Espacio conectado

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Espacio topológico conectado

Subespacios conectados y desconectados R2

De arriba a abajo: espacio rojo A, espacio rosa B, espacio amarillo C y espacio naranja D Todos espacios conectados, mientras que el espacio verde E (hecha de subconjuntos E₁, E₂, E₃, y E₄) es desconectado. Además, A y B son simplemente conectados (genus 0), mientras que C y D no son: C tiene género 1 y D tiene el género 4.

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio conectado es un espacio topológico que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos y disjuntos. La conectividad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico $X$ es un conjunto conectado si es un espacio conectado cuando se ve como un subespacio $X$ .

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son el camino conectado, simplemente conectado, y $n$ - conectado. Otra noción relacionada es localmente conectado, que no implica ni sigue de la conexión.

Definición formal

Un espacio topológico $X$ se dice que desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos. De lo contrario, $X$ se dice que conectado. Se dice que un subconjunto de un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología subespacial. Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como un espacio conectado, pero este artículo no sigue esa práctica.

Para un espacio topológico $X$ las siguientes condiciones son equivalentes:

$X$ está conectado, es decir, no puede dividirse en dos conjuntos abiertos no vacíos.
Los únicos subconjuntos de $X$ que están abiertos y cerrados (grupos cerrados) $X$ y el set vacío.
Los únicos subconjuntos de $X$ con límite vacío $X$ y el set vacío.
$X$ no puede ser escrito como la unión de dos conjuntos separados no vacíos (conjuntos para los cuales cada uno está descompuesto del cierre del otro).
Todas las funciones continuas de $X$ a ${displaystyle {0,1}}$ son constantes, donde ${displaystyle {0,1}}$ es el espacio de dos puntos dotado con la topología discreta.

Históricamente esta moderna formulación de la noción de conexión (en términos de no partición de $X$ primero apareció (independientemente) con N.J. Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Ver detalles.

Componentes conectados

Dado algo $x$ en un espacio topológico $X,$ la unión de cualquier colección de subconjuntos conectados tal que cada uno contiene $x$ una vez más será un subconjunto conectado. El componente conectado de un punto $x$ dentro $X$ es la unión de todos los subconjuntos conectados de $X$ que contienen ${displaystyle x;}$ es el más grande único (con respecto a $subseteq$ ) subconjunto conectado de $X$ que contiene $x.$ Los subconjuntos máximos conectados (ordenados por inclusión $subseteq$ ) de un espacio topológico no vacío se llaman el componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico $X$ forma una partición de $X$ : son descomunales, no vacías y su unión es todo el espacio. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ahí que, en el caso en que su número sea finito, cada componente sea también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, esto podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto (singletons), que no están abiertos. Prueba: Cualquier dos números racionales distintos $<math alttext="{displaystyle q_{1}q1.q2{displaystyle - ¿Qué?<img alt="{displaystyle q_{1}$ están en diferentes componentes. Tome un número irracional $<math alttext="{displaystyle q_{1}<rq1.r.q2,{displaystyle - ¿Qué?<img alt="{displaystyle q_{1}<r$ y luego establecer $<math alttext="{displaystyle A={qin mathbb {Q}:qA={}q▪ ▪ Q:q.r}{displaystyle A={qin mathbb {Q}:q mader} <img alt="{displaystyle A={qin mathbb {Q}:q$ y $r}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B={}q▪ ▪ Q:q■r}.{displaystyle B={qin mathbb {Q}:q confíar}r}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccd10e1a60a23192152c2b336635b550fc1bb5f" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.706ex; height:2.843ex;"/>$ Entonces... $(A,B)$ es una separación de ${displaystyle mathbb {Q}}$ y ${displaystyle q_{1}in A,q_{2}in B}$ . Así, cada componente es un conjunto de un punto.

Vamos $Gamma _{x}$ ser el componente conectado $x$ en un espacio topológico $X,$ y $Gamma _{x}'$ ser la intersección de todos los conjuntos de clopen que contienen $x$ (llamado cuasi-componente de $x.$ ) Entonces... $Gamma _{x}subset Gamma '_{x}$ donde se mantiene la igualdad $X$ es compacto Hausdorff o conectado localmente.

Espacios desconectados

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llama totalmente desconectado. Relacionado con esta propiedad, un espacio $X$ se llama totalmente separados si, por dos elementos distintos $x$ y $y$ de $X$ , existen conjuntos abiertos disjoint $U$ que contiene $x$ y $V$ que contiene $y$ tales que $X$ es la unión de $U$ y $V$ . Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero el converso no sostiene. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionales $mathbb {Q}$ , e identificarlos en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con la topología cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera es Hausdorff, y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.

Ejemplos

El intervalo cerrado ${displaystyle [0,2)}$ en la topología subespacial estándar está conectada; aunque puede, por ejemplo, ser escrito como la unión de ${displaystyle [0,1)}$ y ${displaystyle [1,2),}$ el segundo set no está abierto en la topología elegida ${displaystyle [0,2).}$
La unión de ${displaystyle [0,1)}$ y ${displaystyle (1,2]}$ se desconecta; ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar ${displaystyle [0,1)cup (1,2].}$
${displaystyle (0,1)cup {3}}$ está desconectado.
Un subconjunto convexo de $mathbb {R} ^{n}$ está conectado; en realidad es simplemente conectado.
Un plano euclidiano excluyendo el origen, ${displaystyle (0,0),}$ está conectado, pero no está simplemente conectado. El espacio euclidiano tridimensional sin el origen está conectado, e incluso simplemente conectado. En cambio, el espacio euclidiano único sin el origen no está conectado.
Un plano euclidiano con una línea recta removida no está conectado ya que consta de dos planos medios.
$mathbb {R}$ , el espacio de números reales con la topología habitual, está conectado.
La línea Sorgenfrey está desconectada.
Si un solo punto es eliminado $mathbb {R}$ , el resto está desconectado. Sin embargo, si incluso una infinidad contable de puntos se eliminan de $mathbb {R} ^{n}$ , donde ${displaystyle ngeq 2,}$ el resto está conectado. Si $ngeq 3$ , entonces $mathbb {R} ^{n}$ permanece simplemente conectado después de la eliminación de muchos puntos contablemente.
Cualquier espacio vectorial topológico, por ejemplo cualquier espacio Hilbert o Banach, sobre un campo conectado (como $mathbb {R}$ o $mathbb{C}$ ), simplemente está conectado.
Cada espacio topológico discreto con al menos dos elementos está desconectado, de hecho tal espacio está totalmente desconectado. El ejemplo más simple es el espacio discreto de dos puntos.
Por otro lado, un conjunto finito podría estar conectado. Por ejemplo, el espectro de un anillo de valoración discreto consta de dos puntos y está conectado. Es un ejemplo de un espacio Sierpiński.
El conjunto Cantor está totalmente desconectado, ya que el conjunto contiene incontablemente muchos puntos, tiene incontablemente muchos componentes.
Si un espacio $X$ es homotopy equivalente a un espacio conectado, entonces $X$ está conectado.
La curva sine del topólogo es un ejemplo de un conjunto que está conectado pero no es un camino conectado ni conectado localmente.
El grupo lineal general ${displaystyle operatorname {GL} (n,mathbb {R})}$ (es decir, el grupo de $n$ -por- $n$ matrices reales, invertibles) consiste en dos componentes conectados: el uno con matrices de determinante positivo y el otro de determinante negativo. En particular, no está conectado. En cambio, ${displaystyle operatorname {GL} (n,mathbb {C})}$ está conectado. En términos más generales, el conjunto de operadores vinculados invertibles en un complejo espacio Hilbert está conectado.
Los espectros de anillo local conmutativo y dominios integrales están conectados. En términos más generales, los siguientes son equivalentes
1. El espectro de un anillo conmutativo $mathbb {R}$ está conectado
2. Cada módulo de proyecto generado finitomente sobre $mathbb {R}$ tiene rango constante.
3. $mathbb {R}$ no tiene idempotente $ne 0, 1$ (es decir, $mathbb {R}$ no es un producto de dos anillos de una manera no-trivial).

Un ejemplo de un espacio que no está conectado es un plano al que se le ha eliminado una línea infinita. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano al que se le ha quitado un anillo, así como la unión de dos discos cerrados disjuntos, donde todos los ejemplos de este párrafo tienen la topología del subespacio inducida por la euclidiana bidimensional. espacio.

Conexión de ruta

Este subespacio R2 está conectado con el camino, porque se puede dibujar un camino entre dos puntos en el espacio.

A espacio conectado es una noción más fuerte de conexión, que requiere la estructura de un camino. A sendero desde un punto $x$ a un punto $y$ en un espacio topológico $X$ es una función continua $f$ desde el intervalo de unidad $[0,1]$ a $X$ con $f(0)=x$ y $f(1)=y$ . A path-component de $X$ es una clase de equivalencia $X$ en relación con la equivalencia $x$ equivalente $y$ si hay un camino desde $x$ a $y$ . El espacio $X$ se dice que conectado por caminos (o enlace o $mathbf {0}$ - conectado) si hay exactamente un camino-componente, es decir, si hay un camino que une dos puntos en $X$ . De nuevo, muchos autores excluyen el espacio vacío (por esta definición, sin embargo, el espacio vacío no está conectado con el camino porque tiene cero seguidores del camino; hay una relación de equivalencia única en el conjunto vacío que tiene clases de equivalencia cero).

Cada espacio conectado por caminos está conectado. El converso no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados a la ruta incluyen la larga línea extendida $L^{*}$ y la curva de seno del topólogo.

Subconjuntos de la línea real $mathbb {R}$ están conectados si y sólo si están conectados por vía; estos subconjuntos son los intervalos de $R$ . Además, los subconjuntos abiertos de $mathbb {R} ^{n}$ o $mathbb {C} ^{n}$ están conectados si y sólo si están conectados por vía. Además, la conexión y la conexión de caminos son los mismos para espacios topológicos finitos.

Conexión de arco

Un espacio $X$ se dice que conectado a arco o arcwise conectado si alguno de los dos puntos topológicamente distinguibles se puede unir por un arco, que es un embedding ${displaystyle f:[0,1]to X}$ . An arc-componente de $X$ es un subconjunto de arco maximal $X$ ; o equivalentemente una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden ser unidos por un arco o por un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles.

Cada espacio Hausdorff que está conectado a la ruta también está conectado a arco; más generalmente esto es verdad para un $Delta$ - Espacio Hausdorff, que es un espacio donde cada imagen de un camino está cerrada. Un ejemplo de un espacio que está conectado por caminos pero no conectado a arco es dado por la línea con dos orígenes; sus dos copias de ${displaystyle 0}$ se puede conectar por un camino pero no por un arco.

La intuición para espacios conectados por caminos no se transfiere fácilmente a espacios conectados con arco. Vamos $X$ ser la línea con dos orígenes. Los siguientes son hechos cuyos análogos se mantienen para espacios conectados por caminos, pero no se mantienen para espacios conectados a arco:

La imagen continua del espacio conectado con arco puede no estar conectada con arco: por ejemplo, un mapa cociente de un espacio conectado con arco a su cociente con considerables muchos (al menos 2) puntos topológicamente distinguibles no puede ser conectado a arco debido a una cardenalidad demasiado pequeña.
Los arc-componentes pueden no ser descompuestos. Por ejemplo, $X$ tiene dos arc-componentes superpuestos.
El espacio de productos conectado con arco puede no ser un producto de espacios conectados con arco. Por ejemplo, ${displaystyle Xtimes mathbb {R} }$ está conectado a arco, pero $X$ No lo es.
Arc-components of a product space may not be products of arc-components of the marginal space. Por ejemplo, ${displaystyle Xtimes mathbb {R} }$ tiene un solo arc-componente, pero $X$ tiene dos arc-componentes.
Si los subconjuntos conectados a arco tienen una intersección no vacía, entonces su sindicato no puede estar conectado a arco. Por ejemplo, los arc-componentes de $X$ intersección, pero su unión no está conectada con arco.

Conectividad local

Se dice que un espacio topológico localmente conectado en un punto $x$ si todos los barrios $x$ contiene un barrio abierto conectado. Es localmente conectado si tiene una base de conjuntos conectados. Se puede demostrar que un espacio $X$ está conectado localmente si y sólo si cada componente de cada conjunto abierto de $X$ está abierto.

Del mismo modo, se dice que un espacio topológico es localmente conectado si tiene una base de conjuntos conectados por caminos. Un subconjunto abierto de un espacio conectado a la ruta local está conectado si y sólo si está conectado a la ruta. Esto generaliza la declaración anterior sobre $mathbb {R} ^{n}$ y $mathbb {C} ^{n}$ , cada uno de los cuales está conectado localmente. Más generalmente, cualquier tipo topológico está conectado localmente.

La curva sine del topólogo está conectada, pero no está conectada localmente

Localmente conectado no implica conectado, ni implica la ruta conectada localmente implica la vía conectada. Un simple ejemplo de un espacio conectado localmente (y conectado localmente) que no está conectado (o conectado vía) es la unión de dos intervalos separados en $mathbb {R}$ , como ${displaystyle (0,1)cup (2,3)}$ .

Un ejemplo clásico de un espacio conectado que no está conectado localmente es la llamada curva sine del topólogo, definida como ${displaystyle T={(0,0)}cup left{left(x,sin left({tfrac {1}{x}}right)right):xin (0,1]right}}$ , con la topología Euclideana inducida por la inclusión en $R^2$ .

Establecer operaciones

Ejemplos de uniones e intersecciones de conjuntos conectados

La intersección de conjuntos conexos no es necesariamente conexa.

El sindicato de conjuntos conectados no está necesariamente conectado, como se puede ver al considerar ${displaystyle X=(0,1)cup (1,2)}$ .

Cada elipse es un conjunto conectado, pero la unión no está conectada, ya que se puede dividir en dos conjuntos abiertos disjoint $U$ y $V$ .

Esto significa que, si el sindicato $X$ está desconectado, entonces la colección ${X_{i}}$ se pueden dividir en dos sub-colecciones, de tal manera que los sindicatos de las sub-colecciones están desvinculados y abiertos $X$ (ver imagen). Esto implica que en varios casos, una unión de conjuntos conectados es necesariamente conectado. En particular:

Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía ( ${textstyle bigcap X_{i}neq emptyset }$ ), entonces obviamente no se pueden dividir en colecciones con sindicatos descomunales. Por lo tanto, la unión de conjuntos conectados con intersección no vacía está conectada.
Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía ( $forall i,j:X_{i}cap X_{j}neq emptyset$ ) entonces de nuevo no se pueden dividir en colecciones con sindicatos descomunados, por lo que su sindicato debe estar conectado.
Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena conectada", es decir, indexada por índices enteros y $forall i:X_{i}cap X_{{i+1}}neq emptyset$ , entonces de nuevo su sindicato debe estar conectado.
Si los conjuntos son pares-disjoint y el espacio cociente $X/{X_{i}}$ está conectado, entonces $X$ debe estar conectado. Si no, $Ucup V$ es una separación de $X$ entonces $q(U)cup q(V)$ es una separación del espacio cociente (desde entonces) $q(U),q(V)$ son desintegrados y abiertos en el espacio de cociente).

La diferencia de conjuntos conectados no está necesariamente conectada. Sin embargo, si ${displaystyle Xsupseteq Y}$ y su diferencia ${displaystyle Xsetminus Y}$ está desconectado (y así se puede escribir como una unión de dos conjuntos abiertos $X_{1}$ y $X_{2}$ ), entonces la unión de $Y$ con cada uno de estos componentes está conectado (es decir, ${displaystyle Ycup X_{i}}$ está conectado para todos $i$ ).

Prueba

Por contradicción, supongamos ${displaystyle Ycup X_{1}}$ no está conectado. Así se puede escribir como la unión de dos conjuntos abiertos disjoint, por ejemplo. ${displaystyle Ycup X_{1}=Z_{1}cup Z_{2}}$ . Porque... $Y$ está conectado, debe estar completamente contenido en uno de estos componentes, digamos $Z_{1}$ , y así $Z_{2}$ figura en $X_{1}$ . Ahora sabemos que:

{displaystyle X=left(Ycup X_{1}right)cup X_{2}=left(Z_{1}cup Z_{2}right)cup X_{2}=left(Z_{1}cup X_{2}right)cup left(Z_{2}cap X_{1}right)}

Los dos grupos en el último sindicato están descompuestos y abiertos

X

, así que hay una separación de

X

, contradiciendo el hecho de que

X

está conectado.

Dos conjuntos conectados cuya diferencia no está conectada

Teoremas

Teorema principal de conexión# $X$ y $Y$ ser espacios topológicos y dejar $f:Xrightarrow Y$ ser una función continua. Si $X$ es (path-) conectado entonces la imagen $f(X)$ está conectado. Este resultado puede considerarse una generalización del teorema de valor intermedio.
Cada espacio conectado con el camino está conectado.
Cada espacio conectado localmente está conectado localmente.
Un espacio conectado a la ruta local está conectado a la ruta si y sólo si está conectado.
El cierre de un subconjunto conectado está conectado. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conectado y su cierre está conectado.
Los componentes conectados están siempre cerrados (pero en general no abiertos)
Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también están abiertos.
Los componentes conectados de un espacio son sindicatos desvinculares de los componentes conectados por vía (que en general no son abiertos ni cerrados).
Cada cociente de un espacio conectado (resp. localmente conectado, conectado con el camino, conectado localmente) está conectado (resp. localmente conectado, conectado con el camino, conectado localmente).
Cada producto de una familia de espacios conectados (conectados por la vía trasera) está conectado (conectado por la vía).
Cada subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (resp. localmente conectado) está conectado localmente (resp. localmente conectado a la ruta).
Cada manifold está conectado localmente.
El espacio conectado a arco es el camino conectado, pero el espacio conectado a la senda puede no estar conectado a arco
Imagen continua del conjunto conectado arc-wise está conectado a arco.

Gráficos

Los gráficos tienen subconjuntos conectados, a saber, los subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de bordes que se unen a ellos. Pero no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induce los mismos conjuntos conectados. El gráfico de 5 ciclos (y cualquier otro $n$ - ciclo con $3}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■3{displaystyle n confiado3}3" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257030caae597fd034c2cbcff2cff9dfc4272d20" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ extraño) es un ejemplo así.

Como consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. A saber, hay una categoría de espacios conectivos que consiste en conjuntos con colecciones de subconjuntos conectados que satisfacen los axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que mapean conjuntos conectados a conjuntos conectados (Muscat & Buhagiar 2006). Los espacios topológicos y los grafos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, cada gráfico puede convertirse canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y las aristas como copias del intervalo unitario (ver teoría de gráficos topológicos#Gráficos como espacios topológicos). Entonces uno puede mostrar que el grafo es conexo (en el sentido teórico del grafo) si y solo si es conexo como un espacio topológico.

Formas más fuertes de conexión

Hay formas más fuertes de conectividad para espacios topológicos, por ejemplo:

Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos en un espacio topológico $X$ , $X$ debe estar conectado, y por lo tanto los espacios hiperconectados también están conectados.
Dado que un espacio simplemente conectado es, por definición, también necesario para estar conectado a la ruta, cualquier espacio simplemente conectado también está conectado. Si el requisito de la "conexión pauta" se retira de la definición de conectividad simple, un espacio simplemente conectado no necesita ser conectado.
Sin embargo, versiones más fuertes de conectividad incluyen la noción de un espacio contractual. Cada espacio contractual es el camino conectado y por lo tanto también conectado.

En general, cualquier espacio conectado por caminos debe estar conectado, pero existen espacios conectados que no están conectados por caminos. El espacio de peine eliminado proporciona un ejemplo, al igual que la curva sinusoidal del topólogo mencionado anteriormente.

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