Espacio de cociente (topología)

Ilustración de la construcción de una esfera topológica como el espacio cociente de un disco, por glutinación juntos a un solo punto los puntos (en azul) del límite del disco.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas, el espacio Cociente de un espacio topológico bajo una relación de equivalencia dada es un nuevo espacio topológico construido al dotar el conjunto del cociente del espacio topológico original con el Topología del cociente , es decir, con la mejor topología que hace que continúe el mapa de proyección canónica (la función que mapea apunta a sus clases de equivalencia). En otras palabras, un subconjunto de un espacio de cociente está abierto si y solo si su preimagen debajo del mapa de proyección canónica está abierto en el espacio topológico original.

Hablando intuitivamente, los puntos de cada clase de equivalencia están identificados o " pegados juntos " para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, identificar los puntos de una esfera que pertenece al mismo diámetro produce el plano proyectivo como espacio de cociente.

Definición

Vamos X{displaystyle X} ser un espacio topológico, y dejar ♪ ♪ {displaystyle sim } ser una relación de equivalencia X.{displaystyle X.} El conjunto de cocientes Y=X/♪ ♪ {displaystyle Y=X/{sim } es el conjunto de clases de equivalencia de elementos X.{displaystyle X.} La clase de equivalencia x▪ ▪ X{displaystyle xin X} es denotado [x].{displaystyle [x].}

La construcción de Y{displaystyle Sí. define una subjeción canónica q:X∋ ∋ x↦ ↦ [x]▪ ▪ Y.{textstyle q:Xni xmapsto [x]in Y.} Como se indica a continuación, q{displaystyle q} es un mapa cociente, comúnmente llamado mapa cociente canónico, o mapa de proyección canónica, asociado a X/♪ ♪ .{displaystyle X/{sim }

El espacio de referencia menores ♪ ♪ {displaystyle sim } es el conjunto Y{displaystyle Sí. equipado con quotient topology, cuyos conjuntos abiertos son esos subconjuntos U⊆ ⊆ Y{textstyle Usubseteq Y} cuyo preimage q− − 1()U){displaystyle q^{-1}(U)} está abierto. En otras palabras, U{displaystyle U} está abierto en la topología del cociente X/♪ ♪ {displaystyle X/{sim}} si {}x▪ ▪ X:[x]▪ ▪ U}{textstyle {xin X:[x]in U} está abierto X.{displaystyle X.} Análogamente, un subconjunto S⊆ ⊆ Y{displaystyle Ssubseteq Sí. está cerrado si {}x▪ ▪ X:[x]▪ ▪ S}{displaystyle {xin X:[x]in S} está cerrado X.{displaystyle X.}

La topología cociente es la topología final en el conjunto cociente, con respecto al mapa x↦ ↦ [x].{displaystyle xmapsto [x].}

Mapa de cocientes

A map f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es un mapa de referencia (A veces se llama un mapa de identificación) si es subjetivo y Y{displaystyle Sí. está equipado con la topología final inducida por f.{displaystyle f.} Esta última condición admite dos frases más elementales: un subconjunto V⊆ ⊆ Y{displaystyle Vsubseteq Y} está abierto (cerrado) si f− − 1()V){displaystyle f^{-1}(V)} está abierto (resp. cerrado). Cada mapa cociente es continuo pero no cada mapa continuo es un mapa cociente.

conjuntos saturados

Un subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} se llama saturada (con respecto a f{displaystyle f}) si es de la forma S=f− − 1()T){displaystyle S=f^{-1}(T)} para algunos set T,{displaystyle T,} que es verdad si y sólo si f− − 1()f()S))=S.{displaystyle f^{-1}(f(S)=S.}La asignación T↦ ↦ f− − 1()T){displaystyle Tmapsto f^{-1}(T)} establece una correspondencia única (cuya inversa es S↦ ↦ f()S){displaystyle Smapsto f(S)}) entre subconjuntos T{displaystyle T} de Y=f()X){displaystyle Y=f(X)} subconjuntos saturados de X.{displaystyle X.} Con esta terminología, una subjeción f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es un mapa cociente si y sólo si por cada saturada subset S{displaystyle S. de X,{displaystyle X. S{displaystyle S. está abierto X{displaystyle X} si f()S){displaystyle f(S)} está abierto Y.{displaystyle Sí. En particular, subconjuntos abiertos de X{displaystyle X} que son no saturada no tiene ningún impacto en si la función f{displaystyle f} es un mapa cociente (o, de hecho, continuo: una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es continuo si y sólo si, por cada saturado S⊆ ⊆ X{textstyle Ssubseteq X} tales que f()S){displaystyle f(S)} está abierto f()X){textstyle f(X)}, el conjunto S{displaystyle S. está abierto X{textstyle X}).

De hecho, si τ τ {displaystyle tau } es una topología en X{displaystyle X} y f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es cualquier mapa entonces conjunto τ τ f{displaystyle tau _{f} de todos U▪ ▪ τ τ {displaystyle Uin tau } que son subconjuntos saturados de X{displaystyle X} formas una topología en X.{displaystyle X.} Si Y{displaystyle Sí. es también un espacio topológico entonces f:()X,τ τ )→ → Y{displaystyle f:(X,tau)to Y} es un mapa cociente (respectivamente, continuo) si y sólo si el mismo es verdadero f:()X,τ τ f)→ → Y.{displaystyle f:left(X,tau _{f}right)to Sí.

Caracterización del espacio cociente de fibras

Dada una relación de equivalencia ♪ ♪ {displaystyle ,sim ,} on X,{displaystyle X. denota la clase de equivalencia de un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} por [x]:={}z▪ ▪ X:z♪ ♪ x}{displaystyle [x]:={zin X:zsim x} y dejar X/♪ ♪ :={}[x]:x▪ ▪ X}{displaystyle X/{sim} }={[x]:xin X} denota el conjunto de clases de equivalencia. El mapa q:X→ → X/♪ ♪ {displaystyle q:Xto X/{sim } que envía puntos a sus clases de equivalencia (es decir, se define por q()x):=[x]{displaystyle q(x):=[x] para todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X}) se llama el mapa canónico. Es un mapa subjetivo y para todos a,b▪ ▪ X,{displaystyle a,bin X,} a♪ ♪ b{displaystyle a,sim,b} si q()a)=q()b);{displaystyle q(a)=q(b);} en consecuencia, q()x)=q− − 1()q()x)){displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x)} para todos x▪ ▪ X.{displaystyle xin X.} En particular, esto demuestra que el conjunto de clases de equivalencia X/♪ ♪ {displaystyle X/{sim}} es exactamente el conjunto de fibras del mapa canónico q.{displaystyle q.}Si X{displaystyle X} es un espacio topológico entonces dar X/♪ ♪ {displaystyle X/{sim}} la topología cociente inducida por q{displaystyle q} lo convertirá en un espacio conveniente y hará q:X→ → X/♪ ♪ {displaystyle q:Xto X/{sim } en un mapa cociente. Hasta un homeomorfismo, esta construcción es representativa de todos los espacios cocientes; el significado preciso de esto se explica ahora.

Vamos f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. ser una superjección entre los espacios topológicos (que aún no se supone que sean continuos o un mapa cociente) y declarar para todos a,b▪ ▪ X{displaystyle a,bin X} que a♪ ♪ b{displaystyle a,sim,b} si f()a)=f()b).{displaystyle f(a)=f(b). } Entonces... ♪ ♪ {displaystyle ,sim ,} es una relación de equivalencia X{displaystyle X} por cada uno x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,} [x]=f− − 1()f()x)),{displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)} que implica f()[x]){displaystyle f([x])} (definido por f()[x])={}f()z):z▪ ▪ [x]}{displaystyle f([x])={,f(z),:zin [x]}) es un conjunto de un singleton; denota el elemento único en f()[x]){displaystyle f([x])} por f^ ^ ()[x]){displaystyle {hat {f}(x)} (también por definición, f()[x])={}f^ ^ ()[x])}{displaystyle f([x])={hat {f}(x),}). La asignación [x]↦ ↦ f^ ^ ()[x]){displaystyle [x]mapsto {hat {f}(x)} define una bijeción f^ ^ :X/♪ ♪ → → Y{displaystyle {hat {f}:X/{sim };;to;Y} entre las fibras de f{displaystyle f} y puntos en Y.{displaystyle Sí. Define el mapa q:X→ → X/♪ ♪ {displaystyle q:Xto X/{sim } arriba (por q()x):=[x]{displaystyle q(x):=[x]) y dar X/♪ ♪ {displaystyle X/sim} la topología cociente inducida por q{displaystyle q} (que hace) q{displaystyle q} a mapa de referencia). Estos mapas están relacionados con:

f=f^ ^ ∘ ∘ qyq=f^ ^ − − 1∘ ∘ f.{displaystyle f={hat {f}circ} qquad {text{ and }quad q={hat {f}{-1}circ f.}

q:X→ → X/♪ ♪ {displaystyle q:Xto X/sim}

f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí.

f^ ^ :X/♪ ♪ → → Y.{displaystyle {hat {f}:X/sim;to;Y}

f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí.

f^ ^ :X/♪ ♪ → → Y{displaystyle {hat {f}:X/sim;to;Y}

f^ ^ {displaystyle {hat {f}}

Definiciones relacionadas

A mapa hereditario es un mapa subjetivo f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. con la propiedad que para cada subconjunto T⊆ ⊆ Y,{displaystyle Tsubseteq Y,} la restricción fSilenciof− − 1()T):f− − 1()T)→ → T{displaystyle f{bigvert - ¿Qué? es también un mapa cociente. Existen mapas cocientes que no son hereditariamente cocientes.

Ejemplos

• Gluing. Los topólogos hablan de ligar puntos juntos. Si X{displaystyle X} es un espacio topológico, pegando los puntos x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} dentro X{displaystyle X} significa considerar el espacio cociente obtenido de la relación de equivalencia a♪ ♪ b{displaystyle asim b} si a=b{displaystyle a=b} o a=x,b=Sí.{displaystyle a=x,b=y} (o a=Sí.,b=x{displaystyle a=y,b=x}).
• Considere la unidad cuadrado I2=[0,1]× × [0,1]{displaystyle I^{2}=[0,1]times [0,1]} y la relación de equivalencia ~ generado por el requisito de que todos los puntos de límite sean equivalentes, identificando así todos los puntos de límite a una única clase de equivalencia. Entonces... I2/♪ ♪ {displaystyle I^{2}/sim } es homeomorfa a la esfera S2.{displaystyle S^{2}.

Por ejemplo, [0,1]/{}0,1}{displaystyle [0,1]/{0,1} es homeomorfo al círculo S1.{displaystyle S^{1}.

• Espacio de sujeción. Más generalmente, supongo X{displaystyle X} es un espacio y A{displaystyle A} es un subespacio X.{displaystyle X.} Uno puede identificar todos los puntos en A{displaystyle A} a una única clase de equivalencia y dejar puntos fuera de A{displaystyle A} equivalente a ellos mismos. El espacio de referencia resultante se denota X/A.{displaystyle X/A.} El 2-sphere es entonces homeomórfico a un disco cerrado con su límite identificado a un solo punto: D2/∂ ∂ D2.{displaystyle D^{2}/partial {D^{2}}
• Considere el conjunto R{displaystyle mathbb {R} de números reales con la topología ordinaria, y escribir x♪ ♪ Sí.{displaystyle xsim y} si x− − Sí.{displaystyle x-y} es un entero. Luego el espacio cociente X/♪ ♪ {displaystyle X/sim} es homeomorfa al círculo de la unidad S1{displaystyle S^{1} a través del homeomorfismo que envía la clase de equivalencia x{displaystyle x} a exp⁡ ⁡ ()2π π ix).{displaystyle exp(2pi ix).}
• Una generalización del ejemplo anterior es la siguiente: Suponga un grupo topológico G{displaystyle G. actúa continuamente en un espacio X.{displaystyle X.} Uno puede formar una relación de equivalencia X{displaystyle X} diciendo puntos son equivalentes si y sólo si se encuentran en la misma órbita. El espacio cociente bajo esta relación se llama el espacio orbital, denotado X/G.{displaystyle X/G.} En el ejemplo anterior G=Z{displaystyle G=mathbb {Z} actos R{displaystyle mathbb {R} por traducción. El espacio orbital R/Z{displaystyle mathbb {R} {Z} es homeomorfo a S1.{displaystyle S^{1}.
  • Nota: La notación R/Z{displaystyle mathbb {R} {Z} es algo ambiguo. Si Z{displaystyle mathbb {Z} se entiende que es un grupo que actúa R{displaystyle mathbb {R} por adición, entonces el cociente es el círculo. Sin embargo, si Z{displaystyle mathbb {Z} se piensa como un subespacio topológico R{displaystyle mathbb {R} (que se identifica como un solo punto) entonces el cociente {}Z}∪ ∪ {}{}r}:r▪ ▪ R∖ ∖ Z}{fnMitbb {fnMitbb}cup {\,\fnMitbb {R} setminus mathbb {Z}} (que es identificable con el conjunto {}Z}∪ ∪ ()R∖ ∖ Z){displaystyle {mathbb {Z}cup (mathbb {R} setminus mathbb {Z}}) es un ramo contablemente infinito de círculos unidos en un solo punto Z.{displaystyle mathbb {Z}
• Este próximo ejemplo muestra que es en general no es verdad q:X→ → Y{displaystyle q:Xto Y} es un mapa cociente entonces cada secuencia convergente (respectivamente, cada red convergente) en Y{displaystyle Sí. tiene un ascensor (por q{displaystyle q}) a una secuencia convergente (o red convergente) en X.{displaystyle X.} Vamos X=[0,1]{displaystyle X=[0,1]} y ♪ ♪ ={}{}0,1}}∪ ∪ {}{}x}:x▪ ▪ ()0,1)}.{displaystyle ,sim ~ {fnMicrosoft Sans Serif} ~left{x}:xin (0,1),right} Vamos Y:=X/♪ ♪ {displaystyle Y:=X/,sim ,} y dejar q:X→ → X/♪ ♪ {displaystyle q:Xto X/sim ,} ser el mapa de referencia q()x):=[x],{displaystyle q(x):=[x],} así q()0)=q()1)={}0,1}{displaystyle q(0)=q(1)={0,1} y q()x)={}x}{displaystyle q(x)={x} para todos x▪ ▪ ()0,1).{displaystyle xin (0,1). } El mapa h:X/♪ ♪ → → S1⊆ ⊆ C{displaystyle h:X/,sim ,to S^{1}subseteq mathbb {C} definidas por h()[x]):=e2π π ix{displaystyle h([x]:=e^{2pi ix} está bien definido (porque e2π π i()0)=1=e2π π i()1){displaystyle e^{2pi i(0)}=1=e^{2pi i(1)}) y un homeomorfismo. Vamos I=N{displaystyle I=Mathbb {N} y dejar a∙ ∙ :=()ai)i▪ ▪ Iyb∙ ∙ :=()bi)i▪ ▪ I{displaystyle a_{bullet }:=left(a_{i}right)_{iin I}{text{ and }b_{bullet }:=left(b_{i}right)_{iin I} ser cualquier secuencia (o más generalmente, cualquier red) valorada en ()0,1){displaystyle (0,1)} tales que a∙ ∙ → → 0yb∙ ∙ → → 1{displaystyle a_{bullet }to 0{text{ and }b_{bullet }to 1} dentro X=[0,1].{displaystyle X=[0,1].} Entonces la secuencia
  Sí.1:=q()a1),Sí.2:=q()b1),Sí.3:=q()a2),Sí.4:=q()b2),...... {displaystyle Y_{1}:=qleft(a_{1}right),y_{2}:=qleft(b_{1}right),y_{3}:=qleft(a_{2}right),y_{4}:=qleft(b_{2}right),ldots }

  
  convergencias a [0]=[1]{displaystyle [0]=[1]} dentro X/♪ ♪ {displaystyle X/sim ,} pero no existe ninguna elevación convergente de esta secuencia por el mapa cociente q{displaystyle q} (es decir, no hay secuencia s∙ ∙ =()si)i▪ ▪ I{displaystyle s_{bullet }=left(s_{i}right)_{iin I} dentro X{displaystyle X} que ambos convergen con algunos x▪ ▪ X{displaystyle xin X} y satisfizos Sí.i=q()si){displaystyle Y... para todos i▪ ▪ I{displaystyle iin I}). Este contraejemplo se puede generalizar a las redes dejando ()A,≤ ≤ ){displaystyle (A,leq)} ser cualquier conjunto dirigido, y hacer I:=A× × {}1,2}{displaystyle I:=Atimes {1,2} en una red declarando que para cualquier ()a,m),()b,n)▪ ▪ I,{displaystyle (a,m),(b,n)in I,} ()m,a)≤ ≤ ()n,b){displaystyle (m,a);leq;(n,b)} si y sólo si ambos (1) a≤ ≤ b,{displaystyle aleq b,} y 2) si a=bentoncesm≤ ≤ n;{displaystyle a=b{text{ then }mleq n;} entonces el A{displaystyle A}-La red indexada definida Sí.()a,m){displaystyle y_{(a,m)} iguales aisim=1{displaystyle a_{i}{}m=1} e igual a bisim=2{displaystyle - Sí. no tiene ascensor (por q{displaystyle q}) a un convergente A{displaystyle A}-La red indexada X=[0,1].{displaystyle X=[0,1].}

Propiedades

Mapas Quotient q:X→ → Y{displaystyle q:Xto Y} se caracterizan entre los mapas subjetivos por la propiedad siguiente: si Z{displaystyle Z} es cualquier espacio topológico y f:Y→ → Z{displaystyle f:Yto Z} es cualquier función, entonces f{displaystyle f} es continuo si y sólo si f∘ ∘ q{displaystyle fcirc q} es continuo.

El espacio conveniente X/♪ ♪ {displaystyle X/{sim}} junto con el mapa de referencia q:X→ → X/♪ ♪ {displaystyle q:Xto X/{sim } se caracteriza por la propiedad universal siguiente: g:X→ → Z{displaystyle g:Xto Z} es un mapa continuo tal que a♪ ♪ b{displaystyle asim b} implicación g()a)=g()b){displaystyle g(a)=g(b)} para todos a,b▪ ▪ X,{displaystyle a,bin X,} entonces existe un mapa continuo único f:X/♪ ♪ → → Z{displaystyle f:X/{sim }to Z} tales que g=f∘ ∘ q.{displaystyle g=fcirc q.} En otras palabras, el siguiente diagrama comunica:

Uno dice que g{displaystyle g} descender al cociente para expresar esto, es decir, que se caracteriza por el espacio cociente. Los mapas continuos definidos en X/♪ ♪ {displaystyle X/{sim}} son, por tanto, precisamente los mapas que surgen de mapas continuos definidos en X{displaystyle X} que respetan la relación de equivalencia (en el sentido de que envían elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio se utiliza con cautela al estudiar espacios cocientes.

Dada una subjeción continua q:X→ → Y{displaystyle q:Xto Y} es útil tener criterios por los cuales uno puede determinar si q{displaystyle q} es un mapa cociente. Dos criterios suficientes son: q{displaystyle q} estar abierto o cerrado. Tenga en cuenta que estas condiciones son sólo suficientes, no necesarias. Es fácil construir ejemplos de mapas cocientes que no están abiertos ni cerrados. Para los grupos topológicos, el mapa cociente está abierto.

Compatibilidad con otras nociones topológicas

Separación

• En general, los espacios cocientes no se comportan con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación X{displaystyle X} no debe ser heredado por X/♪ ♪ ,{displaystyle X/sim} y X/♪ ♪ {displaystyle X/sim} puede tener propiedades de separación no compartidas X.{displaystyle X.}
• X/♪ ♪ {displaystyle X/sim} es un espacio T1 si y sólo si cada clase de equivalencia ♪ ♪ {displaystyle ,sim ,} está cerrado X.{displaystyle X.}
• Si el mapa de referencia está abierto, entonces X/♪ ♪ {displaystyle X/sim} es un espacio Hausdorff si y sólo si ~ es un subconjunto cerrado del espacio del producto X× × X.{displaystyle Xtimes X.}

Conectividad

• Si un espacio está conectado o un camino conectado, entonces todos sus espacios cocientes.
• Un espacio cociente de un espacio simplemente conectado o contractual no necesita compartir esas propiedades.

Compacidad

• Si un espacio es compacto, entonces todos sus espacios cocientes.
• Un espacio conveniente de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto.

Dimensión

• La dimensión topológica de un espacio cociente puede ser más (así como menos) que la dimensión del espacio original; las curvas de llenado de espacio proporcionan estos ejemplos.