Espacio discreto

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Tipo de espacio topológico

En topología, un espacio discreto es un ejemplo particularmente simple de un espacio topológico o estructura similar, uno en el que los puntos forman una secuencia discontinua, lo que significa que son aislados unos de otros en cierto sentido. La topología discreta es la topología más fina que se puede dar en un conjunto. Cada subconjunto está abierto en la topología discreta, de modo que, en particular, cada subconjunto singleton es un conjunto abierto en la topología discreta.

Definiciones

Dado un conjunto $X$ :

the discrete topology on $X$ is defined by letting every subset of $X$ be open (and hence also closed), and $X$ is a discrete topological space if it is equipped with its discrete topology;
the discrete uniformity on $X$ is defined by letting every superset of the diagonal ${displaystyle {(x,x):xin X}}$ in $Xtimes X$ be an entourage, and $X$ is a discrete uniform space if it is equipped with its discrete uniformity.
the discrete metric $rho$ on $X$ is defined by ${displaystyle rho (x,y)={begin{cases}1&{text{if}} xneq y,\0&{text{if}} x=yend{cases}}}$ for any ${displaystyle x,yin X.}$ In this case $(X,rho)$ is called a discrete metric space or a space of isolated points.
a discrete subspace of some given topological space ${displaystyle (Y,tau)}$ refers to a topological subspace of ${displaystyle (Y,tau)}$ (a subset of $Y$ together with the subspace topology that ${displaystyle (Y,tau)}$ induces on it) whose topology is equal to the discrete topology. For example, if ${displaystyle Y:=mathbb {R} }$ has its usual Euclidean topology then ${displaystyle S=left{{tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{3}},{tfrac {1}{4}},ldots right}}$ (endowed with the subspace topology) is a discrete subspace of $mathbb {R}$ but $S cup {0}$ is not.
a set $S$ is discrete in a metric space ${displaystyle (X,d),}$ for ${displaystyle Ssubseteq X,}$ if for every ${displaystyle xin S,}$ there exists some $delta >0$ (depending on $x$ ) such that ${displaystyle d(x,y)>delta }$ for all $yin Ssetminus {x}$ ; such a set consists of isolated points. A set $S$ is uniformly discrete in the metric space ${displaystyle (X,d),}$ for ${displaystyle Ssubseteq X,}$ if there exists $varepsilon >0$ such that for any two distinct ${displaystyle x,yin S,d(x,y)>varepsilon.}$

Un espacio métrico $(E,d)$ se dice que uniformemente discreto si existe envasado radius $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ tal que, para cualquier ${displaystyle x,yin E,}$ uno tiene $x=y$ o $r.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d()x,Sí.)■r.{displaystyle d(x,y)}r.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b931e9ec20b3afc1a74347530994e88ddb7f01" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.338ex; height:2.843ex;"/>$ La topología subyacente en un espacio métrico puede ser discreta, sin que la métrica sea uniformemente discreta: por ejemplo la métrica habitual en el conjunto ${displaystyle left{2^{-n}:nin mathbb {N} _{0}right}.}$

Proof that a discrete space is not necessarily uniformly discrete

Let ${textstyle X=left{2^{-n}:nin mathbb {N} _{0}right}=left{1,{frac {1}{2}},{frac {1}{4}},{frac {1}{8}},dots right},}$ consider this set using the usual metric on the real numbers. Then, $X$ is a discrete space, since for each point ${displaystyle x_{n}=2^{-n}in X,}$ we can surround it with the open interval ${displaystyle (x_{n}-varepsilonx_{n}+varepsilon),}$ where ${displaystyle varepsilon ={tfrac {1}{2}}left(x_{n}-x_{n+1}right)=2^{-(n+2)}.}$ The intersection ${displaystyle left(x_{n}-varepsilonx_{n}+varepsilon right)cap X}$ is therefore trivially the singleton ${displaystyle {x_{n}}.}$ Since the intersection of an open set of the real numbers and $X$ is open for the induced topology, it follows that ${x_{n}}$ is open so singletons are open and $X$ is a discrete space.

However, $X$ cannot be uniformly discrete. To see why, suppose there exists an $r > 0$ such that ${displaystyle d(x,y)>r}$ whenever ${displaystyle xneq y.}$ It suffices to show that there are at least two points $x$ and $y$ in $X$ that are closer to each other than $r.$ Since the distance between adjacent points $x_{n}$ and $x_{n+1}$ is ${displaystyle 2^{-(n+1)},}$ we need to find an $n$ that satisfies this inequality:

{displaystyle {begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\1&<2^{n+1}r\r^{-1}&<2^{n+1}\log _{2}left(r^{-1}right)&<n+1\-log _{2}(r)&<n+1\-1-log _{2}(r)&<nend{aligned}}}

Since there is always an $n$ bigger than any given real number, it follows that there will always be at least two points in $X$ that are closer to each other than any positive $r,$ therefore $X$ is not uniformly discrete.

Propiedades

La uniformidad subyacente en un espacio métrico discreto es la uniformidad discreta, y la topología subyacente en un espacio uniforme discreto es la topología discreta. Así, las diferentes nociones del espacio discreto son compatibles entre sí. Por otra parte, la topología subyacente de un espacio uniforme o métrico no discreto puede ser discreta; un ejemplo es el espacio métrico ${displaystyle X={n^{-1}:nin mathbb {N} }}$ (con métrica heredada de la línea real y dada por ${displaystyle d(x,y)=left|x-yright|}$ ). Esto no es la métrica discreta; también, este espacio no es completo y por lo tanto no discreto como un espacio uniforme. Sin embargo, es discreto como un espacio topológico. Decimos eso $X$ es topológicamente discreta pero no uniformemente discreto o métricamente discreta.

Además:

La dimensión topológica de un espacio discreto es igual a 0.
Un espacio topológico es discreto si y sólo si sus singletons están abiertos, que es el caso si y sólo si no contiene ningún punto de acumulación.
Los singletons forman una base para la topología discreta.
Un espacio uniforme $X$ es discreto si y sólo si la diagonal ${displaystyle {(x,x):xin X}}$ es un séquito.
Cada espacio discreto topológico satisface cada uno de los axiomas de separación; en particular, cada espacio discreto es Hausdorff, es decir, separado.
Un espacio discreto es compacto si y sólo si es finito.
Cada espacio discreto uniforme o métrico está completo.
Combinando los dos hechos anteriores, cada espacio discreto uniforme o métrico está totalmente ligado si y sólo si es finito.
Cada espacio métrico discreto está atado.
Cada espacio discreto es de primera cuenta; es más bien de segunda cuenta si y sólo si es contable.
Cada espacio discreto está totalmente desconectado.
Cada espacio discreto no vacío es segunda categoría.
Cualquier dos espacios discretos con la misma cardenalidad son homeomórficos.
Cada espacio discreto es metroble (por la métrica discreta).
Un espacio finito es metroble sólo si es discreto.
Si $X$ es un espacio topológico y $Y$ es un conjunto que lleva la topología discreta, entonces $X$ está incluso cubierto por $Xtimes Y$ (el mapa de proyección es la cubierta deseada)
La topología subespacial en los enteros como subespacial de la línea real es la topología discreta.
Un espacio discreto es separable si y sólo si es contable.
Cualquier subespacio topológico $mathbb {R}$ (con su topología Euclideana habitual) que es discreta es necesariamente contable.

Cualquier función de un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua, y cualquier función de un espacio uniforme discreto a otro espacio uniforme es uniformemente continuo. Es decir, el espacio discreto $X$ es libre en el set $X$ en la categoría de espacios topológicos y mapas continuos o en la categoría de espacios uniformes y mapas uniformemente continuos. Estos hechos son ejemplos de un fenómeno mucho más amplio, en el que las estructuras discretas suelen ser libres en conjuntos.

Con los espacios métricos, las cosas son más complicadas, porque hay varias categorías de espacios métricos, dependiendo de lo que se elija para los morfismos. Ciertamente, el espacio métrico discreto es libre cuando los morfismos son todas aplicaciones uniformemente continuas o todas aplicaciones continuas, pero esto no dice nada interesante sobre la estructura métrica, solo la estructura uniforme o topológica. Se pueden encontrar categorías más relevantes para la estructura métrica limitando los morfismos a mapas continuos de Lipschitz o mapas cortos; sin embargo, estas categorías no tienen objetos libres (en más de un elemento). Sin embargo, el espacio métrico discreto es libre en la categoría de espacios métricos acotados y mapas continuos de Lipschitz, y es libre en la categoría de espacios métricos acotados por 1 y mapas cortos. Es decir, cualquier función de un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado es continua de Lipschitz, y cualquier función de un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado por 1 es corta.

Hacia la otra dirección, una función $f$ desde un espacio topológico $Y$ a un espacio discreto $X$ es continuo si y sólo si es localmente constante en el sentido de que cada punto en $Y$ tiene un barrio en el que $f$ es constante.

Cada ultrafiltro ${mathcal {U}}$ on a non-empty set $X$ puede asociarse con una topología ${displaystyle tau ={mathcal {U}}cup left{varnothing right}}$ on $X$ con la propiedad que cada uno subconjunto adecuado no vacío $S$ de $X$ es o un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado, pero nunca ambos. Dijo diferente, cada uno subconjunto está abierto o cerrado pero (en contraste con la topología discreta) sólo subconjuntos que son ambos abiertas y cerradas (es decir, clopen) $varnothing$ y $X$ . En comparación, cada uno subconjunto $X$ está abierto y cerrado en la topología discreta.

Ejemplos y usos

A menudo se utiliza una estructura discreta como la "estructura predeterminada" en un conjunto que no lleva ninguna otra topología natural, uniformidad o métrica; las estructuras discretas a menudo se pueden usar como "extremas" ejemplos para probar suposiciones particulares. Por ejemplo, cualquier grupo se puede considerar como un grupo topológico dándole la topología discreta, lo que implica que los teoremas sobre grupos topológicos se aplican a todos los grupos. De hecho, los analistas pueden referirse a los grupos ordinarios no topológicos estudiados por los algebristas como "grupos discretos". En algunos casos, esto se puede aplicar de manera útil, por ejemplo, en combinación con la dualidad de Pontryagin. Una variedad de dimensión 0 (o variedad diferenciable o analítica) no es más que un espacio topológico discreto y contable (un espacio discreto incontable no es numerable en segundo lugar). Por lo tanto, podemos ver cualquier grupo contable discreto como un grupo de Lie de dimensión 0.

Un producto de copias contablemente infinitas del espacio discreto de números naturales es homeomorfico al espacio de números irracionales, con el homeomorfismo dado por la continua expansión de la fracción. Un producto de copias contablemente infinitas del espacio discreto ${0,1}$ es homeomorfo para el conjunto Cantor; y de hecho uniforme homeomorfo para el conjunto Cantor si utilizamos la uniformidad del producto en el producto. Tal homeomorfismo se da utilizando notación ternaria de números. (Ver espacio Cantor.) Cada fibra de una función localmente inyectable es necesariamente un subespacio discreto de su dominio.

En las fundaciones de las matemáticas, el estudio de las propiedades compactas de los productos de ${0,1}$ es central en el enfoque topológico de la lema ultrafiltra (equivalentemente, el teorema ideal booleano), que es una forma débil del axioma de elección.

Espacios indiscretos

De alguna manera, lo opuesto a la topología discreta es la topología trivial (también llamada topología indiscreta), que tiene la menor cantidad posible de conjuntos abiertos (solo el conjunto vacío y el espacio en sí). Donde la topología discreta es inicial o libre, la topología indiscreta es final o colibre: toda función desde un espacio topológico a un espacio indiscreto es continua, etc.

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