Espacio de configuración (física)

En mecánica clásica, los parámetros que definen la configuración de un sistema se denominan coordenadas generalizadas, y el espacio definido por estas coordenadas se denomina espacio de configuración del sistema físico. sistema. A menudo ocurre que estos parámetros satisfacen restricciones matemáticas, de modo que el conjunto de configuraciones reales del sistema es múltiple en el espacio de coordenadas generalizadas. Este colector se denomina colector de configuración del sistema. Tenga en cuenta que se trata de una noción de actividad "ilimitada" espacio de configuración, es decir, en el que diferentes partículas puntuales pueden ocupar la misma posición. En matemáticas, en particular en topología, existe una noción de dominio "restringido". Se utiliza principalmente el espacio de configuración, en el que las diagonales, que representan elementos "en colisión" Se eliminan las partículas

Ejemplo: una partícula en el espacio 3D

La posición de una sola partícula que se mueve en Euclidean ordinario 3-espacio se define por el vector ${displaystyle q=(x,y,z)}$, y por lo tanto su espacio de configuración es ${displaystyle Q=mathbb [R] ^{3}$. Es convencional usar el símbolo ${displaystyle q}$ para un punto en el espacio de configuración; esta es la convención tanto en la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica, como en la mecánica lagrangiana. El símbolo ${displaystyle p}$ se utiliza para denotar momenta; el símbolo ${displaystyle {dot {}=dq/dt}$ se refiere a velocidades.

Una partícula podría ser limitada para avanzar en un múltiple específico. Por ejemplo, si la partícula se une a una vinculación rígida, libre de oscilar sobre el origen, se limita efectivamente a mentir en una esfera. Su espacio de configuración es el subconjunto de coordenadas en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ que define puntos en la esfera ${displaystyle S^{2}$. En este caso, uno dice que el múltiple ${displaystyle Q}$ es la esfera, i.e. ${displaystyle Q=S^{2}$.

Para n partículas de punto no interaccionadas, el espacio de configuración es ${displaystyle mathbb {R} {cn}$. En general, sin embargo, uno está interesado en el caso en que las partículas interactúan: por ejemplo, son lugares específicos en algunos montajes de engranajes, poleas, bolas rodantes, etc. a menudo limitado a moverse sin deslizarse. En este caso, el espacio de configuración no es todo ${displaystyle mathbb {R} {cn}$, pero el subespacio (submanifold) de posiciones permitibles que los puntos pueden tomar.

Ejemplo: cuerpo rígido en un espacio 3D

El conjunto de coordenadas que definen la posición de un punto de referencia y la orientación de un marco de coordinación unido a un cuerpo rígido en espacio tridimensional forman su espacio de configuración, a menudo denotado ${displaystyle mathbb {R} ^{3}times mathrm {SO} (3)}$ Donde ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ representa las coordenadas del origen del marco adjunto al cuerpo, y ${displaystyle mathrm {SO} (3)}$ representa las matrices de rotación que definen la orientación de este marco relativo a un marco de tierra. Una configuración del cuerpo rígido se define por seis parámetros, tres de ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ y tres de ${displaystyle mathrm {SO} (3)}$, y se dice que tiene seis grados de libertad.

En este caso, el espacio de configuración ${displaystyle Q=mathbb {R} ^{3}times mathrm {SO} (3)}$ es seis dimensiones, y un punto ${displaystyle qin Q}$ es sólo un punto en ese espacio. La "ubicación" de ${displaystyle q}$ en ese espacio de configuración se describe utilizando coordenadas generalizadas; por lo tanto, tres de las coordenadas podrían describir la ubicación del centro de masa del cuerpo rígido, mientras que tres más podrían ser los ángulos Euler describiendo su orientación. No hay una opción canónica de coordenadas; también se puede elegir una punta o punto final del cuerpo rígido, en lugar de su centro de masa; se puede optar por usar las quaterniones en lugar de los ángulos de Euler, y así sucesivamente. Sin embargo, la parametrización no cambia las características mecánicas del sistema; todas las diferentes parametrizaciones finalmente describen el mismo (six-dimensional), el mismo conjunto de posibles posiciones y orientaciones.

Algunas parametrizaciones son más fáciles de trabajar con que otras, y muchas declaraciones importantes se pueden hacer trabajando de forma libre de coordenadas. Ejemplos de declaraciones libres de coordenadas son que el espacio tangente ${displaystyle TQ.$ corresponde a las velocidades de los puntos ${displaystyle qin Q}$, mientras que el espacio cotangente ${displaystyle T^{*}Q}$ corresponde a momenta. (Velocidades y momenta pueden conectarse; para el caso más general, abstracto, esto se hace con la noción más bien abstracta de la forma tautológica).

Ejemplo: brazo robótico

Para un brazo robótico compuesto por numerosos vínculos rígidos, el espacio de configuración consiste en la ubicación de cada enlace (que se toma como un cuerpo rígido, como en la sección anterior), sujeto a las limitaciones de cómo se unen los vínculos entre sí, y su rango permitido de movimiento. Así pues, ${displaystyle n}$ vínculos, uno podría considerar el espacio total

$${displaystyle left[mathbb {R}times mathrm {SO} (3)right]^{n}$$

${displaystyle Q}$

${displaystyle n}$

Tenga en cuenta, sin embargo, que en robótica, el término espacio de configuración también puede referirse a un subconjunto aún más reducido: el conjunto de posiciones alcanzables por el efector final de un robot. Esta definición, sin embargo, conduce a las complejidades descritas por la holonomía: es decir, puede haber varias formas diferentes de disponer un brazo robótico para obtener una ubicación particular del efector final, e incluso es posible hacer que el brazo robótico se mueva mientras se mantiene la posición del efector final. efector final estacionario. Así, una descripción completa del brazo, adecuada para su uso en cinemática, requiere la especificación de todas las posiciones y ángulos de las articulaciones, y no sólo de algunos de ellos.

Los parámetros conjuntos del robot se utilizan como coordenadas generalizadas para definir configuraciones. El conjunto de valores de parámetros conjuntos se denomina espacio conjunto. Las ecuaciones cinemáticas directa e inversa de un robot definen mapas entre configuraciones y posiciones de efectores finales, o entre el espacio articular y el espacio de configuración. La planificación del movimiento del robot utiliza este mapeo para encontrar una ruta en el espacio articular que proporcione una ruta alcanzable en el espacio de configuración del efector final.

Definición formal

En la mecánica clásica, la configuración de un sistema se refiere a la posición de todas las partículas puntuales constituyentes del sistema.

Espacio de fase

El espacio de configuración es insuficiente para describir completamente un sistema mecánico: no tiene en cuenta las velocidades. El conjunto de velocidades disponibles a un sistema define un tangente plano al conjunto de configuración del sistema. En un momento ${displaystyle qin Q}$, ese plano tangente es denotado por ${displaystyle T_{q}Q}$. Los vectores Momentum son funcionales lineales del plano tangente, conocido como vectores cotangentes; para un punto ${displaystyle qin Q}$, ese avión cotangente es denotado por ${displaystyle T_{q}{*}Q}$. El conjunto de posiciones y momenta de un sistema mecánico forma el paquete cotangente ${displaystyle T^{*}Q}$ de la configuración ${displaystyle Q}$. Este mayor conjunto se llama espacio de fase del sistema.

Espacio de estados

En la mecánica cuántica, el concepto análogo se llama espacio estatal. En este caso se utiliza un conjunto bastante diferente de formalismos y notación. El análogo de una "partícula punto" se convierte en un solo punto ${displaystyle mathbb {CP}$, la compleja línea proyectiva, también conocida como la esfera Bloch. Es complejo, porque una función de onda cuántica-mecánica tiene una fase compleja; es proyectiva porque la función de onda es normalizada a la probabilidad de unidad. Eso es, dada una función de onda ${displaystyle psi }$ uno es libre de normalizarlo por la probabilidad total ${textstyle int psi ^{*}psi }$, lo que lo hace proyectivo.