Espacio lp

La norma euclidiana de arriba cae en esta clase y es la norma 2, y la norma 1 es la norma que corresponde a la distancia rectilínea.

La L^∞-norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de las normas L^p para p → ∞. Resulta que este límite es equivalente a la siguiente definición:

$${displaystyleleftfnMicrosoft Sans Serif}=máxmáx\\{1}Principalmente, para siempre, para siempre.$$

Ver L-infinito.

Para todos los p ≥ 1, el p< /span>-norms y la norma máxima como se define arriba satisfacen las propiedades de una "función de longitud" (o norma), que son que:

• sólo el vector cero tiene cero longitud,
• la longitud del vector es homogénea positiva con respecto a la multiplicación por un escalar (homogeneidad positiva), y
• la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores (la desigualdad de triángulo).

En términos abstractos, esto significa que Rⁿ junto con la p-norm es un espacio vectorial normado. Además, resulta que este espacio está completo, lo que lo convierte en un espacio de Banach. Este espacio de Banach es el espacio L^p sobre {1, 2,..., n}.

Relaciones entre normas-p

La distancia de cuadrícula o distancia rectilínea (a veces denominada "distancia de Manhattan") entre dos puntos nunca es más corta que la longitud del segmento de línea entre ellos (la euclidiana o "en línea recta& #34; distancia). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está acotada por su 1-norma:

$${displaystyle leftfnxrightfnh00_{2}leqleftfnxrightfn_{1}$$

Este hecho se generaliza a p-normas en las que p-norm ||x||_p de cualquier vector dado x no crece con p:

Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la norma 1 y la norma 2:

$${displaystyle leftspexrightfnh00_}leq {sqrt {n}leftfnxrightfnh00_{2}~}$$

Esta desigualdad depende de la dimensión n del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

En general, para vectores en ℂⁿ donde 0 < r < p:

$${displaystyle leftfnxderechafn_p}leqleftfnxderechafn_p}leq n^{frac {1}{}-{frac} {1} {p}}leftfnxrightfnMientras$$

Esta es una consecuencia de la desigualdad de Hölder.

Cuando 0 < p < 1

Astroidea, círculo de unidad en p = 2/3 métrica

En Rⁿ para n > 1, la fórmula

$${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$$

$${displaystyle Silencio. - No.$$

Por lo tanto, la función

$${displaystyle d_{p}(x,y)=sum ¿Qué?$$

Aunque la bola p-unit B_n^p alrededor del origen en esta métrica es "cóncavo", la topología definido en Rⁿ por la métrica d_p es la topología de espacio vectorial habitual de Rⁿ, por lo tanto ℓ_n^p es un espacio vectorial topológico localmente convexo. Más allá de esta declaración cualitativa, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de ℓ_n^{< i>p} se denota por C_p(n) la constante más pequeña C tal que el múltiplo C B_n^p del p-unidad de bola contiene el casco convexo de B_{< i>n}^p, igual a B< sub>n¹. El hecho de que para p < 1 tenemos

$${displaystyle C_{p}(n)=n^{frac {1}{p}-1}to inftyquad {text{as }nto infty }$$

Cuando p = 0

Hay una norma ℓ₀ y otra función llamada ℓ₀ "norma" (con comillas).

La definición matemática de la norma ℓ₀ fue establecida por la Teoría de Banach Operaciones Lineales. El espacio de secuencias tiene una topología métrica completa proporcionada por la norma F

$${displaystyle (x_{n})mapsto sum _{n}2^{-n}{frac {fn}¿Por qué?$$

Otra función se denominó ℓ₀ "norma" por David Donoho, cuyas comillas advierten que esta función no es una norma adecuada, es el número de entradas distintas de cero del vector x. Muchos autores abusan de la terminología al omitir las comillas. Definiendo 00 = 0, la "norma" de x es igual a

$${displaystyle - ¿Qué? - No.$$

Un gif animado de p-norms 0.1 a 2 con un paso de 0.05.

Esto no es una norma porque no es homogéneo. Por ejemplo, escalar el vector x mediante una constante positiva no cambia la "norma". A pesar de estos defectos como norma matemática, la "norma" tiene usos en computación científica, teoría de la información y estadísticas, especialmente en la detección comprimida en el procesamiento de señales y el análisis armónico computacional. A pesar de no ser una norma, la métrica asociada, conocida como distancia de Hamming, es una distancia válida, ya que no se requiere homogeneidad para las distancias.

La norma p en infinitas dimensiones y espacios ℓp

El espacio de secuencia ℓp

La norma p se puede extender a vectores que tienen un número infinito de componentes (secuencias), lo que produce el espacio ℓ^p< /lapso>. Este contiene como casos especiales:

• l¹, el espacio de secuencias cuya serie es absolutamente convergente,
• l², el espacio de cuadrada secuencias, que es un espacio Hilbert, y
• l^JUEGO, el espacio de secuencias atadas.

El espacio de sucesiones tiene una estructura de espacio vectorial natural al aplicar la suma y la multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para sucesiones infinitas de números reales (o complejos) vienen dadas por:

$$################################################################################################################################################################################################################################################################$$

Defina la norma p:

$${displaystyle leftfnxrightfnh00}=p} (Principalmente) + turba_{n}ahora {p}p}cdots right)^{1/p}$$

Aquí surge una complicación, a saber, que la serie de la derecha no siempre es convergente, por lo que por ejemplo, la sucesión formada sólo por unos, (1, 1, 1,...), tendrá una p-norma infinita para 1 ≤ p < ∞. El espacio ℓ^p es entonces definido como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (o complejos) tales que la norma p es finita.

Se puede comprobar que a medida que aumenta p, el conjunto ℓ^p crece. Por ejemplo, la secuencia

$${displaystyle left(1,{1}{2}},ldots{frac {1}{n}},{frac {1}{n+1}}},ldots right)}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif}+cdots {fnMicroc} {fn}}}+{frac} {1}{(n+1)}+cdots}$$

Uno también define la norma ∞ usando el supremo:

$${displaystyle leftjustxrightfnh00_{infty }=sup(privx_{1} sobrevivirx_{2} sobre la vida,dotsc habitx_{n} sobre la vida, sobre la vida, sobre la vida, sobre la muerte)}$$

$${displaystyle leftfnxrightfns_{infty }=lim _{pto infty }leftPrinciperightfnción_{p}$$

La norma p así definida en ℓ^p es de hecho una norma, y ℓ^p junto con esta norma es un espacio de Banach. El espacio L^p completamente general se obtiene, como se ve a continuación, al considerar vectores, no solo con valores finitos o contables. infinitamente muchos componentes, pero con "arbitrariamente muchos componentes"; en otras palabras, funciones. Se usa una integral en lugar de una suma para definir la norma p.

General ℓp-espacio

En analogía completa con la definición anterior se puede definir el espacio ${displaystyle ell ^{p}(I)}$ sobre un índice general ${displaystyle Yo...$ (y) ${displaystyle 1leq p buscadoinfty}$como

$${displaystyle ell ^{p}(I)=left{(x_{i})_{iin I'in mathbb [K] ^{I}:sum _{iin Yo estoy inquieto.$$

$${displaystyle leftfnxderechafn_p}=left _{iin Yo estoy aquí.$$

${displaystyle ell ^{p}(I)}$

${displaystyle Yo...$

${displaystyle n}$

${displaystyle p}$

${displaystyle Yo...$

${displaystyle ell ^{p}$

${displaystyle Yo...$

${displaystyle ell ^{p}$

Para ${displaystyle p=2,}$ el ${displaystylefn,cdot , "Perfecto"$-El norm es incluso inducido por un producto interno canónico ${displaystyle langle ,cdot,cdot rangle}$ llamado Producto interior de Euclidea, lo que significa que ${displaystylefnMitbf {x} ################################################################################################################################################################################################################################################################$ para todos los vectores ${displaystyle mathbf {x}$ Este producto interno puede expresarse en términos de la norma utilizando la identidad de polarización. On ${displaystyle ell ^{2}$ puede ser definido por

$${displaystyle langle left(x_{i}right)_{i},left(y_{n}right)_{i}rangle _{ell]. ##{i}x_{i}{overline {y_{i}}}$$

${displaystyle L^{2}(X,mu)}$

${displaystyle (X,Sigmamu),}$

$${displaystyle langle f,grangle _{L^{2}=int _{X}f(x){overline {g(x)}},mathrm {d} x.}$$

Ahora considere el caso ${displaystyle p=infty.}$ Podemos definir

$${displaystyle ell ^{infty }(I)={xin mathbb {K} ^{I}:sup operatorname {range}$$

$${displaystyle "Principio" Cin mathbb {R} _{geq - ¿Qué? C{text{ for all }iin I}={begin{cases}sup operatorname {range} Нельногонныхныхtext{if }Xneq emptyset\0}{if} - Sí.$$

El conjunto índice ${displaystyle Yo...$ se puede convertir en un espacio de medida dándole el álgebra discreta σ-algebra y la medida de conteo. Entonces el espacio ${displaystyle ell ^{p}(I)}$ es sólo un caso especial de lo más general ${displaystyle L^{p}$- espacio (ver abajo).

Lp espacios e integrales de Lebesgue

An L^p espacio puede definirse como un espacio de funciones mensurables para las cuales ${displaystyle p}$-el poder del valor absoluto es Lebesgue integradoble, donde se identifican funciones que coinciden casi en todas partes. Más generalmente, dejar 1 ≤ p ■ y ()S, μ) ser un espacio de medida. Considere el conjunto de todas las funciones mensurables de S a C o R cuyo valor absoluto se eleva a p-la potencia tiene una integral finita, o equivalentemente, que

$${displaystyle sufrimientoff}equiv left(int _{S} sobrevivir_{p};mathrm {d}muright)^{1/p}Seleccionadoinfty.}$$

El conjunto de tales funciones forma un espacio vectorial, con las siguientes operaciones naturales:

$${displaystyle {begin{aligned}(f+g)(x) sensible=f(x)+g(x),(lambda f)(x)nt=lambda f(x)end{aligned}}}$$

Que la suma de dos funciones integrables p-ésima potencia es de nuevo p-ésima potencia integrable se deriva de la desigualdad

$${fnMicrosoft Sans Serif} {p}p}p}p}p}p}p}f}f}f}f}f}fnuncio\fnMicrosoft Sans Serpiente.$$

(Esto viene de la convexidad de ${displaystyle tmapsto t^{p}$ para ${displaystyle pgeq 1}$.)

De hecho, más es verdad. La desigualdad de Minkowski dice que la desigualdad del triángulo Silencio · Silencio_p. Así el conjunto de p-a funciones integrables de potencia, junto con la función Silencio · Silencio_p, es un espacio vectorial seminormado, que es denotado por ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$.

Para p =, el espacio ${displaystyle {mathcal {} {infty}(S,mu)}$ es el espacio de funciones mensurables atado casi en todas partes, con (cuando μ(S)√0) el supremum esencial de su valor absoluto como norma: