Espacio de Kolmogorov

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio topológico X es un espacio T₀ o espacio de Kolmogorov (llamado así por Andrey Kolmogorov) si para cada par de puntos distintos de X, al menos uno de ellos tiene una vecindad que no contiene al otro. En un espacio T₀, todos los puntos son topológicamente distinguibles.

Esta condición, llamada condición T₀, es el más débil de los axiomas de separación. Casi todos los espacios topológicos normalmente estudiados en matemáticas son espacios T₀. En particular, todos los espacios T1, es decir, todos los espacios en los que para cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene al otro, son espacios T₀. Esto incluye todos los espacios T2 (o Hausdorff), es decir, todos los espacios topológicos en los que puntos distintos tienen vecindades disjuntas. En otra dirección, todo espacio sobrio (que puede no ser T₁) es T₀; esto incluye el espacio topológico subyacente de cualquier esquema. Dado cualquier espacio topológico, se puede construir un espacio T₀ identificando puntos topológicamente indistinguibles.

T₀ que no son espacios T₁ son exactamente aquellos espacios para los que el orden previo de especialización es un orden parcial no trivial. Dichos espacios ocurren naturalmente en la informática, específicamente en la semántica denotacional.

Definición

A T₀ espacio es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible. Es decir, para dos puntos diferentes x y Sí. hay un conjunto abierto que contiene uno de estos puntos y no el otro. Más precisamente el espacio topológico X es Kolmogorov o T0{displaystyle mathbf {T} _{0} si y sólo si:

Si a,b▪ ▪ X{displaystyle a,bin X} y aل ل b{displaystyle aneq b}, existe un conjunto abierto O tal que ()a▪ ▪ O)∧ ∧ ()b∉ ∉ O){displaystyle (ain O)wedge (bnotin O)} o ()a∉ ∉ O)∧ ∧ ()b▪ ▪ O){displaystyle (anotin O)wedge (bin O)}.

Tenga en cuenta que los puntos topológicamente distinguibles son automáticamente distintos. Por otro lado, si los conjuntos singleton {x} y {y} están separados, entonces los puntos x e y debe ser topológicamente distinguible. Es decir,

separados ⇒ topológicamente distinguible ⇒ diferencia

La propiedad de ser topológicamente distinguible es, en general, más fuerte que ser distinto pero más débil que estar separado. En un espacio T₀, la segunda flecha de arriba también se invierte; los puntos son distintos si y sólo si son distinguibles. Así encaja el axioma T₀ con el resto de axiomas de separación.

Ejemplos y contraejemplos

Casi todos los espacios topológicos normalmente estudiados en matemáticas son T₀. En particular, todos los espacios Hausdorff (T2), espacios T1 y espacios sobrios son T₀.

Espacios que no son T0

• Un conjunto con más de un elemento, con la topología trivial. No hay puntos diferenciables.
• El set R² donde los conjuntos abiertos son el producto cartesiano de un conjunto abierto R y R en sí mismo, es decir, la topología del producto R con la topología habitual y R con la topología trivial; puntos (a,b) y (a,c) no son distinguibles.
• El espacio de todas las funciones mensurables f de la línea real R al plano complejo C tal que el Lebesgue integral <math alttext="{displaystyle left(int _{mathbb {R} }|f(x)|^{2},dxright)^{frac {1}{2}}()∫ ∫ RSilenciof()x)Silencio2dx)12.JUEGO JUEGO {displaystyle left(int _{mthbb {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle left(int _{mathbb {R} }|f(x)|^{2},dxright)^{frac {1}{2}}. Dos funciones que son iguales en casi todas partes son indistinguibles. Vea también a continuación.

Espacios que son T0 pero no T1

• La topología de Zariski en Spec(R), el espectro principal de un anillo conmutativo R, siempre es T₀ pero generalmente no T₁. Los puntos no cerrados corresponden a ideales primos que no son maximales. Son importantes para la comprensión de los esquemas.
• La topología de punto particular en cualquier conjunto con al menos dos elementos es T₀ pero no T₁ ya que el punto particular no está cerrado (su cierre es todo el espacio). Un caso especial importante es el espacio Sierpiński, que es la topología puntual particular en el set {0,1}.
• La topología del punto excluido en cualquier conjunto con al menos dos elementos es T₀ pero no T₁. El único punto cerrado es el punto excluido.
• La topología Alexandrov en un conjunto parcialmente ordenado es T₀ pero no será T₁ a menos que la orden sea discreta (acuerda con la igualdad). Cada T finito₀ el espacio es de este tipo. Esto incluye también el punto particular y las topologías de puntos excluidos como casos especiales.
• La topología de orden adecuado en un conjunto totalmente ordenado es un ejemplo relacionado.
• La topología de intervalos superpuestos es similar a la topología de punto particular ya que cada conjunto abierto no vacío incluye 0.
• En general, un espacio topológico X será T₀ si y sólo si la especialización preorden encendido X es una orden parcial. Sin embargo, X será T₁ si y sólo si la orden es discreta (es decir, está de acuerdo con la igualdad). Así que un espacio será T₀ pero no T₁ si y sólo si la especialización preorden encendido X es una orden parcial no discreta.

Operando con espacios T0

Ejemplos de espacios topológicos típicamente estudiados son T₀. De hecho, cuando los matemáticos en muchos campos, en particular el análisis, se encuentran naturalmente con espacios que no son T₀, generalmente los reemplazan con espacios T₀, de la manera que se describe a continuación.. Para motivar las ideas involucradas, considere un ejemplo bien conocido. Se supone que el espacio L2(R) es el espacio de todas las funciones medibles f desde la línea real R hasta el plano complejo C tal que la integral de Lebesgue de |f(x)|² sobre toda la línea real es finita. Este espacio debería convertirse en un espacio vectorial normado definiendo la norma ||f|| ser la raíz cuadrada de esa integral. El problema es que esto no es realmente una norma, solo una seminorma, porque hay funciones distintas a la función cero cuyas (semi)normas son cero. La solución estándar es definir L²(R) como un conjunto de clases de equivalencia de funciones en lugar de un conjunto de funciones directamente. Esto construye un espacio cociente del espacio vectorial seminormado original, y este cociente es un espacio vectorial normado. Hereda varias propiedades convenientes del espacio seminormado; vea abajo.

En general, cuando se trata de una topología fija T en un conjunto X, es útil si esa topología es T₀. Por otro lado, cuando X es fijo pero se permite que T varíe dentro de ciertos límites, forzar a T a ser T₀ puede ser un inconveniente, ya que las topologías que no son T₀ suelen ser casos especiales importantes. Por lo tanto, puede ser importante comprender las versiones T₀ y no T₀ de las diversas condiciones que se pueden colocar en un espacio topológico.

El cociente de Kolmogorov

La indistinguibilidad topológica de los puntos es una relación de equivalencia. No importa cuál sea el espacio topológico X para empezar, el espacio cociente bajo esta relación de equivalencia siempre es T₀. Este espacio de cociente se denomina cociente de Kolmogorov de X, que denotaremos como KQ(X). Por supuesto, si X fuera T₀ para empezar, entonces KQ(X) y X son naturalmente homeomorfos. Categóricamente, los espacios de Kolmogorov son una subcategoría reflexiva de los espacios topológicos, y el cociente de Kolmogorov es el reflector.

Los espacios topológicos X e Y son equivalentes de Kolmogorov cuando sus cocientes de Kolmogorov son homeomorfos. Esta equivalencia conserva muchas propiedades de los espacios topológicos; es decir, si X y Y son equivalentes de Kolmogorov, entonces X tiene tal propiedad si y solo si Y lo hace. Por otro lado, la mayoría de las otras propiedades de los espacios topológicos implican T₀-ness; es decir, si X tiene tal propiedad, entonces X debe ser T₀. Solo unas pocas propiedades, como ser un espacio indiscreto, son excepciones a esta regla general. Aún mejor, muchas estructuras definidas en espacios topológicos se pueden transferir entre X y KQ(X). El resultado es que, si tiene un espacio topológico que no es T₀ con una determinada estructura o propiedad, generalmente puede formar un espacio T₀ con las mismas estructuras y propiedades tomando el cociente de Kolmogorov.

El ejemplo de L²(R) muestra estas características. Desde el punto de vista de la topología, el espacio vectorial seminormado con el que comenzamos tiene mucha estructura extra; por ejemplo, es un espacio vectorial, y tiene una seminorma, y estas definen una estructura pseudométrica y uniforme que son compatibles con la topología. Además, hay varias propiedades de estas estructuras; por ejemplo, la seminorma satisface la identidad del paralelogramo y la estructura uniforme está completa. El espacio no es T₀ ya que dos funciones cualquiera en L²(R) que son iguales en casi todas partes son indistinguibles con esta topología. Cuando formamos el cociente de Kolmogorov, el L²(R) real, estas estructuras y propiedades se conservan. Por lo tanto, L²(R) es también un espacio vectorial seminormado completo que satisface la identidad del paralelogramo. Pero en realidad obtenemos un poco más, ya que el espacio ahora es T₀. Una seminorma es una norma si y solo si la topología subyacente es T₀, por lo que L²(R) es en realidad un espacio vectorial normado completo satisfaciendo la identidad del paralelogramo, también conocida como espacio de Hilbert. Y es un espacio de Hilbert que los matemáticos (y los físicos, en mecánica cuántica) generalmente quieren estudiar. Tenga en cuenta que la notación L²(R) generalmente denota el cociente de Kolmogorov, el conjunto de clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables que difieren en conjuntos de medida cero, en lugar de simplemente el espacio vectorial de funciones cuadradas integrables que sugiere la notación.

Eliminando T0

Aunque las normas se definieron históricamente primero, a la gente también se le ocurrió la definición de seminorma, que es una especie de versión no T₀ de una norma. En general, es posible definir versiones que no sean T₀ tanto de las propiedades como de las estructuras de los espacios topológicos. Primero, considere una propiedad de los espacios topológicos, como ser Hausdorff. Luego se puede definir otra propiedad de los espacios topológicos definiendo el espacio X para satisfacer la propiedad si y solo si el cociente de Kolmogorov KQ(X) es Hausdorff. Esta es una propiedad sensata, aunque menos famosa; en este caso, tal espacio X se llama preregular. (Incluso resulta que hay una definición más directa de preregularidad). Ahora considere una estructura que se puede colocar en espacios topológicos, como una métrica. Podemos definir una nueva estructura en espacios topológicos dejando que un ejemplo de la estructura en X sea simplemente una métrica en KQ(X). Esta es una estructura sensata en X; es una pseudométrica. (Nuevamente, hay una definición más directa de pseudometría).

De esta manera, existe una forma natural de eliminar T₀-ness de los requisitos para una propiedad o estructura. Por lo general, es más fácil estudiar espacios que son T₀, pero también puede ser más fácil permitir estructuras que no son T₀ para obtener una imagen más completa. El requisito T₀ se puede agregar o quitar arbitrariamente utilizando el concepto del cociente de Kolmogorov.