Espacio de piedra

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio de piedra, también conocido como espacio profinito o conjunto profinito, es un espacio compacto totalmente Espacio desconectado de Hausdorff. Los espacios de piedra llevan el nombre de Marshall Harvey Stone, quien los introdujo y estudió en la década de 1930 en el curso de su investigación de las álgebras de Boole, que culminó en su teorema de representación para las álgebras de Boole.

Condiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en el espacio topológico X{displaystyle X} son equivalentes:

• X{displaystyle X} es un espacio de Piedra;
• X{displaystyle X} es homeomorfo al límite proyector (en la categoría de espacios topológicos) de un sistema inverso de espacios discretos finitos;
• X{displaystyle X} es compacto y totalmente separado;
• X{displaystyle X} es compacto, T0 y cero-dimensional (en el sentido de la pequeña dimensión inductiva);
• X{displaystyle X} es coherente y Hausdorff.

Ejemplos

Ejemplos importantes de espacios de piedra incluyen espacios discretos finitos, el conjunto de Cantor y el espacio Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p} de p{displaystyle p}- enteros adictivos, donde p{displaystyle p} es cualquier número primo. Generalizando estos ejemplos, cualquier producto de espacios discretos finitos es un espacio de piedra, y el espacio topológico subyacente de cualquier grupo profinito es un espacio de piedra. La compactación Stone-Čech de los números naturales con la topología discreta, o de hecho de cualquier espacio discreto, es un espacio Piedra.

Teorema de representación de Stone para álgebras booleanas

A cada álgebra booleana B{displaystyle B} podemos asociar un espacio de Piedra S()B){displaystyle S(B)} como sigue: los elementos S()B){displaystyle S(B)} son los ultrafilters en B,{displaystyle B,} y la topología en S()B),{displaystyle S(B),} llamado la topología de Piedra, se genera por los conjuntos de la forma {}F▪ ▪ S()B):b▪ ▪ F},{displaystyle {Fin S(B):bin F},} Donde b▪ ▪ B.{displaystyle bin B.}

El teorema de representación de Piedra para álgebras booleanas declara que cada álgebra boo es isomorfo al álgebra booleana de conjuntos de clopen del espacio de Piedra S()B){displaystyle S(B)}; y además, cada uno Espacio de piedra X{displaystyle X} es homeomorfo al espacio de Piedra perteneciente al álgebra booleana de conjuntos de clopen de X.{displaystyle X.} Estas asignaciones son functoriales, y obtenemos una dualidad teórica de categoría entre la categoría de álgebras booleanas (con homomorfismos como morfismos) y la categoría de espacios de piedra (con mapas continuos como morfismos).

Stone 's theorem gave rise to a number of similar dualities, now collectively known as Stone dualities.

Matemáticas condensadas

La categoría de espacios de Piedra con mapas continuos es equivalente a la categoría pro de la categoría de conjuntos finitos, lo que explica el término "conjuntos finitos". Los conjuntos profinitos están en el corazón del proyecto de matemáticas condensadas, que pretende reemplazar los espacios topológicos con "conjuntos condensados", donde un espacio topológico X es reemplazado por el functor que toma un conjunto finito S al conjunto de mapas continuos de S a X.