Espacio homogéneo

En matemáticas, un espacio homogéneo es, de manera muy informal, un espacio que parece igual en todas partes, a medida que te mueves a través de él, con movimiento dado por la acción de un grupo. Los espacios homogéneos ocurren en las teorías de grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos. Más precisamente, un espacio homogéneo para un grupo G es una variedad no vacía o espacio topológico X sobre el cual G actúa transitivamente. Los elementos de G se denominan simetrías de X. Un caso especial de esto es cuando el grupo G en cuestión es el grupo de automorfismo del espacio X – aquí "grupo de automorfismo" puede significar grupo de isometría, grupo de difeomorfismo o grupo de homeomorfismo. En este caso, X es homogéneo si intuitivamente X parece localmente igual en cada punto, ya sea en el sentido de isometría (geometría rígida), difeomorfismo (geometría diferencial) o homeomorfismo (topología). Algunos autores insisten en que la acción de G sea fiel (los elementos no identitarios actúan de manera no trivial), aunque el presente artículo no lo hace. Por lo tanto, hay una acción grupal de G sobre X que se puede considerar que preserva alguna "estructura geométrica" en X, y convirtiendo X en una única órbita G.

Definición formal

Sea X un conjunto no vacío y G un grupo. Entonces X se llama espacio G si está equipado con una acción de G en X. Tenga en cuenta que automáticamente G actúa mediante automorfismos (biyecciones) en el conjunto. Si X además pertenece a alguna categoría, entonces se supone que los elementos de G actúan como automorfismos en la misma categoría. Es decir, los mapas en X provenientes de elementos de G conservan la estructura asociada con la categoría (por ejemplo, si X es un objeto en Diff entonces se requiere la acción para ser por difeomorfismos). Un espacio homogéneo es un espacio G sobre el cual G actúa transitivamente.

Resumidamente, si X es un objeto de la categoría C, entonces la estructura de un espacio G es un homomorfismo:

*** *** :G→ → AutC()X){displaystyle rho:Gto mathrm [Aut] _{mathbf {C}(X)}

en el grupo de automorfismos del objeto X en la categoría C. El par (X, ρ) define un espacio homogéneo siempre que ρ(G) sea un grupo transitivo de simetrías. del conjunto subyacente de X.

Ejemplos

Por ejemplo, si X es un espacio topológico, entonces se supone que los elementos del grupo actúan como homeomorfismos en X. La estructura de un espacio G es un homomorfismo de grupo ρ: G → Homeo(X) en el homeomorfismo grupo de X.

Del mismo modo, si X es una variedad diferenciable, entonces los elementos del grupo son difeomorfismos. La estructura de un espacio G es un homomorfismo de grupo ρ: G → Diffeo(X) en el difeomorfismo grupo de X.

Los espacios simétricos de Riemann son una clase importante de espacios homogéneos e incluyen muchos de los ejemplos que se enumeran a continuación.

Ejemplos concretos incluyen:

ejemplos de espacios homogéneos

espacio X{displaystyle X}	grupo G{displaystyle G.	estabilizador H{displaystyle H.
espacio esférico Sn− − 1{displaystyle mathbb {S} {n-1}	O()n){displaystyle mathrm {O} (n)}	O()n− − 1){displaystyle mathrm {O} (n-1)}
orientada Sn− − 1{displaystyle mathbb {S} {n-1}	SO()n){displaystyle mathrm {SO} (n)}	SO()n− − 1){displaystyle mathrm {SO} (n-1)}
espacio proyectado PRn− − 1{displaystyle mathbb {PR}	PO()n){displaystyle mathrm {} (n)}	PO()n− − 1){displaystyle mathrm {} (n-1)}
Espacio euclidiano En{displaystyle mathbb {E} {} {fn}	E()n){displaystyle mathrm {E} (n)}	O()n){displaystyle mathrm {O} (n)}
orientada En{displaystyle mathbb {E} {} {fn}	E+()n){displaystyle mathrm {fn]	SO()n){displaystyle mathrm {SO} (n)}
espacio hiperbólico Hn{displaystyle mathbb {H}	O+()1,n){displaystyle mathrm {} {} {fn]}	O()n){displaystyle mathrm {O} (n)}
orientada Hn{displaystyle mathbb {H}	SO+()1,n){displaystyle mathrm {SO} {+}(1,n)}	SO()n){displaystyle mathrm {SO} (n)}
antide Espacio desordenado AdSn+1{displaystyle mathrm {AdS} _{n+1}	O()2,n){displaystyle mathrm {O} (2,n)}	O()1,n){displaystyle mathrm {O} (1,n)}
Grassmannian Gr()r,n){displaystyle mathrm {Gr} (r,n)}	O()n){displaystyle mathrm {O} (n)}	O()r)× × O()n− − r){displaystyle mathrm {O} (r)times mathrm {O} (n-r)}
affine space A()n,K){displaystyle mathbb {A} (n,K)}	Aff()n,K){displaystyle mathrm {Aff} (n,K)}	GL()n,K){displaystyle mathrm {GL} (n,K)}

Grupos de ideas

• curvatura positiva:

1. Esfera (grupo ortogonal): Sn− − 1.. O()n)/O()n− − 1){displaystyle S^{n-1}cong mathrm {O} (n)/mathrm {O} (n-1)}. Esto es cierto debido a las siguientes observaciones: Primero, Sn− − 1{displaystyle S^{n-1} es el conjunto de vectores en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} con norma 1{displaystyle 1}. Si consideramos uno de estos vectores como vector base, entonces cualquier otro vector se puede construir utilizando una transformación ortogonal. Si consideramos el lazo de este vector como un subespacio dimensional de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, entonces el complemento es un ()n− − 1){displaystyle (n-1)}- espacio vectorial dimensional que es invariante bajo una transformación ortogonal O()n− − 1){displaystyle {text{O}(n-1)}. Esto nos muestra por qué podemos construir Sn− − 1{displaystyle S^{n-1} como un espacio homogéneo.
2. Esfera orientada (grupo especial ortogonal): Sn− − 1.. SO()n)/SO()n− − 1){displaystyle S^{n-1}cong mathrm {SO} (n)/mathrm {SO} (n-1)}
3. Espacio proyector (grupo ortogonal proyectivo): Pn− − 1.. PO()n)/PO()n− − 1){displaystyle mathrm {P} ^{n-1}cong mathrm {PO} (n)/mathrm {PO} (n-1)}

• Piso (cero curvatura):

1. Espacio euclidiano (grupo euclidiano, estabilizador de puntos es grupo ortogonal): Aⁿ.n)/O(n)

• curvatura negativa:

1. Espacio hiperbólico (grupo ortocrónico de Lorentz, grupo ortogonal estabilizador de puntos, correspondiente al modelo hiperboloide): Hⁿ.⁺(1, n)/O(n)
2. Espacio hiperbólico orientado: SO⁺(1, n)/SO(n)
3. Espacio de emergencia: AdS_{n+ 1} = O(2, n)/O(1, n)

Otros

• Ajuste del espacio sobre el terreno K (para grupo affine, grupo lineal general estabilizador de puntos): Aⁿ = Aff(n, K)/GL(n, K).
• Grassmannian: Gr()r,n)=O()n)/()O()r)× × O()n− − r)){displaystyle mathrm {Gr} (r,n)=mathrm {O} (n)/(mathrm {O} (r)times mathrm {O} (n-r)}}
• Espacios vectoriales topológicos (en el sentido de la topología)

Geometría

Desde el punto de vista del programa de Erlangen, se puede entender que "todos los puntos son iguales", en la geometría de X. Esto fue cierto esencialmente para todas las geometrías propuestas antes de la geometría riemanniana, a mediados del siglo XIX.

Así, por ejemplo, el espacio euclidiano, el espacio afín y el espacio proyectivo son todos espacios naturalmente homogéneos para sus respectivos grupos de simetría. Lo mismo ocurre con los modelos encontrados de geometría no euclidiana de curvatura constante, como el espacio hiperbólico.

Otro ejemplo clásico es el espacio de líneas en el espacio proyectivo de tres dimensiones (equivalentemente, el espacio de subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones). Es álgebra lineal simple demostrar que GL₄ actúa transitivamente sobre ellos. Podemos parametrizarlos mediante coordenadas de línea: estos son los menores 2×2 de la matriz 4×2 con columnas y dos vectores base para el subespacio. La geometría del espacio homogéneo resultante es la geometría lineal de Julius Plücker.

Espacios homogéneos como espacios laterales

En general, si X es un espacio homogéneo de G y H_o es el estabilizador de algún punto marcado o en X (una elección de origen), los puntos de X corresponden a las clases laterales izquierdas G/H_o, y el punto marcado o corresponde a la clase lateral de la identidad. Por el contrario, dado un espacio lateral G/H, es un espacio homogéneo para G con un punto distinguido, a saber, la clase lateral de la identidad. Por tanto, un espacio homogéneo puede considerarse como un espacio lateral sin elección de origen.

Por ejemplo, si H es el subgrupo de identidad {eEntonces X es el G-torsionador, que explica por qué los G-tortorres son a menudo descritos intuitivamente como "G{displaystyle G. con identidad olvidada".

En general, una elección diferente del origen o conducirá a un cociente de G por un subgrupo diferente H_o′ que está relacionado con H_o por un automorfismo interno de G. Específicamente,

Ho.=gHog− − 1{displaystyle ¿Qué?

()1)

donde g es cualquier elemento de G para el cual go = o′. Tenga en cuenta que el automorfismo interno (1) no depende de qué g se seleccione; depende sólo del módulo g H_o.

Si la acción de G sobre X es continua y X es Hausdorff, entonces H es un subgrupo de G. En particular, si G es un grupo de Lie, entonces H es un subgrupo de Lie según el teorema de Cartan. Por lo tanto, G/H es una variedad suave y, por lo tanto, X lleva una estructura suave única compatible con la acción grupal.

Se puede ir más allá hasta los espacios de clases laterales dobles, en particular las formas de Clifford-Klein ΓG/H, donde Γ es un subgrupo discreto (de G) actuando correctamente de forma discontinua.

Ejemplo

Por ejemplo, en el caso de la geometría lineal, podemos identificar H como un subgrupo de 12 dimensiones del grupo lineal general de 16 dimensiones, GL(4), definido por las condiciones de las entradas de la matriz.

h₁₃ = h₁₄ = h₂₃ = h₂₄ = 0,

buscando el estabilizador del subespacio abarcado por los dos primeros vectores de base estándar. Eso muestra que X tiene dimensión 4.

Dado que las coordenadas homogéneas dadas por los menores son 6, esto significa que estos últimos no son independientes entre sí. De hecho, existe una única relación cuadrática entre los seis menores, como sabían los geómetras del siglo XIX.

Este ejemplo fue el primer ejemplo conocido de un Grassmanniano, aparte de un espacio proyectivo. Hay muchos más espacios homogéneos de los grupos lineales clásicos de uso común en matemáticas.

Espacios vectoriales prehomogéneos

La idea de un espacio vectorial prehomogéneo fue introducida por Mikio Sato.

Es un espacio vectorial de dimensión finita V con una acción grupal de un grupo algebraico G, tal que existe una órbita de G > que está abierto para la topología Zariski (y por tanto, densa). Un ejemplo es GL(1) actuando sobre un espacio unidimensional.

La definición es más restrictiva de lo que parece inicialmente: tales espacios tienen propiedades notables, y existe una clasificación de espacios vectoriales prehomogéneos irreducibles, hasta una transformación conocida como "enroque".

Espacios homogéneos en física

Dado el grupo de Poincaré G y su subgrupo el grupo de Lorentz H, el espacio de clases laterales G/H es el espacio de Minkowski del álgebra espacio-temporal.

La cosmología física que utiliza la teoría general de la relatividad hace uso del sistema de clasificación de Bianchi. Los espacios homogéneos en relatividad representan la parte espacial de las métricas de fondo para algunos modelos cosmológicos; por ejemplo, los tres casos de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker pueden representarse mediante subconjuntos de los tipos Bianchi I (plano), V (abierto), VII (plano o abierto) y IX (cerrado), mientras que Mixmaster El universo representa un ejemplo anisotrópico de una cosmología de Bianchi IX.

Un espacio homogéneo N dimensiones admite un conjunto de 12N()N+1){displaystyle {tfrac}{2}N(N+1)} Matando vectores. Para tres dimensiones, esto da un total de seis campos vectoriales independientes linealmente Killing; los 3 espacios homogéneos tienen la propiedad que uno puede utilizar combinaciones lineales de estos para encontrar tres campos vectoriales no-vanishing Killing .. i()a){displaystyle xi _{i}{(a)},

.. [i;k]()a)=Cbca.. i()b).. k()c){displaystyle xi _{[i;k]}{(a)}=C_{ bc}^{a}xi _{i}^{(b)}xi _{k}}}}} {c}}}}

donde el objeto Cbca{displaystyle ¿Qué?, las " constantes de estructura", forman un orden constante-tres tensor antisimétrico en sus dos índices inferiores (en el lado izquierdo, los corchetes denotan la antisimetría y ";" representa el operador diferencial covariante). En el caso de un universo isotrópico plano, una posibilidad es Cbca=0{displaystyle C_{ bc}{a}=0} (tipo I), pero en el caso de un universo cerrado de FLRW, Cbca=ε ε bca{displaystyle C. ¿Qué? Donde ε ε bca{displaystyle varepsilon _{ bc} {a}} es el símbolo Levi-Civita.