Espacio frechet

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Un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, los espacios de Fréchet, llamados así por Maurice Fréchet, son espacios vectoriales topológicos especiales. Son generalizaciones de los espacios de Banach (espacios vectoriales normados que son completos con respecto a la métrica inducida por la norma). Todos los espacios de Banach y Hilbert son espacios de Fréchet. Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales son típicamente no espacios de Banach.

A Fréchet space $X$ se define como un espacio vectorial topológico localmente convex metrizable (TVS) que está completo como un TVS, lo que significa que cada secuencia Cauchy en $X$ converge a algún punto en $X$ (ver nota de pie de página para más detalles).

Nota importante: No todos los autores requieren que un espacio Fréchet sea localmente convexo (discutido abajo).

La topología de cada espacio Fréchet es inducida por alguna métrica completa de traducción-invariante. Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo $X$ es inducido por una métrica completa invariante de traducción entonces $X$ es un espacio Fréchet.

Fréchet fue el primero en utilizar el término "espacio de Banach" y Banach, a su vez, acuñaron el término "espacio Fréchet" para significar un espacio vectorial topológico metrizable completo, sin el requisito de convexidad local (dicho espacio hoy en día a menudo se denomina "espacio F"). El requisito de convexidad local fue agregado más tarde por Nicolas Bourbaki. Es importante tener en cuenta que un número considerable de autores (p. ej., Schaefer) utilizan "F-space" para significar un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un "espacio de Fréchet" ser localmente convexa. Además, algunos autores incluso utilizan "F-space" y "espacio Fréchet" indistintamente. Al leer literatura matemática, se recomienda que el lector compruebe siempre si la definición del libro o del artículo de "F-espacio" y "espacio Fréchet" requiere convexidad local.

Definiciones

Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos formas equivalentes: la primera emplea una métrica invariante de traducción, la segunda una familia contable de seminormas.

Definición de métrica invariable

Un espacio vectorial topológico $X$ es un Espacio Fréchet si y sólo si satisface las siguientes tres propiedades:

Es localmente convexo.
Su topología puede ser inducido por una métrica invariante de traducción, es decir, una métrica ${displaystyle d:Xtimes Xto mathbb {R} }$ tales que ${displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ para todos ${displaystyle x,y,zin X.}$ Esto significa que un subconjunto $U$ de $X$ está abierto si y sólo si por cada $u in U$ existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ tales que $<math alttext="{displaystyle {v:d(v,u){}v:d()v,u).r}{displaystyle {v:d(v,u)seccionador} <img alt="{displaystyle {v:d(v,u)$ es un subconjunto de $U.$
Algunos (o equivalentemente, cada) métrica invariante de traducción en X{displaystyle X} $X$ induciendo la topología de X{displaystyle X} $X$ está completo.
- Suponiendo que las otras dos condiciones estén satisfechas, esta condición es equivalente a $X$ ser un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que $X$ es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en $X$ y se define completamente en términos de resta vectorial y $X$ 's barrios del origen; además, la uniformidad inducida por cualquier traducción (topología-definición) invariante $X$ es idéntico a esta uniformidad canónica).

Tenga en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes de traducción diferentes pueden inducir la misma topología.

Definición de familia contable de seminormas

La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico $X$ es un Espacio Fréchet si y sólo si satisface las siguientes tres propiedades:

Es un espacio Hausdorff,
Su topología puede ser inducida por una familia contable de seminormas ${displaystyle ||cdot ||_{k}}$ ${displaystyle k=0,1,2,ldots }$ Esto significa que un subconjunto $Usubseteq X$ está abierto si y sólo si por cada $u in U$ existe ${displaystyle Kgeq 0}$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ tales que $<math alttext="{displaystyle {vin X:|v-u|_{k}{}v▪ ▪ X:.. v− − u.. k.rpara todosk≤ ≤ K}{displaystyle{vin X:fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}kleq K}<img alt="{displaystyle {vin X:|v-u|_{k}$ es un subconjunto de ${displaystyle U,}$
está completo con respecto a la familia de seminormas.

Una familia ${mathcal {P}}$ de seminormas en $X$ produce una topología Hausdorff si y sólo si

{displaystyle bigcap _{|,cdot ,|in {mathcal {P}}}{xin X:|x|=0}={0}.}

Una secuencia ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ dentro $X$ convergencias a $x$ en el espacio Fréchet definido por una familia de seminormas si y sólo si converge $x$ con respecto a cada una de las seminormas dadas.

Como espacios palmeados de Baire

Theorem(de Wilde 1978)—Un espacio vectorial topológico $X$ es un espacio Fréchet si y sólo si es un espacio de los fondos web y un espacio de Baire.

Comparación con los espacios de Banach

A diferencia de los espacios de Banach, la métrica invariante de traducción completa no necesita surgir de una norma. Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una F-norma (la F significa Fréchet).

Aunque la estructura topológica de los espacios de Fréchet es más complicada que la de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de mapeo abierto, el teorema del gráfico cerrado y el teorema de Banach– Teorema de Steinhaus, aún se mantiene.

Construyendo espacios Fréchet

Recuerda que un seminorm $|cdot |$ es una función de un espacio vectorial $X$ a los números reales que satisfacen tres propiedades. Para todos $x, y in X$ y todos los cuero cabelludos $c,$

{displaystyle |x|geq 0}

{displaystyle |x+y|leq |x|+|y|}

{displaystyle |ccdot x|=|c||x|}

Si ${displaystyle |x|=0iff x=0}$ , entonces $|cdot |$ es de hecho una norma. Sin embargo, los seminormas son útiles porque nos permiten construir espacios Fréchet, como sigue:

Para construir un espacio Fréchet, uno comienza normalmente con un espacio vectorial $X$ y define una familia contable de seminormas $|cdot |_{k}$ on $X$ con las siguientes dos propiedades:

si $xin X$ y ${displaystyle |x|_{k}=0}$ para todos ${displaystyle kgeq 0,}$ entonces $x=0$ ;
si ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ es una secuencia en $X$ que es Cauchy con respecto a cada seminorm ${displaystyle |cdot |_{k},}$ entonces existe $xin X$ tales que ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}$ convergencias a $x$ con respecto a cada seminorm ${displaystyle |cdot |_{k}.}$

Luego la topología inducida por estas seminormas (como se explica más arriba) se convierte $X$ en un espacio Fréchet; la primera propiedad asegura que es Hausdorff, y la segunda propiedad asegura que está completo. Una métrica completa invariante induciendo la misma topología en $X$ puede ser definido por

{displaystyle d(x,y)=sum _{k=0}^{infty }2^{-k}{frac {|x-y|_{k}}{1+|x-y|_{k}}}qquad x,yin X.}

La función ${displaystyle umapsto {frac {u}{1+u}}}$ mapas $[0,infty)$ monotonicamente ${displaystyle [0,1),}$ y así la definición anterior garantiza que $d(x,y)$ es "pequeño" si y sólo si existe $K$ "grande" tal que ${displaystyle |x-y|_{k}}$ es "pequeño" para ${displaystyle k=0,ldotsK.}$

Ejemplos

Del puro análisis funcional

Cada espacio de Banach es un espacio Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante de traducción y el espacio está completo con respecto a esta métrica.
El espacio ${displaystyle mathbb {R} ^{omega }}$ de todas las secuencias valoradas reales (también denotado) ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$ ) se convierte en un espacio Fréchet si definimos el $k$ - el seminorm de una secuencia para ser el valor absoluto del $k$ - el elemento de la secuencia. La convergencia en este espacio Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos.

Desde colectores lisos

El espacio vectorial ${displaystyle C^{infty }([0,1])}$ de todas las funciones infinitamente diferentes ${displaystyle f:[0,1]to mathbb {R} }$ se convierte en un espacio Fréchet con las seminormas ${displaystyle |f|_{k}=sup{|f^{(k)}(x)|:xin [0,1]}}$ para cada entero no negativo $k.$ Aquí, $f^{(k)}$ denota los $k$ - el derivado de $f,$ y ${displaystyle f^{(0)}=f.}$ En este espacio Fréchet, una secuencia ${displaystyle left(f_{n}right)to f}$ de funciones convergen hacia el elemento ${displaystyle fin C^{infty }([0,1])}$ si y sólo si por cada entero no negativo ${displaystyle kgeq 0,}$ la secuencia ${displaystyle left(f_{n}^{(k)}right)to f^{(k)}}$ converge uniformemente.
El espacio vectorial ${displaystyle C^{infty }(mathbb {R})}$ de todas las funciones infinitamente diferentes ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} }$ se convierte en un espacio Fréchet con las seminormas ${displaystyle |f|_{k,n}=sup{|f^{(k)}(x)|:xin [-n,n]}}$ para todos los enteros ${displaystyle k,ngeq 0.}$ Entonces, una secuencia de funciones ${displaystyle left(f_{n}right)to f}$ converge si y sólo si por cada ${displaystyle k,ngeq 0,}$ las secuencias ${displaystyle left(f_{n}^{(k)}right)to f^{(k)}}$ convergen compactamente.
El espacio vectorial ${displaystyle C^{m}(mathbb {R})}$ de todos $m$ -tiempos funciones continuamente diferenciables ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} }$ se convierte en un espacio Fréchet con las seminormas ${displaystyle |f|_{k,n}=sup{|f^{(k)}(x)|:xin [-n,n]}}$ para todos los enteros $ngeq 0$ y ${displaystyle k=0,ldotsm.}$
Si $M$ es un compacto $C^{{infty }}$ - Manifold and $B$ es un espacio de Banach, entonces el conjunto ${displaystyle C^{infty }(M,B)}$ de todas las funciones infinitamente diferentes ${displaystyle f:Mto B}$ se puede convertir en un espacio Fréchet utilizando como seminormas la supremacía de las normas de todos los derivados parciales. Si $M$ es un (no necesariamente compacto) $C^{{infty }}$ - múltiples que admite una secuencia contable $K^{n}$ de subconjuntos compactos, para que cada subconjunto compacto de $M$ está contenido en al menos uno ${displaystyle K^{n},}$ entonces los espacios ${displaystyle C^{m}(M,B)}$ y ${displaystyle C^{infty }(M,B)}$ son también espacio Fréchet de manera natural. Como un caso especial, cada finito liso completo $M$ se puede hacer en tal unión anidada de subconjuntos compactos: equiparlo con una métrica Riemanniana $g$ que induce una métrica ${displaystyle d(x,y),}$ elegir ${displaystyle xin M,}$ y dejar ${displaystyle K_{n}={yin M:d(x,y)leq n}.}$ Vamos $X$ ser un compacto $C^{{infty }}$ - Manifold and $V$ un paquete vectorial sobre $X.$ Vamos ${displaystyle C^{infty }(X,V)}$ denota el espacio de secciones lisas $V$ sobre $X.$ Elija métricas y conexiones Riemannianas, que están garantizados para existir, en los paquetes $TX$ y $V.$ Si $s$ es una sección, denota su j^T covariante derivado por ${displaystyle D^{j}s.}$ Entonces... ${displaystyle |s|_{n}=sum _{j=0}^{n}sup _{xin M}|D^{j}s|}$ (donde) ${displaystyle |,cdot ,|}$ es la norma inducida por la métrica Riemanniana) es una familia de seminormas haciendo ${displaystyle C^{infty }(M,V)}$ en un espacio Fréchet.

De la holomorficidad

Vamos $H$ ser el espacio de funciones enteras (cada holomorfa) en el plano complejo. Entonces la familia de las seminormas ${displaystyle |f|_{n}=sup{|f(z)|:|z|leq n}}$ # $H$ en un espacio Fréchet.
Vamos $H$ ser el espacio de funciones enteras (cada holomorfas) de tipo exponencial $tau.$ Entonces la familia de las seminormas ${displaystyle |f|_{n}=sup _{zin mathbb {C} }exp left[-left(tau +{frac {1}{n}}right)|z|right]|f(z)|}$ # $H$ en un espacio Fréchet.

No todos los espacios vectoriales con métricas completas de traducción-invariantes son espacios Fréchet. Un ejemplo es el espacio ${displaystyle L^{p}([0,1])}$ con $<math alttext="{displaystyle pp.1.{displaystyle p realizadas1.} <img alt="{displaystyle p$ Aunque este espacio no es localmente convexo, es un espacio F.

Propiedades y nociones adicionales

Si un espacio Fréchet admite una norma continua, entonces todos los seminormas utilizados para definirlo pueden ser reemplazados por normas agregando esta norma continua a cada uno de ellos. Un espacio de Banach, ${displaystyle C^{infty }([a,b]),}$ ${displaystyle C^{infty }(X,V)}$ con $X$ compacto y $H$ todas las normas admiten, mientras ${displaystyle mathbb {R} ^{omega }}$ y ${displaystyle C(mathbb {R})}$ No.

Un subespacio cerrado de un espacio Fréchet es un espacio Fréchet. Un cociente de un espacio Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios Fréchet es un espacio Fréchet.

Un producto de muchos espacios Fréchet es siempre una vez más un espacio Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de los espacios Fréchet será un espacio Fréchet si y sólo si todos excepto por lo más contable muchos de ellos son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de incontables muchos espacios Fréchet no triviales no puede ser un espacio Fréchet (de hecho, tal producto no es ni siquiera metroble porque su origen no puede tener una base de barrio contable). Por ejemplo, si ${displaystyle Ineq varnothing }$ es cualquier conjunto y $X$ es cualquier espacio Fréchet no-trivial (como ${displaystyle X=mathbb {R} }$ por ejemplo), entonces el producto ${displaystyle X^{I}=prod _{iin I}X}$ es un espacio Fréchet si y sólo si $I$ es un juego contable.

Varias herramientas importantes de análisis funcional que se basan en el teorema de la categoría Baire siguen siendo verdaderas en los espacios de Fréchet; ejemplos son el teorema de gráficos cerrado y el teorema de mapeo abierto. El teorema de mapeo abierto implica que si ${displaystyle tau {text{ and }}tau _{2}}$ son topologías en $X$ que hacen ambos $(X, tau)$ y ${displaystyle left(X,tau _{2}right)}$ y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ${displaystyle tau subseteq tau _{2}{text{ or }}tau _{2}subseteq tau {text{ then }}tau =tau _{2}}$ ).

Cada operador lineal vinculado de un espacio Fréchet en otro espacio vectorial topológico (TVS) es continuo.

Existe un espacio Fréchet $X$ tener un subconjunto atado $B$ y también un subespacial vectorial denso $M$ tales que $B$ es no incluido en el cierre (in $X$ ) de cualquier subconjunto atado de ${displaystyle M.}$

Todos los espacios Fréchet son espacios estereotipados. En la teoría de los espacios estereotipados Los espacios Fréchet son objetos duales a los espacios Brauner. Todos los espacios del Montel son separables. Un espacio Fréchet separable es un espacio Montel si y sólo si cada secuencia convergente débil-* en su convergencia dual continua es fuertemente convergente.

El espacio dual fuerte ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ de un espacio Fréchet (y más generalmente, de cualquier espacio localmente convexo metro) $X$ es un espacio DF. El doble fuerte de un espacio DF es un espacio Fréchet. El fuerte doble de un espacio Fréchet reflexivo es un espacio nazi y un espacio Ptak. Cada espacio Fréchet es un espacio Ptak. El fuerte bidual (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio convexo localmente metroble es un espacio Fréchet.

Normas y normabilidad

Si $X$ es un espacio localmente convexo entonces la topología de $X$ puede ser definido por una familia de continuo normas on $X$ a norma es un seminorm positivo-definido) si y sólo si existe al menos uno continuo norma on $X.$ Incluso si un espacio Fréchet tiene una topología definida por una familia (contable) normas (todas las normas son también seminormas), entonces puede no ser todavía espacio normable (que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma individual). El espacio de todas las secuencias ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }}$ (con la topología del producto) es un espacio Fréchet. No existe ningún Hausdorff localmente convexo topología en ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }}$ que es estrictamente más grueso que esta topología de producto. El espacio ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }}$ no es normable, lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma. Además, no existe cualquiera norma continua ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }.}$ De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que $X$ es un espacio Fréchet en el que no existe ninguna norma continua, entonces esto se debe enteramente a la presencia de ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }}$ como subespacial.

Theorem—Vamos $X$ ser un espacio Fréchet sobre el terreno ${displaystyle mathbb {K}.}$ Entonces los siguientes son equivalentes:

$X$ ¿Sí? no admitir una norma continua (es decir, cualquier seminorm continuo en $X$ puede no ser una norma).
$X$ contiene un subespacio vectorial que es isómorfo de TVS ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }.}$
$X$ contiene un subespacial vectorial complementario que es isómorfo de TVS ${displaystyle mathbb {K} ^{mathbb {N} }.}$

Si $X$ es un espacio Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces $X$ contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico.

Un espacio localmente convexo accesible es normable si y sólo si su espacio dual fuerte es un espacio Fréchet-Urysohn localmente convexo. En particular, si un espacio localmente convex metrizable $X$ (como un espacio Fréchet) no (que sólo puede suceder si normable) $X$ es infinita dimensional) entonces su espacio dual fuerte ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ no es un espacio Fréchet-Urysohn y por consiguiente, este espacio completo Hausdorff localmente convexo ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ tampoco es metroble ni normable.

El espacio dual fuerte de un espacio Fréchet (y más generalmente, de espacios nazis como TVSs metrizable) es siempre un TVS completo y así como cualquier TVS completo, es normable si y sólo si su topología puede ser inducida por una norma completa (es decir, si y sólo si se puede hacer en un espacio Banach que tiene la misma topología). Si $X$ es un espacio Fréchet entonces $X$ es normable si (y sólo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo $X'$ tal que la norma inducida topología en $X'$ es más fino que la débil-* topología. En consecuencia, si un espacio Fréchet es no normable (que sólo puede suceder si es dimensional infinita) entonces tampoco es su espacio dual fuerte.

Anderson-Kadec theorem

Anderson-Kadec theorem—Cada espacio de Fréchet real dimensional y separable es homeomorfo ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} },}$ el producto cartesiano de muchas copias de la línea real ${displaystyle mathbb {R}.}$

Note que el homeomorfismo descrito en el teorema Anderson-Kadec es no necesariamente lineal.

Eidelheit theorem—Un espacio Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach, o tiene un espacio de cociente isomorfo a ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }.}$

Diferenciación de funciones

Si $X$ y $Y$ son espacios Fréchet, luego el espacio ${displaystyle L(X,Y)}$ consistente en todos los mapas lineales continuos de $X$ a $Y$ es no a Espacio Fréchet de cualquier manera natural. Esta es una diferencia importante entre la teoría de los espacios de Banach y la de los espacios Fréchet y requiere una definición diferente para la diferenciabilidad continua de funciones definidas en los espacios de Fréchet, el derivado de Gateaux:

Suppose $U$ es un subconjunto abierto de un espacio Fréchet $X,$ ${displaystyle P:Uto Y}$ es una función valorada en un espacio Fréchet $Y,$ $xin U$ y ${displaystyle hin X.}$ El mapa $P$ es diferenciable en $x$ en la dirección $h$ si el límite

{displaystyle D(P)(x)(h)=lim _{tto 0},{frac {1}{t}}left(P(x+th)-P(x)right)}

P

continuamente diferenciable

U

{displaystyle D(P):Utimes Xto Y}

{displaystyle D(P)}

P

El operador derivado ${displaystyle P:C^{infty }([0,1])to C^{infty }([0,1])}$ definidas por ${displaystyle P(f)=f'}$ es en sí misma infinitamente diferente. El primer derivado es dado por

{displaystyle D(P)(f)(h)=h'}

{displaystyle f,hin C^{infty }([0,1]).}

{displaystyle C^{infty }([0,1])}

{displaystyle C^{k}([0,1])}

k.

Si ${displaystyle P:Uto Y}$ es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial

{displaystyle x'(t)=P(x(t)),quad x(0)=x_{0}in U}

En general, el teorema de función inversa no es cierto en los espacios de Fréchet, aunque un sustituto parcial es el teorema Nash-Moser.

Manifolds Fréchet y grupos Lie

Uno puede definir Manifolds Fréchet como espacios que "localmente parecen" espacios Fréchet (como los manifolds ordinarios se definen como espacios que se parecen localmente al espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ ), y uno puede entonces extender el concepto de grupo de Lie a estos múltiples. Esto es útil porque para un determinado (ordinario) compacto $C^{{infty }}$ Manifold ${displaystyle M,}$ el conjunto de todos $C^{{infty }}$ diffeomorfismos ${displaystyle f:Mto M}$ formas de generalización Grupo Lie en este sentido, y este grupo Lie captura las simetrías de ${displaystyle M.}$ Algunas de las relaciones entre Álgebras de Lie y grupos de Lie permanecen válidas en este entorno.

Otro ejemplo importante de un grupo Fréchet Lie es el grupo de lazo de un grupo compacto Lie $G,$ la suave ( $C^{{infty }}$ ) cartografías ${displaystyle gamma:S^{1}to G,}$ punto multiplicado por ${displaystyle left(gamma _{1}gamma _{2}right)(t)=gamma _{1}(t)gamma _{2}(t)..}$

Generalizaciones

Si dejamos caer el requisito de que el espacio sea localmente convexo, obtenemos espacios F: espacios vectoriales con métricas completas de traducción-invariantes.

Los espacios LF son límites inductivos contables de los espacios Fréchet.

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