideano. El número de hiperplanos (1-forma) intersectados por un vector equivale al producto interno.

Técnicamente, una forma bilineal no degenerada proporciona un mapa entre un espacio vectorial y su dual; en este contexto, el mapa está entre los espacios tangentes de $M$ y los espacios cotangentes de $M$ . En un punto en $M$ , los espacios tangente y cotangente son espacios vectoriales duales (por lo que la dimensión del espacio cotangente en un evento es también $4$ ). Así como un producto interno auténtico en un espacio vectorial con un argumento fijo, por el teorema de representación de Riesz, puede expresarse como la acción de un funcional lineal en el espacio vectorial, lo mismo se aplica al producto interno de Minkowski del espacio de Minkowski.

Así, si $v μ$ son las componentes de un vector en un espacio tangente, entonces $η μν v μ = v ν$ son las componentes de un vector en el espacio cotangente (un funcional lineal). Debido a la identificación de vectores en espacios tangentes con vectores en $M$ , esto se ignora en su mayoría, y los vectores con índices más bajos se denominan vectores covariantes. En esta última interpretación, los vectores covariantes se identifican (casi siempre implícitamente) con vectores (funcionales lineales) en el espacio dual de Minkowski. Los que tienen índices superiores son vectores contravariantes. De la misma manera, el inverso del mapa de espacios tangente a cotangente, dado explícitamente por el inverso de $η$ en representación matricial, puede usarse para definir elevación de un índice. Los componentes de este inverso se denotan $η μν$ . Sucede que $η μν = η μν$ . Estos mapas entre un espacio vectorial y su dual se pueden denotar $η ♭$ (eta-flat) y $η ♯$ (eta-sharp) por la analogía musical.

Los vectores contravariantes y covariantes son objetos geométricamente muy diferentes. Los primeros pueden y deben considerarse como flechas. Un funcional lineal se puede caracterizar por dos objetos: su núcleo, que es un hiperplano que pasa por el origen, y su norma. Por lo tanto, geométricamente, los vectores covariantes deben verse como un conjunto de hiperplanos, con espaciado que depende de la norma (mayor = menor espaciado), con uno de ellos (el núcleo) que pasa por el origen. El término matemático para un vector covariante es 1-covector o 1-forma (aunque este último generalmente se reserva para campos de covectores).

Una analogía de la mecánica cuántica explorada en la literatura es la de una onda de De Broglie (a la escala de un factor de la constante reducida de Planck) asociada a un cuatro vector de impulso para ilustrar cómo se podría imaginar una versión covariante de un vector contravariante. El producto interno de dos vectores contravariantes bien podría pensarse como la acción de la versión covariante de uno de ellos sobre la versión contravariante del otro. El producto interno es entonces cuántas veces la flecha atraviesa los planos. La referencia matemática, Lee (2003), ofrece la misma visión geométrica de estos objetos (pero no menciona perforaciones).

El tensor de campo electromagnético es una forma diferencial de 2, cuya descripción geométrica también se puede encontrar en MTW.

Uno puede, por supuesto, ignorar las vistas geométricas por completo (como es el estilo, por ejemplo, en Weinberg (2002) y Landau & Lifshitz 2002) y proceder algebraicamente de una manera puramente formal. La robustez comprobada en el tiempo del propio formalismo, a veces denominado gimnasia de índices, garantiza que mover vectores y cambiar de vectores contravariantes a covariantes y viceversa (así como tensores de orden superior) sea matemáticamente sólido. Las expresiones incorrectas tienden a revelarse rápidamente.

Subida y bajada coordinadas

Dada una forma bilineal ${displaystyle eta:Mtimes Mrightarrow mathbb {R} }$ , la versión baja de un vector se puede considerar como la evaluación parcial de $eta$ , es decir, hay un mapa de evaluación parcial asociado

{displaystyle eta (cdot-):Mrightarrow M^{*};vmapsto eta (v,cdot).}

El vector inferior ${displaystyle eta (v,cdot)in M^{*}}$ es entonces el mapa dual ${displaystyle umapsto eta (v,u)}$ . Note que no importa qué argumento se evalúa parcialmente debido a la simetría de $eta$ .

La no degeneración es entonces equivalente a la inyección del mapa de evaluación parcial, o equivalentemente la no degeneración nos dice que el núcleo del mapa es trivial. En dimensión finita, como tenemos aquí, y notando que la dimensión de un espacio finito dimensional es igual a la dimensión del dual, esto es suficiente para concluir el mapa de evaluación parcial es un isomorfismo lineal de $M$ a $M^*$ . Esto permite entonces la definición del mapa de evaluación parcial inversa,

{displaystyle eta ^{-1}:M^{*}rightarrow M,}

que nos permite definir la métrica inversa

{displaystyle eta ^{-1}:M^{*}times M^{*}rightarrow mathbb {R}eta ^{-1}(alphabeta)=eta (eta ^{-1}(alpha),eta ^{-1}(beta))}

donde los dos usos diferentes de $eta ^{-1}$ se puede decir aparte por el argumento en el que se evalúa cada uno. Esto se puede utilizar para elevar índices. Si trabajamos en una base coordinada, encontramos que la métrica $eta ^{-1}$ es ciertamente la matriz inversa ${displaystyle eta.}$

El formalismo de la métrica de Minkowski

El presente propósito es mostrar de forma semirrígida cómo formalmente se puede aplicar la métrica de Minkowski a dos vectores y obtener un número real, es decir, mostrar el papel de las diferenciales y cómo desaparecen en un calculo El escenario es el de la teoría de variedades suaves, y se introducen conceptos tales como campos convectores y derivadas exteriores.

A formal approach to the Minkowski metric

Una versión completa de la métrica Minkowski en coordenadas como un campo de tensor en tiempo espacial tiene la apariencia

{displaystyle eta _{mu nu }dx^{mu }otimes dx^{nu }=eta _{mu nu }dx^{mu }odot dx^{nu }=eta _{mu nu }dx^{mu }dx^{nu }.}

Explicación: Las diferencias de coordenadas son campos de 1 forma. Se definen como el derivado exterior de las funciones de coordinación $x μ$ . Estas cantidades evaluadas en un punto $p$ proporcionar una base para el espacio cotangente en $p$ . El producto tensor (denotado por el símbolo $\otimes$ ) produce un campo de tensor de tipo $(0, 2)$ , es decir, el tipo que espera dos vectores contravariantes como argumentos. En el lado derecho, el producto simétrico (denotado por el símbolo) $⊙$ o por yuxtaposición) se ha tomado. La igualdad tiene ya que, por definición, la métrica de Minkowski es simétrica. La notación en la extrema derecha también se utiliza a veces para el elemento relacionado, pero diferente, línea. Es no un tensor. Para la elaboración de las diferencias y similitudes, véase Misner, Thorne & Wheeler (1973, Box 3.2 y sección 13.2.)

Tangent vectores son, en este formalismo, dados en términos de una base de operadores diferenciales del primer orden,

{displaystyle left.{frac {partial }{partial x^{mu }}}right|_{p},}

Donde

p

es un evento. Este operador aplicó una función

f

da el derivado direccional de

f

p

en la dirección del aumento

x μ

con

x ., . ل μ

fijo. Proporcionan una base para el espacio tangente en

p

El derivado exterior $df$ de una función $f$ es un campo covector, es decir, una asignación de un vector cotangente a cada punto $p$ , por definición tal que

{displaystyle df(X)=Xf,}

para cada campo vectorial $X$ . Un campo vectorial es una asignación de un vector tangente a cada punto $p$ . En coordenadas $X$ se puede ampliar en cada punto $p$ en la base dada por $\partial/ x . Silencio p$ . Aplicar esto con $f = x μ$ , la función de coordenadas en sí, y $X = x .$ , llamado a campo vectorial, uno obtiene

{displaystyle dx^{mu }left({frac {partial }{partial x^{nu }}}right)={frac {partial x^{mu }}{partial x^{nu }}}=delta _{nu }^{mu }.}

Desde que esta relación se mantiene en cada punto $p$ , el $dx μ Silencio p$ proporcionar una base para el espacio cotangente en cada $p$ y las bases $dx μ Silencio p$ y $\partial/ x . Silencio p$ son duales entre sí,

{displaystyle left.dx^{mu }right|_{p}left(left.{frac {partial }{partial x^{nu }}}right|_{p}right)=delta _{nu }^{mu }.}

a cada uno $p$ . Además, uno tiene

{displaystyle alpha otimes beta (a,b)=alpha (a)beta (b)}

para las formas generales de un espacio tangente $α, β$ y vectores tangentes generales $a, b$ . (Esto puede ser tomado como una definición, pero también puede ser probado en un entorno más general.)

Así cuando el tensor métrico se alimenta de dos campos vectoriales $a, b$ , ambos ampliados en términos de la base coordine campos vectoriales, el resultado es

{displaystyle eta _{mu nu }dx^{mu }otimes dx^{nu }(a,b)=eta _{mu nu }a^{mu }b^{nu },}

Donde $a μ$ , $b .$ son funciones componentes de los campos vectoriales. La ecuación anterior sostiene en cada punto $p$ , y la relación también puede ser interpretada como la métrica de Minkowski $p$ aplicado a dos vectores tangentes en $p$ .

Como se mencionó, en un espacio vectorial, como el modelado del espacio de la relatividad especial, los vectores tangentes pueden ser identificados canónicamente con vectores en el espacio mismo, y viceversa. Esto significa que los espacios tangentes en cada punto se identifican canónicamente entre sí y con el espacio vectorial mismo. Esto explica cómo el lado derecho de la ecuación anterior puede ser empleado directamente, sin tener en cuenta el punto espacial que la métrica debe ser evaluada y desde donde (que espacio tangente) los vectores vienen.

Esta situación cambia en la relatividad general. Ahí tiene.

{displaystyle g(p)_{mu nu }left.dx^{mu }right|_{p}left.dx^{nu }right|_{p}(a,b)=g(p)_{mu nu }a^{mu }b^{nu },}

donde ahora $. \to g () p)$ , es decir, $g$ es todavía un tensor métrico pero ahora depende de la hora espacial y es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein. Además, $a, b$ Debe ser vectores tangentes en el punto espacial $p$ y ya no se puede mover libremente.

Relaciones cronológicas y de causalidad

Sea $x, y \in M$ . Nosotros decimos eso

$x$ cronológicamente precede $Sí.$ si $Sí. - x$ es un tiempo dirigido por el futuro. Esta relación tiene la propiedad transitiva y así se puede escribir $x . Sí.$ .
$x$ causalmente precede $Sí.$ si $Sí. - x$ es nulo dirigido por el futuro o un tiempo dirigido por el futuro. Da una orden parcial de tiempo espacial y así se puede escribir $x \leq Sí.$ .

Suppose x ▪ M es temporal. Entonces el hiperplano simultáneo para x es ${displaystyle {y:eta (x,y)=0}.}$ Puesto que este hiperplano varía como x varies, hay una relatividad de la simultaneidad en el espacio de Minkowski.

Generalizaciones

Una variedad lorentziana es una generalización del espacio de Minkowski de dos maneras. El número total de dimensiones de espacio-tiempo no está restringido a ser $4$ ( $2$ o más) y una variedad lorentziana no necesita ser plana, es decir, permite la curvatura.

Espacio de Minkowski complejo

El espacio de Minkowski complejo se define como $M c = M \oplus iM . Su parte real es el espacio de Minkowski de cuatro vectores, como el de cuatro velocidades y el de cuatro impulsos, que son independientes de la elección de la orientación del espacio. La parte imaginaria, por otro lado, puede consistir en cuatro pseudovectores, como la velocidad angular y el momento magnético, que cambian de dirección con un cambio de orientación. Introducimos un pseudoescalar i que también cambia de signo con un cambio de orientación. Así, los elementos de M c son independientes de la elección de la orientación.$

La estructura interna similar a un producto en $M c$ se define como $u \cdot v = η (u, v)$ para cualquier $u, v \in M c$ . $ρ \in M c$ como $ρ = u+is$ , donde $u$ es la velocidad cuádruple de la partícula, satisfaciendo $u 2 = 1$ y $s$ es el vector de espín 4D, que también es el pseudovector de Pauli–Lubanski que satisface $s 2 = - 1$ y $u \cdot s = 0 .$

Espacio de Minkowski generalizado

El espacio de Minkowski se refiere a una formulación matemática en cuatro dimensiones. Sin embargo, las matemáticas se pueden ampliar o simplificar fácilmente para crear un espacio de Minkowski generalizado análogo en cualquier número de dimensiones. Si $n \geq 2$ , el espacio de Minkowski $n$ -dimensional es un espacio vectorial de dimensión real $n$ sobre el que existe una métrica constante de Minkowski de firma $(n - 1, 1)$ o $(1, n - 1)$ . Estas generalizaciones se utilizan en teorías en las que se supone que el espacio-tiempo tiene más o menos de $4$ dimensiones. La teoría de cuerdas y la teoría M son dos ejemplos donde $n > 4$ . En la teoría de cuerdas, aparecen teorías de campos conformes con dimensiones de espacio-tiempo $1 + 1$ .

El espacio de Sitter se puede formular como una subvariedad del espacio de Minkowski generalizado, al igual que los espacios modelo de la geometría hiperbólica (ver más abajo).

Curvatura

Como un espaciotiempo plano, los tres componentes espaciales del espaciotiempo de Minkowski siempre obedecen al Teorema de Pitágoras. El espacio de Minkowski es una base adecuada para la relatividad especial, una buena descripción de sistemas físicos sobre distancias finitas en sistemas sin gravitación significativa. Sin embargo, para tener en cuenta la gravedad, los físicos utilizan la teoría de la relatividad general, que se formula en las matemáticas de una geometría no euclidiana. Cuando esta geometría se utiliza como modelo del espacio físico, se le conoce como espacio curvo.

Incluso en el espacio curvo, el espacio de Minkowski sigue siendo una buena descripción en una región infinitesimal que rodea cualquier punto (salvo las singularidades gravitatorias). De manera más abstracta, decimos que en presencia de la gravedad, el espacio-tiempo se describe mediante una variedad curva de 4 dimensiones para la cual el espacio tangente a cualquier punto es un espacio de Minkowski de 4 dimensiones. Así, la estructura del espacio de Minkowski sigue siendo esencial en la descripción de la relatividad general.

Geometría

El significado del término geometría para el espacio de Minkowski depende en gran medida del contexto. El espacio de Minkowski no está dotado de una geometría euclidiana, y tampoco de ninguna de las geometrías riemannianas generalizadas con curvatura intrínseca, las expuestas por los espacios modelo en geometría hiperbólica (curvatura negativa) y la geometría modelada por la esfera (curvatura positiva). La razón es la indefinición de la métrica de Minkowski. El espacio de Minkowski, en particular, no es un espacio métrico ni una variedad de Riemann con una métrica de Riemann. Sin embargo, el espacio de Minkowski contiene subvariedades dotadas de una métrica de Riemann que produce una geometría hiperbólica.

Modelar espacios de geometría hiperbólica de baja dimensión, digamos $2$ o $3$ , no puede ser incrustado isométricamente en el espacio euclidiano con una dimensión más, es decir, $ℝ 3$ o $ℝ 4$ respectivamente, con la métrica euclidiana $g$ , que no permite fácil visualización. En comparación, los espacios modelo con curvatura positiva son solo esferas en el espacio euclidiano de una dimensión superior. Los espacios hiperbólicos pueden incrustarse isométricamente en espacios de una dimensión más cuando el espacio de incrustación está dotado de la métrica de Minkowski $η$ .

Definir $H 1(n) R \subset M n +1$ para ser la hoja superior ( $ct > 0$ ) del hiperboloide

0right}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">HR1()n)={}()ct,x1,...... ,xn)▪ ▪ Mn:c2t2− − ()x1)2− − ⋯ ⋯ − − ()xn)2=R2,ct■0}{displaystyle mathbf {H} _{1(n)}=left{left(ct,x^{1},ldotsx^{n}right)in mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-left(x^{1}right)^{2}-cdots -left(x^{n}right)^{2}=R^{2},ct confidencial0right}}}0right}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f892570a2069264aa22856a7d0cc7866faa30cb" style="vertical-align: -1.838ex; width:74.502ex; height:4.843ex;"/>

en el espacio de Minkowski generalizado $M n +1$ de la dimensión del espacio-tiempo $n + 1$ . Esta es una de las superficies de transitividad del grupo de Lorentz generalizado. La métrica inducida en esta subvariedad,

{displaystyle h_{R}^{1(n)}=iota ^{*}eta}

el retroceso de la métrica de Minkowski $η$ bajo inclusión, es una métrica de Riemann. Con esta métrica $H 1(n) R$ es una variedad de Riemann. Es uno de los espacios modelo de la geometría de Riemann, el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico. Es un espacio de curvatura negativa constante $-1/ R 2$ . El $1$ en el índice superior se refiere a una enumeración de los diferentes espacios modelo de geometría hiperbólica, y el $n$ por su dimensión. Un $2(2)$ corresponde al modelo de disco de Poincaré, mientras que $3(n)$ corresponde a el modelo de semiespacio de Poincaré de dimensión $n$ .

Preliminares

En la definición anterior $ι : H 1(n) R \to M n +1$ es el mapa de inclusión y el superíndice la estrella denota el retroceso. El presente propósito es describir esta operación y otras similares como preparación para la demostración real de que $H 1(n) R$ en realidad es un espacio hiperbólico.

Comportamiento de tensores bajo inclusión, retroceso de tensores covariantes bajo mapas generales y avance de vectores bajo mapas generales
Comportamiento de tensores bajo inclusión: Para mapas de inclusión de un submanifold $S$ en $M$ y un inquilino covariante $α$ de orden $k$ on $M$ sostiene que ${displaystyle iota ^{}alpha left(X_{1},,X_{2},,ldots,X_{k}right)=alpha left(iota _{}X_{1},,iota _{}X_{2},,ldots,iota _{}X_{k}right)=alpha left(X_{1},,X_{2},,ldots,X_{k}right),}$ Donde $X 1, X 1,..., X k$ son campos vectoriales en $S$ . La estrella del subscripto denota el impulso (que se introducirá más adelante), y es en este caso especial simplemente el mapa de identidad (como es el mapa de inclusión). Esta última igualdad sostiene porque un espacio tangente a un submanifold en un punto es de una manera canónica un subespacio del espacio tangente del doble en el punto en cuestión. Uno puede simplemente escribir ${displaystyle iota ^{}alpha =alpha \|_{S},}$ significar (con ligero abuso de notación) la restricción de $α$ para aceptar como vectores de entrada tangente a algunos $s ▪ S$ sólo. Pullback of tensors under general maps:* La retirada de un covariante $k$ -tensor $α$ (uno tomando sólo vectores contravariantes como argumentos) bajo un mapa $F : M \to N$ es un mapa lineal ${displaystyle F^{}colon T_{F(p)}^{k}Nrightarrow T_{p}^{k}M,}$ para cualquier espacio vectorial $V$ , ${displaystyle T^{k}V=underbrace {V^{}otimes V^{}otimes cdots otimes V^{}} _{k{text{ times}}}.}$ Se define por ${displaystyle F^{}(alpha)left(X_{1},,X_{2},,ldots,X_{k}right)=alpha left(F_{}X_{1},,F_{}X_{2},,ldots,F_{}X_{k}right),}$ donde la estrella del subscripto denota el avance del mapa $F$ , y $X 1, X 2,..., X k$ son vectores en $T p M$ . (Esto está de acuerdo con lo que se detalló sobre el retroceso del mapa de inclusión. En el caso general aquí, no se puede proceder como simplemente porque $F Alternativa X 1 ل X 1$ en general.) El avance de los vectores bajo mapas generales: Heuristically, pulling back a tensor to $p ▪ M$ desde $F () p) N$ alimentarlo vectores residentes en $p ▪ M$ es por definición lo mismo que impulsar los vectores de $p ▪ M$ a $F () p) N$ alimentarlos al tensor que reside en $F () p) N$ . Más desenrollando las definiciones, el avance $F Alternativa : TM p \to TN F () p)$ de un campo vectorial bajo un mapa $F : M \to N$ entre las mangas se define por ${displaystyle F_{}(X)f=X(fcirc F),}$ Donde $f$ es una función en $N$ . Cuando $M = R m, N = R n$ el empujón $F$ reduce a $DF : R m \to R n$ , la diferencial común, que es dada por la matriz jacobiana de derivados parciales de las funciones componentes. El diferencial es la mejor aproximación lineal de una función $F$ desde $R m$ a $R n$ . El pushforward es la versión suave de esto. Actúa entre espacios tangentes, y está en coordenadas representadas por la matriz jacobina de la coordinación* de la función. El retroceso correspondiente es el mapa dual del espacio dual de la gama tangente al espacio dual del dominio tangente, es decir, es un mapa lineal, ${displaystyle F^{}colon T_{F(p)}^{}Nrightarrow T_{p}^{*}M.}$

Proyección estereográfica hiperbólica

El arco circular rojo es geodésico en el modelo de disco Poincaré; proyecta al geodésico marrón en el hiperboloide verde.

Para exhibir la métrica, es necesario recuperarla mediante una parametrización adecuada. Una parametrización de una subvariedad $S$ de $M$ es un mapa $U \subset R m \to M$ cuyo rango es un subconjunto abierto de $S$ . Si $S$ tiene la misma dimensión que $M$ , una parametrización es simplemente la inversa de un mapa de coordenadas $φ : M \to U \subset R m$ . La parametrización a utilizar es la inversa de la proyección estereográfica hiperbólica. Esto se ilustra en la figura de la izquierda para $n = 2$ . Es instructivo comparar con la proyección estereográfica para esferas.

Proyección estereográfica $σ : H n R \to R n$ y su inversa $σ -1 : R n \to H n R$ vienen dados por

{displaystyle {begin{aligned}sigma (taumathbf {x})=mathbf {u} &={frac {Rmathbf {x} }{R+tau }},\sigma ^{-1}(mathbf {u})=(taumathbf {x})&=left(R{frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{frac {2R^{2}mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}right),end{aligned}}}

donde, para simplificar, $τ \equiv ct$ . Las $(τ, x)$ son coordenadas en $M n +1$ y $u$ son coordenadas en $R n$ .

Derivación detallada

Vamos

0right}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">HRn={}()τ τ ,x1,...... ,xn)⊂ ⊂ M:− − τ τ 2+()x1)2+⋯ ⋯ +()xn)2=− − R2,τ τ ■0}{displaystyle mathbf {H} _{n}=left{taux^{1},ldotsx^{n}right)subset mathbf {M}:-tau ^{2}+left(x^{1}right)^{2}+cdots +left(x^{n}right)^{2}=-R^{2},tau œ0right}}0right}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8dd1d9ad1fe8d908fbd1d99482675d82cd1400" style="vertical-align: -1.838ex; width:72.385ex; height:4.843ex;"/>

y dejar

{displaystyle S=(-R,0,ldots0)}

{displaystyle P=left(taux^{1},ldotsx^{n}right)in mathbf {H} _{R}^{n},}

entonces es geométricamente claro que el vector

{displaystyle {overrightarrow {PS}}}

interseca el hiperplano

{displaystyle left{left(taux^{1},ldotsx^{n}right)in M:tau =0right}}

una vez en punto denotado

{displaystyle U=left(0,u^{1}(P),ldotsu^{n}(P)right)equiv (0,mathbf {u}).}

Uno tiene

{displaystyle {begin{aligned}S+{overrightarrow {SU}}&=URightarrow {overrightarrow {SU}}=U-S,\S+{overrightarrow {SP}}&=PRightarrow {overrightarrow {SP}}=P-Send{aligned}}.}

{displaystyle {begin{aligned}{overrightarrow {SU}}&=(0,mathbf {u})-(-R,mathbf {0})=(R,mathbf {u}),\{overrightarrow {SP}}&=(taumathbf {x})-(-R,mathbf {0})=(tau +R,mathbf {x}).end{aligned}}}

Por la construcción de proyección estereográfica uno tiene

{displaystyle {overrightarrow {SU}}=lambda (tau){overrightarrow {SP}}.}

Esto conduce al sistema de ecuaciones

{displaystyle {begin{aligned}R&=lambda (tau +R),\mathbf {u} &=lambda mathbf {x}.end{aligned}}}

El primero de estos es resuelto para $lambda$ y se obtiene para proyección estereográfica

{displaystyle sigma (taumathbf {x})=mathbf {u} ={frac {Rmathbf {x} }{R+tau }}.}

Siguiente, el inverso ${displaystyle sigma ^{-1}(u)=(taumathbf {x})}$ debe calcularse. Use las mismas consideraciones que antes, pero ahora con

{displaystyle {begin{aligned}U&=(0,mathbf {u})\P&=(tau (mathbf {u}),mathbf {x} (mathbf {u})).end{aligned}}}

Uno se pone

{displaystyle {begin{aligned}tau &={frac {R(1-lambda)}{lambda }},\mathbf {x} &={frac {mathbf {u} }{lambda }},end{aligned}}}

pero ahora $lambda$ dependiendo de ${displaystyle mathbf {u}.}$ La condición para $P$ miente en el hiperboloide

{displaystyle -tau ^{2}+|mathbf {x} |^{2}=-R^{2},}

{displaystyle -{frac {R^{2}(1-lambda)^{2}}{lambda ^{2}}}+{frac {|mathbf {u} |^{2}}{lambda ^{2}}}=-R^{2},}

conduce a

{displaystyle lambda ={frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.}

Con esto $lambda$ , uno obtiene

{displaystyle sigma ^{-1}(mathbf {u})=(taumathbf {x})=left(R{frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{frac {2R^{2}mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}right).}

Retrocediendo la métrica

Uno tiene

{displaystyle h_{R}^{1(n)}=eta |_{mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=left(dx^{1}right)^{2}+ldots +left(dx^{n}right)^{2}-dtau ^{2}}

y el mapa

{displaystyle sigma ^{-1}:mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbf {H} _{R}^{1(n)};quad sigma ^{-1}(mathbf {u})=(tau (mathbf {u}),,mathbf {x} (mathbf {u}))=left(R{frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},,{frac {2R^{2}mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}right).}

La métrica retirada se puede obtener mediante métodos sencillos de cálculo;

{displaystyle left.left(sigma ^{-1}right)^{*}eta right|_{mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=left(dx^{1}(mathbf {u})right)^{2}+ldots +left(dx^{n}(mathbf {u})right)^{2}-left(dtau (mathbf {u})right)^{2}.}

Uno calcula de acuerdo con las reglas estándar para calcular diferenciales (aunque en realidad uno está calculando las derivadas exteriores rigurosamente definidas),

{displaystyle {begin{aligned}dx^{1}(mathbf {u})&=dleft({frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}right)={frac {partial }{partial u^{1}}}{frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+ldots +{frac {partial }{partial u^{n}}}{frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{frac {partial }{partial tau }}{frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}dtau\& vdots \dx^{n}(mathbf {u})&=dleft({frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}right)=cdots\dtau (mathbf {u})&=dleft(R{frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}right)=cdotsend{aligned}}}

y sustituye los resultados en el lado derecho. Esto produce

{displaystyle left(sigma ^{-1}right)^{*}h_{R}^{1(n)}={frac {4R^{2}left[left(du^{1}right)^{2}+ldots +left(du^{n}right)^{2}right]}{left(R^{2}-|u|^{2}right)^{2}}}equiv h_{R}^{2(n)}.}

Esbozo detallado de la computación
Uno tiene ${displaystyle {begin{aligned}{frac {partial }{partial u^{1}}}{frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}du^{1}&={frac {2left(R^{2}-\|u\|^{2}right)+4R^{2}left(u^{1}right)^{2}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}}du^{1},\{frac {partial }{partial u^{2}}}{frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}du^{2}&={frac {4R^{2}u^{1}u^{2}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}}du^{2},end{aligned}}}$ y ${displaystyle {frac {partial }{partial tau }}{frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}dtau ^{2}=0.}$ Con este puede escribir ${displaystyle dx^{1}(mathbf {u})={frac {2R^{2}left(R^{2}-\|u\|^{2}right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(mathbf {u} cdot dmathbf {u})}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}},}$ de la cual ${displaystyle left(dx^{1}(mathbf {u})right)^{2}={frac {4R^{2}left(r^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}left(du^{1}right)^{2}+16R^{4}left(R^{2}-\|u\|^{2}right)left(mathbf {u} cdot dmathbf {u} right)u^{1}du^{1}+16R^{4}left(u^{1}right)^{2}left(mathbf {u} cdot dmathbf {u} right)^{2}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{4}}}.}$ Resumiendo esta fórmula se obtiene ${displaystyle {begin{aligned}&left(dx^{1}(mathbf {u})right)^{2}+ldots +left(dx^{n}(mathbf {u})right)^{2}\={}&{frac {4R^{2}left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}left[left(du^{1}right)^{2}+ldots +left(du^{n}right)^{2}right]+16R^{4}left(R^{2}-\|u\|^{2}right)(mathbf {u} cdot dmathbf {u})(mathbf {u} cdot dmathbf {u})+16R^{4}\|u\|^{2}(mathbf {u} cdot dmathbf {u})^{2}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{4}}}\={}&{frac {4R^{2}left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}left[left(du^{1}right)^{2}+ldots +left(du^{n}right)^{2}right]}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{4}}}+R^{2}{frac {16R^{4}(mathbf {u} cdot dmathbf {u})}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{4}}}.end{aligned}}}$ Del mismo modo, $τ$ uno se pone ${displaystyle dtau =sum _{i=1}^{n}{frac {partial }{partial u^{i}}}R{frac {R^{2}+\|u\|^{2}}{R^{2}+\|u\|^{2}}}du^{i}+{frac {partial }{partial tau }}R{frac {R^{2}+\|u\|^{2}}{R^{2}+\|u\|^{2}}}dtau =sum _{i=1}^{n}R^{4}{frac {4R^{2}u^{i}du^{i}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)}},}$ rendimiento ${displaystyle -dtau ^{2}=-left(R{frac {4R^{4}left(mathbf {u} cdot dmathbf {u} right)}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}}right)^{2}=-R^{2}{frac {16R^{4}(mathbf {u} cdot dmathbf {u})^{2}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{4}}}.}$ Ahora agrega esta contribución para finalmente conseguir ${displaystyle left(sigma ^{-1}right)^{*}h_{R}^{1(n)}={frac {4R^{2}left[left(du^{1}right)^{2}+ldots +left(du^{n}right)^{2}right]}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}}equiv h_{R}^{2(n)}.}$

Esta última ecuación muestra que la métrica de la pelota es idéntica a la métrica de Riemann $h 2(n) R$ en el modelo de bola de Poincaré, otro modelo estándar de geometría hiperbólica.

Cálculo alternativo usando el pushforward
El pullback puede ser calculado de una manera diferente. Por definición, ${displaystyle left(sigma ^{-1}right)^{}h_{R}^{1(n)}(V,,V)=h_{R}^{1(n)}left(left(sigma ^{-1}right)_{}V,,left(sigma ^{-1}right)_{}Vright)=eta \|_{mathbf {H} _{R}^{1(n)}}left(left(sigma ^{-1}right)_{}V,,left(sigma ^{-1}right)_{}Vright).}$ En coordenadas, ${displaystyle left(sigma ^{-1}right)_{}V=left(sigma ^{-1}right)_{}V^{i}{frac {partial }{partial u^{i}}}=V^{i}{frac {partial x^{j}}{partial u^{i}}}{frac {partial }{partial x^{j}}}+V^{i}{frac {partial tau }{partial u^{i}}}{frac {partial }{partial tau }}=V^{i}{frac {partial }{x}}^{j}{partial u^{i}}{frac {partial }{partial x^{j}}}+V^{i}{frac {partial }{tau }}{partial u^{i}}{frac {partial }{partial tau }}=Vx^{j}{frac {partial }{partial x^{j}}}+Vtau {frac {partial }{partial tau }}.}$ Uno tiene de la fórmula para $σ -1$ ${displaystyle {begin{aligned}Vx^{j}&=V^{i}{frac {partial }{partial u^{i}}}left({frac {2R^{2}u^{j}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}right)={frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}-{frac {4R^{2}u^{j}langle mathbf {V},mathbf {u} rangle }{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}},quad left({text{here }}V\|u\|^{2}=2sum _{k=1}^{n}V^{k}u^{k}equiv 2langle mathbf {V},mathbf {u} rangle right)\Vtau &=Vleft(R{frac {R^{2}+\|u\|^{2}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}right)={frac {4R^{3}langle mathbf {V},mathbf {u} rangle }{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}}.end{aligned}}}$ Por último, ${displaystyle eta left(sigma _{}^{-1}V,,sigma _{*}^{-1}Vright)=sum _{j=1}^{n}left(Vx^{j}right)^{2}-(Vtau)^{2}={frac {4R^{4}\|V\|^{2}}{left(R^{2}-\|u\|^{2}right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,z,V),}$ y se llega a la misma conclusión.

Observaciones

^ Esto hace que la distancia espacial sea invariable.
^ El uso consistente de los términos "Producto interior de Minkowski", "Norma de Minkowski" o "Metric de Minkowski" está destinado a la forma bilineal aquí, ya que es en uso generalizado. No es por ningún medio "estándar" en la literatura, pero ninguna terminología estándar parece existir.
^ Traducir el sistema de coordenadas para que el evento sea el nuevo origen.
^ Esto corresponde a la coordinación del tiempo, ya sea aumentando o disminuyendo cuando el tiempo adecuado para cualquier partícula aumenta. Una aplicación de $T$ gira esta dirección.
^ Para la comparación y motivación de la terminología, tome una métrica Riemanniana, que proporciona una forma bilineal simétrica positiva, es decir, un producto interno adecuado en cada punto en un múltiple.
^ Esta similitud entre espacio plano y espacio curvado a escalas infinitamente pequeñas de distancia es fundamental para la definición de un múltiple en general.
^ Ahí está. es una incrustación isométrica en $R n$ según el teorema de incrustación de Nash (Nash (1956)), pero la dimensión de incrustación es mucho mayor, $n = m /2)(m + 1)(3) m + 11)$ para un grupo Riemanniano de dimensión $m$ .

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