Espacio de fase
En la teoría de sistemas dinámicos, un espacio de fase o espacio fásico es un espacio en el que se representan todos los estados posibles de un sistema, y cada estado posible corresponde a un punto único en el espacio de fase. Para los sistemas mecánicos, el espacio de fase generalmente consta de todos los valores posibles de las variables de posición y momento. Es el producto exterior del espacio directo y el espacio recíproco. El concepto de espacio de fase fue desarrollado a fines del siglo XIX por Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré y Josiah Willard Gibbs.
Introducción
En un espacio fase, cada grado de libertad o parámetro del sistema se representa como un eje de un espacio multidimensional; un sistema unidimensional se llama línea de fase, mientras que un sistema bidimensional se llama plano de fase. Para cada estado posible del sistema o combinación permitida de valores de los parámetros del sistema, se incluye un punto en el espacio multidimensional. El estado de evolución del sistema a lo largo del tiempo traza un camino (una trayectoria de espacio de fase para el sistema) a través del espacio de alta dimensión. La trayectoria del espacio de fase representa el conjunto de estados compatibles con partir de una condición inicial particular, ubicada en el espacio de fase completo que representa el conjunto de estados compatibles con partir de cualquier condición inicial.condición inicial. Como un todo, el diagrama de fase representa todo lo que el sistema puede ser, y su forma puede dilucidar fácilmente las cualidades del sistema que de otra manera no serían obvias. Un espacio fase puede contener un gran número de dimensiones. Por ejemplo, un gas que contiene muchas moléculas puede requerir una dimensión separada para x, y y z de cada partícula.posiciones y momentos (6 dimensiones para un gas monoatómico idealizado), y para sistemas moleculares más complejos se requieren dimensiones adicionales para describir los modos de vibración de los enlaces moleculares, así como el giro alrededor de 3 ejes. Los espacios de fase son más fáciles de usar cuando se analiza el comportamiento de sistemas mecánicos restringidos al movimiento alrededor y a lo largo de varios ejes de rotación o traslación, por ejemplo, en robótica, como analizar el rango de movimiento de un brazo robótico o determinar la ruta óptima para alcanzar una posición particular. /resultado de impulso.
Momento conjugado
En mecánica clásica, cualquier elección de coordenadas generalizadas q i para la posición (es decir, coordenadas en el espacio de configuración) define momentos generalizados conjugados p i que juntos definen coordenadas en el espacio de fase. De manera más abstracta, en la mecánica clásica, el espacio de fase es el paquete cotangente del espacio de configuración y, en esta interpretación, el procedimiento anterior expresa que una elección de coordenadas locales en el espacio de configuración induce una elección de coordenadas locales naturales de Darboux para la estructura simpléctica estándar en un espacio cotangente..
Conjuntos estadísticos en espacio de fase
El movimiento de un conjunto de sistemas en este espacio es estudiado por la mecánica estadística clásica. La densidad local de puntos en tales sistemas obedece al teorema de Liouville, por lo que puede tomarse como constante. Dentro del contexto de un sistema modelo en mecánica clásica, las coordenadas del espacio de fase del sistema en un momento dado se componen de todas las variables dinámicas del sistema. Debido a esto, es posible calcular el estado del sistema en cualquier momento dado en el futuro o en el pasado, a través de la integración de las ecuaciones de movimiento de Hamilton o Lagrange.
Ejemplos
Dimensiones reducidas
Para sistemas simples, puede haber tan solo uno o dos grados de libertad. Un grado de libertad ocurre cuando uno tiene una ecuación diferencial ordinaria autónoma en una sola variable, 
El espacio de fase de un sistema bidimensional se llama plano de fase, lo que ocurre en la mecánica clásica para una sola partícula que se mueve en una dimensión, y donde las dos variables son la posición y la velocidad. En este caso, un boceto del retrato de fase puede brindar información cualitativa sobre la dinámica del sistema, como el ciclo límite del oscilador de Van der Pol que se muestra en el diagrama.
Aquí, el eje horizontal da la posición y el eje vertical la velocidad. A medida que el sistema evoluciona, su estado sigue una de las líneas (trayectorias) del diagrama de fase.
Teoría del caos
Ejemplos clásicos de diagramas de fase de la teoría del caos son:
- el atractor de Lorenz
- crecimiento de la población (es decir, mapa logístico)
- plano de parámetros de polinomios cuadráticos complejos con conjunto de Mandelbrot.
Diagrama de fase
Una gráfica de variables de posición y cantidad de movimiento en función del tiempo a veces se denomina gráfica de fase o diagrama de fase. Sin embargo, la última expresión, "diagrama de fase", se suele reservar en las ciencias físicas para un diagrama que muestra las diversas regiones de estabilidad de las fases termodinámicas de un sistema químico, que consta de presión, temperatura y composición.
Mecánica cuántica
En mecánica cuántica, las coordenadas p y q del espacio de fase normalmente se convierten en operadores hermitianos en un espacio de Hilbert.
Pero, alternativamente, pueden conservar su interpretación clásica, siempre que sus funciones se compongan de formas algebraicas novedosas (a través del producto estrella de Groenewold de 1946). Esto es consistente con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Cada observable de la mecánica cuántica corresponde a una única función o distribución en el espacio de fase, y viceversa, como especifica Hermann Weyl (1927) y complementado por John von Neumann (1931); Eugenio Wigner (1932); y, en una gran síntesis, por HJ Groenewold (1946). Con JE Moyal (1949), estos completaron los fundamentos de la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, una reformulación completa y lógicamente autónoma de la mecánica cuántica. (Sus abstracciones modernas incluyen la cuantificación de la deformación y la cuantificación geométrica).
Los valores esperados en la cuantización del espacio de fase se obtienen isomórficamente a los observables del operador de seguimiento con la matriz de densidad en el espacio de Hilbert: se obtienen mediante integrales de espacio de fase de observables, con la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner sirviendo efectivamente como una medida.
Así, al expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases (el mismo ámbito que para la mecánica clásica), el mapa de Weyl facilita el reconocimiento de la mecánica cuántica como una deformación (generalización) de la mecánica clásica, con parámetro de deformación ħ/S, donde S es la acción de el proceso correspondiente. (Otras deformaciones familiares en la física implican la deformación de la newtoniana clásica en mecánica relativista, con el parámetro de deformación v / c; o la deformación de la gravedad newtoniana en la relatividad general, con el parámetro de deformación radio/dimensión característica de Schwarzschild).
Las expresiones clásicas, los observables y las operaciones (como los corchetes de Poisson) se modifican mediante correcciones cuánticas dependientes de ħ, ya que la multiplicación conmutativa convencional que se aplica en la mecánica clásica se generaliza a la multiplicación en estrella no conmutativa que caracteriza a la mecánica cuántica y subyace a su principio de incertidumbre.
Termodinámica y mecánica estadística
En los contextos de la termodinámica y la mecánica estadística, el término espacio de fase tiene dos significados: por un lado, se usa en el mismo sentido que en la mecánica clásica. Si un sistema termodinámico consta de N partículas, entonces un punto en el espacio de fase de 6 N dimensiones describe el estado dinámico de cada partícula en ese sistema, ya que cada partícula está asociada con tres variables de posición y tres variables de momento. En este sentido, mientras las partículas sean distinguibles, se dice que un punto en el espacio de fase es un microestado del sistema. (Para partículas indistinguibles, un microestado consistirá en un conjunto de N ! puntos, correspondientes a todos los intercambios posibles de las N partículas). Nes típicamente del orden del número de Avogadro, por lo que describir el sistema a nivel microscópico a menudo no es práctico. Esto conduce al uso del espacio de fase en un sentido diferente.
El espacio de fase también puede referirse al espacio que está parametrizado por los estados macroscópicos del sistema, como presión, temperatura, etc. Por ejemplo, uno puede ver el diagrama de presión-volumen o los diagramas de entropía-temperatura como describiendo parte de esta fase. espacio. Un punto en este espacio de fases se denomina correspondientemente macroestado. Fácilmente puede haber más de un microestado con el mismo macroestado. Por ejemplo, para una temperatura fija, el sistema podría tener muchas configuraciones dinámicas a nivel microscópico. Cuando se usa en este sentido, una fase es una región del espacio de fase donde el sistema en cuestión se encuentra, por ejemplo, en fase líquida, fase sólida, etc.
Dado que hay muchos más microestados que macroestados, el espacio de fase en el primer sentido suele ser una variedad de dimensiones mucho mayores que en el segundo sentido. Claramente, se requieren muchos más parámetros para registrar cada detalle del sistema hasta la escala atómica o molecular que simplemente especificar, digamos, la temperatura o la presión del sistema.
Óptica
El espacio de fase se usa ampliamente en la óptica sin imágenes, la rama de la óptica dedicada a la iluminación. También es un concepto importante en la óptica hamiltoniana.
Integral de fase
En mecánica estadística clásica (energías continuas), el concepto de espacio de fase proporciona un análogo clásico a la función de partición (suma de estados) conocida como integral de fase. En lugar de sumar el factor de Boltzmann sobre estados de energía discretamente espaciados (definidos por números cuánticos enteros apropiados para cada grado de libertad), se puede integrar sobre un espacio de fase continuo. Dicha integración consta esencialmente de dos partes: integración de la componente de cantidad de movimiento de todos los grados de libertad (espacio de cantidad de movimiento) e integración de la componente de posición de todos los grados de libertad (espacio de configuración). Una vez que se conoce la integral de fase, se puede relacionar con la función de partición clásica mediante la multiplicación de una constante de normalización que representa el número de estados cuánticos de energía por unidad de espacio de fase. Esta constante de normalización es simplemente la inversa de la constante de Planck elevada a una potencia igual al número de grados de libertad del sistema.
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