Espacio medible

En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

Definición

Considerar un conjunto ${displaystyle X}$ y un álgebra ${displaystyle {fnMithcal}}$ on ${displaystyle X.}$ Entonces el tuple ${displaystyle (X,{mathcal {A})}$ se llama un espacio mensurable.

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

Mira el conjunto:

$${displaystyle X={1,2,3}$$

${displaystyle sigma }$

$${fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}.$$

${displaystyle left(X,{mathcal {A}_{1}right)}$

${displaystyle sigma }$

${displaystyle X}$

$${displaystyle {mathcal {}_{2}={mathcal {}(X).}$$

${displaystyle X}$

${displaystyle left(X,{mathcal {A}_{2}right). }$

Espacios medibles comunes

Si ${displaystyle X}$ es finito o contablemente infinito, el ${displaystyle sigma }$- el álgebra es más a menudo el poder establecido en ${displaystyle X.$ Así que... ${displaystyle {mathcal {}={mathcal {}(X).}$ Esto conduce al espacio mensurable ${displaystyle (X,{mathcal {}(X)). }$

Si ${displaystyle X}$ es un espacio topológico, el ${displaystyle sigma }$- el álgebra es más común Borel ${displaystyle sigma }$- álgebra ${displaystyle {Mathcal {B}}$ Así que... ${displaystyle {mathcal {}={mathcal {B}(X).}$ Esto conduce al espacio mensurable ${displaystyle (X,{mathcal {B}(X)}$ que es común para todos los espacios topológicos como los números reales ${displaystyle mathbb {R}$

Ambigüedad con espacios de Borel

El término espacio de Borel se utiliza para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

• cualquier espacio mensurable, por lo que es un sinónimo de un espacio mensurable tal como se define arriba
• un espacio mensurable que es Borel isomorfo a un subconjunto mensurable de los números reales (de nuevo con el Borel ${displaystyle sigma }$- álgebra)

Familia ${displaystyle {fnMithcal}}$ de conjuntos sobre ${displaystyle Omega }$ v t e
Es necesariamente cierto ${displaystyle {fnMitcal {fnh}fnMicrosoft Sans Serif}$ o, es ${displaystyle {fnMithcal}}$ cerrado bajo:	Dirigida por ${displaystyle ,supseteq }$	${displaystyle Acap B}$	${displaystyle Acup B}$	${displaystyle Bsetminus A}$	${displaystyle Omega setminus A}$	${displaystyle A_{1}cap A_{2}cap cdots$	${displaystyle A_{1}cup A_{2}cup cdots }$	${displaystyle Omega in {mathcal {F}}$	${displaystyle varnothing in {fn}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Nunca
Semialgebra (Semifield)										Nunca
Clase Monotone						sólo si ${displaystyle A_{i}searrow }$	sólo si ${displaystyle A_{i}nearrow }$
λ-system (Dynkin System)				sólo si ${displaystyle Asubseteq B}$			sólo si ${displaystyle A_{i}nearrow }$ o están descompuestos			Nunca
Anillo (teoría del orden)
Anillo (Teoría del Medido)										Nunca
δ-Ring										Nunca
σ-Ring										Nunca
Álgebra (Field)										Nunca
σ-Algebra (σ-Field)										Nunca
Doble ideal
Filtro				Nunca	Nunca				${displaystyle varnothing not in {mathcal {F}$
Prefiltro (Filter base)				Nunca	Nunca				${displaystyle varnothing not in {mathcal {F}$
Subbase de filtro				Nunca	Nunca				${displaystyle varnothing not in {mathcal {F}$
Open Topology							(incluso arbitrarias ${displaystyle cup }$)			Nunca
Topología cerrada						(incluso arbitrarias ${displaystyle cap }$)				Nunca
Es necesariamente cierto ${displaystyle {fnMitcal {fnh}fnMicrosoft Sans Serif}$ o, es ${displaystyle {fnMithcal}}$ cerrado bajo:	hacia abajo	finito intersecciones	finito sindicatos	relativo complementos	complementos dentro ${displaystyle Omega }$	contable intersecciones	contable sindicatos	contiene ${displaystyle Omega }$	contiene ${displaystyle varnothing }$	FiniteIntersection Propiedad
Adicionalmente, a semi- es un sistema π donde cada complemento ${displaystyle Bsetminus A}$ es igual a una unión descomunal finita ${displaystyle {mathcal {}}$ A semialgebra es una semiringida que contiene ${displaystyle Omega.}$ ${displaystyle A,B,A_{1},A_{2},ldots }$ son elementos arbitrarios ${displaystyle {fnMithcal}}$ y se supone que ${displaystyle {mathcal {}neq varnothing.}$