Espacio compacto

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Tipo de espacio matemático

Por los criterios de compactidad para el espacio Euclideano como se indica en el teorema Heine-Borel, el intervalo

A = (Libertad, -2)

no es compacto porque no está atado. El intervalo

C = (2, 4)

no es compacto porque no está cerrado. El intervalo

B [0, 1]

es compacto porque está cerrado y atado.

En matemáticas, específicamente la topología general, compactación es una propiedad que busca generalizar la noción de un subconjunto cerrado y atado del espacio euclidiano haciendo precisa la idea de un espacio que no tiene "punturas" o "puntos perdidos", es decir, que el espacio no excluye ningún valor limitante de los puntos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no sería compacto porque excluye los valores limitantes de 0 y 1, mientras que el intervalo cerrado [0,1] sería compacto. Del mismo modo, el espacio de los números racionales $mathbb {Q}$ no es compacto, porque tiene infinitamente muchas "punturas" correspondientes a los números irracionales, y el espacio de números reales $mathbb {R}$ no es compacto, ya que excluye los dos valores limitantes $+infty$ y $-infty$ . Sin embargo, la línea de números reales ampliados lo haría. ser compacto, ya que contiene ambos infinitos. Hay muchas maneras de hacer esta noción heurística precisa. Estas formas suelen estar de acuerdo en un espacio métrico, pero pueden no ser equivalentes en otros espacios topológicos.

Una de esas generalizaciones es que un espacio topológico es secuencialmente compacto si cada secuencia infinita de puntos muestreados del espacio tiene una subsecuencia infinita que converge en algún punto del espacio.

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto en este sentido secuencial si y solo si es cerrado y acotado.

Así, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo de unidad cerrada $[0, 1]$ , algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio. Por ejemplo, algunos de los números en la secuencia 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7,... acumular a 0 (mientras otros se acumulan a 1). El mismo conjunto de puntos no se acumularía a ningún punto del intervalo de unidad abierta $(0, 1)$ , por lo que el intervalo de unidad abierta no es compacto. Aunque los subconjuntos (subespaciales) del espacio Euclideano pueden ser compactos, todo el espacio en sí no es compacto, ya que no está atado. Por ejemplo, considerando ${mathbb {R}}^{1}$ (la línea de números reales), la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3,... no tiene subsequencia que converge a ningún número real.

La compacidad fue presentada formalmente por Maurice Fréchet en 1906 para generalizar el teorema de Bolzano-Weierstrass de espacios de puntos geométricos a espacios de funciones. El teorema de Arzelà-Ascoli y el teorema de existencia de Peano ejemplifican las aplicaciones de esta noción de compacidad al análisis clásico. Después de su introducción inicial, se desarrollaron varias nociones equivalentes de compacidad, incluida la compacidad secuencial y la compacidad de punto límite, en espacios métricos generales. Sin embargo, en espacios topológicos generales, estas nociones de compacidad no son necesariamente equivalentes. La noción más útil, y la definición estándar del término no calificado compacidad, se expresa en términos de la existencia de familias finitas de conjuntos abiertos que "cubren" el espacio en el sentido de que cada punto del espacio se encuentra en algún conjunto contenido en la familia. Esta noción más sutil, introducida por Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn en 1929, exhibe espacios compactos como generalizaciones de conjuntos finitos. En espacios que son compactos en este sentido, a menudo es posible unir información que se cumple localmente, es decir, en una vecindad de cada punto, en declaraciones correspondientes que se cumplen en todo el espacio, y muchos teoremas son de este carácter.

El término conjunto compacto a veces se usa como sinónimo de espacio compacto, pero también se refiere a menudo a un subespacio compacto de un espacio topológico.

Desarrollo histórico

En el siglo XIX, se entendieron varias propiedades matemáticas dispares que luego se verían como consecuencias de la compacidad. Por un lado, Bernard Bolzano (1817) había sido consciente de que cualquier sucesión acotada de puntos (en la línea o en el plano, por ejemplo) tiene una subsucesión que eventualmente debe acercarse arbitrariamente a algún otro punto, llamado punto límite. La prueba de Bolzano se basó en el método de bisección: la secuencia se colocó en un intervalo que luego se dividió en dos partes iguales, y se seleccionó una parte que contenía una cantidad infinita de términos de la secuencia. Luego, el proceso podría repetirse dividiendo el intervalo más pequeño resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se cierre en el punto límite deseado. El significado completo del teorema de Bolzano y su método de demostración no surgiría hasta casi 50 años después, cuando fue redescubierto por Karl Weierstrass.

En la década de 1880, quedó claro que se podían formular resultados similares al teorema de Bolzano-Weierstrass para espacios de funciones en lugar de solo números o puntos geométricos. La idea de considerar las funciones como puntos de un espacio generalizado se remonta a las investigaciones de Giulio Ascoli y Cesare Arzelà. La culminación de sus investigaciones, el teorema de Arzelà-Ascoli, fue una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass a familias de funciones continuas, cuya conclusión precisa fue que era posible extraer una secuencia de funciones uniformemente convergente a partir de una familia adecuada de funciones. funciones El límite uniforme de esta sucesión jugó entonces precisamente el mismo papel que el "punto límite" de Bolzano. Hacia principios del siglo XX, se empezaron a acumular resultados similares a los de Arzelà y Ascoli en el área de las ecuaciones integrales, investigadas por David Hilbert y Erhard Schmidt. Para una cierta clase de funciones de Green que provienen de soluciones de ecuaciones integrales, Schmidt había demostrado que una propiedad análoga al teorema de Arzelà-Ascoli se mantenía en el sentido de convergencia media, o convergencia en lo que más tarde se denominaría un espacio de Hilbert.. Esto finalmente condujo a la noción de un operador compacto como una rama de la noción general de un espacio compacto. Fue Maurice Fréchet quien, en 1906, destiló la esencia de la propiedad de Bolzano-Weierstrass y acuñó el término compacidad para referirse a este fenómeno general (ya utilizó el término en su artículo de 1904 que condujo a la famosa tesis de 1906).

Sin embargo, una noción completamente diferente de compacidad también había emergido lentamente a fines del siglo XIX a partir del estudio del continuo, que se consideraba fundamental para la formulación rigurosa del análisis. En 1870, Eduard Heine demostró que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado era de hecho uniformemente continua. En el transcurso de la demostración, hizo uso de un lema que de cualquier cobertura contable del intervalo por intervalos abiertos más pequeños, era posible seleccionar un número finito de estos que también lo cubría. El significado de este lema fue reconocido por Émile Borel (1895), y Pierre Cousin (1895) y Henri Lebesgue (1904) lo generalizaron a colecciones arbitrarias de intervalos. El teorema de Heine-Borel, como se conoce ahora el resultado, es otra propiedad especial que poseen los conjuntos cerrados y acotados de números reales.

Esta propiedad era importante porque permitía pasar de información local sobre un conjunto (como la continuidad de una función) a información global sobre el conjunto (como la continuidad uniforme de una función). Este sentimiento fue expresado por Lebesgue (1904), quien también lo explotó en el desarrollo de la integral que ahora lleva su nombre. En última instancia, la escuela rusa de topología de conjuntos de puntos, bajo la dirección de Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn, formuló la compacidad de Heine-Borel de una manera que podría aplicarse a la noción moderna de espacio topológico. Alexandrov &amperio; Urysohn (1929) mostró que la versión anterior de compacidad debida a Fréchet, ahora llamada compacidad secuencial (relativa), en condiciones apropiadas se derivaba de la versión de compacidad que se formuló en términos de la existencia de subcubiertas finitas. Fue esta noción de compacidad la que se convirtió en la dominante, porque no solo era una propiedad más fuerte, sino que podía formularse en un entorno más general con un mínimo de maquinaria técnica adicional, ya que se basaba únicamente en la estructura de los conjuntos abiertos. en un espacio

Ejemplos básicos

Todo espacio finito es compacto; se puede obtener una subcubierta finita seleccionando, para cada punto, un conjunto abierto que lo contenga. Un ejemplo no trivial de un espacio compacto es el intervalo unitario (cerrado) $[0,1]$ de números reales. Si uno elige un número infinito de puntos distintos en el intervalo unitario, entonces debe haber algún punto de acumulación en ese intervalo. Por ejemplo, los términos impares de la secuencia 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... se acercan arbitrariamente a 0, mientras que los números pares se acercan arbitrariamente a 1. La secuencia de ejemplo dada muestra la importancia de incluir los puntos límite del intervalo, ya que los puntos límite deben estar en el espacio mismo: un intervalo abierto (o semiabierto) de los números reales no es compacto. También es crucial que el intervalo esté acotado, ya que en el intervalo $[0,\infty)$ , uno podría elegir la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ..., de los cuales ninguna subsecuencia finalmente se acerca arbitrariamente a ningún número real dado.

En dos dimensiones, los discos cerrados son compactos ya que para cualquier número infinito de puntos muestreados de un disco, algún subconjunto de esos puntos debe acercarse arbitrariamente a un punto dentro del disco o a un punto en el límite. Sin embargo, un disco abierto no es compacto, porque una secuencia de puntos puede tender hacia el límite, sin acercarse arbitrariamente a ningún punto del interior. Del mismo modo, las esferas son compactas, pero una esfera a la que le falta un punto no lo es, ya que una secuencia de puntos aún puede tender al punto que falta, por lo que no se acerca arbitrariamente a ningún punto dentro del espacio. Las líneas y los planos no son compactos, ya que uno puede tomar un conjunto de puntos equidistantes en cualquier dirección dada sin acercarse a ningún punto.

Definiciones

Se pueden aplicar varias definiciones de compacidad, según el nivel de generalidad. Un subconjunto del espacio euclidiano en particular se llama compacto si es cerrado y acotado. Esto implica, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge en un punto del conjunto. Varias nociones equivalentes de compacidad, como compacidad secuencial y compacidad de punto límite, se pueden desarrollar en espacios métricos generales.

Por el contrario, las diferentes nociones de compacidad no son equivalentes en espacios topológicos generales, y la noción más útil de compacidad, originalmente llamada bicompactidad, se define utilizando cubiertas que consisten en conjuntos abiertos (ver Abrir definición de portada a continuación). Que esta forma de compacidad se cumpla para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclidiano se conoce como el teorema de Heine-Borel. La compacidad, cuando se define de esta manera, a menudo permite tomar información que se conoce localmente, en una vecindad de cada punto del espacio, y extenderla a información que se mantiene globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, al que Heine aplicó originalmente, que una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función y la continuidad uniforme la propiedad global correspondiente.

Definición de portada abierta

Formalmente, un espacio topológico $X$ se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene un subcubierta finita. Es decir, $X$ es compacta si para cada colección $C$ de subconjuntos abiertos de $X$ tal que

{displaystyle X=bigcup _{xin C}x}

hay una subcolección finita $F$ ⊆ $C$ tal que

{displaystyle X=bigcup _{xin F}x.}

Algunas ramas de las matemáticas como la geometría algebraica, típicamente influenciada por la escuela francesa de Bourbaki, usan el término cuasi-compacto para la noción general y reservan el término compacto para espacios topológicos que son Hausdorff y cuasi-compactos. Un conjunto compacto a veces se denomina compactum, plural compacta.

Compacidad de subconjuntos

Un subconjunto $K$ de un espacio topológico $X$ se dice que es compacto si es compacto como un subespacio (en la topología del subespacio). Es decir, $K$ es compacto si para cada colección arbitraria $C$ de subconjuntos abiertos de $X$ tal que

{displaystyle Ksubseteq bigcup _{cin C}c}

hay una subcolección finita $F$ ⊆ $C$ tal que

{displaystyle Ksubseteq bigcup _{cin F}c.}

La compactidad es una propiedad "topológica". Eso es, si ${displaystyle Ksubset Zsubset Y}$ , con subconjunto $Z$ equipado con la topología subespacial, entonces $K$ es compacto en $Z$ si $K$ es compacto en $Y$ .

Caracterización

Si $X$ es un espacio topológico, entonces los siguientes son equivalentes:

$X$ es compacto; es decir, cada cubierta abierta $X$ tiene un subcubrimiento finito.
$X$ tiene una sub-base tal que cada cubierta del espacio, por miembros de la sub-base, tiene un subcubrimiento finito (el teorema sub-base de Alexander).
$X$ es Lindelöf y contablemente compacto.
Cualquier colección de subconjuntos cerrados de $X$ con la propiedad de intersección finita tiene intersección no vacía.
Cada red en $X$ tiene una subred convergente (ver el artículo sobre redes para una prueba).
Cada filtro en $X$ tiene un refinamiento convergente.
Cada red en $X$ tiene un punto de agrupación.
Cada filtro en $X$ tiene un punto de agrupación.
Cada ultrafiltro en $X$ converge a al menos un punto.
Cada subconjunto infinito de $X$ tiene un punto de acumulación completo.
Para cada espacio topológico $Y$ , la proyección ${displaystyle Xtimes Yto Y}$ es un mapeo cerrado (ver mapa adecuado).

Bourbaki define un espacio compacto (espacio cuasi-compacto) como un espacio topológico donde cada filtro tiene un punto de agrupación (es decir, 8. en lo anterior).

Espacio euclidiano

Para cualquier subconjunto $A$ del espacio euclidiano, $A$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado; este es el teorema de Heine-Borel.

Como un espacio euclidiano es un espacio métrico, las condiciones de la siguiente subsección también se aplican a todos sus subconjuntos. De todas las condiciones equivalentes, en la práctica es más fácil verificar que un subconjunto es cerrado y acotado, por ejemplo, para un intervalo cerrado o cerrado $n-bola.$

Espacios métricos

Para cualquier espacio métrico $(X, d)$ , los siguientes son equivalentes (suponiendo una elección contable):

$() X, d)$ es compacto.
$() X, d)$ es completo y totalmente atado (también es equivalente a compactidad para espacios uniformes).
$() X, d)$ es secuencialmente compacto; es decir, cada secuencia en $X$ tiene una subsequencia convergente cuyo límite está $X$ (también es equivalente a la compactidad para espacios uniformes de primera calidad).
$() X, d)$ es punto límite compacto (también llamado débilmente contablemente compacto); es decir, cada subconjunto infinito de $X$ tiene al menos un punto límite $X$ .
$() X, d)$ es contablemente compacto; es decir, cada cubierta abierta contable $X$ tiene un subcubrimiento finito.
$() X, d)$ es una imagen de una función continua del conjunto Cantor.
Cada disminución de la secuencia anidada de subconjuntos cerrados no vacíos $S1 \supseteq S2 \supseteq...$ dentro $() X, d)$ tiene una intersección no vacía.
Cada creciente secuencia anidada de subconjuntos abiertos adecuados $S1 \subseteq S2 \subseteq...$ dentro $() X, d)$ no cubre $X$ .

Un espacio métrico compacto $(X, d)$ también satisface las siguientes propiedades:

Lebesgue número lemma: Por cada cubierta abierta $X$ , existe un número δ ■ 0 tal que cada subconjunto de $X$ de diámetro $δ$ está contenido en algún miembro de la cubierta.
$() X, d)$ es segundo, separable y Lindelöf – estas tres condiciones son equivalentes para los espacios métricos. El contrario no es cierto; por ejemplo, un espacio discreto contable satisface estas tres condiciones, pero no es compacto.
$X$ está cerrado y atado (como subconjunto de cualquier espacio métrico cuya métrica restringida es $d$ ). El converso puede fallar para un espacio no euclidiano; por ejemplo, la línea real equipada con la métrica discreta está cerrada y atada pero no compacta, ya que la colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que admite ningún subcover finito. Es completo pero no totalmente atado.

Espacios ordenados

Para un espacio ordenado $(X, <)$ (es decir, un conjunto totalmente ordenado equipado con la topología de orden), los siguientes son equivalentes:

$() X,$ es compacto.
Cada subconjunto de $X$ tiene un supremum (es decir, un límite inferior) en $X$ .
Cada subconjunto de $X$ tiene un infimum (es decir, un límite más bajo) en $X$ .
Cada subconjunto cerrado no vacío $X$ tiene un elemento máximo y mínimo.

Un espacio ordenado que satisface (cualquiera de) estas condiciones se denomina red completa.

Además, los siguientes son equivalentes para todos los espacios ordenados $(X, <)$ , y (suponiendo una elección contable) son verdaderos siempre que $(X, <)$ es compacto. (Lo contrario en general falla si $(X, <)$ no es también metrizable.):

Cada secuencia en $() X,$ tiene una subsequencia que converge $() X,$ .
Cada monotone creciente secuencia en $X$ converge a un límite único en $X$ .
Cada monotona disminuye secuencia en $X$ converge a un límite único en $X$ .
Cada disminución de la secuencia anidada de subconjuntos cerrados no vacíos $S1$ ⊇ $S2$ ⊇... $() X,$ tiene una intersección no vacía.
Cada creciente secuencia anidada de subconjuntos abiertos adecuados $S1$ ⊆ $S2$ ⊆... $() X,$ no cubre $X$ .

Caracterización por funciones continuas

Vamos $X$ ser un espacio topológico y $C(X)$ el anillo de funciones continuas reales en $X$ . Para cada uno $p ▪ X$ , el mapa de evaluación ${displaystyle operatorname {ev} _{p}colon C(X)to mathbb {R} }$ dado por $ev p () f) f () p)$ es un homomorfismo de anillo. El núcleo $ev p$ es un ideal máximo, ya que el campo de residuos $C(X)/ker ev p$ es el campo de números reales, por el primer teorema isomorfismo. Un espacio topológico $X$ es pseudocompacto si y sólo si cada máximo ideal en $C(X)$ tiene el campo de residuos los números reales. Para espacios completamente regulares, esto equivale a cada ideal máximo siendo el núcleo de un homomorfismo de evaluación. Hay espacios pseudocompactos que no son compactos, sin embargo.

En general, para espacios no pseudocompactos siempre hay ideales máximos $m$ en $C (X)$ tal que el campo residual $C(X)/ m$ es un campo hiperreal (no arquimediano). El marco de análisis no estándar permite la siguiente caracterización alternativa de compacidad: un espacio topológico $X$ es compacto si y solo si cada punto $x$ de la extensión natural $*X$ está infinitamente cerca de un punto $x 0$ de $X$ (más precisamente, $x$ está contenida en la mónada de $x 0$ ).

Definición hiperreal

Un espacio $X$ es compacto si su extensión hiperreal $*X$ (construido, por ejemplo, por la construcción de ultrapoder) tiene la propiedad de que cada punto de $*X$ está infinitamente cerca de algún punto de $X \subset *X$ . Por ejemplo, un intervalo real abierto $X = (0, 1)$ no es compacto porque su La extensión hiperreal $*(0,1)$ contiene infinitesimales, que están infinitamente cerca de 0, que no es un punto de $X$ .

Condiciones suficientes

Un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto.
Una unión finita de conjuntos compactos es compacta.
Una imagen continua de un espacio compacto es compacta.
La intersección de cualquier colección no vacía de subconjuntos compactos de un espacio Hausdorff es compacta (y cerrada);
- Si $X$ no es Hausdorff entonces la intersección de dos subconjuntos compactos puede no ser compacta (ver nota de pie, por ejemplo).
El producto de cualquier colección de espacios compactos es compacto. (Este es el teorema de Tychonoff, que es equivalente al axioma de elección.)
En un espacio metroble, un subconjunto es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto (asumiendo la opción contable)
Un conjunto finito dotado con cualquier topología es compacto.

Propiedades de los espacios compactos

Un subconjunto compacto de un espacio Hausdorff X está cerrado.
- Si $X$ no es Hausdorff entonces un subconjunto compacto $X$ puede no ser un subconjunto cerrado $X$ (véase la nota de pie de página, por ejemplo).
- Si $X$ no es Hausdorff entonces el cierre de un conjunto compacto puede no ser compacto (ver nota de pie, por ejemplo).
En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), un subconjunto compacto está completo. Sin embargo, cada TVS no Hausdorff contiene subconjuntos compactos (y así completos) que son no cerrado.
Si $A$ y $B$ son subconjuntos compactos de un espacio Hausdorff $X$ , entonces hay conjunto abierto descomunal $U$ y $V$ dentro $X$ tales que $A \subseteq U$ y $B \subseteq V$ .
Una bijeción continua de un espacio compacto en un espacio Hausdorff es un homeomorfismo.
Un espacio Hausdorff compacto es normal y regular.
Si un espacio $X$ es compacto y Hausdorff, entonces ninguna topología más fina en $X$ es compacto y no topología más gruesa en $X$ Es Hausdorff.
Si un subconjunto de un espacio métrico $() X, d)$ es compacto entonces es $d$ - atado.

Funciones y espacios compactos

Dado que una imagen continua de un espacio compacto es compacta, el teorema del valor extremo se cumple para tales espacios: una función continua de valor real en un espacio compacto no vacío está acotada por arriba y alcanza su supremo. (Un poco más generalmente, esto es cierto para una función semicontinua superior). Como una especie de recíproco a las afirmaciones anteriores, la preimagen de un espacio compacto bajo un mapa adecuado es compacta.

Compactaciones

Todo espacio topológico $X$ es un subespacio abierto denso de un espacio compacto que tiene como máximo un punto más que $X$ , por la compactación de un punto de Alexandroff. Por la misma construcción, cada espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ es un subespacio denso abierto de un espacio de Hausdorff compacto que tiene como máximo un punto más que $X$ .

Espacios compactos ordenados

Un subconjunto compacto no vacío de los números reales tiene un elemento mayor y un elemento menor.

Sea $X$ un conjunto simplemente ordenado dotado de la topología de orden. Entonces $X$ es compacto si y solo si $X$ es una red completa (es decir, todos los subconjuntos tienen suprema e infima).

Ejemplos

Cualquier espacio topológico finito, incluido el conjunto vacío, es compacto. Más generalmente, cualquier espacio con una topología finita (sólo finitamente muchos conjuntos abiertos) es compacto; esto incluye en particular la topología trivial.
Cualquier espacio que lleve la topología cofinita es compacto.
Cualquier espacio Hausdorff localmente compacto se puede convertir en un espacio compacto añadiendo un solo punto a él, mediante la compactación de un punto Alexandroff. La compactación de un punto $mathbb {R}$ es homeomorfo al círculo $S 1$ ; la compactación de un punto $mathbb {R} ^{2}$ es homeomorfa a la esfera $S 2$ . Utilizando la compactación de un punto, también se puede construir fácilmente espacios compactos que no son Hausdorff, comenzando con un espacio no Hausdorff.
La topología de orden derecho o topología de orden izquierdo en cualquier conjunto totalmente ordenado ligado es compacta. En particular, el espacio Sierpiński es compacto.
No hay espacio discreto con un número infinito de puntos es compacto. La colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que admite ningún subcover finito. Los espacios discretos finitos son compactos.
In $mathbb {R}$ llevar la topología límite inferior, ningún conjunto incontable es compacto.
En la topología contable en un conjunto incontable, ningún conjunto infinito es compacto. Como el ejemplo anterior, el espacio en su conjunto no es localmente compacto, pero sigue siendo Lindelöf.
El intervalo de unidad cerrada $[0, 1]$ es compacto. Esto sigue del teorema Heine-Borel. El intervalo abierto $(0, 1)$ no es compacto: la cubierta abierta ${textstyle left({frac {1}{n}},1-{frac {1}{n}}right)}$ para $n = 3, 4,...$ no tiene un subcubrimiento finito. Del mismo modo, el conjunto de Números racionales en el intervalo cerrado $[0,1]$ no es compacto: los conjuntos de números racionales en los intervalos ${textstyle left[0,{frac {1}{pi }}-{frac {1}{n}}right]{text{ and }}left[{frac {1}{pi }}+{frac {1}{n}},1right]}$ cubrir todos los fundamentos en [0, 1] para $n = 4, 5,...$ pero esta cubierta no tiene un subcubrimiento finito. Aquí, los conjuntos están abiertos en la topología subespacial aunque no estén abiertos como subconjuntos de $mathbb {R}$ .
El set $mathbb {R}$ de todos los números reales no es compacto ya que hay una cubierta de intervalos abiertos que no tiene un subcover finito. Por ejemplo, intervalos $() n, 1, n + 1)$ , donde $n$ toma todos los valores enteros en $Z$ , cubrir $mathbb {R}$ pero no hay subcubrimiento finito.
Por otro lado, la línea de número real extendida que lleva la topología analógica es compact; note that the cover described above would never reach the points at infinity and thus would no cubre la línea real extendida. De hecho, el conjunto tiene el homeomorfismo a [−1, 1] de mapear cada infinidad a su unidad correspondiente y cada número real a su signo multiplicado por el número único en la parte positiva del intervalo que resulta en su valor absoluto cuando se divide por uno mismo menos, y dado que las homeomorfismos conservan cubiertas, la propiedad Heine-Borel puede ser inferida.
Por cada número natural $n$ , la esfera n es compacta. De nuevo del teorema Heine-Borel, la bola de unidad cerrada de cualquier espacio vectorial finito-dimensional es compacta. Esto no es cierto para dimensiones infinitas; de hecho, un espacio vectorial normal es finito-dimensional si y sólo si su bola de unidad cerrada es compacta.
Por otro lado, la bola de unidad cerrada de la doble de un espacio normal es compacta para la topología débil-*. (Teorema de Alaoglu)
El conjunto Cantor es compacto. De hecho, cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto Cantor.
Considere el conjunto $K$ de todas las funciones $mathbb {R}$ desde la línea de número real hasta el intervalo de unidad cerrada, y definir una topología en $K$ así que una secuencia ${f_{n}}$ dentro $K$ convergencias hacia $f ▪ K$ si ${f_{n}(x)}$ convergencias hacia $f () x)$ para todos los números reales $x$ . Sólo hay una topología de este tipo; se llama la topología de la convergencia puntual o la topología del producto. Entonces... $K$ es un espacio topológico compacto; esto sigue del teorema Tychonoff.
Considere el conjunto $K$ de todas las funciones $f : [0, 1] \to [0, 1]$ satisfacción de la condición Lipschitz $Silencio f () x) - f () Sí.) Ø \leq latitud x - Sí. Silencio$ para todos $x, Sí. ▪ [0,1]$ . Considerar $K$ métrica inducida por la distancia uniforme ${displaystyle d(f,g)=sup _{xin [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$ Luego por Arzelà–Ascoli teorema el espacio $K$ es compacto.
El espectro de cualquier operador lineal vinculado en un espacio de Banach es un subconjunto compacto no vacío de los números complejos $mathbb {C}$ . Por el contrario, cualquier subconjunto compacto de $mathbb {C}$ surge de esta manera, como el espectro de algún operador lineal vinculado. Por ejemplo, un operador diagonal en el espacio Hilbert $ell ^{2}$ puede tener cualquier subconjunto no vacío compacto $mathbb {C}$ como espectro.

Ejemplos algebraicos

Grupos compactos como un grupo ortogonal son compactos, mientras que grupos como un grupo lineal general no lo son.
Dado que los enteros p-adic son homeomorficos al conjunto Cantor, forman un conjunto compacto.
El espectro de cualquier anillo comunicativo con la topología Zariski (es decir, el conjunto de todos los ideales primos) es compacto, pero nunca Hausdorff (excepto en casos triviales). En geometría algebraica, tales espacios topológicos son ejemplos de esquemas cuasi-compactos, "quasi" refiriéndose a la naturaleza no-Hausdorff de la topología.
El espectro de un álgebra booleana es compacto, un hecho que es parte del teorema de representación de Piedra. Espacios de piedra, espacios compactos totalmente desconectados Hausdorff, forman el marco abstracto en el que se estudian estos espectros. Estos espacios también son útiles en el estudio de grupos profinitos.
El espacio de estructura de un álgebra de Banach unitaria conmutativa es un espacio Hausdorff compacto.
El cubo de Hilbert es compacto, otra vez una consecuencia del teorema de Tychonoff.
Un grupo profinito (por ejemplo, grupo Galois) es compacto.

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