Espacio cotangente

En geometría diferencial, la espacio es un espacio vectorial asociado con un punto ${displaystyle x}$ en un suave (o diferente) ${displaystyle {fnMithcal}}$; uno puede definir un espacio cotangente para cada punto en un manifold suave. Típicamente, el espacio cotangente, ${displaystyle ¡No! {M}}$ se define como el espacio dual del espacio tangente en ${displaystyle x}$, ${displaystyle T_{x}{mathcal {M}}$, aunque hay definiciones más directas (ver abajo). Los elementos del espacio cotangente se llaman cotangent vectores o covectores tangentes.

Propiedades

Todos los espacios cotangentes en los puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión, igual a la dimensión de la variedad. Todos los espacios cotangentes de una variedad se pueden "pegar juntos" (es decir, unido y dotado de una topología) para formar una nueva variedad diferenciable de dos veces la dimensión, el paquete cotangente de la variedad.

El espacio tangente y el espacio cotangente en un punto son espacios vectoriales reales de la misma dimensión y, por lo tanto, isomorfos entre sí a través de muchos isomorfismos posibles. La introducción de una métrica riemanniana o de una forma simpléctica da lugar a un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el espacio cotangente en un punto, asociando a cualquier covector tangente un vector tangente canónico.

Definiciones formales

Definición como funcionales lineales

Vamos ${displaystyle {fnMithcal}}$ ser un andamio suave y dejar ${displaystyle x}$ ser un punto en ${displaystyle {fnMithcal}}$. Vamos ${displaystyle T_{x}{mathcal {M}}$ ser el espacio tangente ${displaystyle x}$. Entonces el espacio de cotangente x se define como el espacio dual de ${displaystyle T_{x}{mathcal {M}}$:

${displaystyle ¡No! {M}=(T_{x} {fnMitcal {M}}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {fn}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

En concreto, los elementos del espacio cotangente son funcionales lineales en ${displaystyle T_{x}{mathcal {M}}$. Es decir, cada elemento ${displaystyle alpha in T_{x}{*}{mthcal {M}}$ es un mapa lineal

${displaystyle alpha:T_{x}{mathcal {M}to F}$

Donde ${displaystyle F}$ es el campo subyacente del espacio vectorial que se está considerando, por ejemplo, el campo de números reales. Los elementos de ${displaystyle ¡No! {M}}$ se llaman vectores cotangentes.

Definición alternativa

En algunos casos, puede que le guste tener una definición directa del espacio cotangente sin referencia al espacio tangente. Tal definición se puede formular en términos de clases de equivalencia de funciones fluidas sobre ${displaystyle {fnMithcal}}$. Informalmente, diremos que dos funciones suaves f y g son equivalentes en un punto ${displaystyle x}$ si tienen el mismo comportamiento de primer orden cerca ${displaystyle x}$, análogo a sus polinomios lineales Taylor; dos funciones f y g tienen el mismo comportamiento de primer orden cerca ${displaystyle x}$ si y sólo si el derivado de la función f − g desaparecen ${displaystyle x}$. El espacio cotangente entonces consistirá en todos los posibles comportamientos de primera orden de una función cerca ${displaystyle x}$.

Vamos ${displaystyle {fnMithcal}}$ ser un andamio suave y dejar x ser un punto en ${displaystyle {fnMithcal}}$. Vamos ${displaystyle I_{x}$ser el ideal de todas las funciones en ${displaystyle C^{infty}!$ desvanecerse ${displaystyle x}$, y dejar ${displaystyle Yo...$ ser el conjunto de funciones de la forma ${textstyle sum ¿Qué?$, donde ${displaystyle F_{i},g_{i}in I_{x}$. Entonces... ${displaystyle I_{x}$ y ${displaystyle Yo...$ son los espacios vectores reales y el espacio cotangente se puede definir como el espacio cociente ${displaystyle ¡No! {M}=I_{x}/I_{x} {2}$ mostrando que los dos espacios son isomorfos entre sí.

Esta formulación es análoga a la construcción del espacio cotangente para definir el espacio tangente de Zariski en geometría algebraica. La construcción también se generaliza a espacios localmente anillados.

La diferencial de una función

Sea M una variedad suave y sea f ∈ C^∞(M) sea una función suave. La diferencial de f en un punto x es el mapa

df_x()X_x) X_x()f)

Donde X_x es un vector tangente x, pensado como una derivación. Eso es ${displaystyle X(f)={mathcal {L}_{X}f}$ es el derivado de Lie de f en la dirección X, y uno tiene df()X) X()f). Equivalentemente, podemos pensar en vectores tangentes como tangentes a curvas, y escribir

df_x()γ′(0) = (f ∘ γ)′(0)

En cualquier caso, df_x es un mapa lineal en T _xM y por lo tanto es un covector tangente en x.

Podemos entonces definir el mapa diferencial d: C^∞(M) → T_x^*M en un punto x como el mapa que envía f a df_x. Las propiedades del mapa diferencial incluyen:

1. d es un mapa lineal: d(af + bg) a df + b dg para constantes a y b,
2. d(fg)_x = f()x♪g_x + g()x♪f_x,

El mapa diferencial proporciona el vínculo entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas anteriormente. Dada una función f ∈ I_x (una función que se desvanece en x) podemos formar la funcional lineal df_x como arriba. Dado que el mapa d se restringe a 0 en I_x² (el lector debe verificar esto), d desciende a un mapa de I_x / I_x ² al dual del espacio tangente, (T_{xM)^*. Se puede demostrar que este mapa es un isomorfismo, estableciendo la equivalencia de las dos definiciones.}

El retroceso de un mapa suave

Así como todo mapa diferenciable f: M → N entre variedades induce una mapa lineal (llamado pushforward o derivada) entre los espacios tangentes

${displaystyle f_{}} {fnK}}} T_{x}Mto T_{f(x)}N}$

cada uno de estos mapas induce un mapa lineal (llamado pullback) entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección inversa:

${displaystyle f^{*} T_{f(x)}^{*} No.$

El pullback se define naturalmente como el dual (o la transposición) del pushforward. Desentrañando la definición, esto significa lo siguiente:

${displaystyle (f^{*}theta)(X_{x})=theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

donde θ ∈ T_f(x) ^*N y X_x ∈ T_xM. Note cuidadosamente dónde vive cada cosa.

Si definimos covectores tangentes en términos de clases de equivalencia de mapas uniformes que se desvanecen en un punto, entonces la definición de pullback es aún más sencilla. Sea g una función suave sobre N que desaparece en f(x). Luego, el retroceso del covector determinado por g (denotado dg) está dado por

${displaystyle f^{*}mathrm {d} g=mathrm {d} (gcirc f).}$

Es decir, es la clase de equivalencia de funciones en M que se desvanece en x determinada por g ∘ f.

Poderes exteriores

La k-ésima potencia exterior del espacio cotangente, denotada Λ^k(T _x^*M), es otro objeto importante en geometría diferencial. Los vectores en la potencia exterior késima, o más precisamente secciones de la potencia exterior k-ésima del haz cotangente, se denominan k-formas diferenciales. Se pueden considerar como mapas multilineales alternos en vectores tangentes k. Por esta razón, los covectores tangentes se denominan con frecuencia formas únicas.