Espacio localmente compacto

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio topológico se denomina localmente compacto si, en términos generales, cada pequeña porción del espacio parece una pequeña porción de un espacio compacto. Más precisamente, es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad compacta.

En el análisis matemático, los espacios localmente compactos que son Hausdorff son de particular interés; se abrevian como espacios LCH.

Definición formal

Vamos X ser un espacio topológico. Más comúnmente X se llama localmente compacto si cada punto x de X tiene un barrio compacto, es decir, existe un conjunto abierto U y un conjunto compacto K, tal que x▪ ▪ U⊆ ⊆ K{displaystyle xin Usubseteq K}.

Hay otras definiciones comunes: todas son equivalentes si X es un espacio de Hausdorff (o preregular). Pero son no equivalentes en general:

1. cada punto de X tiene un barrio compacto.

2. cada punto X tiene un barrio compacto cerrado.

2′. cada punto de X tiene un barrio relativamente compacto.

2′′. cada punto de X tiene una base local de barrios relativamente compactos.

3. cada punto de X tiene una base local de barrios compactos.

4. cada punto X tiene una base local de barrios compactos cerrados.

5. X es Hausdorff y satisface cualquier (o equivalente, todos) de las condiciones anteriores.

Relaciones lógicas entre las condiciones:

• Cada condición implica (1).
• Condiciones (2), (2′), (2′′′) son equivalentes.
• Ninguna de las condiciones (2), (3) implica la otra.
• La condición (4) implica (2) y (3).
• La compactación implica condiciones (1) y (2), pero no (3) o (4).

La condición (1) es probablemente la definición más utilizada, ya que es la menos restrictiva y las demás son equivalentes cuando X es Hausdorff. Esta equivalencia es consecuencia del hecho de que los subconjuntos compactos de espacios de Hausdorff son cerrados y los subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos. Los espacios que satisfacen (1) también se denominan ocasionalmente débilmente compacto localmente, ya que satisfacen la más débil de las condiciones aquí.

Como se definen en términos de conjuntos relativamente compactos, los espacios que satisfacen (2), (2'), (2") pueden llamarse más específicamente localmente relativamente compactos. Steen &amperio; Seebach llama a (2), (2'), (2") fuertemente localmente compacta para contrastar con la propiedad (1), a la que llaman localmente compacta.

Espacios condición satisfactoria (4) son exactamente el localmente compacto regular espacios. De hecho, ese espacio es regular, ya que cada punto tiene una base local de barrios cerrados. Por el contrario, en un espacio regular localmente compacto suponen un punto x{displaystyle x} tiene un barrio compacto K{displaystyle K}. Por regularidad, dado un barrio arbitrario U{displaystyle U} de x{displaystyle x}, hay un barrio cerrado V{displaystyle V} de x{displaystyle x} contenidas en K∩ ∩ U{displaystyle Kcap U} y V{displaystyle V} es compacto como un conjunto cerrado en un conjunto compacto.

La condición (5) se usa, por ejemplo, en Bourbaki. Cualquier espacio que sea localmente compacto (en el sentido de la condición (1)) y también Hausdorff satisface automáticamente todas las condiciones anteriores. Dado que en la mayoría de las aplicaciones los espacios compactos localmente también son Hausdorff, estos espacios Hausdorff localmente compactos (LCH) serán los espacios de los que se ocupará principalmente este artículo.

Ejemplos y contraejemplos

Espacios compactos de Hausdorff

Todo espacio compacto de Hausdorff también es localmente compacto, y se pueden encontrar muchos ejemplos de espacios compactos en el artículo espacio compacto. Aquí solo mencionamos:

• el intervalo de unidad [0,1];
• el Cantor establecido;
• el cubo de Hilbert.

Espacios de Hausdorff localmente compactos que no son compactos

• Los espacios euclidianos Rⁿ (y en particular la línea real R) son localmente compacto como consecuencia del teorema Heine-Borel.
• Los múltiples topológicos comparten las propiedades locales de los espacios euclidianos y, por lo tanto, son también todos locales compactos. Esto incluso incluye manifolds noparacompactos como la larga línea.
• Todos los espacios discretos son locales compactos y Hausdorff (sólo son los múltiples dimensiones cero). Estos son compactos sólo si son finitos.
• Todos los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio Hausdorff compacto localmente son compactos localmente en la topología subespacial. Esto ofrece varios ejemplos de subconjuntos locales compactos de espacios euclidianos, como el disco de unidad (ya sea la versión abierta o cerrada).
• El espacio Q_p de números p-adic es localmente compacto, porque es homeomorfo al conjunto Cantor menos un punto. Así, los espacios locales compactos son tan útiles en el análisis p-adic como en el análisis clásico.

Espacios de Hausdorff que no son localmente compactos

Como se menciona en la siguiente sección, si un espacio de Hausdorff es localmente compacto, entonces también es un espacio de Tychonoff. Por esta razón, ejemplos de espacios de Hausdorff que no logran ser localmente compactos por no ser espacios de Tychonoff se pueden encontrar en el artículo dedicado a los espacios de Tychonoff. Pero también hay ejemplos de espacios de Tychonoff que no logran ser localmente compactos, como por ejemplo:

• el espacio Q de números racionales (dotados con la topología de R), ya que cualquier vecindario contiene una secuencia Cauchy correspondiente a un número irracional, que no tiene subsecuencia convergente en Q;
• el subespacio {}()0,0)}∪ ∪ ()()0,JUEGO JUEGO )× × R){displaystyle {(0,0)}cup (0,infty)times mathbf {R} de R2{displaystyle mathbf {R} {2}, ya que el origen no tiene un vecindario compacto;
• la topología límite inferior o topología límite superior en el conjunto R de números reales (útil en el estudio de límites unilaterales);
• cualquier T0, por lo tanto Hausdorff, espacio vectorial topológico que es infinita-dimensional, como un espacio Hilbert de dimensiones infinitas.

Los dos primeros ejemplos muestran que un subconjunto de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto, lo que contrasta con los subconjuntos abiertos y cerrados de la sección anterior. El último ejemplo contrasta con los espacios euclidianos del apartado anterior; para ser más específicos, un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (en cuyo caso es un espacio euclidiano). Este ejemplo también contrasta con el cubo de Hilbert como ejemplo de espacio compacto; no hay contradicción porque el cubo no puede ser una vecindad de ningún punto en el espacio de Hilbert.

Ejemplos que no son de Hausdorff

• La compactación de un punto de los números racionales Q es compacto y por lo tanto localmente compacto en los sentidos (1) y (2), pero no es localmente compacto en los sentidos (3) o (4).
• La topología puntual en cualquier conjunto infinito es localmente compacta en sentidos (1) y (3) pero no en sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindario es todo el espacio, que no es completo.
• La unión disyuntiva de los dos ejemplos anteriores es localmente compacta en sentido (1) pero no en sentidos (2), (3) o (4).
• La topología de orden derecho en la línea real es localmente compacta en sentidos (1) y (3) pero no en sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindario es todo el espacio no-compacto.
• El espacio Sierpiński es localmente compacto en sentidos (1), (2) y (3), y compacto también, pero no es Hausdorff o regular (o incluso preregular) por lo que no es localmente compacto en sentidos (4) o (5). La unión disyuntiva de numerosas copias del espacio Sierpiński (homeomorfo a la topología de Hjalmar Ekdal) es un espacio no-compacto que todavía es localmente compacto en sentidos (1), (2) y (3), pero no (4) o (5).
• Más generalmente, la topología de puntos excluidos es localmente compacta en sentidos (1), (2) y (3), y compacta, pero no localmente compacta en sentidos (4) o (5).
• La topología cofinita en un conjunto infinito es localmente compacta en sentidos (1), (2), y (3), y compacta también, pero no es Hausdorff o regular por lo que no es localmente compacto en sentidos (4) o (5).
• La topología indiscreta en un conjunto con al menos dos elementos es localmente compacta en sentidos (1), (2), (3), y (4), y compacta también, pero no es Hausdorff por lo que no es localmente compacto en sentido (5).

Clases generales de ejemplos

• Cada espacio con una topología Alexandrov es localmente compacto en sentidos (1) y (3).

Propiedades

Todo espacio preregular localmente compacto es, de hecho, completamente regular. De ello se deduce que todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Tychonoff. Dado que la regularidad recta es una condición más familiar que la preregularidad (que suele ser más débil) o la regularidad completa (que suele ser más fuerte), los espacios preregulares localmente compactos normalmente se denominan en la literatura matemática como espacios regulares localmente compactos. Del mismo modo, los espacios de Tychonoff localmente compactos suelen denominarse espacios de Hausdorff localmente compactos.

Todo espacio regular localmente compacto, en particular todo espacio de Hausdorff localmente compacto, es un espacio de Baire. Es decir, se cumple la conclusión del teorema de la categoría de Baire: el interior de toda unión contable de subconjuntos densos en ninguna parte está vacío.

Un subespacio X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y solo si X puede escribirse como la teoría de conjuntos diferencia de dos subconjuntos cerrados de Y. Como corolario, un subespacio denso X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y solo si X es un subconjunto abierto de Y. Además, si un subespacio X de cualquier espacio de Hausdorff Y es localmente compacto, entonces X aún debe ser la diferencia de dos subconjuntos cerrados de Y, aunque no es necesario que lo contrario se cumpla en este caso.

Los espacios cocientes de los espacios de Hausdorff localmente compactos se generan de forma compacta. Por el contrario, cada espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un cociente de algún espacio de Hausdorff localmente compacto.

Para funciones definidas en un espacio localmente compacto, la convergencia uniforme local es lo mismo que la convergencia compacta.

El punto en el infinito

Desde cada compacto local Espacio Hausdorff X es Tychonoff, se puede incrustar en un espacio compacto Hausdorff b()X){displaystyle b(X)} usando la compactación Stone-Čech. Pero de hecho, hay un método más simple disponible en el caso localmente compacto; la compactación de un punto incrustará X en un espacio Hausdorff compacto a()X){displaystyle a(X)} con un punto extra. (La compactación de un punto se puede aplicar a otros espacios, pero a()X){displaystyle a(X)} será Hausdorff si y sólo si X es localmente compacto y Hausdorff.) Por lo tanto, los espacios Hausdorff locales compactos pueden caracterizarse como subconjuntos abiertos de espacios compactos Hausdorff.

Intuitivamente, el punto extra en a()X){displaystyle a(X)} puede ser pensado como punto en el infinito. El punto en el infinito debe ser pensado como tumbado fuera de cada subconjunto compacto X. Muchas nociones intuitivas acerca de la tendencia hacia el infinito se pueden formular en espacios Hausdorff compactos localmente utilizando esta idea. Por ejemplo, una función de valor real o compleja continua f con dominio X se dice que desaparecer en el infinito si, dado un número positivo e, hay un subconjunto compacto K de X tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)|Silenciof()x)Silencio.e{displaystyle Silenciof(x)<img alt="{displaystyle |f(x)| cuando el punto x mentiras fuera de K. Esta definición tiene sentido para cualquier espacio topológico X. Si X es localmente compacto y Hausdorff, tales funciones son precisamente las extensibles a una función continua g sobre su compactación de un punto a()X)=X∪ ∪ {}JUEGO JUEGO }{displaystyle a(X)=Xcup {infty} Donde g()JUEGO JUEGO )=0.{displaystyle g(infty)=0.}

Representación de Gelfand

Para un espacio Hausdorff compacto localmente X, el conjunto C0()X){displaystyle C_{0}(X)} de todas las funciones de valor complejo continuo X que desaparecen en el infinito es un álgebra C* conmutativa. De hecho, cada álgebra C* conmutativa es isomorfo a C0()X){displaystyle C_{0}(X)} para un espacio único (hasta homeomorfismo) localmente compacto Hausdorff X. Esto se muestra usando la representación de Gelfand.

Grupos compactos localmente

La noción de compactación local es importante en el estudio de grupos topológicos principalmente porque cada grupo Hausdorff localmente compacto G lleva medidas naturales llamadas las medidas Haar que permiten integrar funciones mensurables definidas G. La medida Lebesgue en la línea real R{displaystyle mathbb {R} es un caso especial de esto.

El dual de Pontryagin de un grupo abeliano topológico A es localmente compacto si y solo si A es localmente compacto. Más precisamente, la dualidad de Pontryagin define una autodualidad de la categoría de grupos abelianos localmente compactos. El estudio de grupos abelianos localmente compactos es la base del análisis armónico, un campo que desde entonces se ha extendido a grupos localmente compactos no abelianos.