Espacio interior del producto

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Generalización del producto de puntos; utilizado para definir espacios Hilbert

Interpretación geométrica del ángulo entre dos vectores definidos mediante un producto interior

Los espacios de producto escalar, sobre cualquier campo, tienen "productos escalares" simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos hermitianos están restringidos al campo de números complejos y tienen "productos hermitianos" que son conjugados-simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos internos pueden definirse sobre cualquier campo, teniendo "productos internos" lineales en el primer argumento, conjugados-simétricos y positivos-definidos. A diferencia de los productos internos, los productos de escalar y los productos hermitianos no necesitan ser positivos-definidos.

En matemáticas, un espacio interior del producto (o, raramente, un Hausdorff espacio pre-Hilbert) es un espacio vectorial real o un espacio vectorial complejo con una operación llamada producto interno. El producto interno de dos vectores en el espacio es un escalar, a menudo denotado con soportes de ángulo como en ${displaystyle langle a,brangle }$ . Los productos internos permiten definiciones formales de nociones geométricas intuitivas, como longitudes, ángulos y ortogonalidad (producto interno cero) de vectores. Espacios de producto interior generalizan espacios vectoriales Euclidean, en los que el producto interior es el producto de puntos o producto escalar de coordenadas cartesianas. Los espacios interiores de producto de dimensión infinita son ampliamente utilizados en el análisis funcional. Espacios de productos internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios. El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interior se debe a Giuseppe Peano, en 1898.

Un producto interior naturalmente induce una norma asociada (denotado) $|x|$ y $|y|$ en la imagen); por lo tanto, cada espacio interior de producto es un espacio vectorial normalizado. Si este espacio normalizado también es completo (es decir, un espacio de Banach) entonces el espacio interior del producto es un espacio Hilbert. Si un espacio interior de producto $H$ no es un espacio Hilbert, puede ser prórroga por terminación a un espacio Hilbert ${displaystyle {overline {H}}.}$ Esto significa que $H$ es un subespacio lineal ${displaystyle {overline {H}},}$ el producto interior $H$ es la restricción de la ${displaystyle {overline {H}},}$ y $H$ es denso en $overline {H}$ para la topología definida por la norma.

Definición

En este artículo, $F$ denota un campo que es o el número real ${displaystyle mathbb {R}}$ o los números complejos ${displaystyle mathbb {C}.}$ Un cuero cabelludo es así un elemento $F$ . Un bar sobre una expresión que representa un escalar denota el complejo conjugado de este escalar. Un vector cero está denotado ${displaystyle mathbf {0} }$ para distinguirlo del escalar $0$ .

Un espacio producto interior es un espacio vectorial $V$ sobre el campo $F$ junto con un producto interno, que es un mapa

langle cdotcdot rangle:Vtimes Vto F

que satisface las siguientes tres propiedades para todos los vectores ${displaystyle x,y,zin V}$ y todos los cuero cabelludos ${displaystyle a,bin F}$ .

Simetría conyugal: ${displaystyle langle x,yrangle ={overline {langle y,xrangle }}.}$ As ${textstyle a={overline {a}}}$ si $a$ es real, simetría conyugal implica que $langle x,xrangle$ es siempre un número real. Si $F$ es $mathbb {R}$ , simetría conyugal es sólo simetría.
La linealidad en el primer argumento: ${displaystyle langle ax+by,zrangle =alangle x,zrangle +blangle y,zrangle.}$
Determinación positiva: si $x$ no es cero, entonces $0}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. x,x.. ■0{displaystyle langle x,xrangle }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c011abcbee68a18ed1fdab3307ea61c487eef2" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.764ex; height:2.843ex;"/>$ (Simetría conyugal implica que ${displaystyle langle x,xrangle }$ es real).

Si la condición de la definición positiva es reemplazada por simplemente requerir que ${displaystyle langle x,xrangle geq 0}$ para todos $x$ , entonces uno obtiene la definición de positiva forma semi-definida de Hermitian. Una forma hermitiana semi-definida positiva $langle cdotcdot rangle$ es un producto interno si y sólo si para todos x, si ${displaystyle langle x,xrangle =0}$ entonces x = 0.

Propiedades básicas

En las siguientes propiedades, que resultan casi inmediatamente de la definición de un producto interno, $x, y$ y $z$ son vectores arbitrarios, y $a$ y $b$ son escalares arbitrarios.

${displaystyle langle mathbf {0}xrangle =langle x,mathbf {0} rangle =0.}$
${displaystyle langle x,xrangle }$ es real y no negativo.
${displaystyle langle x,xrangle =0}$ si ${displaystyle x=mathbf {0}.}$
${displaystyle langle x,ay+bzrangle ={overline {a}}langle x,yrangle +{overline {b}}langle x,zrangle.}$
Esto implica que un producto interno es una forma sesquilineal.
${displaystyle langle x+y,x+yrangle =langle x,xrangle +2operatorname {Re} (langle x,yrangle)+langle y,yrangle}$ Donde $operatorname {Re}$
denota la parte real de su argumento.

Cambio $mathbb {R}$ , la simetría conyugal reduce a la simetría, y la sesquilinearidad reduce a la bilinearidad. Por lo tanto un producto interior en un espacio vectorial real es un forma bilineal simétrica positiva y definitiva. La expansión binomial de un cuadrado se convierte en

{displaystyle langle x+y,x+yrangle =langle x,xrangle +2langle x,yrangle +langle y,yrangle.}

Variante convencional

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial, prefieren definir productos internos y formas sesquilineales con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo.

Notación

Se utilizan varias notaciones para productos internos, incluyendo $langle cdotcdot rangle$ , ${displaystyle left(cdotcdot right)}$ , $langle cdot | cdot rangle$ y ${displaystyle left(cdot |cdot right)}$ , así como el producto de puntos usual.

Algunos ejemplos

Números reales y complejos

Entre los ejemplos más simples de los espacios interiores de producto están $mathbb {R}$ y ${displaystyle mathbb {C}.}$ Los números reales $mathbb {R}$ son un espacio vectorial sobre $mathbb {R}$ que se convierte en un espacio interior de producto con multiplicación aritmética como su producto interior:

{displaystyle langle x,yrangle:=xyquad {text{ for }}x,yin mathbb {R}.}

Los números complejos $mathbb{C}$ son un espacio vectorial sobre $mathbb{C}$ que se convierte en un espacio interior de producto con el producto interior

{displaystyle langle x,yrangle:=x{overline {y}}quad {text{ for }}x,yin mathbb {C}.}

{displaystyle (x,y)mapsto xy}

{displaystyle mathbb {C}.}

Espacio vectorial euclidiano

Más generalmente, el real $n$ - espacio $mathbb {R} ^{n}$ con el producto de punto es un espacio interior de producto, un ejemplo de un espacio vectorial Euclideano.

{displaystyle leftlangle {begin{bmatrix}x_{1}\vdots \x_{n}end{bmatrix}},{begin{bmatrix}y_{1}\vdots \y_{n}end{bmatrix}}rightrangle =x^{textsf {T}}y=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+cdots +x_{n}y_{n},}

{displaystyle x^{operatorname {T} }}

x.

Una función ${displaystyle langle ,cdotcdot ,rangle:mathbb {R} ^{n}times mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ es un producto interno en $mathbb {R} ^{n}$ si y sólo si existe una matriz simétrica positiva-definida $mathbf {M}$ tales que ${displaystyle langle x,yrangle =x^{operatorname {T} }mathbf {M} y}$ para todos ${displaystyle x,yin mathbb {R} ^{n}.}$ Si $mathbf {M}$ es la matriz de identidad entonces ${displaystyle langle x,yrangle =x^{operatorname {T} }mathbf {M} y}$ es el producto de puntos. Por otro ejemplo, si $n=2$ y ${displaystyle mathbf {M} ={begin{bmatrix}a&b\b&dend{bmatrix}}}$ es positivo-definido (que sucede si y sólo si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">DetM=ad− − b2■0{displaystyle det mathbf {M} =ad-b^{2} {0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50548c121ad31d433e079f60ac964a9588ecba6b" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.851ex; height:2.843ex;"/>$ y uno / ambos elementos diagonales son positivos) entonces para cualquier ${displaystyle x:=left[x_{1},x_{2}right]^{operatorname {T} },y:=left[y_{1},y_{2}right]^{operatorname {T} }in mathbb {R} ^{2},}$

{displaystyle langle x,yrangle:=x^{operatorname {T} }mathbf {M} y=left[x_{1},x_{2}right]{begin{bmatrix}a&b\b&dend{bmatrix}}{begin{bmatrix}y_{1}\y_{2}end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}

R^2

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">b▪ ▪ R,a■0{displaystyle bin mathbb {R}a Conf0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d80b6c226eccfdf99545e90f81202ff514f8411" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.041ex; height:2.509ex;"/>

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d■0{displaystyle d confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddf6cd1242e088b641c76c3ee375466354f8d5a" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;"/>

b^{2}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ad■b2{displaystyle ad confianzab^{2}b^{2}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce1cb57908a33756903fa5d3367102811a95d21" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.596ex; height:2.676ex;"/>

Espacio de coordenadas complejo

La forma general de un producto interno en ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ es conocida como la forma hermitiana y es dada por

{displaystyle langle x,yrangle =y^{dagger }mathbf {M} x={overline {x^{dagger }mathbf {M} y}},}

M

{displaystyle y^{dagger }}

y.

Espacio de Hilbert

El artículo sobre los espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios interiores de productos, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo. Un ejemplo de un espacio interior de producto que induce una métrica incompleta es el espacio ${displaystyle C([a,b])}$ de funciones de valor complejo continuo $f$ y $g$ en el intervalo $[a, b].$ El producto interior es

{displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}f(t){overline {g(t)}},mathrm {d} t.}

[1, a 1]

{displaystyle {f_{k}}_{k},}

{displaystyle f_{k}(t)={begin{cases}0&tin [-1,0]\1&tin left[{tfrac {1}{k}},1right]\kt&tin left(0,{tfrac {1}{k}}right)end{cases}}}

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua.

Variables aleatorias

Para variables aleatorias reales $X$ y $Y,$ el valor esperado de su producto

{displaystyle langle X,Yrangle =mathbb {E} [XY]}

{displaystyle langle X,Xrangle =0}

{displaystyle mathbb {P} [X=0]=1}

X=0

mathbb {P}

Matrices complejas

El producto interior para matrices cuadradas complejas del mismo tamaño es el producto interior Frobenius ${displaystyle langle A,Brangle:=operatorname {tr} left(AB^{textsf {H}}right)}$ . Puesto que la traza y la transposición son lineales y la conjugación está en la segunda matriz, es un operador sesquilinear. Conseguimos la simetría hermitiana,

{displaystyle langle A,Brangle =operatorname {tr} left(AB^{textsf {H}}right)={overline {operatorname {tr} left(BA^{textsf {H}}right)}}={overline {leftlangle B,Arightrangle }}}

A

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. A,A.. =.. ijSilencioAijSilencio2■0{displaystyle langle A,Arangle =sum _{ij}left WordPressA_{ij}right WordPress^{2} {0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e517fcecdab0fe8518ea422decfb47d9d82626" style="vertical-align: -3.338ex; width:22.999ex; height:5.843ex;"/>

Espacios vectoriales con formas

En un espacio interior de producto, o más generalmente un espacio vectorial con una forma nodegenerada (de ahí un isomorfismo $Vto V^{*}$ ), vectores se pueden enviar a los covectores (en coordenadas, vía transpose), para que uno pueda tomar el producto interno y el producto exterior de dos vectores, no simplemente de un vector y un covector.

Resultados básicos, terminología y definiciones

Propiedades de la norma

Cada espacio de producto interno induce una norma, llamada su norma canónica, que está definido por

{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }}.}

Entonces, todas las propiedades generales de los espacios vectoriales normados se aplican a los espacios de productos internos. En particular, uno tiene las siguientes propiedades:

homogeneidad absoluta: ${displaystyle |ax|=|a|,|x|}$ para todos $xin V$ y $ain F$ (estos resultados de ${displaystyle langle ax,axrangle =a{overline {a}}langle x,xrangle }$ ).
Inequidad del triángulo: ${displaystyle |x+y|leq |x|+|y|}$ para ${displaystyle x,yin V.}$ Estas dos propiedades muestran que uno tiene una norma.
Inequidad Cauchy-Schwarz: ${displaystyle |langle x,yrangle |leq |x|,|y|}$ para todos ${displaystyle x,yin V,}$ con igualdad si $x$ y $y$ dependen linealmente.
Ley de paralelogramas: ${displaystyle |x+y|^{2}+|x-y|^{2}=2|x|^{2}+2|y|^{2}}$ para todos ${displaystyle x,yin V.}$ La ley paralela es una condición necesaria y suficiente para que una norma sea definida por un producto interno.
Identidad de polarización: ${displaystyle |x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}+2operatorname {Re} langle x,yrangle }$ para todos ${displaystyle x,yin V.}$ El producto interior se puede recuperar de la norma por la identidad de polarización, ya que su parte imaginaria es la parte real de la ${displaystyle langle x,iyrangle.}$
La desigualdad de Ptolomeo: ${displaystyle |x-y|,|z|~+~|y-z|,|x|~geq ~|x-z|,|y|}$ para todos ${displaystyle x,y,zin V.}$ La desigualdad de Ptolomeo es una condición necesaria y suficiente para que un seminorm sea la norma definida por un producto interno.

Ortogonalidad

Ortogonalidad: Dos vectores $x$ y $y$ se dice que ortogonal, a menudo escrito ${displaystyle xperp y,}$ si su producto interno es cero, es decir, si ${displaystyle langle x,yrangle =0.}$
Esto sucede si y sólo si ${displaystyle |x|leq |x+sy|}$ para todos los escalares $s,$ y si y sólo si la función de valor real ${displaystyle f(s):=|x+sy|^{2}-|x|^{2}}$ no es negativo. (Esto es una consecuencia del hecho de que, si $yneq 0$ entonces el cuero cabelludo ${displaystyle s_{0}=-{tfrac {overline {langle x,yrangle }}{|y|^{2}}}}$ minimizar $f$ con valor ${displaystyle fleft(s_{0}right)=-{tfrac {|langle x,yrangle |^{2}}{|y|^{2}}},}$ que es siempre no positivo).
Para un complejo - pero no real - espacio interior de producto $H,$ un operador lineal ${displaystyle T:Vto V}$ es idéntica ${displaystyle 0}$ si ${displaystyle xperp Tx}$ para todos ${displaystyle xin V.}$
Complemento ortogonal: El complemento ortogonal de un subconjunto ${displaystyle Csubseteq V}$ es el conjunto ${displaystyle C^{bot }}$ de los vectores que son ortogonales a todos los elementos $C$ ; es decir, ${displaystyle C^{bot }:={,yin V:langle y,crangle =0{text{ for all }}cin C,}.}$ Este juego ${displaystyle C^{bot }}$ es siempre un subespacio vectorial cerrado $V$ y si el cierre ${displaystyle operatorname {cl} _{V}C}$ de $C$ dentro $V$ es un subespacio vectorial entonces ${displaystyle operatorname {cl} _{V}C=left(C^{bot }right)^{bot }.}$
Pythagorean theorem: Si $x$ y $y$ son ortogonales, entonces ${displaystyle |x|^{2}+|y|^{2}=|x+y|^{2}.}$ Esto puede probarse expresando las normas cuadradas en términos de los productos internos, utilizando la aditividad para ampliar el lado derecho de la ecuación.
El nombre Pythagorean theorem surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana.
Identidad de Parseval: Una inducción en el teorema pitagórico produce: si $x_{1},ldotsx_{n}$ son ortogonales pares, entonces ${displaystyle sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}=left|sum _{i=1}^{n}x_{i}right|^{2}.}$
Angle: Cuando $langle x, y rangle$ es un número real entonces la desigualdad Cauchy-Schwarz implica que ${textstyle {frac {langle x,yrangle }{|x|,|y|}}in [-1,1],}$ y así ${displaystyle angle (x,y)=arccos {frac {langle x,yrangle }{|x|,|y|}},}$ es un número real. Esto permite definir el (no orientado) ángulo de dos vectores en definiciones modernas de la geometría euclidiana en términos de álgebra lineal. Esto también se utiliza en el análisis de datos, bajo el nombre "semejanza de la cocina", para comparar dos vectores de datos.

Partes reales y complejas de productos internos

Supongamos que $langle cdotcdot rangle$ es un producto interno en $V$ (así que es antilinear en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interior es

{displaystyle operatorname {Re} langle x,yrangle ={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right).}

Si $V$ es un espacio vectorial real

{displaystyle langle x,yrangle =operatorname {Re} langle x,yrangle ={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right)}

parte compleja

langle cdotcdot rangle

{displaystyle 0.}

Asumo para el resto de esta sección que $V$ es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que

{displaystyle {begin{alignedat}{4}langle x, yrangle &={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}+i|x+iy|^{2}-i|x-iy|^{2}right)\&=operatorname {Re} langle x,yrangle +ioperatorname {Re} langle x,iyrangle.\end{alignedat}}}

El mapa definido por ${displaystyle langle xmid yrangle =langle y,xrangle }$ para todos $x,yin V$ satisfice los axiomas del producto interior excepto que es antilinear en su primeroen lugar de su segundo argumento. La parte real de ambos ${displaystyle langle xmid yrangle }$ y $langle x, y rangle$ son iguales ${displaystyle operatorname {Re} langle x,yrangle }$ pero los productos internos difieren en su parte compleja:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}langle xmid yrangle &={frac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}-i|x+iy|^{2}+i|x-iy|^{2}right)\&=operatorname {Re} langle x,yrangle -ioperatorname {Re} langle x,iyrangle.\end{alignedat}}}

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.

Estas fórmulas muestran que cada producto interno complejo está completamente determinado por su parte real. Además, esta parte real define un producto interno en $V,$ considerado como un espacio vectorial real. Por lo tanto, hay una correspondencia única entre los productos internos complejos en un espacio vectorial complejo $V,$ y productos internos reales en $V.$

Por ejemplo, supongamos que ${displaystyle V=mathbb {C} ^{n}}$ para algunos enteros $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0.{displaystyle n confianza0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ab13b00b6f8bb19aea0dcfcc78f18a2b6cbffc" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.302ex; height:2.176ex;"/>$ Cuando $V$ se considera un espacio vectorial real de la manera habitual (que significa que se identifica con el ${displaystyle 2n-}$ dimensional espacio vectorial real ${displaystyle mathbb {R} ^{2n},}$ con cada ${displaystyle left(a_{1}+ib_{1},ldotsa_{n}+ib_{n}right)in mathbb {C} ^{n}}$ identificado con ${displaystyle left(a_{1},b_{1},ldotsa_{n},b_{n}right)in mathbb {R} ^{2n}}$ ), entonces el producto del punto ${displaystyle x,cdot ,y=left(x_{1},ldotsx_{2n}right),cdot ,left(y_{1},ldotsy_{2n}right):=x_{1}y_{1}+cdots +x_{2n}y_{2n}}$ define un producto interno real en este espacio. El complejo único producto interior ${displaystyle langle ,cdotcdot ,rangle }$ on ${displaystyle V=mathbb {C} ^{n}}$ inducido por el producto del punto es el mapa que envía ${displaystyle c=left(c_{1},ldotsc_{n}right),d=left(d_{1},ldotsd_{n}right)in mathbb {C} ^{n}}$ a ${displaystyle langle c,drangle:=c_{1}{overline {d_{1}}}+cdots +c_{n}{overline {d_{n}}}}$ (porque la parte real de este mapa ${displaystyle langle ,cdotcdot ,rangle }$ es igual al producto de puntos).

Productos internos reales vs. complejos

Vamos ${displaystyle V_{mathbb {R} }}$ denota $V$ considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de números complejos. La parte real del complejo producto interno $langle x, y rangle$ es el mapa ${displaystyle langle x,yrangle _{mathbb {R} }=operatorname {Re} langle x,yrangle ~:~V_{mathbb {R} }times V_{mathbb {R} }to mathbb {R}}$ que necesariamente forma un producto interno real en el espacio vectorial real ${displaystyle V_{mathbb {R} }.}$ Cada producto interno en un espacio vectorial real es un mapa bilineal y simétrico.

Por ejemplo, si ${displaystyle V=mathbb {C} }$ con producto interior ${displaystyle langle x,yrangle =x{overline {y}},}$ Donde $V$ es un espacio vectorial sobre el campo ${displaystyle mathbb {C}}$ entonces ${displaystyle V_{mathbb {R} }=mathbb {R} ^{2}}$ es un espacio vectorial sobre $mathbb {R}$ y ${displaystyle langle x,yrangle _{mathbb {R} }}$ es el producto de punto ${displaystyle xcdot y,}$ Donde ${displaystyle x=a+ibin V=mathbb {C} }$ se identifica con el punto ${displaystyle (a,b)in V_{mathbb {R} }=mathbb {R} ^{2}}$ (y similarmente para $y$ ); por lo tanto el producto interno estándar ${displaystyle langle x,yrangle =x{overline {y}},}$ on $mathbb{C}$ es una "extensión" el producto de puntos. Además, $langle x, y rangle$ se definió en lugar de ser el mapa simétrico ${displaystyle langle x,yrangle =xy}$ (Más que lo habitual mapa simétrico conjugado ${displaystyle langle x,yrangle =x{overline {y}}}$ ) entonces su parte real ${displaystyle langle x,yrangle _{mathbb {R} }}$ lo haría. no ser el producto de puntos; además, sin el complejo conjugado, si ${displaystyle xin mathbb {C} }$ pero ${displaystyle xnot in mathbb {R} }$ entonces ${displaystyle langle x,xrangle =xx=x^{2}not in [0,infty)}$ así como la asignación ${displaystyle xmapsto {sqrt {langle x,xrangle }}}$ no definiría una norma.

Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son completamente intercambiables. Por ejemplo, si $langle x,yrangle =0$ entonces ${displaystyle langle x,yrangle _{mathbb {R} }=0,}$ pero el siguiente ejemplo muestra que el converso es en general no Cierto. Dados ${displaystyle xin V,}$ el vector ${displaystyle ix}$ (que es el vector $x$ girado por 90°) pertenece a $V$ y también pertenece a ${displaystyle V_{mathbb {R} }}$ (aunque escalar multiplicación $x$ por $i={sqrt {-1}}$ no se define en ${displaystyle V_{mathbb {R} },}$ el vector en $V$ denotado por ${displaystyle ix}$ es, sin embargo, también un elemento ${displaystyle V_{mathbb {R} }}$ ). Para el complejo producto interno, ${displaystyle langle x,ixrangle =-i|x|^{2},}$ mientras que para el producto interior real el valor es siempre ${displaystyle langle x,ixrangle _{mathbb {R} }=0.}$

Si ${displaystyle langle ,cdotcdot ,rangle }$ es un producto interno complejo y ${displaystyle A:Vto V}$ es un operador lineal continuo que satisface ${displaystyle langle x,Axrangle =0}$ para todos ${displaystyle xin V,}$ entonces ${displaystyle A=0.}$ Esta declaración ya no es cierta si ${displaystyle langle ,cdotcdot ,rangle }$ es en cambio un producto interno real, como muestra este próximo ejemplo. Supongamos que ${displaystyle V=mathbb {C} }$ tiene el producto interno ${displaystyle langle x,yrangle:=x{overline {y}}}$ mencionado anteriormente. Entonces el mapa ${displaystyle A:Vto V}$ definidas por ${displaystyle Ax=ix}$ es un mapa lineal (linear para ambos $V$ y ${displaystyle V_{mathbb {R} }}$ ) que denota la rotación por ${displaystyle 90^{circ }}$ en el avión. Porque... $x$ y $Ax$ vectores perpendiculares y ${displaystyle langle x,Axrangle _{mathbb {R} }}$ es sólo el producto de puntos, ${displaystyle langle x,Axrangle _{mathbb {R} }=0}$ para todos los vectores ${displaystyle x;}$ sin embargo, este mapa de rotación $A$ ciertamente no es idéntico ${displaystyle 0.}$ En contraste, el uso del complejo interior del producto da ${displaystyle langle x,Axrangle =-i|x|^{2},}$ que (como se espera) no es idénticamente cero.

Sucesiones ortonormales

Vamos $V$ ser un espacio de producto interior dimensional finito de dimensión $n.$ Recordad que cada base de $V$ consiste en exactamente $n$ vectores linealmente independientes. Utilizando el proceso Gram-Schmidt podemos comenzar con una base arbitraria y transformarlo en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base ${displaystyle {e_{1},ldotse_{n}}}$ es ortonormal si ${displaystyle langle e_{i},e_{j}rangle =0}$ para todos $ineq j$ y ${displaystyle langle e_{i},e_{i}rangle =|e_{a}|^{2}=1}$ para cada índice $i.$

Esta definición de base ortonormal se generaliza en el caso de espacios de producto interior de dimensiones infinitas de la siguiente manera. Vamos $V$ ser cualquier espacio interior del producto. Entonces una colección

{displaystyle E=left{e_{a}right}_{ain A}}

base

V

V

E

V

E

base ortonormal

V

{displaystyle leftlangle e_{a},e_{b}rightrangle =0}

aneq b

{displaystyle langle e_{a},e_{a}rangle =|e_{a}|^{2}=1}

{displaystyle a,bin A.}

Usando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt, se puede mostrar:

Teorema. Cualquier producto interior separable tiene una base ortonormal.

Usando el principio maximal de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interior completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que

Teorema. Cualquier espacio de producto interior completo tiene una base ortonormal.

Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. La respuesta, resulta que es negativa. Este es un resultado no trivial, y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del A Hilbert Space Problem Book de Halmos (ver las referencias).

Prueba

Recordemos que la dimensión de un espacio interior de producto es la cardinalidad de un sistema ortonormal maximal que contiene (por la lema de Zorn contiene al menos uno, y cualquiera tiene la misma cardinalidad). Una base ortonormal es ciertamente un sistema ortonormal maximal, pero el contrario no necesita mantener en general. Si

G

es un subespacio denso de un espacio interior de producto

V,

entonces cualquier base ortonormal para

G

es automáticamente una base ortonormal para

V.

Así, basta construir un espacio interior de producto

V

con un subespacio denso

G

cuya dimensión es estrictamente menor que la de

V.

Vamos $K$ ser un espacio Hilbert de dimensión $aleph _{0}.$ (por ejemplo, ${displaystyle K=ell ^{2}(mathbb {N})}$ ). Vamos $E$ ser una base ortonormal de $K,$ Así que... ${displaystyle |E|=aleph _{0}.}$ Extender $E$ a una base de Hamel $Ecup F$ para $K,$ Donde ${displaystyle Ecap F=varnothing.}$ Ya que se sabe que la dimensión de Hamel $K$ es $c,$ el cardenalismo del continuo, debe ser que ${displaystyle |F|=c.}$

Vamos $L$ ser un espacio Hilbert de dimensión $c$ (por ejemplo, ${displaystyle L=ell ^{2}(mathbb {R})}$ ). Vamos $B$ ser una base ortonormal para $L$ y dejar ${displaystyle varphi:Fto B}$ Sé una bijeción. Entonces hay una transformación lineal $T:Kto L$ tales que ${displaystyle Tf=varphi (f)}$ para ${displaystyle fin F,}$ y ${displaystyle Te=0}$ para ${displaystyle ein E.}$

Vamos ${displaystyle V=Koplus L}$ y dejar ${displaystyle G={(k,Tk):kin K}}$ ser el gráfico de $T.$ Vamos $overline{G}$ ser el cierre de $G$ dentro $V$ ; vamos a mostrar ${displaystyle {overline {G}}=V.}$ Desde para cualquier $ein E$ tenemos ${displaystyle (e,0)in G,}$ sigue que ${displaystyle Koplus 0subseteq {overline {G}}.}$

Siguiente, si ${displaystyle bin B,}$ entonces ${displaystyle b=Tf}$ para algunos ${displaystyle fin Fsubseteq K,}$ Así que... ${displaystyle (f,b)in Gsubseteq {overline {G}}}$ ; desde ${displaystyle (f,0)in {overline {G}}}$ también, también tenemos ${displaystyle (0,b)in {overline {G}}.}$ De ello se desprende que ${displaystyle 0oplus Lsubseteq {overline {G}},}$ Así que... ${displaystyle {overline {G}}=V,}$ y $G$ es denso en $V.$

Finalmente, ${displaystyle {(e,0):ein E}}$ es un conjunto ortonormal maximal $G$ ; si

{displaystyle 0=langle (e,0),(k,Tk)rangle =langle e,krangle +langle 0,Tkrangle =langle e,krangle }

para todos

ein E

entonces

{displaystyle k=0,}

Así que...

{displaystyle (k,Tk)=(0,0)}

es el vector cero en

G.

De ahí la dimensión

G

{displaystyle |E|=aleph _{0},}

mientras que está claro que la dimensión

V

c.

Esto completa la prueba.

La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:

Teorema. Vamos $V$ ser un espacio interior de producto separable y ${displaystyle left{e_{k}right}_{k}}$ una base ortonormal de $V.$ Entonces el mapa

{displaystyle xmapsto {bigl {}langle e_{k},xrangle {bigr }}_{kin mathbb {N} }}

{displaystyle Vmapsto ell ^{2}}

Este teorema se puede considerar como una forma abstracta de la serie Fourier, en la que una base ortonormal arbitraria juega el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos. Tenga en cuenta que el conjunto de índices subyacentes se puede tomar para ser cualquier conjunto contable (y de hecho cualquier conjunto, proporcionado $ell ^{2}$ se define apropiadamente, como se explica en el artículo Hilbert espacio). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de la serie Fourier:

Teorema. Vamos $V$ ser el espacio interior del producto ${displaystyle C[-pipi ].}$ Luego la secuencia (indicada en conjunto de todos los enteros) de funciones continuas

{displaystyle e_{k}(t)={frac {e^{ikt}}{sqrt {2pi }}}}

{displaystyle C[-pipi ]}

L^{2}

{displaystyle fmapsto {frac {1}{sqrt {2pi }}}left{int _{-pi }^{pi }f(t)e^{-ikt},mathrm {d} tright}_{kin mathbb {Z} }}

Ortogonalidad de la secuencia ${displaystyle {e_{k}}_{k}}$ sigue inmediatamente del hecho de que si ${displaystyle kneq j,}$ entonces

{displaystyle int _{-pi }^{pi }e^{-i(j-k)t},mathrm {d} t=0.}

La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes son tan elegidos para que la norma salga a 1. Finalmente el hecho de que la secuencia tiene un lazo algebraico denso, en el norma interior del producto, sigue del hecho de que la secuencia tiene un lapso algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas en $[-pi, pi]$ con la norma uniforme. Este es el contenido del teorema Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos.

Operadores en espacios de productos internos

Varios tipos de mapas lineales ${displaystyle A:Vto W}$ entre espacios interiores de producto $V$ y $W$ son de relevancia:

Mapas lineales continuos: ${displaystyle A:Vto W}$ es lineal y continua con respecto a la métrica definida anteriormente, o equivalentemente, $A$ es lineal y el conjunto de reales no negativos ${displaystyle {|Ax|:|x|leq 1},}$ Donde $x$ rangos sobre la bola de unidad cerrada de $V,$ está atado.
Operadores lineales simétricos: ${displaystyle A:Vto W}$ es lineal y ${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle }$ para todos ${displaystyle x,yin V.}$
Isometries: ${displaystyle A:Vto W}$ satisfizo ${displaystyle |Ax|=|x|}$ para todos ${displaystyle xin V.}$ A isometría lineal (resp. an isometría antilinear) es una isometría que es también un mapa lineal (resp. un mapa antilineal). Para los espacios de producto interno, la identidad de polarización se puede utilizar para demostrar que $A$ es una isometría si y sólo si ${displaystyle langle Ax,Ayrangle =langle x,yrangle }$ para todos ${displaystyle x,yin V.}$ Todas las isometrías son inyectables. El teorema Mazur-Ulam establece que cada isometría subjetiva entre dos real los espacios no autorizados es una transformación afinada. En consecuencia, una isometría $A$ entre los espacios de producto interior real es un mapa lineal si y sólo si ${displaystyle A(0)=0.}$ Las imágenes son morfismos entre los espacios interiores del producto, y los morfismos de los verdaderos espacios interiores del producto son transformaciones ortogonales (compare con matriz ortogonal).
Isometrical isomorphisms: ${displaystyle A:Vto W}$ es una isometría que es subjetiva (y por lo tanto bijetiva). Los isomorfismos iométricos también se conocen como operadores unitarios (compare con matriz unitaria).

Desde el punto de vista de la teoría del espacio del producto interior, no hay necesidad de distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomorfos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y más generalmente normales en espacios de productos internos de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para operadores normales continuos en espacios de Hilbert.

Generalizaciones

Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos ocurren donde se conservan la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definición positiva.

Productos internos degenerados

Si $V$ es un espacio vectorial y ${displaystyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle }$ una forma semi-definida sesquilinear, entonces la función:

{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }}}

|x| = 0

x=0

{displaystyle W=V/{x:|x|=0}.}

{displaystyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle }

W.

Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.

Formas simétricas conjugadas no degeneradas

Alternativamente, se puede requerir que el emparejado sea una forma nodegenerada, lo que significa que para todo no-cero $xneq 0$ existe $y$ tales que ${displaystyle langle x,yrangle neq 0,}$ Aunque $y$ no es igual $x$ ; en otras palabras, el mapa inducido al espacio dual $Vto V^{*}$ es inyectable. Esta generalización es importante en la geometría diferencial: un conjunto cuyos espacios tangentes tienen un producto interior es un manifold Riemanniano, mientras que si esto está relacionado con la forma conyugal nondegenerada el manifold es un manifold pseudo-rimaniano. Por la ley de inercia de Sylvester, así como cada producto interno es similar al producto de punto con pesos positivos en un conjunto de vectores, cada forma simétrica nodegenerada conjugada es similar al producto de punto con nonzero Los pesos en un conjunto de vectores, y el número de pesos positivos y negativos se denominan respectivamente índice positivo y índice negativo. Producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones e índices 3 y 1 (asignación de "+" y " -" a ellos difiere dependiendo de las convenciones).

Declaraciones puramente algebraicas (ones que no usan positividad) generalmente sólo dependen de la nodegeneración (el homomorfismo inyectable) $Vto V^{*}$ ) y así mantener más generalmente.

Productos relacionados

El término "producto interno" se opone al producto exterior, que es un opuesto ligeramente más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interior es el producto de un ${displaystyle 1times n}$ covector con una $ntimes 1$ vector, dando un $1 times 1$ matriz (un cuero cabelludo), mientras que el producto exterior es el producto de un $mtimes 1$ vector con un ${displaystyle 1times n}$ covector, rindiendo un $mtimes n$ matriz. El producto exterior se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interno requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interior es el rastro del producto exterior (el comercio sólo se define correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "los tiempos internos son horizontales verticales y se encoge, el exterior es vertical los tiempos horizontales y se expande".

Más abstracto, el producto exterior es el mapa bilineal ${displaystyle Wtimes V^{*}to hom(V,W)}$ enviar un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 (simple tensor de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilineal $V^{*}times Vto F$ dado mediante la evaluación de un covector en un vector; el orden de los espacios vectores de dominio aquí refleja la distinción covector/vector.

El producto interior y el producto exterior no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior, que son operaciones en campos vectoriales y formas diferenciales, o más generalmente en el álgebra exterior.

Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interior y el producto exterior (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford): el producto interior envía dos vectores (1-vectores) a un escalar (un 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vectores) – y en este contexto el producto exterior se suele llamar el producto exterior (alternativamente, producto de cuña). El producto interno se llama más correctamente producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).

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