Espacio métrico completo

En análisis matemático, un espacio métrico M se llama completo (o un espacio de Cauchy) si cada secuencia de puntos de Cauchy en M tiene un límite que también está en M.

Intuitivamente, un espacio está completo si no hay "puntos perdidos" de él (dentro o en el límite). Por ejemplo, el conjunto de números racionales no es completo, porque por ejemplo. 2{displaystyle {sqrt {2}} está "perdiendo" de ella, aunque uno puede construir una secuencia Cauchy de números racionales que convergen a ella (ver más ejemplos abajo). Siempre es posible "llenar todos los agujeros", llevando a los finalización de un espacio dado, como se explica a continuación.

Definición

Secuencia de Cauchy

Una secuencia x1,x2,x3,...... {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots } en un espacio métrico ()X,d){displaystyle (X,d)} se llama Cauchy si por cada número real positivo 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/> hay un entero positivo N{displaystyle N} tal que para todos los enteros positivos N,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n■N,{displaystyle m,n confiarN,}N,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9094a3638fb58cca3528e0ddcc970181f22d6d3e" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.278ex; height:2.509ex;"/>

Espacio completo

Un espacio métrico ()X,d){displaystyle (X,d)} es completo si alguna de las siguientes condiciones equivalentes está satisfecha:

1. Cada secuencia Cauchy de puntos en X{displaystyle X} tiene un límite que también está X.{displaystyle X.}
2. Cada secuencia de Cauchy X{displaystyle X} convergencias en X{displaystyle X} (es decir, a algún punto X{displaystyle X}).
3. Cada secuencia decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de X,{displaystyle X. con diámetros que tienden a 0, tiene una intersección no vacía: si Fn{displaystyle F_{n} está cerrado y no vacío, Fn+1⊆ ⊆ Fn{displaystyle F_{n+1}subseteq F_{n} para todos n,{displaystyle n,} y diam⁡ ⁡ ()Fn)→ → 0,{displaystyle operatorname {diam} left(F_{n}right)to 0,} entonces hay un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} común a todos los conjuntos Fn.{displaystyle F_{n}.

Ejemplos

El espacio Q de números racionales, con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia, no es completo. Considere por ejemplo la secuencia definida por x1=1{displaystyle x_{1}=1} y xn+1=xn2+1xn.{displaystyle x_{n+1}={frac {x_{n}{2}+{frac} {1}{x_{n}}}} Esta es una secuencia Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: Si la secuencia tenía un límite x,{displaystyle x,} entonces por resolver x=x2+1x{displaystyle x={frac {x}{2}+{frac} {1}{x}} necesariamente x2=2,{displaystyle x^{2}=2,} sin embargo, ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, considerado como una secuencia de números reales, converge al número irracional 2{displaystyle {sqrt {2}}.

El intervalo abierto (0,1), de nuevo con la métrica de valor absoluto, tampoco está completo. La secuencia definida por {xn=1n{displaystyle x_{n}={tfrac {1}{n}}} es Cauchy, pero no tiene un límite en el espacio dado. Sin embargo el intervalo cerrado [0,1] está completo; por ejemplo, la secuencia dada tiene un límite en este intervalo y el límite es cero.

El espacio R de los números reales y el espacio C de los números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto) están completos, al igual que el espacio euclidiano Rⁿ, con la métrica de distancia habitual. Por el contrario, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden o no estar completos; los que son completos son espacios de Banach. El espacio C[a, b] de funciones continuas de valores reales en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach, y por tanto un espacio métrico completo, con respecto a la norma suprema. Sin embargo, la norma suprema no da una norma sobre el espacio C(a, b) de funciones continuas sobre (a, b), ya que puede contener funciones ilimitadas. En cambio, con la topología de convergencia compacta, a C(a, b) se le puede dar la estructura de un espacio de Fréchet: un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica invariante de traducción completa.

El espacio Q_p p-adic números está completo para cualquier número primo p.{displaystyle p.} Este espacio completa Q con el p- métrica adictiva de la misma manera que R completes Q con la métrica habitual.

Si S{displaystyle S. es un conjunto arbitrario, entonces el conjunto S^N de todas las secuencias en S{displaystyle S. se convierte en un espacio métrico completo si definimos la distancia entre las secuencias ()xn){displaystyle left(x_{n}right)} y ()Sí.n){displaystyle left(y_{n}right)} para ser 1N{fnMicroc} {1}{N}} Donde N{displaystyle N} es el índice más pequeño para el cual xN{displaystyle x_{N} es distinto Sí.N{displaystyle Y... o 0{displaystyle 0} si no hay tal índice. Este espacio es homeomórfico al producto de un número contable de copias del espacio discreto S.{displaystyle S.}

Las variedades de Riemann que están completas se denominan variedades geodésicas; la completitud se deriva del teorema de Hopf-Rinow.

Algunos teoremas

Cada espacio métrico compacto es completo, aunque los espacios completos no necesitan ser compactos. De hecho, un espacio métrico es compacto si es completo y totalmente atado. Esta es una generalización del teorema Heine-Borel, que declara que cualquier subespacial cerrado y atado S{displaystyle S. de Rⁿ es compacto y por lo tanto completo.

Vamos ()X,d){displaystyle (X,d)} ser un espacio métrico completo. Si A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} es un conjunto cerrado, entonces A{displaystyle A} también está completo. Vamos ()X,d){displaystyle (X,d)} ser un espacio métrico. Si A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} es un subespacio completo, entonces A{displaystyle A} también está cerrado.

Si X{displaystyle X} es un conjunto y M{displaystyle M} es un espacio métrico completo, entonces el conjunto B()X,M){displaystyle B(X,M)} de todas las funciones vinculadas f desde X a M{displaystyle M} es un espacio métrico completo. Aquí definimos la distancia en B()X,M){displaystyle B(X,M)} en términos de la distancia en M{displaystyle M} con la norma supremum

d()f,g)↑ ↑ Sup{}d[f()x),g()x)]:x▪ ▪ X}{displaystyle d(f,g)equiv sup{d[f(x),g(x)]:xin X}}

Si X{displaystyle X} es un espacio topológico y M{displaystyle M} es un espacio métrico completo, entonces el conjunto Cb()X,M){displaystyle C_{b}(X,M)} que consiste en todas las funciones fijas continuas f:X→ → M{displaystyle f:Xto M} es un subespacio cerrado B()X,M){displaystyle B(X,M)} y por lo tanto también completo.

El teorema de la categoría de Baire dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire. Es decir, la unión de muchos subconjuntos contablemente densos en ninguna parte del espacio tiene un interior vacío.

El teorema del punto fijo de Banach establece que un mapeo de contracción en un espacio métrico completo admite un punto fijo. El teorema del punto fijo se usa a menudo para demostrar el teorema de la función inversa en espacios métricos completos, como los espacios de Banach.

Finalización

Para cualquier espacio métrico M, es posible construir un espacio métrico completo M′ (que también se denota como M̄ ̄ {displaystyle {fn}}), que contiene M como un subespacial denso. Tiene la siguiente propiedad universal: N es cualquier espacio métrico completo y f es cualquier función uniformemente continua de M a N, entonces existe una función uniforme única f desde M′ a N que se extiende f. El espacio M ' está determinado a la isometría por esta propiedad (entre todos los espacios métricos completos que contiene isométricamente M), y se llama el finalización de M.

The completion of M se puede construir como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias Cauchy en M. Para cualquier dos secuencias de Cauchy x∙ ∙ =()xn){displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)} y Sí.∙ ∙ =()Sí.n){displaystyle y_{bullet }=left(y_{n}right)} dentro M, podemos definir su distancia como

d()x∙ ∙ ,Sí.∙ ∙ )=limnd()xn,Sí.n){displaystyle dleft(x_{bullet },y_{bullet }right)=lim _{n}dleft(x_{n},y_{n}right)}

(Este límite existe porque los números reales están completos). Esto es solo una pseudométrica, no una métrica, ya que dos secuencias de Cauchy diferentes pueden tener la distancia 0. Pero "teniendo la distancia 0" es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy, y el conjunto de clases de equivalencia es un espacio métrico, la terminación de M. El espacio original está incrustado en este espacio a través de la identificación de un elemento x de M' con la clase de equivalencia de secuencias en M convergentes a x (es decir, la clase de equivalencia que contiene la secuencia con valor constante x). Esto define una isometría en un subespacio denso, según se requiera. Nótese, sin embargo, que esta construcción hace uso explícito de la completitud de los números reales, por lo que la compleción de los números racionales necesita un tratamiento ligeramente diferente.

La construcción de Cantor de los números reales es similar a la construcción anterior; los números reales son la terminación de los números racionales utilizando el valor absoluto ordinario para medir distancias. La sutileza adicional a la que hay que enfrentarse es que no es lógicamente permisible utilizar la integridad de los números reales en su propia construcción. Sin embargo, las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy se definen como arriba, y el conjunto de clases de equivalencia se muestra fácilmente como un campo que tiene los números racionales como un subcampo. Este campo es completo, admite un ordenamiento total natural, y es el único campo completo totalmente ordenado (salvo isomorfismo). Está definido como el campo de los números reales (ver también Construcción de los números reales para más detalles). Una forma de visualizar esta identificación con los números reales como se ve habitualmente es que la clase de equivalencia que consiste en aquellas secuencias de Cauchy de números racionales que "deberían" tener un límite real dado se identifica con ese número real. Los truncamientos de la expansión decimal dan solo una opción de secuencia de Cauchy en la clase de equivalencia relevante.

Para un primo p,{displaystyle p,} los números p-adic surgen completando los números racionales con respecto a una métrica diferente.

Si el procedimiento de finalización anterior se aplica a un espacio vectorial normado, el resultado es un espacio de Banach que contiene el espacio original como un subespacio denso, y si se aplica a un espacio de producto interno, el resultado es un espacio de Hilbert que contiene el espacio original. el espacio original como un subespacio denso.

Espacios topológicamente completos

La completitud es una propiedad de la métrica y no de la topología, lo que significa que un espacio métrico completo puede ser homeomorfo a uno incompleto. Un ejemplo lo dan los números reales, que son completos pero homeomorfos al intervalo abierto (0,1), que no es completo.

En topología se consideran espacios completamente metrizables, espacios para los cuales existe al menos una métrica completa que induce la topología dada. Los espacios completamente metrizables se pueden caracterizar como aquellos espacios que se pueden escribir como una intersección de muchos subconjuntos abiertos numerables de algún espacio métrico completo. Dado que la conclusión del teorema de la categoría de Baire es puramente topológica, también se aplica a estos espacios.

Los espacios completamente metrizables a menudo se denominan topológicamente completos. Sin embargo, el último término es un tanto arbitrario ya que métrica no es la estructura más general en un espacio topológico para la cual se puede hablar de completitud (ver la sección Alternativas y generalizaciones). De hecho, algunos autores usan el término topológicamente completo para una clase más amplia de espacios topológicos, los espacios completamente uniformizables.

Un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo separable se denomina espacio polaco.

Alternativas y generalizaciones

Como las secuencias de Cauchy también se pueden definir en grupos topológicos generales, una alternativa a confiar en una estructura métrica para definir la integridad y construir la terminación de un espacio es utilizar una estructura de grupo. Esto se ve más a menudo en el contexto de espacios vectoriales topológicos, pero sólo requiere la existencia de una operación continua de "sutracción". En este entorno, la distancia entre dos puntos x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} es gauged no por un número real ε ε {displaystyle varepsilon } vía métrica d{displaystyle d} en la comparación <math alttext="{displaystyle d(x,y)d()x,Sí.).ε ε ,{displaystyle d(x,y)<img alt="{displaystyle d(x,y) pero por un barrio abierto N{displaystyle N} de 0{displaystyle 0} a través de la resta en la comparación x− − Sí.▪ ▪ N.{displaystyle x-yin N.}

Una generalización común de estas definiciones se puede encontrar en el contexto de un espacio uniforme, donde un entorno es un conjunto de todos los pares de puntos que están a no más de una "distancia" particular; de cada uno.

También es posible reemplazar a Cauchy secuencias en la definición de integridad por Cauchy nets o filtros Cauchy. Si cada red Cauchy (o equivalentemente cada filtro Cauchy) tiene un límite X,{displaystyle X. entonces X{displaystyle X} se llama completo. También se puede construir una terminación para un espacio uniforme arbitrario similar a la terminación de los espacios métricos. La situación más general en la que se aplican las redes Cauchy es los espacios Cauchy; estos también tienen una noción de integridad y terminación como los espacios uniformes.